江苏省启东中学2025-2026学年高三上学期数学周练六11.14

高三数学周练6 考查内容：集合与逻辑、复数、平面向量、函数与导数（重点：函数性质、导数应用、不等式恒成立）、三角函数（重点：恒等变换、解三角形）、立体几何（重点：几何体相切、线面关系）、平面解析几何（重点：圆锥曲线与圆的综合）、不等式 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则   A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意知，， 则 故选： 2.已知，则   A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：， 则， 故， 所以 故选 3.设，则“”是“”的   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题． 根据不等式的关系进行判断即可． 【解答】 解：当时，若，则成立， 若，则，则成立，即充分性成立， 当，时，满足，但不成立，即必要性不成立， 故选： 4.已知向量与的夹角为，，，则等于   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A  【解析】解：由得 从而 化简为 从而解得， 故选 5.20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是，则这次地震的震级为精确到，参考数据： A. B. C. 5 D. 【答案】A  【解析】解：根据题意可知这次地震的震级为： ， 因此可知这次地震的震级为级. 故选： 6.已知其中，将图象向左平移个单位后得到的图象，若与的图象关于原点对称，则   A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题意， 因为与关于原点对称，所以，即， ， ， 解得， 由于，所以，此时 故选： 7.已知双曲线的渐近线与抛物线的交点都在圆C上，则圆C与x轴正半轴的交点坐标为 A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题意可知，双曲线，则可得其渐近线方程为：， 分别与抛物线联立， 解得或， 即交点分别为， 设圆的方程为：， 代入三点坐标可得， 解得， 即圆的方程为：， 令，可得或， 所以圆C与x轴正半轴的交点坐标为， 故选： 8.水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为(    ) A. 4 B. C. D. 6 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了球的切接问题，球的结构特征，属于中档题. 设四个小球的球心分别为，，，，可得球心构成的正方形中心为，则，设半球形容器罩的球心为O，此时，，结合勾股定理得到R即可. 【解答】 解：如图： 设四个小球的球心分别为，，，， 球心构成的正方形中心为， 则，，， 设半球形容器罩的球心为O，如图： 可知容器罩与四个小球均相切时，半球形容器内壁的半径最小，设半径为R， 此时，， 则，可得舍负， 故选 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.设，，下列不等式恒成立的是    A. B. C. D. 【答案】ABC  【解析】解：由，得，故选项A正确； 由，，得， 当且仅当，即时等号成立，故选项B正确； 由，，得， 当且仅当，即时等号成立，故选项C正确； 由，，得， 所以，故选项D错误． 故选： 10.已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是   A. 函数的周期为2 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数为奇函数 【答案】BC  【解析】解：选项A，  ，即函数  的周期为4，所以选项A错误； 选项B，因为  是偶函数，则有  ，即函数  的图象关于  对称，所以选项B正确； 选项C，因为  ，则  ，所以函数  的图象关于  对称，所以选项C正确； 选项D，因为  ，则  ，所以函数  为偶函数，所以选项D错误. 故选： 11.已知抛物线的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为M，过F的直线与E分别交于A，B两点，则以下选项正确的是 A. F坐标为 B. 当时， C. 若，则 D. 过点F作与AB垂直的直线与E交于C、D两点，则四边形ACBD面积的最小值为32 【答案】ABD  【解析】解：抛物线方程化为x，焦点坐标F，故A正确； 设，，，设直线AB：x，联立， 可推出：，， ，， 解得， 则，故B正确； ， 由， 所以，故C错误； 设，，设直线CDy， 同理推出， ， 当且仅当m2时，等号成立，故D正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则          . 【答案】  【解析】解： 再根据二倍角公式，代入已知条件： 因此： 13.已知，函数，若恒成立，则a的取值范围是           【答案】  【解析】解：当  时，  ，此时  ； 当  时，  ，因此题意转化为  即  在  上恒成立， 设  ，则  ， 当  时，令  ，得  ， 因此  在  上单调递减，此时  ，不合题意； 当  时，  ，因此  在  上单调递增， 此时  ，符合题意，故  ； 当  时，  ，因此题意转化为  在  上恒成立， 设  ，若  在  上恒成立，则一定有  ， 又  时，  ，  在  上单调递增， 此时  ，符合题意，故  ； 综上，  ，即a的取值范围是  ． 故答案为：  14.已知的内角A，B，C满足，其面积，则的外接圆半径为          . 【答案】2  【解析】【分析】 本题考查三角恒等变换和三角形面积公式的应用，利用正弦定理求三角形外接圆半径，属于中档题． 先用和、差角的正弦公式及二倍角公式化简得到，再利用三角形的面积公式结合正弦定理即可求得结果． 【解答】 解： 因为， 所以， 即， 又因为，， 所以， 所以， ， 所以，即， 因为， 又因为，，所以， 所以，所以，解得 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 求B； 若，求的周长的最大值； 若的面积为，D为AC的中点，且，求BD的长． 【答案】解：， ac， 又由余弦定理，得， 所以， 因为， 所以 因为，且， 又因为， 所以， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的周长的最大值为； 因为的面积为， 所以ac， 则 即， 即，解得， 所以， 所以由勾股定理得  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.本小题12分 已知函数图像的一条切线方程是 求a的值； 当，时，求证： 【答案】解：证明：设切点为  ，  ，因为切线方程为  ， 且  ， 所以  ，解得  ，  ， 所以 a 的值为0； 由知，  ，  ， 则  ， 令  ，则  ， 令  ，则  ，由此可知：  ，  在  上单调递减，  ，  在  上单调递增， 所以    ，因此，  ， 即  ，所以  ．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.本小题12分 如图，梯形ABCD中，O为DC上一点，，，，且，，将沿着AO翻折至PAO所在位置，使得平面平面ABCO，连接PB，PC，得到四棱锥，E为PB的中点． 若F为AO的中点，证明：平面POC； 在线段PC上是否存在点M，使得，若存在，求直线BM与平面PAO所成角的正弦值，若不存在，请说明理由． 【答案】解：证明：取PA的中点为N点，连接EF、FN、EN， 、F、N三点分别为PB、AO、PA的中点， 在平面PAO中，， 又平面POC，平面POC，平面POC， 同理，平面POC， 又，平面ENF，平面ENF，所以平面平面POC， 平面平面POC； 过B作PA的平行线BQ，过B作交AO于G点， 建立以BG，BC，BQ分别为x，y，z的空间直角坐标系， 则，，，，， 假设在PC上存在点M使得，设， ， 得， ，， 则， 解得， 则， 又平面PAO的一个法向量为\(\overset{\overrightarrow}{n}=(1,0,0)\)， 设直线BM与平面PAO所成角为， 则  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.本小题12分 已知椭圆，F为C的右焦点，短半轴长为1，A为C上动点，的最小值为 求C的方程； 已知点，点P为C外一点，直线PF交C于Q，R两点， 为原点，若，求直线PF的方程； 记直线MQ，MR，MP的斜率分别为，，，若，求的面积． 【答案】解：设椭圆半焦距为 c ，短半轴长为1，依题意有  ， 则  ，解得  ， 所以椭圆方程为  ．   由可得椭圆右焦点  ，则设直线 PF 的方程为  ， 联立  ，消去 x 得  ， 设点  ，  ，  ，  ，则  ， 因为  ，所以  ，化简得  ， 所以  ，即  ， 即  ，解得  ， 则直线 PF 的方程为：  或  ．  ①当直线 PF 斜率为0时，不妨设  ，  ，  ， 则  ，  ，  ， 因为  ，所以  ，则  ，所以  ； ②当直线 PF 斜率不为0时，设  ，  ，由  得  ，  ，  ， 则  ，则  ， 所以  ， 所以  ，解得  ， 所以点 P 在定直线  上， MF 平行直线 l ， 点 P 到直线 MF 的距离  ，所以  ， 综上可知， PFM 的面积为  ．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.本小题12分 已知函数， 求函数在处的切线方程； 若， 当时，求函数的最小值； 若有两个实根，，且，证明： 【答案】解：因为，所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：，即 当时，，定义域为， ， 令， 则， 所以在上单调递增， 又因为， 所以使得，即，① 故当时，，即，此时在上单调递减； 当时，，即，此时在上单调递增， 所以当时，函数有最小值， 由①可得，即， 所以函数的最小值为 证明：由题意，，定义域为， 由题意有两个不相等的实数根， 令，则， 所以在上递增，所以， 令， 所以有两个不相等的正的零点，且， 即，两式分别相加减得， 所以② 要证，只需证， 即证，即需证， 由②知，， 故只需证， 不妨设，令， 则只需证，即， 故只需证， 令 则， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，成立. 所以，即，故   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第2页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学周练6 考查内容：集合与逻辑、复数、平面向量、函数与导数（重点：函数性质、导数应用、不等式恒成立）、三角函数（重点：恒等变换、解三角形）、立体几何（重点：几何体相切、线面关系）、平面解析几何（重点：圆锥曲线与圆的综合）、不等式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则   A. B. C. D. 2.已知，则   A. B. C. D. 3.设，则“”是“”的   A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知向量与的夹角为，，，则等于   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5.20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是50，此时标准地震的振幅是，则这次地震的震级为精确到，参考数据： A. B. C. 5 D. 6.已知其中，将图象向左平移个单位后得到的图象，若与的图象关于原点对称，则   A. B. C. D. 7.已知双曲线的渐近线与抛物线的交点都在圆C上，则圆C与x轴正半轴的交点坐标为 A. B. C. D. 8.水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为(    ) A. 4 B. C. D. 6 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.设，，下列不等式恒成立的是    A. B. C. D. 10.已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是   A. 函数的周期为2 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数为奇函数 11.已知抛物线的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为M，过F的直线与E分别交于A，B两点，则以下选项正确的是 A. F坐标为 B. 当时， C. 若，则 D. 过点F作与AB垂直的直线与E交于C、D两点，则四边形ACBD面积的最小值为32 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，则          . 13.已知，函数，若恒成立，则a的取值范围是           14.已知的内角A，B，C满足，其面积，则的外接圆半径为          . 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题12分 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 求B； 若，求的周长的最大值； 若的面积为，D为AC的中点，且，求BD的长． 16.本小题12分 已知函数图像的一条切线方程是 求a的值； 当，时，求证： 17.本小题12分 如图，梯形ABCD中，O为DC上一点，，，，且，，将沿着AO翻折至PAO所在位置，使得平面平面ABCO，连接PB，PC，得到四棱锥，E为PB的中点． 若F为AO的中点，证明：平面POC； 在线段PC上是否存在点M，使得，若存在，求直线BM与平面PAO所成角的正弦值，若不存在，请说明理由． 18.本小题12分 已知椭圆，F为C的右焦点，短半轴长为1，A为C上动点，的最小值为 求C的方程； 已知点，点P为C外一点，直线PF交C于Q，R两点， 为原点，若，求直线PF的方程； 记直线MQ，MR，MP的斜率分别为，，，若，求的面积． 19.本小题12分 已知函数， 求函数在处的切线方程； 若， 当时，求函数的最小值； 若有两个实根，，且，证明： 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $