专题03 平面向量基本定理及坐标表示（思维导图+5大知识点+10大题型）讲义-2026年高一数学寒假核心知识精讲与题型强化突破（人

专题03 平面向量基本定理及坐标表示 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：平面向量基本定理 4 知识点二：平面向量的坐标表示 4 知识点三：平面向量的坐标运算 5 知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示 5 知识点五：向量数量积的坐标表示 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：平面向量基本定理的理解与应用 6 题型二：运用平面向量基本定理证明三点共线 8 题型三：平面向量坐标的运算方法与技巧 11 题型四：平面向量平行关系的坐标表示及判定 12 题型五：平面向量数量积的坐标表示与运算规则 13 题型六：夹角问题 16 题型七：模长问题 19 题型八：投影向量问题 21 题型九：垂直问题 22 题型十：平面向量数量积的综合题型解析 23 05 强化训练 29 知识点一：平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 知识点二：平面向量的坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 知识点诠释： 如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 知识点三：平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运 算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则=（，） 知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则∥，即，或． 知识点诠释： 若，则∥不能表示成因为分母有可能为0． 知识点五：向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 题型一：平面向量基本定理的理解与应用 【典例1-1】（2025·高一·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在中，点在边上，由，得， 则，即，而，， 所以． 故选：B 【典例1-2】（2025·高一·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】因为，是平面内一组不共线的向量， 设，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误； 设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误； 设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误； ，，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确； 故选：D. 【变式1-1】（2025·高一·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 【变式1-2】（2025·高一·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 【变式1-3】（2025·高一·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 题型二：运用平面向量基本定理证明三点共线 【典例2-1】（2025·高一·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 【解析】（1）由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以， （2）因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 【典例2-2】（2025·高一·湖北·月考）设是不共线的两个向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 【解析】（1）证明：， ， 又因为与共线，且有公共点, 所以三点共线. （2）因为与共线，所以存在实数，使得 即. 由与不共线，可知，解得， 所以， 即实数的值为或. 【变式2-1】（2025·高一·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【解析】（1）由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 【变式2-2】（2025·高一·北京·月考）三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 【解析】（1）如图， （2）因为E为的中点，D为边上靠近点B的三等分点， 所以， 则， 所以； . （3）因为， 所以， 所以，即， 所以， 又因为有公共点， 所以三点共线. 【变式2-3】（2025·高一·上海奉贤·期中）如图，在中，分别是的中点，，． (1)用表示； (2)求证：三点共线． 【解析】（1）因为分别是的中点， 所以，， 又， 所以． （2）证明：由（1）得，， ， 所以，且有公共点， 所以三点共线． 题型三：平面向量坐标的运算方法与技巧 【典例3-1】（2025·高一·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以. 故选：A. 【典例3-2】（2025·高一·江苏南京·月考）若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，， 所以. 故选：C. 【变式3-1】（2025·高一·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 解得. 故选：C 【变式3-2】（2025·高一·北京丰台·期末）已知向量，，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量的减法法则得， 且，，则，故C正确. 故选：C 【变式3-3】（2025·高一·广西百色·期末）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以. 故选：D. 题型四：平面向量平行关系的坐标表示及判定 【典例4-1】（2025·高一·辽宁沈阳·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解析】由题意若，则，解得，故C正确. 故选：C. 【典例4-2】（2025·高一·辽宁大连·期末）已知平面向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 解得. 故选：A 【变式4-1】（2025·高一·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】由，，得， 因为，，所以，解得． 故选：C． 【变式4-2】（2025·高一·江苏盐城·期中）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，则，， 由，得，解得. 故选：B 【变式4-3】（2025·高一·云南文山·期中）已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】因为，，且， 所以向量、不共线，且向量，方向相反， 所以存在实数使， 即， 所以，整理得，解得或， 又，所以. 故选：B. 题型五：平面向量数量积的坐标表示与运算规则 【典例5-1】（2025·高一·广东湛江·月考）在边长为3正方形ABCD中，E为线段上靠近B的三等分点，计算（   ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】以为原点建立如图所示直角坐标系，是上靠近点的三等分点，且边长为3， 所以，所以， 所以. 故选：A. 【典例5-2】（2025·高一·海南海口·期末）已知四边形为矩形，，，是的中点，则（   ） A． B． C．3 D．7 【答案】A 【解析】由题，以点为坐标原点，分别以，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 则，，则，故A正确； 故选：A. 【变式5-1】（2025·高一·甘肃临夏·期末）在直角梯形中，已知，点是边的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有， 设，则， 且， 由， 因，故. 故选：D. 【变式5-2】已知正方形的边长为2，点是的中点，点是对角线上的动点，则的最大值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】以为坐标原点，方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示： 则，，， 设，则，，所以． 所以当时，取得最大值为2． 故选：B． 【变式5-3】（2025·高一·江苏南通·月考）在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 因为在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则， 所以， 所以. 故选：A. 题型六：夹角问题 【典例6-1】（2025·高三·天津河西·月考）已知向量，，，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为，化简得，所以， 所以，而， 所以向量与的夹角是. 故选：C 【典例6-2】（2025·高一·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 【变式6-1】（2025·高一·广东梅州·期末）如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 而，从而， 所以. 故选：A. 【变式6-2】（2025·高一·四川达州·期末）已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】由已知，， 所以向量与的夹角的余弦值为. 故选：D. 【变式6-3】（2025·高一·重庆·期中）如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 以为坐标原点，，所在方向分别为轴和轴建立平面直角坐标系， 则，，，，，设， ，，，， 与共线，设，，即， 与共线，设，，即， ，解得，， ， ，， ，， ， . 故选：A. 题型七：模长问题 【典例7-1】（2025·高一·福建三明·期中）已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【解析】因为向量，，所以， 由得，即， 解得. 故选：B 【典例7-2】（2025·高一·浙江·月考）已知，，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知， 则， 又， 即， 解得， 故选：D. 【变式7-1】（2025·高一·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】以为原点建立平面直角坐标系，如图： 设（），则，所以，， 所以，， 由，又，所以. 所以. 故选：B 【变式7-2】（2025·安徽马鞍山·三模）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为向量，且， 则，即，可得， 则，所以. 故选：A. 【变式7-3】（2025·高一·江苏常州·期中）已知向量，，，则m的值为（   ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 【答案】D 【解析】向量，，故， 所以，解得或2． 故选：D． 题型八：投影向量问题 【典例8-1】（2025·高一·内蒙古乌海·期中）已知向量，，向量在向量方向上的投影向量为 .（用坐标表示） 【答案】 【解析】由于，则，即与向量方向相同的单位向量为， 又，则， ∴向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为： 【典例8-2】（2025·高一·新疆喀什·期中）已知向量，的夹角为且，，则在上投影向量的坐标为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 则在上投影向量为. 故答案为：. 【变式8-1】（2025·高一·河南商丘·月考）已知向量，，，则向量在上的投影向量为 ． 【答案】 【解析】因，则， 又因，，则， 则， 则向量在上的投影向量为. 故答案为： 【变式8-2】（2025·高三·海南海口·月考）知，，，则在上的投影向量是 ．（用坐标表示） 【答案】 【解析】因为，， 所以在上的投影向量， 故答案为： 【变式8-3】已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量方向的投影向量为 【答案】 【解析】由，得，则， 又，为单位向量，则，， 所以向量在向量方向的投影向量为. 故答案为： 题型九：垂直问题 【典例9-1】（2025·高一·山东潍坊·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，若，则 . 【答案】 【解析】，，，得，. 故答案为： 【典例9-2】（2025·高一·山东潍坊·期末）已知向量，，若与垂直，则 ． 【答案】 【解析】由题设，则，即， 又，则. 故答案为： 【变式9-1】（2025·高一·广西南宁·期中）设向量，，且，则 ． 【答案】或 【解析】由题设， 所以或. 故答案为：或 【变式9-2】（2025·高三·上海·月考）已知向量，，若，则实数m = 【答案】 【解析】因为，且， 所以，解得. 故答案为： 【变式9-3】（2025·高一·浙江杭州·月考）已知向量，若，则 . 【答案】 【解析】由题设，且， 所以，则. 故答案为： 题型十：平面向量数量积的综合题型解析 【典例10-1】（2025·高一·云南曲靖·开学考试）如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 则， 所以，解得. （2）由四边形为菱形，，为等边三角形， 以为坐标原点，以为轴建立如图所示平面直角坐标系， 设，则， 则， 则， 由，可得， 解得， 又，则， 即实数的取值范围为． 【典例10-2】（2025·高一·浙江杭州·期中）在中，，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且. (1)当时，若，求的值； (2)当时，求的值. 【解析】（1）由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则， ，、，又D为AC边上的中点，， 当时，E为BC边上的中点，，即、、， 又，，即，解得， . （2）设，则，又，，， 、，又，，即，解得， ，解得. 【变式10-1】（2025·高一·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 【解析】（1）因为，， 所以 ， 又三点共线， 所以，即. （2）（ⅰ）因为为的中点，所以， 由（1）知，，则，即为的重心． 建立如图所示的平面直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以， 所以. （ⅱ）建立与（ⅰ）相同的平面直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 即，所以，即或， 因为，所以，又因为， 所以，则． 【变式10-2】（2025·高一·北京朝阳·期末）已知向量，且． (1)证明：向量； (2)求与夹角的大小； (3)求的最小值． 【解析】（1）因为向量， 由，得． 解得，则． 因此． （2）由（1）知，则． 又，则． 设与夹角为，因此． 又，则，所以与夹角为． （3）由（2）知，，则， 因此， 当且仅当时取等号． 所以最小值为． 【变式10-3】（2025·高一·湖北武汉·期末）如图，已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，. (1)求顶点的坐标； (2)求向量与向量所成角的余弦； (3)求向量与向量上的投影向量的坐标. 【解析】（1）设.∵，，，∴，. 又四边形是平行四边形，∴，∴，即，解得. ∴顶点的坐标为. （2）由（1）可知，， ∴向量与向量所成角的余弦为. （3）∵，， ∴向量与向量上的投影向量的坐标为. 1．（25-26高一上·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 三点共线，， ，， ，，故选项C正确. 故选：C. 2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 3．（2025高一上·浙江温州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，因为四边形是正方形，所以，所以， 因为，所以，又因为，所以， 所以，即得，解得或，因为，所以不合题意舍去， 所以， 所以点. 故选：A. 4．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，，. 因为，的夹角为锐角， 所以且不存在实数使得，即，不共线. ①，因为， 所以，解得. ②，不共线，若，共线，则， 整理得，解得或， 所以且，综上，且. 故选：D. 5．（2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， 又因为，所以， 设，则， 所以，解得， 故选：B. 6．（多选题）（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 【答案】BC 【解析】因为，当时，不一定共线，所以A错误； 因为是一组基底，所以不共线， 假设共线，则存在实数使得，那么， 则共线，与已知条件矛盾，所以不共线，所以也是一组基底，B正确； 由可知向量共线，结合点B为公共点，故A、B、C三点共线，C正确； 因为，若且，则不存在实数使得，所以D错误. 故选：BC. 7．（多选题）（23-24高一下·福建厦门·月考）已知向量，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 【答案】ABD 【解析】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，，则有、， 即与向量平行的单位向量有、，故C错误； 对于D，，所以向量与向量的夹角为，故D正确． 故选：ABD 8．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .    【答案】 【解析】由题意可得，， 因为三点共线，所以设， 则， 则， 由平面向量基本定理可得，，得. 故答案为： 9．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知向量，，若，则 【答案】/0.5 【解析】因为向量，， 所以， 又， 所以， 解得. 故答案为： 10．（25-26高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 【解析】（1）由题意得，， 则， 又，所以，得； （2）设，则，即， 因为，，所以，即， 故或， 故向量的坐标为或. 11．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知平面向量，，. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 【解析】（1）因为平面向量，，，且， 所以. 则有，解得. （2）因为平面向量，，， 所以，解得，所以向量，， 所以. 所以. 12．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (1)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 【解析】（1）证明：因为所以， 所以，整理得； （2）设， 则 ， 又 ， 由平面向量基本定理得所以，解得 13．（25-26高一上·辽宁·期末）在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 【解析】（1）因为，所以 ① 因为E，P，F三点共线，所以设，则， 即② （1）因为，即 设，代入①则有，因为E，P，F三点共线，     所以，解得，所以. （2）由题，，代入①可知，， 由②得：所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为1. 14．（25-26高一上·山东日照·月考）平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 【解析】（1），即， ，解得． （2），， ， ，即，解得． 15．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知平面向量，. (1)若，求的值. (2)若，求的值. 【解析】（1）∵，且， ∴， ∴， ∴. （2）∵，且， ∴， ∵若，则，这与矛盾. ∴，∴，∴. ∴. 16．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知向量满足，且与的夹角为． (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 【解析】（1）由题意可得， 所以， 所以. （2）因为，所以， 解得. （3）因为向量与平行， 所以存在实数使得， 所以，即解得或. 17．（23-24高一下·福建厦门·月考）已知，，三点共线，且，，若点的纵坐标为4， (1)求点的横坐标； (2)O为坐标原点，求向量在向量上的投影向量． 【解析】（1）由题可设点的坐标为， 因为，，三点共线， 所以， 由于,, 则, 解得：, 所以点的横坐标为; （2）由(1)可得, 所以, 则, , 向量在向量上的投影向量为 即向量在向量上的投影向量为 18．（23-24高一下·福建厦门·期中）在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求的取值范围． 【解析】（1）当时，依题意知，，，. 则， . 因为，， . 所以. 因此. 因为， ，， 所以，，所以 . （2）由题意， . 则. 因为，， ， 所以， 由题意知，， 所以的取值范围是， ∴的取值范围是． 19．（24-25高一下·贵州·月考）已知向量，，且. (1)求在上的投影向量； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数m的取值范围. 【解析】（1）因为，， 所以， 由，可得， 即，解得， 所以， 又与同方向的单位向量，， 故在上的投影向量为. （2），， 向量与的夹角为钝角的充要条件是，且向量与 不共线，即， 解得且， 故m的取值范围是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量基本定理及坐标表示 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：平面向量基本定理 4 知识点二：平面向量的坐标表示 4 知识点三：平面向量的坐标运算 5 知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示 5 知识点五：向量数量积的坐标表示 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：平面向量基本定理的理解与应用 6 题型二：运用平面向量基本定理证明三点共线 7 题型三：平面向量坐标的运算方法与技巧 8 题型四：平面向量平行关系的坐标表示及判定 8 题型五：平面向量数量积的坐标表示与运算规则 9 题型六：夹角问题 10 题型七：模长问题 11 题型八：投影向量问题 11 题型九：垂直问题 12 题型十：平面向量数量积的综合题型解析 12 05 强化训练 15 知识点一：平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 知识点二：平面向量的坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 知识点诠释： 如果基底的两个基向量e1、e2互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 知识点三：平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运 算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则=（，） 知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则∥，即，或． 知识点诠释： 若，则∥不能表示成因为分母有可能为0． 知识点五：向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 题型一：平面向量基本定理的理解与应用 【典例1-1】（2025·高一·贵州毕节·期中）中，点在边上，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2025·高一·湖北黄冈·期中）若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-1】（2025·高一·黑龙江双鸭山·期中）如图，已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高一·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2025·高一·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 题型二：运用平面向量基本定理证明三点共线 【典例2-1】（2025·高一·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 【典例2-2】（2025·高一·湖北·月考）设是不共线的两个向量. (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数的值. 【变式2-1】（2025·高一·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【变式2-2】（2025·高一·北京·月考）三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 【变式2-3】（2025·高一·上海奉贤·期中）如图，在中，分别是的中点，，． (1)用表示； (2)求证：三点共线． 题型三：平面向量坐标的运算方法与技巧 【典例3-1】（2025·高一·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，，，则向量（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·高一·江苏南京·月考）若，，则的坐标为（ ）. A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高一·甘肃白银·期末）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高一·北京丰台·期末）已知向量，，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高一·广西百色·期末）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 题型四：平面向量平行关系的坐标表示及判定 【典例4-1】（2025·高一·辽宁沈阳·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．3 C． D． 【典例4-2】（2025·高一·辽宁大连·期末）已知平面向量，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高一·全国·期末）已知向量，若，则实数（   ） A． B． C． D．1 【变式4-2】（2025·高一·江苏盐城·期中）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高一·云南文山·期中）已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 题型五：平面向量数量积的坐标表示与运算规则 【典例5-1】（2025·高一·广东湛江·月考）在边长为3正方形ABCD中，E为线段上靠近B的三等分点，计算（   ） A．4 B．7 C．8 D．9 【典例5-2】（2025·高一·海南海口·期末）已知四边形为矩形，，，是的中点，则（   ） A． B． C．3 D．7 【变式5-1】（2025·高一·甘肃临夏·期末）在直角梯形中，已知，点是边的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知正方形的边长为2，点是的中点，点是对角线上的动点，则的最大值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】（2025·高一·江苏南通·月考）在边长为4的等边中，E，F分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D．6 题型六：夹角问题 【典例6-1】（2025·高三·天津河西·月考）已知向量，，，则向量与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2025·高一·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高一·广东梅州·期末）如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·高一·四川达州·期末）已知向量，，则向量与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D．0 【变式6-3】（2025·高一·重庆·期中）如图，矩形的长为3，宽为2，E是边的中点，F是边上靠近点A的三等分点，与交于点M，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型七：模长问题 【典例7-1】（2025·高一·福建三明·期中）已知向量，，若向量，则实数的值为（   ） A． B．3 C． D． 【典例7-2】（2025·高一·浙江·月考）已知，，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·高一·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【变式7-2】（2025·安徽马鞍山·三模）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·高一·江苏常州·期中）已知向量，，，则m的值为（   ） A．0 B．-2 C．0或-2 D．0或2 题型八：投影向量问题 【典例8-1】（2025·高一·内蒙古乌海·期中）已知向量，，向量在向量方向上的投影向量为 .（用坐标表示） 【典例8-2】（2025·高一·新疆喀什·期中）已知向量，的夹角为且，，则在上投影向量的坐标为 ． 【变式8-1】（2025·高一·河南商丘·月考）已知向量，，，则向量在上的投影向量为 ． 【变式8-2】（2025·高三·海南海口·月考）知，，，则在上的投影向量是 ．（用坐标表示） 【变式8-3】已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量方向的投影向量为 题型九：垂直问题 【典例9-1】（2025·高一·山东潍坊·期末）在平面直角坐标系中，已知，，，若，则 . 【典例9-2】（2025·高一·山东潍坊·期末）已知向量，，若与垂直，则 ． 【变式9-1】（2025·高一·广西南宁·期中）设向量，，且，则 ． 【变式9-2】（2025·高三·上海·月考）已知向量，，若，则实数m = 【变式9-3】（2025·高一·浙江杭州·月考）已知向量，若，则 . 题型十：平面向量数量积的综合题型解析 【典例10-1】（2025·高一·云南曲靖·开学考试）如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 【典例10-2】（2025·高一·浙江杭州·期中）在中，，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且. (1)当时，若，求的值； (2)当时，求的值. 【变式10-1】（2025·高一·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 【变式10-2】（2025·高一·北京朝阳·期末）已知向量，且． (1)证明：向量； (2)求与夹角的大小； (3)求的最小值． 【变式10-3】（2025·高一·湖北武汉·期末）如图，已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，. (1)求顶点的坐标； (2)求向量与向量所成角的余弦； (3)求向量与向量上的投影向量的坐标. 1．（25-26高一上·辽宁·期末）已知向量，不共线，，，其中，，那么三点共线的充要条件为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一上·浙江温州·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·黑龙江·月考）已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·一模）在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 6．（多选题）（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若是一组基底，则也是一组基底 C．若，，是平面上不同的三点，且，则，，三点共线 D．若，则存在唯一的实数，使得 7．（多选题）（23-24高一下·福建厦门·月考）已知向量，，下列说法正确的是（ ） A． B． C．与向量平行的单位向量仅有 D．向量与向量的夹角为 8．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .    9．（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知向量，，若，则 10．（25-26高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 11．（25-26高一上·辽宁大连·期末）已知平面向量，，. (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 12．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.已知.    (1)若是所在平面内任意一点，试用，表示； (2)若，，求的值. 13．（25-26高一上·辽宁·期末）在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若，，求的最小值. 14．（25-26高一上·山东日照·月考）平面内给定三个向量，，． (1)求满足的实数，； (2)若，求实数． 15．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知平面向量，. (1)若，求的值. (2)若，求的值. 16．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知向量满足，且与的夹角为． (1)求； (2)若，求实数的值； (3)若向量与平行，求实数的值. 17．（23-24高一下·福建厦门·月考）已知，，三点共线，且，，若点的纵坐标为4， (1)求点的横坐标； (2)O为坐标原点，求向量在向量上的投影向量． 18．（23-24高一下·福建厦门·期中）在直角梯形中，已知，，，动点、分别在线段和上，且，． (1)当时，求的值； (2)求的取值范围． 19．（24-25高一下·贵州·月考）已知向量，，且. (1)求在上的投影向量； (2)若向量与的夹角为钝角，求实数m的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $