专题01 幂的运算的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题01 幂的运算的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、幂的混合运算 类型二、零指数幂、负整数指数幂的运算 类型三、逆用幂的相关公式求值 类型四、利用幂的乘方比较大小 类型五、与幂的运算有关的新定义型问题 压轴专练 类型一、幂的混合运算 1.运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同底数幂相乘，底数不变指数相加；相除则指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘。 2.符号处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。混合运算中先确定符号，再算绝对值，避免符号错误。 例1．（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，同底数幂相除，底数不变，指数相减，再合并同类项计算即可． 【详解】解： ． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，属于基础题型，计算时注意运算法则的准确运用． （1）先计算幂的乘方和积的乘方，再计算单项式的乘除； （2）原式变形为，将看成整体，根据同底数幂的除法法则计算解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川内江·月考）化简． (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法和除法运算法则，积的乘方运算法则，进行计算即可； （2）将看作一个整体，利用幂的乘方运算法则，同底数幂除法和乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】化简或化简求值 (1)． (2)，其中，． 【答案】(1) (2)，2 【分析】（1）先算括号中幂的乘方，再算括号中的除法，最后算乘方和乘法即可； （2）先根据乘法公式算乘法，合并同类项，算除法，最后代入求出即可； 【详解】（1）解：原． （2）原， 当，时， 原式 类型二、零指数幂、负整数指数幂的运算 。零指数幂：任何非零数的零次幂等于1，注意底数不为零。 负整数指数幂：a⁻ⁿ= 1/aⁿ（a≠0），即取倒数再算正指数。 技巧：先统一底数，化负为正，结合幂的运算法则；注意底数非零条件，结果常以正指数形式呈现。运算时细心避免符号与指数混淆。 例2．（25-26九年级上·广东广州·月考）计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了含负整数指数幂和零指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的计算公式． 分别计算乘方、负整数指数幂和零指数幂，再进行加减计算． 【详解】解： 【变式2-1】（25-26八年级上·青海海东·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查零次幂及负指数幂，熟练掌握零次幂及负指数幂是解题的关键；根据乘方运算、零次幂及负指数幂进行求解即可． 【详解】解：原式． 【变式2-2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂和负整数幂的意义，先根据乘方、绝对值、零指数幂和负整数幂的意义化简，再算加减即可． 【详解】解：原式． 【变式2-3】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握相关幂的运算法则是解题的关键． 先计算幂的运算、负整数指数幂、零指数幂及绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 类型三、逆用幂的相关公式求值 1.开方运算：是乘方的逆运算。若an = b（n为正整数），则a是b的n次方根。正数偶次方根有两个（互为相反数），奇次方根唯一；负数奇次方根为负，偶次方根无意义；0的方根是0。 2.应用要点：逆运算需注意底数、指数限制（如对数底数和真数范围），结合乘方、指数法则逆向推导，解决方程求解等问题。 例3．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 【变式3-1】（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）（1）已知，，求①；②的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）①12；②；（2）16 【分析】本题主要考查了同底数幂除法及其逆运算，幂的乘方及其逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）分别根据同底数幂乘法和同底数幂除法的逆运算求解即可； （2）先根据幂的乘方得到原式，再根据同底数幂除法的法则求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ①； ②； （2）∵， ∴， ∴． 【变式3-2】（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【答案】(1)x的值为1 (2)184 【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ， 解得； （2）解：， ， 原式． 【变式3-3】（25-26八年级上·四川内江·月考）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：，求x的值 (2)已知，求x的值． (3)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）逆用幂的乘方运算法则和同底数幂乘法运算法则得到，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）逆用积的乘方和幂的乘方运算法则得出，据此得出方程，解方程即可得到答案； （3）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型四、利用幂的乘方比较大小 1. 转化底数法：当底数不同但可化为同底数时，用幂的乘方将幂转化为同底数幂，再比较指数大小（底数>1时，指数大则幂大；0<底数<1时相反）。 2. 转化指数法：底数难统一时，将指数化为相同，通过幂的乘方变形成同指数幂，比较底数大小（指数为正，底数大则幂大）。 3. 中间值过渡：若底数、指数均难统一，借助中间值（如1、10等），分别比较两数与中间值的大小，间接判断关系，需注意符号对大小的影响。 例4．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级上·山东滨州·月考）比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则（），将不同的幂转化为同底数或同指数的形式进行比较是解题的关键． （1）将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数大小； （2）将三个幂转化为底数相同的形式，再比较指数大小． 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴； （2）解：，，， ， ， ． 【变式4-2】（25-26八年级上·福建泉州·月考）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)C (2)；，，之间存在等量关系，证明见解析 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可． （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，即可得答案；根据 ，可得，利用幂的乘方运算和同底数幂的乘法运算法则即可得到，，之间存在等量关系． 【详解】（1）解：上述求解过程中，逆用幂的乘方运算性质， 故选：C． （2）解：，，且， ． ，，之间存在等量关系． 证明：，，，， ， ， ， ． 【变式4-3】（24-25六年级下·山东淄博·月考）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （2）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （3）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （4）仿照材料中的例题，比较大小即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∵， ∴， 即； （2）∵，，， ∵， ∴， 即； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵，， 又∵， ∴． 类型五、与幂的运算有关的新定义型问题 1.理解新定义：紧扣题目给出的新运算规则（如自定义幂的运算符号、新公式），明确底数、指数的变化逻辑，对比常规幂运算找异同，避免混淆。 2.转化应用：将新定义转化为熟悉的幂运算形式，运用同底数幂、幂的乘方等法则推导，结合新规则中的限制条件（如底数范围、指数特殊规定）逐步计算。 3.验证与拓展：通过简单例子验证对新定义的理解，再解决复杂问题；注意新定义下公式的逆向运用，灵活处理含字母的化简或求值。 例5．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【变式5-1】定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 【答案】(1)96 (2)96 (3)2 【知识点】有理数的乘方运算、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法以及幂的乘方进行计算即可求解； （3）根据新定义得出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， （2）∵， ∴ ． （3）因为， 即， 即， 所以． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式5-2】我们给出以下两个定义： ①三角形  ；②3×3的方格图   请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：  =__________ (2)填空：  =____________ (3)若  ，求   【答案】(1)16 (2)48 (3)18 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂相乘 【分析】（1）根据①中所给公式直接进行求解即可； （2）根据②中所给公式直接进行求解即可； （3）根据题中所给公式直接代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：   ； 故答案为16； （2）解：由题意得：   ； 故答案为48； （3）解：由题意得：， ∴， ∴． 【变式5-3】在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 【答案】(1)①4 ；②0 ；③2 (2) (3) 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】此题考查了同底数幂的乘法及除法逆运算， 弄清题中的新定义是解本题的关键 ． （1） 各项根据题中的新定义计算即可得到结果； （2） 利用对数的运算法则变形即可得到结果； （3） 利用已知的新定义化简即可得到结果 ． 【详解】（1）解： ① ； ② ； ③， ； 故答案为：4，0，2； （2）解：； 故答案为：； （3）解：设，，则，，（且，、均为正数） ， ， ，则， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·吉林·月考）下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则是解题的关键． 根据幂的运算法则进行逐项计算，即可作答． 【详解】解：A、， B、， C、无法合并，不等于， D、， 故选：D． 2．（云南省玉溪市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘，合并同类项，积的乘方，同底数幂相除，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知，则的值为 （　　） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题主要考查幂的乘方公式以及同底数幂的乘法公式，熟练掌握公式是解题的关键； 先利用幂的乘方法则把变为同底数幂相乘的形式，继而根据同底数幂的乘法法则得到，再根据，利用等式的性质得出，即可得出的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·期末）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘方、负整数指数幂、零指数幂运算和有理数比较大小，熟练掌握运算法则是解题的关键． 计算各表达式的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， ∴ ，，，， ∴． 故选：B． 5．（25-26八年级上·全国·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算性质、代数式的化简求值，掌握幂的乘方和积的乘方运算法则是解题关键． 利用幂的乘方和积的乘方运算，结合推出，再化简并计算其次幂，得到结果． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 二、填空题 6．（25-26九年级上·上海静安·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先计算幂的乘方，再根据同底数幂的除法法则进行运算即可． 【详解】解： = = = = = ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握指数运算性质是解题的关键． 将带分数转换为假分数，利用指数运算性质合并底数，结合负数的奇次幂性质计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏·假期作业）若，，，，则a，b，c，d的大小关系是 ．（提示：，n为正整数，那么） 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，有理数大小的比较；熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键．先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海黄浦·月考）若等式成立，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了零指数幂以及乘方运算，掌握相关运算法则是解题关键，注意分类讨论．根据零指数幂的性质，乘方的运算法则分类讨论求解即可． 【详解】解：①当时，解得：， ∴ 此时，符合题意； ②当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； ③当时，解得：， ∴， 此时，符合题意； 综上可知，x的值为或或． 故答案为：或或． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算：（1） ； ． （2）若，则的值为 ． （3）已知，则a，b，c三者之间的数量关系是 ． 【答案】 27 【分析】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，同底数除法的逆运算，同底数幂乘法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方和单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （2）根据题意可得，则，再根据可得答案； （3）可求出，则，据此可得答案． 【详解】解：（1），， 故答案为：；； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·上海黄浦·月考）计算： 【答案】 【分析】此题考查了乘方，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 12．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），解题关键是熟练掌握幂的各种运算法则并准确运算． （1）先分别用幂的乘方、积的乘方化简各项，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项； （2）同理，先化简幂的乘方、积的乘方，再算同底数幂的乘除，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ， ， ． （2）解： ， ， ． 13．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、单项式乘以单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算单项式乘以单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得答案； （2）先化简绝对值、计算有理数的乘方、负整数指数幂与零指数幂，再计算加减法即可得答案． 【详解】（1）解： ； （2） ． 14．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法； （1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·全国·周测）定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当，，时， ． 16．（25-26八年级上·吉林长春·周测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查积的乘方的逆运算、幂的大小的比较以及有理数的混合运算等知识，解答的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据“对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有”比较大小即可； （2）将与化为指数相同的幂，然后再根据“当同指数时，底数大的幂也大”即可进行比较大小； （3）首先将和化为指数相同的幂，将和也化为指数相同的幂，再根据积的乘方逆运算进行运算，然后进行减法运算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意，对于同指数，不同底数的两个幂和， 当时，则有， ∴． 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴； （3）原式 ． 17．（2025七年级上·全国·专题练习）尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求m的值； (2)若，求值； (3)若，，用含a的代数式表示b． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘法以及积的乘方，列代数式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方逆运算将原式化为，根据同底数幂的乘除法运算法则得到，再解方程即可； （2）由条件可得，再由平方根的定义求解a，由幂的乘方逆运算得到，再求解b，即可求解的值； （3）先将转换为，再代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：，， ，， ，， ， 或； （3）解：， ， ， ， ， ， ． 18．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 【答案】(1)3 (2)相等 (3)4 【分析】本题考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算，同底数幂的乘法和除法运算等知识点． （1）先由幂的乘方得到，再由同底数幂的乘法运算法则得到，则，解方程即可； （2）将化为，再由幂的乘方化简比较即可； （3）设，则，设，则，再根据通过幂的运算性质推导求值． 【详解】（1）解： ， 解得； （2）解：，故相等； （3）解：设，则， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 所以，即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂的运算的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、幂的混合运算 类型二、零指数幂、负整数指数幂的运算 类型三、逆用幂的相关公式求值 类型四、利用幂的乘方比较大小 类型五、与幂的运算有关的新定义型问题 压轴专练 类型一、幂的混合运算 1.运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内。同底数幂相乘，底数不变指数相加；相除则指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘。 2.符号处理：负数的偶次幂为正，奇次幂为负。混合运算中先确定符号，再算绝对值，避免符号错误。 例1．（25-26七年级上·上海·期中）计算：． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式1-2】（25-26八年级上·四川内江·月考）化简． (1) ； (2)． 【变式1-3】化简或化简求值 (1)． (2)，其中，． 类型二、零指数幂、负整数指数幂的运算 。零指数幂：任何非零数的零次幂等于1，注意底数不为零。 负整数指数幂：a⁻ⁿ= 1/aⁿ（a≠0），即取倒数再算正指数。 技巧：先统一底数，化负为正，结合幂的运算法则；注意底数非零条件，结果常以正指数形式呈现。运算时细心避免符号与指数混淆。 例2．（25-26九年级上·广东广州·月考）计算：． 【变式2-1】（25-26八年级上·青海海东·期末）计算：． 【变式2-2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）计算： 【变式2-3】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）计算：． 类型三、逆用幂的相关公式求值 1.开方运算：是乘方的逆运算。若an = b（n为正整数），则a是b的n次方根。正数偶次方根有两个（互为相反数），奇次方根唯一；负数奇次方根为负，偶次方根无意义；0的方根是0。 2.应用要点：逆运算需注意底数、指数限制（如对数底数和真数范围），结合乘方、指数法则逆向推导，解决方程求解等问题。 例3．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【变式3-1】（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）（1）已知，，求①；②的值． （2）已知，求的值． 【变式3-2】（25-26八年级上·湖北·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【变式3-3】（25-26八年级上·四川内江·月考）在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)已知：，求x的值 (2)已知，求x的值． (3)若，求的值； 类型四、利用幂的乘方比较大小 1. 转化底数法：当底数不同但可化为同底数时，用幂的乘方将幂转化为同底数幂，再比较指数大小（底数>1时，指数大则幂大；0<底数<1时相反）。 2. 转化指数法：底数难统一时，将指数化为相同，通过幂的乘方变形成同指数幂，比较底数大小（指数为正，底数大则幂大）。 3. 中间值过渡：若底数、指数均难统一，借助中间值（如1、10等），分别比较两数与中间值的大小，间接判断关系，需注意符号对大小的影响。 例4．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【变式4-1】（25-26八年级上·山东滨州·月考）比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 【变式4-2】（25-26八年级上·福建泉州·月考）阅读与思考 请阅读以下材料并解答相应的问题． 小丽在学习了“幂的运算法则”后，总结了两种幂的比较大小的方法： 方法一：化同指数幂比较底数大小． 例如：若，，则，的大小关系是____．（填“”或“”） 解：，，且， ， ． 方法二：化同底数幂比较指数大小． 例如：比较，，的大小． 解：，，，且， ． (1)上述求解过程中，逆用幂的运算性质是____．（填选项） A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较与的大小． 已知，，．则，，之间是否存在等量关系？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（24-25六年级下·山东淄博·月考）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 类型五、与幂的运算有关的新定义型问题 1.理解新定义：紧扣题目给出的新运算规则（如自定义幂的运算符号、新公式），明确底数、指数的变化逻辑，对比常规幂运算找异同，避免混淆。 2.转化应用：将新定义转化为熟悉的幂运算形式，运用同底数幂、幂的乘方等法则推导，结合新规则中的限制条件（如底数范围、指数特殊规定）逐步计算。 3.验证与拓展：通过简单例子验证对新定义的理解，再解决复杂问题；注意新定义下公式的逆向运用，灵活处理含字母的化简或求值。 例5．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【变式5-1】定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 【变式5-2】我们给出以下两个定义： ①三角形  ；②3×3的方格图   请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：  =__________ (2)填空：  =____________ (3)若  ，求   【变式5-3】在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 一、单选题 1．（25-26八年级上·吉林·月考）下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 2．（云南省玉溪市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知，则的值为 （　　） A．8 B．16 C．32 D．64 4．（25-26八年级上·全国·期末）若，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·全国·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·上海静安·期末）计算： ． 7．（25-26七年级上·上海·期中）计算： ． 8．（25-26七年级上·江苏·假期作业）若，，，，则a，b，c，d的大小关系是 ．（提示：，n为正整数，那么） 9．（24-25七年级上·上海黄浦·月考）若等式成立，则的值为 ． 10．（25-26八年级上·福建厦门·期末）计算：（1） ； ． （2）若，则的值为 ． （3）已知，则a，b，c三者之间的数量关系是 ． 三、解答题 11．（24-25七年级上·上海黄浦·月考）计算： 12．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）计算： (1) (2) 13．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 14．（25-26八年级上·四川巴中·期中）计算下面各题： (1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 15．（24-25七年级下·全国·周测）定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 16．（25-26八年级上·吉林长春·周测）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：_______（填写、或）． (2)比较与的大小（写出比较的具体过程）． (3)计算：． 17．（2025七年级上·全国·专题练习）尝试解决下列有关幂的问题： (1)若，求m的值； (2)若，求值； (3)若，，用含a的代数式表示b． 18．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 当m，都是正整数． ①若，当时，；当时，；当时，． ②若，，当时，；当时，；当时，． 【理解知识】例如： ①若，求的值． 解：法一：． 法二：． ②比较与的大小． 解：． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． (1)若，求的值． (2)比较与的大小． (3)定义两个正数之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：．求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $