2025-2026学年北师大版八年级数学上册期末模拟卷

2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷（BS版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列各组数据是勾股数的有（   ） ，，；，，；，，；，，；，，． A．组 B．组 C．组 D．组 2.下列各式中，对任意实数a都成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 3．若，则的平方根是（   ） A．7 B． C． D． 4.若点M的坐标为，，轴，且点N在第四象限，那么点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．4 6．下列命题，其中是真命题的为（    ） A．所有无理数都是无限小数 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．若和关于轴对称，则 D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等 7．某生产线共有80名工人，每名工人每天可生产16个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压表和电流表配成套，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 8．直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在等腰中，，，是底边上的中线，则腰上的高的长为（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，…，是等腰直角三角形，它们的斜边都在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，8，…，若的顶点坐标分别为，，，则按图中规律排列，点的坐标是（    ） （第9题） （第10题） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．比较大小： （填入>、或）． 12．若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 13．如下图，直线，与、交于、点，平分交于点，若，则 ． 14.在平面直角坐标系中，点，点，若轴，且，则 ． 15．如图，在中，，，，点在上，延长到点，使，连接，若，则的长为 ． （第13题） （第15题） 三、计算题：本大题共2小题，共8分。 16.计算 （1） (2) 四、解答题（本题共5小题，共63分。17-19题，每题7分；20-20题，每题9分；21题10分；22题13分；24题14分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17.作图题：如图，在平面直角坐标系中，已知 ． (1)求 的面积； (2)若与关于 x 轴对称，写出的坐标并画出 ； (3)已知 P 为 y 轴上一点，求的最小值． 18.如图，在中，为中点，为上的一点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 19．某校体育组为了了解七、八年级学生1分钟跳绳成绩情况，从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的1分钟跳绳成绩（单位：次），进行整理、描述和分析（学生1分钟跳绳成绩用表示，共分四个等级：A．；B．；C．；D．） 下面给出了部分信息． 七年级名学生跳绳成绩在等级的数据是：，，，． 八年级名学生跳绳成绩是：，，，，，，，，，． 七、八年级抽取学生的跳绳成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 下四分位数 上四分位数 七年级 八年级 七年级抽取学生的跳绳成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述表中_____，_____，_____； (2)根据以上信息，你认为该校七、八年级哪个年级跳绳成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)学校规定1分钟跳绳次及以上为优秀，已知七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级跳绳成绩达到优秀的学生共有多少人？ 20．开学季，某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进2个修正带和3个笔袋共需46元；购进1个修正带和2个笔袋共需28元． (1)求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？ (2)该文具店准备购进修正带和笔袋共800个，已知修正带的售价为12元/个，笔袋的售价为15元/个，其中修正带的进货量不低于350个，且不高于450个．在可以全部售出的情况下，求该文具店总利润的最大值是多少？ 21.如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且∠B=90°． (1)求的度数； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 22．问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 23．【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． 【问题提出】 （1）求直线的函数表达式； 【初步探究】 （2）如图1，若M是直线上的动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图2，点D的坐标为，P为x轴正半轴上的动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接，过点Q作轴交于点G，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026八数（培优) 2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷（BS版） 参考答案 1.下列各组数据是勾股数的有（   ） ，，；，，；，，；，，；，，． A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 2.下列各式中，对任意实数a都成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 3．若，则的平方根是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】C 4.若点M的坐标为，，轴，且点N在第四象限，那么点N的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 5．已知方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【详解】解：得，∴， ∵方程组的解满足，∴，解得，故选：D． 6．下列命题，其中是真命题的为（    ） A．所有无理数都是无限小数 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．若和关于轴对称，则 D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等 【答案】A 7．某生产线共有80名工人，每名工人每天可生产16个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表．若分配名工人生产电压表，名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压表和电流表配成套，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】A 8．直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 9．如图，在等腰中，，，是底边上的中线，则腰上的高的长为（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 【详解】解：在等腰中，，， 是底边上的中线，， ∴在直角中，． ，即，，故选：D． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，…，是等腰直角三角形，它们的斜边都在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，8，…，若的顶点坐标分别为，，，则按图中规律排列，点的坐标是（    ） （第9题） （第10题） A． B． C． D． 【详解】解：观察图形可以看出；每个为一组， ，在负半轴，纵坐标为， 的横坐标分别为，则的横坐标为, 的横坐标为，的坐标为．故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11．比较大小： （填入>、或）． 【答案】> 12．若是二元一次方程的一个解，则的值是 ． 【详解】将代入，得：，整理得；， ∴．故答案为：． 13．如图，直线，与、交于、点，平分交于点，若，则 ． 【答案】 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为 ． （图1） （图2） （图3） 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，，∴，，∴，， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时，如图1，∴， 在中，，∴，∴； ②当时，如图2，在中，，， ∴，∴； ③当时，如图3，∵轴与轴互相垂直，即，∴ ∴，综上所述，的长为或或． 15．如图，在中，，，，点在上，延长到点，使，连接，若，则的长为 ． 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵，∴， 又∵，，∴， ∴，，， ∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴， ∵，∴，∴．故答案为：． 16．（1）计算： 【详解】解：（1） ； (2)．解：，将②化简得③，由得，将代入①得，故方程组得解为． 17．如图，在平面直角坐标系中，已知 ． (1)求 的面积； (2)若与关于 x 轴对称，写出的坐标并画出 ； (3)已知 P 为 y 轴上一点，求的最小值． 【详解】（1）解：的面积为； （2）解：∵与关于 x 轴对称，， ∴；如图所示，为所求： （3）解：如上图，作点关于轴的对称点，连接交y轴于点P， ∵点B和点关于轴对称， ∴，∴，∴的最小值为． 18.如图，在中，为中点，为上的一点，连接并延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，连接，平分，平分，求的度数． 【详解】（1）证明：∵D为中点，∴. 在和中，∴，∴，∴； （2）解：∵平分，∴， ∵，∴，∴. ∵，∴，解得. 19．跳绳是重庆中考体育必考项目之一，某校体育组为了了解七、八年级学生1分钟跳绳成绩情况，从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的1分钟跳绳成绩（单位：次），进行整理、描述和分析（学生1分钟跳绳成绩用表示，共分四个等级：A．；B．；C．；D．） 下面给出了部分信息． 七年级名学生跳绳成绩在等级的数据是：，，，． 八年级名学生跳绳成绩是：，，，，，，，，，． 七、八年级抽取学生的跳绳成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 下四分位数 上四分位数 七年级 八年级 七年级抽取学生的跳绳成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述表中_____，_____，_____； (2)根据以上信息，你认为该校七、八年级哪个年级跳绳成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)学校规定1分钟跳绳次及以上为优秀，已知七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级跳绳成绩达到优秀的学生共有多少人？ 【详解】（1）解：七年级名学生跳绳成绩在等级的数据有4个，占比为，∴等级的占比为，则等级人数为：个，∴中位数是第和第个数的平均数，即 八年级名学生跳绳成绩从小到大排列：，，，，，，，，，．则下四分位数为第个数据，是，即， 故答案为：，，． （2）八年级跳绳成绩更好，理由如下， 八年级跳绳成绩的中位数，上下四分位数都比七年级的好，整体成绩比七年级的好， （3）人 答：估计该校七、八年级跳绳成绩达到优秀的学生共有人 20．开学季，某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进2个修正带和3个笔袋共需46元；购进1个修正带和2个笔袋共需28元． (1)求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？ (2)该文具店准备购进修正带和笔袋共800个，已知修正带的售价为12元/个，笔袋的售价为15元/个，其中修正带的进货量不低于350个，且不高于450个．在可以全部售出的情况下，求该文具店总利润的最大值是多少？ 【详解】（1）解：设修正带进价为元／个，笔袋进价为元／个， 根据题意，可得，解得． 答：修正带进价为8元／个，笔袋进价为10元／个． （2）解：设文具店修正带进货量为个，总利润为元，则， ，随着的增大而减少， 又修正带的进货量不低于350个，且不高于450个，即， 当修正带的进货量为350个时，总利润的最大值为3650元． 答：该文具店总利润的最大值是3650元． 21.如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且∠B=90°． (1)求的度数； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， ∵，， 在中，有， ∴是直角三角形，∴，∴． （2）这辆车不能被摄像头监控到，理由如下： 过点D作，交的延长线于M，由（1）知，， ∴， ∵，∴， ∴是等腰直角三角形，即， 即点M为摄像头能监控的最远位置， 在中，， ∵车到点B离为，，∴车到点A离为， ∵，∴这辆车不能被摄像头监控到． 22．问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究． (1)观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程． (2)深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明． (3)问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则． 【详解】（1）证明：如图：过点作， ∵，∴， ∴ ∴． （2）证明：如图：过点作， ∵，∴， ∴， ∴． ∴     （3）解：如图：过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由（1）的结论可知， 故答案为：． 23．【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． 【问题提出】 （1）求直线的函数表达式； 【初步探究】 （2）如图1，若M是直线上的动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图2，点D的坐标为，P为x轴正半轴上的动点，以点P为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接，过点Q作轴交于点G，求的最小值． 【详解】(1) 解：将代入，则，∴点C的坐标为， 设直线的函数表达式为，将点，代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为； (2) 存在．令，解得，∴点B的坐标为， ∵点，，∴，，，∴， ∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴当时，，解得，点M的坐标为； 当时，，解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得； (3) 如图，连接， ∵，∴当C，Q，D三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 24．如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 【详解】（1）证明∶∵，，，， ∴， ∵，∴，∴． （2）解：①设，则，∴， ∴，即，解得：（已舍弃负值），∴． ②根据勾股定理得，， ∵，∴，即，解得：． 故答案为：． 25．已知，在中，， (1)如图1，若的两个顶点、分别为直线与坐标轴的交点． ①求出、的坐标； ②求出点的坐标； (2)如图2，，分别是坐标轴上两点，若的顶点是轴正半轴上的动点，顶点在第一象限内，过，两点作直线，交轴于点．在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求的长度；若改变，请说明理由． 【详解】（1）解：当时，，点的坐标是， 当时，可得：，解得：，点的坐标是； 解：如下图所示，过点作轴，，， ，，， 在和中，，，，， 点的坐标是，点的坐标是，，，，， ，点的坐标是； （2）解：，理由如下： 如下图所示，过点作轴，，， ，，， 在和中，，，，， 设点的坐标是，则，， 点的坐标是，，，点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入，可得：，解得：， 直线的解析式是， 当时，，点的坐标是，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $