第16章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪科版八年级下册

第16章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义． ②：被开方数为，无意义，不是二次根式． ③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式． ④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式． ⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 故选B． 2．下列二次根式与 是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、， 与不是同类二次根式，故A不符合题意； B、， 与是同类二次根式，故B符合题意； C、， 与不是同类二次根式，故C不符合题意； D、， 与不是同类二次根式，故D不符合题意； 故选：B． 3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（      ） A． B． C． D．且 【答案】D 【详解】解：要使在实数范围内有意义， ∴ 解得：且． 故选：D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；     B．，故该选项不正确，不符合题意；     C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5．已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 【答案】B 【详解】解：是正整数，， 是完全平方数， 的最小值为5． 故选：B． 6．当时，化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，即， ∴． 故选C． 7．已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】A 【详解】解：∵和同时有意义， ∴且， ∴． 将代入，得． ∴． 故选A． 8．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长的和减去大正方形的边长，所以重叠部分也是正方形． 因为三个小正方形的面积分别为， 所以三个小正方形的边长分别为：，，． 由图知大正方形的边长为：， 所以． 故选：A． 9．我们约定“&”一个实际意义，规定，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 故选B． 10．已知两个二次根式：，，将这两个二次根式进行如下操作：第一次操作：将与的和记为，差记为；第二次操作：将与的和记为，差记为；第三次操作：将与的和记为，差记为……；以此类推．则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】解：第一次操作：，， 则； 第二次操作：，， 则， 第三次操作：，， 则； 第四次操作：，， 则； 第5次操作：， ， 则． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 12．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：因为， ， 因为，所以，即， 因为，，所以． 故答案为：． 13．定义运算“”的运算法则为，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【详解】解：当时，，当时， 当， ∴输出结果为． 故答案为：． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（6分）已知，求的值． 【详解】解：∵， ∴，， ， ∴ ． 16．（8分）计算∶ (1)； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（8分）已知，：求下列各式的值： (1) (2). 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 18（10分）．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 19．（10分）分母有理化：． 以下是小明同学的解答过程： 请根据小明同学的解法，完成下面问题： (1)化简： ； (2)计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 20．（10分）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 【详解】（1）解：此三角形是奇异三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴此三角形是奇异三角形； （2）解：设第三边为x， 当边长为4的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴或， 解得或（舍去）；或（舍去）； 当边长为x的边是最长边时， ∵是奇异三角形， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，第三边的长为或或． 21．（12分）观察以下等式： 第1个等式：＝； 第2个等式：＝； 第3个等式：＝； 第4个等式：＝； 第5个等式：＝； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【详解】（1）第6个等式：； （2）第个等式：． 证明： ， ∵左边=右边， 故该等式成立． 22．（12分）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【详解】（1）解：观察以上规律，第5个等式为：， 故答案为： （2）解：观察以上规律，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：， ， ， ，即， ． 23．（14分）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （i）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ii）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是______（写出一个即可）； 的有理化因式是______． (2)把下列式子分母有理化：． (3)化简：． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是， ， 的有理化因式是， 故答案为：，； （2） ； （3） ． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16章 二次根式（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．给出下列式子：；；；；，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列二次根式与 是同类二次根式的是 （    ） A． B． C． D． 3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（      ） A． B． C． D．且 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知是一个正整数，也是正整数，则的最小值为（ ） A．4 B．5 C．10 D．20 6．当时，化简得（   ） A． B． C． D． 7．已知实数，满足，则的值为（   ） A． B． C．10 D．18 8．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分的面积为，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 9．我们约定“&”一个实际意义，规定，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．已知两个二次根式：，，将这两个二次根式进行如下操作：第一次操作：将与的和记为，差记为；第二次操作：将与的和记为，差记为；第三次操作：将与的和记为，差记为……；以此类推．则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．如果最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 12．比较大小： （填“”“”或“”）． 13．定义运算“”的运算法则为，则 ． 14．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（6分）已知，求的值． 16．（8分）计算∶ (1)； (2)． 17．（8分）已知，：求下列各式的值： (1) (2). 18（10分）．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 19．（10分）分母有理化：． 以下是小明同学的解答过程： 请根据小明同学的解法，完成下面问题： (1)化简： ； (2)计算． 20．（10分）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫作奇异三角形．例如，某三角形的三边长分别是2，和，因为，所以这个三角形是奇异三角形． (1)若的三边长分别是3，5和，判断此三角形是不是奇异三角形，说明理由． (2)若是奇异三角形，且其中有两条边长分别为3、4，求出第三条边长． 21．（12分）观察以下等式： 第1个等式：＝； 第2个等式：＝； 第3个等式：＝； 第4个等式：＝； 第5个等式：＝； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 22．（12分）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 23．（14分）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （i）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ii）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 (1)填空：的有理化因式是______（写出一个即可）； 的有理化因式是______． (2)把下列式子分母有理化：． (3)化简：． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $