专题02 平行四边形8重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题02 平行四边形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平行四边形的性质求解（重点） 1 题型二、利用平行四边形的性质证明（重点） 4 题型三、判断能否构成平行四边形（重点） 7 题型四、添一个条件成为平行四边形（重点） 10 题型五、证明四边形是平行四边形（重点） 12 题型六、利用平行四边形的判定与性质求解（难点） 14 题型七、利用平行四边形性质和判定证明（难点） 18 题型八、平行四边形中的动态问题（难点） 24 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平行四边形的性质求解 1．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故选：C． 2．（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知的对角线相交于点O，它的周长为，的周长比的周长多，则 ． 【答案】5 【详解】解：∵的周长为． ∴， ∵的周长比的周长多， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 即， ∴ 解得， ∴． 故答案为：5． 3．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，，于E，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵于E， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·上海·月考）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是36，，则四边形的周长为 ．    【答案】24 【详解】解：四边形为平行四边形，对角线的交点为， ，，，， ， 在和中，， ， ，， 平行四边形的周长为36， ， 四边形的周长 ， 故答案为：24． 5．（24-25八年级下·上海·月考）已知等腰梯形的两条对角线互相垂直，高为，则其面积为 ． 【答案】 【详解】解：作垂直于，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵四边形的等腰梯形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 梯形面积为：， 故答案为：． 题型二、利用平行四边形的性质证明 6．（24-25八年级下·上海宝山·期中）已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 7．（24-25八年级下·上海·期中）如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，当，求的长． 【详解】（1）证明∶设、相交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，、分别平分、，交于点、． (1)求证：； (2)过点作，垂足为．若平行四边形的周长为，，求的面积． 【详解】（1）证明：∵，分别平分，，交于点、， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：过点作于点，如图所示： ∵分别平分，于点， ∴， ∵，，且平行四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是192． 题型三、判断能否构成平行四边形 9．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知四边形，对角线相交于点O，下列条件中，能判断它是平行四边形的是（   ） A． B． C．， D． 【答案】D 【详解】解：选项A中，，但无法证明另一组对边平行或相等，可能存在等腰梯形的情况，故排除； 选项B中，，仅说明被平分，但未给出被平分的条件，无法确定四边形为平行四边形； 选项C中，且，但这两个角并非对角，无法通过边角关系直接判定为平行四边形； 选项D中，（即被O平分）；由可得（内错角相等），结合，，可证，从而，此时对角线均被O平分，满足对角线互相平分的判定条件，故四边形为平行四边形． 故选：D． 10．（23-24八年级下·上海金山·月考）下列命题中，真命题是（    ） A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】解：A．一条对角线平分一组对角的四边形不一定是平行四边形，故本选项命题是假命题，不符合题意； B．两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形的对角线相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意； D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意； 故选：D． 11．（23-24八年级下·上海金山·期末）已知在中，点E、F分别在边上，连结，下列条件能使四边形一定是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是平行四边形， ； ； A、当，则一组对边平行，另一组对边相等，此时无法判断是平行四边形；故选项不符合题意； B、， ； ， ； , 四边形一定是平行四边形； 故选项B符合题意； C、当时，则可得四边形一定是平行四边形； 但当时，四边形不可能是平行四边形， 若四边形是平行四边形，则， 而，则，这与假设矛盾， 故四边形不可能是平行四边形； 故选项不符合题意； D、若， ， ； ； 由于无法知晓与或是否垂直，故无法判断与是否平行， 故选项不符合题意； 故选：B． 12．（23-24八年级下·上海金山·期中）如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B符合题意， C、∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 题型四、添一个条件成为平行四边形 13．（24-25八年级下·上海·月考）在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图： A、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； B、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； C、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形；故该选项是正确的； D、∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形；故该选项是错误的； 故选：C． 14．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由，，不能判定四边形成为平行四边形，故选项A不符合题意； B、由，，不能判定四边形成为平行四边形，故选项B不符合题意； C、∵， ∴，不能判定四边形成为平行四边形，故选项C不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故选项D符合题意； 故选：D． 15．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，在四边形中，E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，如果，那么再添加以下一个条件使得四边形是平行四边形，请选出正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当添加时，， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 而添加，，均无法证明四边形是平行四边形． 故选：D 16．（24-25八年级下·上海·期中）如图，是平行四边形的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （只要填写一种情况）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：还需要增加的一个条件是，理由为： 连接，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：． 题型五、证明四边形是平行四边形 17．（24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 【详解】∵，点为对角线的中点， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴同理可证， ∴ ∴四边形为平行四边形． 18．（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ． 19．（24-25八年级下·上海·月考）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵F是的中点，点E在的延长线上， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的面积是． 题型六、利用平行四边形的判定与性质求解 20．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，，则 ． 【答案】11 【详解】解：作交于点E，则， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：11． 21．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如果一个等腰梯形的一个底角为，上底长为3，下底长为5，则其腰长为 ． 【答案】2 【详解】解：如图，过点A作，交于E， ∵四边形为等腰梯形，等腰梯形的一个底角为， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即等腰梯形的腰长为2， 故答案为：2． 22．（24-25八年级下·上海·月考）中，为中点，E为边上一点且，则 ． 【答案】6 【详解】解∶如图，过B作交于F，作的平分线交于G，交于H，过B作交于M， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶6． 23．（24-25八年级下·上海·期中）梯形的上下底分别为3和7，一腰长为6，则另一腰长的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图，梯形中，，，，，， 过D作，交于E点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据题意得：，即． 故答案为：． 24．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴梯形为等腰梯形； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 则． 题型七、利用平行四边形性质和判定证明 25．（24-25八年级下·上海·月考）已知：在梯形中，，，垂足为，．求证：． 【详解】证明：如图，过点A作于点F， ∵，， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知和都是等边三角形，点D在边上，点E在边的右侧，连接． (1)求证：； (2)在边上取一点F，使，联结．求证：四边形是等腰梯形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，，，， ， 在和中， ， ； （2）为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， 又， ，， 四边形是等腰梯形． 27．（24-25八年级下·上海·月考）在中，连接，，的角平分线与交于点E，与交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的角平分线与交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：作于点G，于点H，设， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是． 28．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）【阅读材料】 老师提出的问题∶ 同学们的方案∶ 如图，在平行四边形中，，为锐角．在对角线上如何确定点、 方案1∶分别作平分平分，交于点、． 的位置，使四边形为平行四边形？ 方案2∶取的两个三等分点、． 方案3∶在上任意取一点，连接，再以为圆心，长为半径画弧，交于点． 【解决问题】 (1)写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图1中画出图形，并说明理由； (2)除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由． 【详解】（1）解：方案1和2正确； 选择方案1证明： 如图所示：   四边形是平行四边形， 平分平分， ∵ ∴， 在和中， ∴，， ∴ ∴ 所以四边形为平行四边形． 方案2证明： 如图：    根据题意得：， 四边形是平行四边形， ∴ ∴， 在和中， ∴，， ∴ ∴ 所以四边形为平行四边形． 方案3证明： 如图：    根据题意得：， 四边形是平行四边形， ∴ ∴， 根据已知得：，，， 无法根据边边角证出和全等， ∴无法得到四边形为平行四边形． （2）解：方案：在  上取点 E 、 F 使得    ， 如图所示：在上取点使得，    在和中， ∴， 所以四边形为平行四边形． 题型八、平行四边形中的动态问题 29．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角 °． 【答案】40 【详解】解：∵绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：40． 30．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，点在边上，将沿直线翻折后，点落在点处，如果四边形是平行四边形，那么 ． 【答案】 【详解】解：∵将沿直线翻折后，点落在点处， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 31．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，，点在边上，过点作于，交边于点，将沿直线翻折，点、分别与点、对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是 ． 【答案】6 【详解】解：根据题意作图如下， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴相互平分，交于点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 32．（24-25八年级下·上海青浦·期末）将平行四边形（如图）绕点旋转后，点落在边上，点的对应点为点，且点、、在一直线上．如果，，那么的周长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，设的对应点为，过点作于点， ∵旋转， ∴，， ∵点、、在一直线上．四边形是平行四边形，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴的周长为：， 故答案为：． 33．（24-25八年级下·上海·月考）在中，，，是锐角，将沿直线翻折，对应点分别为，，若落在直线上，且点落在线段的三等分点处，则的面积为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、折叠问题 【分析】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，分情况准确画出图形，并能灵活运用相关性质是解题的关键． 分和两种情况讨论，令直线分别交，于点，，过点作于点，可推出，再在两种情况下，分别求出，从而求出 进而解决问题． 【详解】解：点落在线段的三等分点处，有两种情况： 如图，，此时， 令直线分别交，于点，，过点作于点， 由折叠性质可知，，且与，与之间的距离相等， ， ， ， 在中， 由勾股定理可得， ， ； 如图，， 令直线分别交，于点，，过点作于点， 由折叠性质可知，，且与，与之间的距离相等， ， ， ， 在中， 由勾股定理可得， ， ； 故答案为：或． 34．（24-25八年级下·上海青浦·月考）如图，在中，为对角线的中点，，．．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点．将线段绕着点逆时针旋特60°得到线段，连结，设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在边上时，求的值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵四边形为平行四边形， ， ①当时，， ②当时，； （2）证明： 连接， 如图， 在中，为对角线的中点， ∴经过点，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ， 在和 中， ， ， ； （3）解：①当点与点重合时，如图， 由题意得：为等边三角形， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点落在边上时，如图， 由题意得：为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在边上时，的值为：2或3． 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海青浦·月考）下列命题中正确的命题的个致是（   ） ①夹在两条平行线之间的平行线段相等； ②多边形的内角中至多有3个锐角； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； ④平行四边形的两条对角线把其分成四个等积的小三角形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：①夹在两条平行线之间的平行线段相等，故此命题是真命题； ②多边形的内角中至多有3个锐角，故此命题是真命题； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，故此命题是真命题； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成的四个小三角形的面积相等，故此命题是真命题. 由此可得：真命题有4个. 故选：D． 2．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的周长 ， ∵为， ∴， ∴的周长为， 故选：． 3．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图，分别以的三边为一边作，，，且点D，E分别在上．若，的面积分别为，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过A作交的延长线于M，于N， 四边形是平行四边形， ∴，， ， 、A、N共线， 四边形是平行四边形， 的面积， 同理：的面积， 的面积的面积， 的面积，的面积， 的面积的面积， ， 平行四边形的面积 故选：A． 4．（24-25八年级下·上海·月考）已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 【答案】C 【详解】解：如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，，则， A、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、当时，则， ∴，即此时能构成三角形，故此选项符合题意； D、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 5．（24-25八年级下·上海·月考）我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为和4，那么它的较长的对角线长为 ． 【答案】 【详解】：如图，中，，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形的较长的对角线长为， 故答案为：．    6．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知平行四边形的周长为48，相邻两边上的高分别为4和8，则平行四边形面积为 ． 【答案】64 【详解】解∶设是边上的高，是边上的高， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平行四边形的周长为48， ∴， ∴， ∵相邻两边上的高分别为4和8，不妨设，， ∴， ∴，， ∴平行四边形面积为， 故答案为∶64． 7．（24-25八年级下·上海·期中）如图，的对角线相交于点O，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·上海·期中）已知：如图，沿射线平移后得，，若的面积为S，则四边形的面积为 ．（用含S的代数式表示） 【答案】 【详解】解：设，则，的高为， 则，即， 根据平移的性质得，和的高都为， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，BC=2AB=8，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，点C关于AD的对称点为E，则 【答案】 【详解】解：如图，取中点H，连接，连接交于，作交的延长线于M， ，，， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， ，， ，， ． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知平行四边形一个角的平分线把一条边分成和的两条线段，那么该平行四边形的周长为 ． 【答案】或 【详解】解：如图， ∵平行四边形， ∴， ． 平分， ， ，即． 当，时，平行四边形的周长为． 当，时，平行四边形的周长为． 故答案为：或． 11．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在等腰梯形中，，，如果，，那么梯形的面积为 ． 【答案】9 【详解】解：过点D作交的延长线于点E， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，梯形的面积面积， ∴梯形的面积面积为： 故答案为：9． 12．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，已知梯形中，，，，，那么 ． 【答案】 【详解】解：过点D作交于点F， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴是等腰三角形， 过点D作于点E， 则点E是的中点， ， ∴ 在中， ， 在中， ， 故答案为： 13．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在梯形中，，，．点在边上，将沿着翻折，点的对应点为点．如果，那么的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点G， 在梯形中，，， ∴， ∵将沿着翻折，点B的对应点为点F． ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴， ∴， 设则 由折叠可知， 在中，， ∴， 解得 则， ∴， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平行四边形中，，点是边的中点，作，垂足在线段上，连接，则下列结论： ①；②；③；④． 一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】② 【详解】解析：①是的中点， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即；故①错误； ②如图：延长交延长线于 四边形是平行四边形， ， ， 为中点， ， 在和中， )， ， ， ， 又， ， ， ， ∴，故②正确； ，故③错误； ④， ， ， ，故④错误． 综上②正确． 故答案为：②． 三、解答题 15．（24-25八年级下·上海静安·期中）已知： 如图， 在中，点D、E、F分别为上的点，，且，延长到点 G，使． 求证：互相平分． 【答案】见解析 【详解】证明：连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． 16．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，在平行四边形中，已知对角线与相交于点O，． (1)求的长； (2)求的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴的面积为 17．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知，在平行四边形中，，，点在射线上，直线与直线交于点，于，的延长线与直线交于点． (1)如图，当点在线段上时， ①如果，，求的长； ②连接，求证：； (2)如果，，求的长． 【详解】（1）①解：过点G作，垂足为N，在上取点M，使，如图所示： ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行四边形 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平行四边形的性质求解（重点） 1 题型二、利用平行四边形的性质证明（重点） 2 题型三、判断能否构成平行四边形（重点） 3 题型四、添一个条件成为平行四边形（重点） 4 题型五、证明四边形是平行四边形（重点） 5 题型六、利用平行四边形的判定与性质求解（难点） 6 题型七、利用平行四边形性质和判定证明（难点） 7 题型八、平行四边形中的动态问题（难点） 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平行四边形的性质求解 1．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，对角线相交于点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知的对角线相交于点O，它的周长为，的周长比的周长多，则 ． 3．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，，于E，则 ． 4．（24-25八年级下·上海·月考）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是36，，则四边形的周长为 ．    5．（24-25八年级下·上海·月考）已知等腰梯形的两条对角线互相垂直，高为，则其面积为 ． 题型二、利用平行四边形的性质证明 6．（24-25八年级下·上海宝山·期中）已知：如图，、是平行四边形对角线上的两个点，且．求证：． 7．（24-25八年级下·上海·期中）如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，当，求的长． 8．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，、分别平分、，交于点、． (1)求证：； (2)过点作，垂足为．若平行四边形的周长为，，求的面积． 题型三、判断能否构成平行四边形 9．（24-25八年级下·上海宝山·期末）已知四边形，对角线相交于点O，下列条件中，能判断它是平行四边形的是（   ） A． B． C．， D． 10．（23-24八年级下·上海金山·月考）下列命题中，真命题是（    ） A．一条对角线平分一组对角的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 11．（23-24八年级下·上海金山·期末）已知在中，点E、F分别在边上，连结，下列条件能使四边形一定是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24八年级下·上海金山·期中）如图，在四边形中，对角线和相交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 题型四、添一个条件成为平行四边形 13．（24-25八年级下·上海·月考）在四边形中，对角线和相交于点O，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图在四边形中，若已知，再添加下列条件之一，能使四边形成为平行四边形的条件是（　　） A． B． C． D． 15．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，在四边形中，E是边的中点，联结并延长交的延长线于点F，如果，那么再添加以下一个条件使得四边形是平行四边形，请选出正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级下·上海·期中）如图，是平行四边形的对角线，点、在上，要使四边形是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （只要填写一种情况）． 题型五、证明四边形是平行四边形 17．（24-25八年级下·上海松江·期中）已知，点为对角线的中点，过点分别作直线，，直线交边、于点、，直线交边、于点、．求证：四边形为平行四边形． 18．（23-24八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，在四边形中，，对角线、相交于点，在边的延长线上，且，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，求证：． 19．（24-25八年级下·上海·月考）如图，将的边延长至点E，使，连接，F是边的中点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的面积． 题型六、利用平行四边形的判定与性质求解 20．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如图，梯形中，，，，，则 ． 21．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）如果一个等腰梯形的一个底角为，上底长为3，下底长为5，则其腰长为 ． 22．（24-25八年级下·上海·月考）中，为中点，E为边上一点且，则 ． 23．（24-25八年级下·上海·期中）梯形的上下底分别为3和7，一腰长为6，则另一腰长的取值范围是 ． 24．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，求四边形的面积． 题型七、利用平行四边形性质和判定证明 25．（24-25八年级下·上海·月考）已知：在梯形中，，，垂足为，．求证：． 26．（24-25八年级下·上海·月考）如图，已知和都是等边三角形，点D在边上，点E在边的右侧，连接． (1)求证：； (2)在边上取一点F，使，联结．求证：四边形是等腰梯形． 27．（24-25八年级下·上海·月考）在中，连接，，的角平分线与交于点E，与交于点F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的面积． 28．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）【阅读材料】 老师提出的问题∶ 同学们的方案∶ 如图，在平行四边形中，，为锐角．在对角线上如何确定点、 方案1∶分别作平分平分，交于点、． 的位置，使四边形为平行四边形？ 方案2∶取的两个三等分点、． 方案3∶在上任意取一点，连接，再以为圆心，长为半径画弧，交于点． 【解决问题】 (1)写出以上三种方案中正确方案，并选择一种正确的方案，在图1中画出图形，并说明理由； (2)除了这些同学们已经研究的方案之外，你还有其他方案吗？请写出方案，画出图形，并说明理由． 题型八、平行四边形中的动态问题 29．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角 °． 30．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，点在边上，将沿直线翻折后，点落在点处，如果四边形是平行四边形，那么 ． 31．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在中，，，，点在边上，过点作于，交边于点，将沿直线翻折，点、分别与点、对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是 ． 32．（24-25八年级下·上海青浦·期末）将平行四边形（如图）绕点旋转后，点落在边上，点的对应点为点，且点、、在一直线上．如果，，那么的周长为 ． 33．（24-25八年级下·上海·月考）在中，，，是锐角，将沿直线翻折，对应点分别为，，若落在直线上，且点落在线段的三等分点处，则的面积为 ． 34．（24-25八年级下·上海青浦·月考）如图，在中，为对角线的中点，，．．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点．将线段绕着点逆时针旋特60°得到线段，连结，设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在边上时，求的值． 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海青浦·月考）下列命题中正确的命题的个致是（   ） ①夹在两条平行线之间的平行线段相等； ②多边形的内角中至多有3个锐角； ③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； ④平行四边形的两条对角线把其分成四个等积的小三角形； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海静安·期中）如图，分别以的三边为一边作，，，且点D，E分别在上．若，的面积分别为，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·上海·月考）已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中，能分别作它的两条对角线长的是（   ） A．10与16 B．12与16 C．20与22 D．10与18 A、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、当时，则， ∴，即此时能构成三角形，故此选项符合题意； D、当时，则， ∴，即此时不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题 5．（24-25八年级下·上海·月考）我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“优美平行四边形”．如果一个“优美平行四边形”的一组邻边长为和4，那么它的较长的对角线长为 ． 6．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知平行四边形的周长为48，相邻两边上的高分别为4和8，则平行四边形面积为 ． 7．（24-25八年级下·上海·期中）如图，的对角线相交于点O，，则 ． 8．（24-25八年级下·上海·期中）已知：如图，沿射线平移后得，，若的面积为S，则四边形的面积为 ．（用含S的代数式表示） 9．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，BC=2AB=8，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，点C关于AD的对称点为E，则 10．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知平行四边形一个角的平分线把一条边分成和的两条线段，那么该平行四边形的周长为 ． 11．（24-25八年级下·上海·月考）如图，在等腰梯形中，，，如果，，那么梯形的面积为 ． 12．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如图，已知梯形中，，，，，那么 ． 13．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在梯形中，，，．点在边上，将沿着翻折，点的对应点为点．如果，那么的长为 ． 14．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平行四边形中，，点是边的中点，作，垂足在线段上，连接，则下列结论： ①；②；③；④． 一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 三、解答题 15．（24-25八年级下·上海静安·期中）已知： 如图， 在中，点D、E、F分别为上的点，，且，延长到点 G，使． 求证：互相平分． 16．（24-25八年级下·上海崇明·期中）如图，在平行四边形中，已知对角线与相交于点O，． (1)求的长； (2)求的面积． 17．（24-25八年级下·上海闵行·期末）已知，在平行四边形中，，，点在射线上，直线与直线交于点，于，的延长线与直线交于点． (1)如图，当点在线段上时， ①如果，，求的长； ②连接，求证：； (2)如果，，求的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $