专题训练同构法构造函数在导数中的应用-2026届高三数学二轮专题复习

专题训练 同构法构造函数在导数中的应用（详解版） 必备知识： 【1】导数问题中构造函数比较大小的四种类型. 构造相同函数，比较不同函数值； 构造不同函数，比较相同函数值； 构造不同函数，比较不同函数值；常用切线不等式；高次不等式放缩；分式不等式放缩. 先同构，再构造，再比较. 【2】常见的同构函数：；；；.其中①④可以借助，②③可以借助进行指数和对数的互化. 专题训练： 1、 单选题 1．已知，满足，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】由已知得，令，利用导数分析的性质得到，从而得到，再构造函数，利用导数即可求最大值. 【详解】由，整理得， 设，，令解得 在单调递减，在内单调递增， 当时，，又， 时，，时，， 依题意，，且， ， ，则， ， 设，， 令解得， 在单调递增，在内单调递减， 的最大值为. 故选：C. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】设，求导得单调性从而得的大小，，求导得单调性判断大小，综合得结论. 【详解】由，设， 则恒成立，所以在上单调递增， 所以，即，所以，则； 由，设， 则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即，所以，则，故； 综上，. 故选：A. 3．已知，其中e为自然对数的底数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由题意构造函数，利用导数求出函数单调性，再由单调性比较大小即可. 【详解】由题意， 由可得，由可得，由可得， 令，则有，，， 又，当时，， 所以在上单调递增，所以，， 因为， 所以，所以， 由在上单调递增知，. 故选：C 4．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、比较函数值的大小关系 【分析】根据题意，构造函数，利用导数求得函数在上单调递增，结合，得到，即可求解. 【详解】构造函数，其中， 则，所以在上单调递增， 由，，， 因为，所以，所以. 故选：C. 5．已知且，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】由题意构造函数，利用导数求出函数单调性，再由单调性比较大小即可. 【详解】由可得， 令，则有，，， 又， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 且时，，时，， 由单调性知，，且， 所以，即，再由单调性知，. 故选：D 6.已知为自然对数的底数，，则下列关系正确的是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，利用导数研究单调性即可比较和的大小，同理构造函数，利用导数研究单调性即可比较和的大小，进而得解. 【详解】令，所以，令有，由有，有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，即，即， 令，所以，令或， 由或，， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以，即，即，所以， 所以， 故选：B. 7.若实数，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、比较对数式的大小 【分析】先利用对数函数的单调性，比较与的大小，再构造函数，，分析其单调性和最值，比较与的大小. 【详解】因为，， 由，所以，即. 设函数，，则，. 由；由. 即在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 所以，即. 综上，. 故选：A 8.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据指数函数的单调性，再构造函数求出导数根据函数单调性即可判断大小. 【详解】， 又∵且 ， ∴令则 时，，即时，单调递增． 由得即， 故选:A． 二、多选题 9．已知实数有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】举例说明判断AD；构造函数利用导数探讨单调性判断BC. 【详解】对于A，取，，A错误； 对于B，令函数，求导得，在上单调递增， 由，得，即，因此，B正确； 对于C，令函数，，函数在上单调递增， 由，得，则，，因此，C正确； 对于D，取，则，D错误. 故选：BC 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】A. 令判断；B.利用不等式的基本性质判断；C.令判断；D. 令判断. 【详解】A. 令，则，故错误； B. 因为，所以，所以，故正确； C.令，则，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以与大小不定，故错误； D. 令，则，当时，，在上单调递增， 则，即，故正确. 故选：BD 11．若，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】根据给定条件，利用各选项不等式特征构造对应的函数，利用导数探讨单调性进而判断不等式的正确性. 【详解】对于A，令，求导得， 函数在上递增，而，则，即，A正确； 对于B，函数，求导得，函数在上递减， 而，则，即，因此，B正确； 对于C，函数，求导得，函数在上递增， 则函数在上递增，，则存在使得， 当时，，函数在上递减，若，则， 此时，即，C错误； 对于D，函数，求导得，函数在上递增， 而，则，即，因此，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．若是方程的解，是方程的解，则 . 【答案】1 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据给定条件，利用方程解的意义建立等式，再借助同构思想构造函数，利用导数确定单调性即可得解. 【详解】依题意，，且，则， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，因此，所以. 故答案为：1 13．设，，，比较，，的大小关系并用“”连接起来 【答案】 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，用导数求函数的单调性，即可求得题目. 【详解】由， 设函数，则， 当时，单调递减， 因为，所以， 所以． 故答案为：. 14．已知恒成立，则正数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】将原不等式同构为，即，令，分析单调性可得，令利用导数求出最值得解. 【详解】由，可得． 令，易知在上单调递增， 由，可得， 故，即. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即， 故正数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．已知且，且，且，比较，，大小. 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，再求出导函数结合导函数的正负得出函数的单调性即可判断求解. 【详解】构造函数，变形得，即， 同理. 由，， 所以在递增，故. 得，，，故. 16.设，，，请比较的大小关系．（用“”连接） 【答案】 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，求导函数根据导函数的正负判断函数的单调性，判断函数值即可比较大小. 【详解】令，则在恒成立，故在上单调递减， 则，即，即． 令，则在上恒成立，故在上单调递增， 则，即，所以，即， 综上，的大小关系为. 故答案为: . 17．已知正数、满足，求的最小值为. 【答案】 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据已知条件结合对数运算再构造函数，应用计算单调性得出，再构造函数应用单调性得出最值即可求解. 【详解】正数、满足， 所以，即，因为，所以， 利用对数恒等式有， 令，，因为恒成立. 所以函数在上单调递增， 所以，即，则， 构造函数，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 故当时，有最小值即， 所以的最小值为. 故答案为：. 18．已知实数、满足，比较与的大小关系． 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】由条件可得，构造函数利用导数证明，由此可得，令，利用导数判断的单调性，解不等式可得. 【详解】由可得， 令，则，所以在单调递增， 所以，所以， 所以， 令，， 则，所以在单调递增， 因为，即，所以. 19．实数，满足，求的最小值． 【答案】 【知识点】指数幂的运算、对数的运算性质的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据，构造函数得到，然后转化为单变量问题，求导判断单调性即可. 【详解】，，即， 设，则，且， 当时，所以在上单调递增， 正实数，，，即， 所以，等价于， 即，， 当时，单调递减；当时，单调递增， 所以， 则， 令，则，即在上单调递增， 所以，所以，即的最小值为． 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题训练 同构法构造函数在导数中的应用（学生版） 必备知识： 【1】导数问题中构造函数比较大小的四种类型. 构造相同函数，比较不同函数值； 构造不同函数，比较相同函数值； 构造不同函数，比较不同函数值；常用切线不等式；高次不等式放缩；分式不等式放缩. 先同构，再构造，再比较. 【2】常见的同构函数：；；；.其中①④可以借助，②③可以借助进行指数和对数的互化. 专题训练： 1、 单选题 1．已知，满足，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，其中e为自然对数的底数，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知且，且，且，则（    ） A． B． C． D． 6.已知为自然对数的底数，，则下列关系正确的是：（    ） A． B． C． D． 7.若实数，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8.已知，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知实数有，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．若，则一定有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若是方程的解，是方程的解，则 . 13．设，，，比较，，的大小关系并用“”连接起来 14．已知恒成立，则正数的取值范围为 ． 四、解答题 15．已知且，且，且，比较，，大小. 16.设，，，请比较的大小关系．（用“”连接） 17．已知正数、满足，求的最小值为. 18．已知实数、满足，比较与的大小关系． 19．实数，满足，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $