精品解析：山东省寿光市第一中学2025-2026学年高二上学期第四次段测数学试题

2025-2026学年上学期高二年级第四次段测 数学学科试题 命题人：数学组 审核人： 审批： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D. 2. 计算的值是（ ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 3. 已知圆与圆的公切线有3条，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 6. 已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程，则（ ） A. 时，方程表示椭圆 B. 时，所表示的曲线离心率为 C. 时，方程表示焦点在轴上的双曲线 D. 时，所表示曲线的渐近线方程为 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有甲､乙､丙等8名学生排成一排照相，计算其排法种数，在下列答案中正确的是（ ） A. 甲排在两端，共有种排法 B. 甲､乙都不能排在两端，共有种排法 C. 甲､乙､丙三人相邻（指这三个人之间都没有其他学生），共有种排法 D. 甲､乙､丙互不相邻（指这三人中的任何两个人都不相邻），共有种排法 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点.点在上的射影为，点为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条 B. 以为直径的圆与相切 C. 设，则 D. 若，则的面积为 11. 四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 的最小值为 C. 不存在点，使得 D. 点到直线的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线上一点M与焦点F的距离，则点M的坐标为________． 13. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有__________种. 14. 已知正方体的棱长为2，球为其棱切球，过球心作平面与底面平行，若为球面与平面的交线上一点，为底面外接圆的一条直径，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，第6项为常数项. （1）求含项的系数； （2）求展开式中所有的有理项. 16. 已知四棱锥，平面，，，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别是、，到双曲线渐近线的距离是，并且离心率为 （1）求双曲线的标准方程； （2）若斜率为的直线过点与双曲线交于、两点，求的面积. 18. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. （1）求直线与底面所成角大小； （2）求点到侧面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点． （ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值； （ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高二年级第四次段测 数学学科试题 命题人：数学组 审核人： 审批： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】抛物线的焦点坐标为， 因为抛物线，，所以焦点坐标为． 2. 计算的值是（ ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 【答案】C 【解析】 【分析】由排列数、组合数的计算公式即可求解. 【详解】， 故选：C 3. 已知圆与圆的公切线有3条，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得出圆心及半径，再根据公切线条数得出圆与圆的位置关系，进而得出圆心间距离等于半径和列式计算求参. 【详解】圆圆心坐标为，半径为2； 圆圆心坐标为，半径为. 因为圆与圆有3条公切线，所以两圆外切，所以. 故选：C. 4. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分焦点在轴或轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数，再求椭圆的焦距. 【详解】若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 若椭圆的焦点在轴，则离心率，得，此时焦距， 所以该椭圆的焦距为或. 故选：D 5. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角，判断A的真假；判断数量积是否为0，判断B的真假；求投影向量，判断C的真假；根据的线性关系，判断D的真假. 【详解】对A：，所以，故A错； 对B：因为，所以不成立，故B错误； 对C：因为，即向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对D：令， ，即，显然无解， 所以向量与向量不共面，故D错误. 故选：C 6. 已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把三棱柱补成四棱柱，利用余弦定理结合条件可得异面直线与所成角. 【详解】如图，把三棱柱补成四棱柱，则，异面直线与所成角为， 在中，由余弦定理得， 又， 故选：C． 7. 已知方程，则（ ） A. 时，方程表示椭圆 B. 时，所表示的曲线离心率为 C. 时，方程表示焦点在轴上的双曲线 D. 时，所表示曲线的渐近线方程为 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程表示的曲线特征求出的取值范围，可判断AC选项；利用椭圆的离心率公式可判断B选项；利用双曲线的渐近线方程可判断D选项. 【详解】对于A选项，若方程表示椭圆，则， 解得或，A错； 对于B选项，当时，方程表示椭圆， 则，，，其离心率为，B错； 对于C选项，若方程表示的是焦点在轴上的双曲线， 则，解得，即当时，方程表示焦点在轴上的双曲线，C对； 对于D选项，当时，方程表示双曲线，则，， 此时该双曲线的渐近线方程为，D错. 故选：C. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为，，直线过点.若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义、余弦定理列式，再结合求解出离心率的值. 【详解】如图，由点关于的对称点恰好在椭圆上，得，， 由椭圆定义，得， 在中，由余弦定理得 ， 则， 又，整理得，又椭圆的离心率， 于是，而，解得，所以的离心率. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有甲､乙､丙等8名学生排成一排照相，计算其排法种数，在下列答案中正确的是（ ） A. 甲排在两端，共有种排法 B. 甲､乙都不能排在两端，共有种排法 C. 甲､乙､丙三人相邻（指这三个人之间都没有其他学生），共有种排法 D. 甲､乙､丙互不相邻（指这三人中的任何两个人都不相邻），共有种排法 【答案】AD 【解析】 【分析】A：先排甲，然后剩下7人全排，由此即可判断；B：先在中间6个位排甲乙，然后剩下6人全排，由此即可判断；C：先将甲乙丙三人捆绑，再和剩下5人全排，由此即可判断；D：先全排除了甲乙丙剩下的5人，然后将甲乙丙三人插空，由此即可判断. 【详解】A，先排甲，然后剩下7人全排，共有种排法，故A正确； B，先在中间6个位排甲乙，然后剩下6人全排，共有种排法，但是，故B错误； C，先将甲乙丙三人捆绑，再和剩下5人全排，共有种排法，故C错误； D，先全排除了甲乙丙剩下的5人，然后将甲乙丙三人插空共有种排法，故D正确. 故选：AD. 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点.点在上的射影为，点为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条 B. 以为直径的圆与相切 C. 设，则 D. 若，则的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：分斜率存在、不存在两类，用判别式求切线，统计满足条件的直线数量.选项B：用抛物线定义+梯形中位线，判断圆与准线相切，否定与相切.选项C：定义转化，由两点间线段最短得最小值.选项D：设直线并联立抛物线，用韦达定理、弦长公式、点线距离求面积. 【详解】对于A，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线必有； 当直线斜率存在时，可设直线方程为， 当直线与抛物线有且仅有一个公共点， 联立整理可得，所以； 解得，所以切线方程为， 综上可知，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，即A正确； 对于B，如下图所示： 设点在上的射影为，取的中点为，的中点为， 由抛物线定义可知， 在梯形中，有， 所以以为直径的圆与准线相切，切点为，可得B错误； 对于C，易知，由抛物线定义可知， 所以， 当三点共线时，有最小值为，所以，即C正确； 对于D，设的方程为，联立整理可得， 可得，可得， 因此， 又可得，解得； 易知到直线的距离为， 所以的面积为，即D正确. 故选：ACD 11. 四棱锥的底面为正方形，平面，，，动点在线段上，则（ ） A. 四棱锥的外接球表面积为 B. 的最小值为 C. 不存在点，使得 D. 点到直线的距离的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A项，将该四棱锥补为长方体，求出长方体的体对角线即可得出该四棱锥外接球的半径，根据表面积公式即可得出答案；对于B项，将四棱锥沿剪开得到平面图，最小值即为，根据已知求出各边边长，进而计算即可得出答案；对于C项，假设存在点，建立空间直角坐标系，表示出的坐标.进而根据，得出，列出方程解出的值，即可得出判断；对于D项，表示出，进而根据向量法表示出点到直线的距离.结合二次函数的性质，即可得出最小值. 【详解】对于A项，将该四棱锥补为长方体，可知即为该长方体的一条体对角线， 且. 且该长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，半径为， 表面积为，故A正确； 对于B项，如图1，将四棱锥沿剪开得到平面图，连接，交于点， 易知均为直角三角形，且全等， 且，，， 则，且， 即有， 所以，即的最小值为.故B正确； 对于C项，假设存在点，使得 如图2，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 则，，. 设，， 则. 因为， 所以，解得. 故存在点，使得.故C项错误； 对于D项，由已知可得，， 所以点到直线的距离， ， ， 所以，当时，点到直线的距离的最小值为.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线上一点M与焦点F的距离，则点M的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求得的横坐标，进而求得的坐标. 【详解】抛物线对应， ， 所以， 所以的坐标为. 故答案为： 13. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】按照家庭被分配到一人或两人，进行分类讨论. 【详解】由题可分以下两种情形： ①家庭只有志愿者甲，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种； ②家庭除了甲还有另一名志愿者，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种. 故志愿者甲恰好被安排在家庭共有种不同安排方法. 故答案为：. 14. 已知正方体的棱长为2，球为其棱切球，过球心作平面与底面平行，若为球面与平面的交线上一点，为底面外接圆的一条直径，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，点在过球心与底面平行的截面圆上，设在底面上的射影为，底面外接圆的圆心为，结合题设易得，，，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题可知，点在过球心与底面平行的截面圆上， 设在底面上的射影为，底面外接圆的圆心为，如图， 而球为正方体的棱切球，则棱切球的直径为， 易得，， 由于为底面外接圆的一条直径，则，且底面为正方形，边长为2， 所以， 则 ， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中，第6项为常数项. （1）求含项的系数； （2）求展开式中所有的有理项. 【答案】（1） （2），，. 【解析】 【分析】将的值代入通项，令的指数为，即可求出结果； 令通项中的指数为整数，求出结果即可. 【小问1详解】 通项公式为. 因为第项为常数项，所以时，有，解得. 令，解得. 所以含项的系数为. 【小问2详解】 由题意可知，， 则可能的取值为，，. 所以第项，第项，第项为有理项，分别为，，. 16. 已知四棱锥，平面，，，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面，平面，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 且为等腰直角三角形，，所以， 由余弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，再利用面面垂直判定定理即可得证； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面的一个法向量为，， 则，取，则， . 因此平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别是、，到双曲线渐近线的距离是，并且离心率为 （1）求双曲线的标准方程； （2）若斜率为的直线过点与双曲线交于、两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出的值，结合可得出、的值，由此可得出双曲线的标准方程； （2）设、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合三角形的面积公式可求出的面积. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为，即， 点到渐近线的距离为， 又因为，所以，， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 设、，由（1）及题设知、， 所以直线方程为，联立，消得：， ， 由韦达定理可得，， 所以， 又因为，所以， 即的面积为. 18. 如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. （1）求直线与底面所成角大小； （2）求点到侧面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据几何体的性质，以及线面角的平面角的定义，找出线面角的平面角，求出结果即可. （2）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据求点到平面距离的向量方法，求出结果即可. （3）根据向量共线，写出坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据线面角正弦值的向量方法，求出结果即可. 【小问1详解】 因为点在底面上的投影为的中点，所以面， 所以直线与底面所成角就是， 因为侧面为菱形，的中点是，所以， 所以，则. 【小问2详解】 如图所示，底面是以为斜边的等腰直角三角形，点在底面上的投影为的中点， 所以以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 底面是以为斜边的等腰直角三角形，，所以， 因为侧面为菱形，，所以. 可得， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，解得，即平面的一个法向量， 则点到侧面的距离为. 【小问3详解】 设，由（2）可知， 则， 由（2）可知平面的一个法向量， 设直线与侧面所成角为，则， 可得，解得， 因为，所以，即，所以. 19. 已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点． （ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值； （ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设，，因为M为AB中点，所以， 根据题意直线AB与OM的斜率都存在， 所以直线AB与OM的斜率乘积为， 因为A，B在椭圆上，所以，， 两式相减可得， 化简得，可得， 因此直线AB与OM的斜率乘积为． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，结合题意列出方程组，解出的值，求得椭圆的方程. （2）（ⅰ）设出两点的坐标，进而求得中点的坐标，结合斜率公式和点差法计算证明结论. （ⅱ）设出的坐标，分别联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系得到的坐标，结合斜率公式和基本不等式计算得到的最大值. 【小问1详解】 根据椭圆的定义可知， 根据题意可得，解得，，， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）设，，，由（1）可知，， 因为点P在椭圆上，所以， 由题意PA：，PB：， 将直线PA与椭圆E联立，可得， 整理可得：，所以， 即，，即， 同理，将直线PB与椭圆E联立，可得， 整理可得：，所以， 即，，即， 所以OP的斜率为，的斜率为， 故， 因为点P在第一象限内，故，， 的最大值为，当且仅当在处取到等号． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $