期末培优专题02 二次函数与反比例函数相关综合题（16种类型96道）（期末复习压轴题专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题02 二次函数与反比例函数相关综合题 （16种类型96道） 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．地 城 类型01 二次函数相关角度问题 (1)求拋物线的函数表达式： (2)如图1，是线段上方拋物线上的一个动点，过点作交于点，为轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在平面内，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线在平移后的新抛物线上确定一点．使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【详解】（1）解：根据抛物线与轴交于点，， 可得，解得， 抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点P作轴，交于点H，垂足为点M， 由抛物线的解析式为，可知， ， ， 轴， ， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， 设点P横坐标为m，则，， 则， ， ， 抛物线开口向下， 又， 当时，有最大值为， 点P坐标为， 如图，作点B关于y轴的对称点G，则，连接，交y轴于点N， 根据图象可知当点F与点N重合时，的值最小，此时， 根据勾股定理可知． （3）解：可知， 故将抛物线沿射线方向平移个单位长度，即向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度， 新抛物线的解析式为， 如图，取的中点K，连接并延长，交抛物线于点M， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得， ，符合题意， ， 点K坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， 直线的解析式为， 联立直线和新抛物线的解析式得， 解得或（不合题意，舍去）， 此时， 点M的坐标为； 过点O作，交抛物线于点， ，符合题意， 设直线的解析式为， 将代入得，解得， 直线的解析式为， ， 直线的解析式为， 联立直线和新抛物线的解析式得， 解得或（不合题意，舍去）， 此时， 点的坐标为； 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（）中取得最大值的条件下，将原抛物线向左平移，使新抛物线经过原点，平移后点的对应点为．过点作轴于点，为直线上一点，且满足，在轴下方新抛物线上确定一点，使的角平分线与轴所成钝角与互补，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1); (2)有最大值为，此时； (3)或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）过点作轴交于点，求出，又，所以，则，得，再求出直线解析式为，设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； （）过作于，设交轴于点，平移后新抛物线的解析式为，设，证明，则，即，则，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：将，代入抛物线得， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过点作轴交于点， 在中，令，则， 解得或， 则， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式，将代入得， 解得， ∴直线解析式为， 设， 则， ∴， ∵，开口向下，， 当时，有最大值为， 此时； （3）解：过作于，设交轴于点， 平移后新抛物线的解析式为， 设， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴，， ∴的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，二次函数的平移，解直角三角形等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点（点在点左侧），点坐标是，抛物线与轴交于点，抛物线顶点为点，连接． (1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标． (2)直线与抛物线的对称轴交于点，点为直线上一动点．当的面积等于的面积的倍时，求点的坐标； (3)若点为抛物线上一动点，横坐标为，设抛物线在点和点之间的部分（包括点和点）的最高点纵坐标为，最低点的纵坐标为，且，求与的函数关系式． (4)在（2）的条件下，当点在轴上方的直线上时，点是抛物线上一动点，当时，请直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)；顶点的坐标为； (2)点的坐标为或； (3)； (4)点坐标为或． 【分析】（1）把，分别代入，可得，，即可得抛物线的函数表达式，化为顶点式，即可得顶点的坐标； （2）设直线的解析式为，把，分别代入，可得、，可得直线的解析式，设点坐标，根据题意列方程求解即可； （3）由抛物线可知对称轴为直线，按照的取值范围进行分段讨论即可； （4）按照点和的位置关系，进行分类讨论，分别求出对应的点的坐标即可． 【详解】（1）解：把，分别代入， 可得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 设， ∵的面积等于面积的倍， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：由抛物线可知对称轴为直线， 当时，如图， 此时最高点为，最低点为点， 即，， ∴； 当时，如图， 此时最高点为，最低点为点， 即，， ∴； 当时，如图， 此时最高点为，最低点为点， 即，， ∴； 综上，； （4）解：∵点在轴上方， ∴， 当点在上方时，如图，过作，交直线于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作轴交轴于点，过作于点， 则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 此时点与抛物线顶点重合， ∴； 当点在下方时，如图，过作，交直线于点， 同理可得点， 则直线解析式为， 联立， 解得或（与点重合，舍去）， ∴； 综上，坐标为或． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，将二次函数的解析式转化为顶点式，二次函数的图象和性质，与三角形的高相关的计算，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，过点作于点，点、是抛物线的对称轴上的两动点，点在点上方且，连接、，当长度取得最小值时，求长度的最小值； (3)在（2）中长度取得最小值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上一动点，点为抛物线与轴左侧的交点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标．并写出其中一个点的求解过程． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）把，代入，解方程组即可得抛物线的表达式； （2）由勾股定理可得，当长度取得最小值时，最大，求出直线的解析式，设点坐标，可得线段，由二次函数的最值可得点坐标，延长至点，使，则四边形是平行四边形，可得，由两点之间线段最短，结合勾股定理，等量代换，可得长度的最小值； （3）先求的解析式，可得点的坐标，作轴于点，由平移的性质，结合已知可得，按照点在上方和下方进行分类讨论，由三角形全等的判定和性质，可得点的坐标，用待定系数法可得直线的解析式，与抛物线的解析式联立，即可得点的横坐标． 【详解】（1）解：将，代入，得 ，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线． 、关于对称轴对称， ． ． ， ． ． ． 轴， ． ． ． ． ∴当取最大值时，长度取得最小值． 设， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为． ． ． ∴当时，最大，从而长度取得最小值， 此时． 如图，延长至点，使，则四边形是平行四边形， ． ∵抛物线与轴交于、两点，点在对称轴上， ． ． 当且仅当点、、在同一条直线上时，取得最小值， ，， ． ． 长度的最小值为． （3）解：，， ， 设抛物线向上平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线， 依题意得：，解得（负值舍去）， ∴． ∴抛物线向上平移个单位长度，向左平移个单位长度得到抛物线． ∴． ∵点为点的对应点，， ． 在中， 当时，，解得，， ∵点为抛物线与轴左侧的交点， ∴． 过F点作轴于点，则， ∵，， ，． ． ∴． 由平移得：， ， ． 当点在上方时，， 过点C作于点，过点R作轴于点，过点A作于点，则， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． 依题意得：，解得， ∴． 设直线的解析式为， 将点，点代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为． 联立，解得， ，． 当点在下方时， 过点C作于点，过点W作轴于点，过点A作于点，则， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． 依题意得：，解得， ∴． 设直线的解析式为， 将点，点代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为． 联立，解得， ， ． 综上所述，所有符合条件的点的横坐标或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查求二次函数的解析式，二次函数图象的平移，勾股定理，求一次函数的解析式，二次函数的最值，平行四边形的判定和性质，二次函数的图象和性质，两点之间线段最短，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，构造适当的辅助线． 5．如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． (1)求点坐标及抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； (3)如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请直接写出所有符合条件的的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)的横坐标为或 【分析】（1）由面积求出，根据得到，，再代入列方程计算即可； （2）过作轴，交于点，交轴于点，在上方找一点，使，，过作轴，交轴于点，连接，先设，则，得到，当时，最大，此时，由，，得到四边形是平行四边形，则，点先向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到点，则，，当、、三点共线时取等号，由垂线段最短可得最小值为，即可求出的最小值； （3）先求出平移后解析式为，当在直线下方时，取点，则，则是直线与新抛物线的交点，求出直线解析式，再与新抛物线联立即可得到；当在直线上方时，取一点，使，，则，得到是直线与新抛物线的交点，设，由距离公式列方程求出，再求出直线解析式再与新抛物线联立即可得到． 【详解】（1）解：令，则，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵抛物线与轴交于，两点（在左侧）， ∴，， 把，代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点，交轴于点，在上方找一点，使，，过作轴，交轴于点，连接， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵轴，交于点，交轴于点， ∴设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， ∵，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，点沿射线方向移动个单位长度得到点， ∴，点先向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到点，则 ∴， ∴当、、三点共线时最小，由垂线段最短可得最小值为， ∴的最小值为； （3）解：∵将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，，，， ∴将抛物线先向右移动2个单位长度，再向上移动1个单位长度得到新抛物线， ∴平移后解析式为， 当在直线下方时，如图， 取点，则， ∴，， ∵， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， ∴是直线与新抛物线的交点， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，解得或（不在下方，舍去）， ∴； 当在直线上方时，如图，取一点，使，， ∴， ∴， ∴是直线与新抛物线的交点， 设， ∴，， 两方程相减整理得， 代入得， 解得 当时，，此时与重合， ∴，， ∴， ∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立，得， 解得， ∵在和之间， ∴，此时 ∴； 综上所述，当与互补时，的横坐标为或 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及求抛物线解析式，线段最值，平行四边形的判定与性质，平移，勾股定理，二次函数与角度问题等知识点． 6．如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点，于点，轴于点，交线段于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长最大时，求点的坐标； (3)如图②，点是抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，由，，得到，则，，证明，得到，，则，，即可推出当最大时，的周长最大；求出直线解析式为，设，则，则，则当时，有最大值，即此时的周长最大，此时； （3）时，分两种情况：当点在下方时，当点在上方时，根据二次函数的图像与性质，解直角三角形等知识求解即可． 【详解】（1）解：把、代入中得， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ， ， ， ， ， ，， ，轴， ， 又， ， ，， ，， 的周长为， 当最大时，的周长最大， 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为， 设，则， ， ， 当时，有最大值，即此时的周长最大，此时； （3）解：时，分两种情况： 当点在下方时，轴，如图②，过点作轴交于点， 设，则， ，， ， ，即， ， 解得， ； 当点在上方时，如图③，设直线交轴于点， ， ，， ， ，则， 即， 解得， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，数量掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 7．如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．地 城 类型02 二次函数相关面积最值问题    (1)求此抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并说明理由，且求； (3)若点Q是直线上方抛物线上的一个动点，则的面积有最大值吗？若有最大值，请求出最大值，若没有最大值，说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，； (3)当时，的面积有最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式， 把点代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为； 令，则， ∴或， ∴； ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （3）解：的面积有最大值，理由如下： 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，其中， 过点Q作轴交于点G，      ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的勾股定理，铅锤法求三角形的面积是解题的关键． 8．如图，二次函数的图象与轴交于点、点，点是该函数与轴的交点，且，连接、． (1)求二次函数的表达式； (2)判断的形状并说明理由； (3)若是此二次函数图象上第一象限内的点（如图），设点横坐标为，记的面积为，写出关于的函数关系式，有没有最大值?如果有，求出的最大值． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)当时，有最大值，最大值为 【详解】（1）点是该函数与轴的交点，且， 点的坐标为， 抛物线的图像过点和， ， 解得， 二次函数的表达式为； （2）令，则， 解得，， 点的坐标为， ，，， ， 是直角三角形； （3）设直线的解析式为， ，， ， 解得， ， 过点作轴交于点， 则点的纵坐标为，点的纵坐标为， ， ， ，， 当时，有最大值，最大值为． 9．已知如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求的最大值，并求取得最大值时x的值； (3)如图2，在抛物线上是否存在一点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)时，取得最大值4 (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）解：将点，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：如图1，过点E作轴于点D， 设点， 则，，， ∴ ， 则当时，取得最大值4； （3）解：不存在， 如图2，设的中垂线交轴于点， ∵点，， ∴，，， ∵的中垂线交于点， ∴，设，则， 由勾股定理得， 解得， ∴点的坐标为， ∵点，， ∴的中点F的坐标为， 设所在直线解析式为， 将点，代入，得：， 解得：， ∴所在直线解析式为， 由得或， 若点P坐标为， ∵ ，， ∴，即不是等腰直角三角形，舍去； 若点P坐标为， ∵ ，， ∴，即不是等腰直角三角形，舍去； 综上，这样的点P不存在． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及线段中点公式、勾股定理逆定理是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象经过坐标原点且与x轴交于点A，若抛物线顶点坐标． (1)求该抛物线的表达式； (2)若过点A的直线与抛物线交于A，B两点，连接． ①求证：； ②若M为x轴上方的抛物线上任意一点，判断的面积是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)①见解析；②当时，的面积有最大值，最大值为 【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标， ∴设该抛物线的表达式为， ∵二次函数图象经过坐标原点， ∴把代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）证明：①∵抛物线表达式为， ∴令， 解得，， ∴点A坐标为， ∵直线过点A， ∴， ∴， ∴直线表达式为， 联立， 化简得， 解得或， 把代入，可得， ∴B点坐标为， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形， ∴； 解：②∵M为x轴上方的抛物线上任意一点， 如图，连接，，作轴，与直线交于点N， ∴设M点坐标为，则N点坐标为， ∴， 点B到的距离为，点A到的距离为， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值，最大值为. 11．如图，抛物线与直线交于点，B，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点E，N是线段上一动点（不与点A，B重合），过点N的直线交抛物线于点M，且轴，连接，，，． (1)求拋物线和直线的函数表达式． (2)四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由． (3)求证：． 【答案】(1)， (2)存在， (3)见解析 【详解】（1）解：将点代入抛物线与直线中，得，， 解得，， 抛物线和直线的函数表达式分别为，； （2）解：存在． 对于，令，得， 点． ，解得或， 点， ∴． 设点N的横坐标为，则点，． ，， ， 当时，的值最大，最大值为． 的最大值为． （3）证明：由点，， ， ， 是等腰三角形． 如图，过点A作，交于点D，过点B作，交于点F． 是等腰三角形， 是的平分线， ． ， ． ，， ． ， ， ． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点，交轴于，两点（在的左侧)，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，连接、，点是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中当的面积取得最大值时，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当，请写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：由题意得，， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，过点作于，交于，过点作于， 轴， ∴， ， ， ， ， 当最大时，最大，的面积最大， ， 直线的解析式为：， 设， ， 当时，最大， ， ， 连接，交对称轴于点，则最小，最小值是的长， 由得， 或， ， ， 的最小值为：； （3）解：如图2， 抛物线向右平移4个单位，向下平移2个单位后为：， 即：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时， ， 由题意得， 当平移到点，点平移到， ， ，即， 作，交于，交轴于点， 设， ， ， ， ， ， ， 的解析式为：， 由得， 或， ， ， 综上所述：或． 13．如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C．地 城 类型03 反比例函数相关求面积 (1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标； (2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积． (3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由轴，轴，可得A、C的纵坐标和横坐标，代入即可得出点A、C的坐标； （2）设，由（1）同理得，即可得出△ABC的面积； （3）延长BC交x 轴于D点，利用角平分线的性质可得CD＝CB'，再证Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），得S△OCD＝S△OB'C，从而解决问题． 【详解】（1）解：（1）∵轴，B（1，2）， ∴当x＝1时，y＝1， 即C（1，1）， ∵轴， ∴当y＝2时，x＝， 即； （2）解：当点B是（x＞0）的图象上任意一点时， 设， 由（1）同理得， ∴S△ABC＝AB×BC＝； （3）解：延长BC交x轴于D点， ∵轴，轴，则∠ABC＝90°， ∴∠CDO＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴CD⊥x轴， ∵将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上， ∴∠CB'O＝∠ABC＝90°， ∴CB'⊥OA， ∵OC平分∠AOD，CD⊥x轴，CB'⊥OA， ∴CD＝CB'， 在Rt△OCD和Rt△OCB'中， ， ∴Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL）， ∴， 由（2）知，S△OCD＝，S△ABC＝， ∴四边形OABC的面积为． 14．如图，将一矩形放在直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点是边上的一个动点（不与点、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点． 若、的面积分别为、，且，求的值； 在的结论下，当，时，求三角形的面积． 【答案】(1)k=2;(2). 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标性质,设，，代入解析式求出即可； （2）首先得出E，F点坐标，再利用S△OEF=S矩形AOCE-S△AOE-S△OCF-S△BEF求出即可． 【详解】解：∵点、在函数的图象上， ∴设，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵四边形为矩形，，， ∴，， ∴，，，， ∴． 【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,根据题意得出E,F点坐标是解题关键. 15．如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． (1)当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． (2)请比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， （1）将点，，代入在反比例函数，然后利用割补法求面积即可； （2）将点，，代入在反比例函数，可得，，再由，即可得出答案． 【详解】（1）解： 当时，，，， ，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ∴，，， 如图，过作轴于，过作交于，过作交于，则，， ∴，，， ∴ ； （2）解：，理由如下： ∵，，三点在反比例函数的图象上， ，，， ，， ∵，， ∴， ． 16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D．求四边形ODBC的面积． 【答案】3 【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积． 【详解】解：∵点D是函数y2＝（x＞0）图象上的一点， ∴△AOD的面积为， ∵点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，四边形ABCO为矩形， ∴矩形ABCO的面积为4， ∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积-△AOD的面积＝4-1＝3， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义． 17．如图，点C在反比例函数y的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，求△ABO的面积． 【答案】4 【详解】解：设A（a，），则C（a，）， ∵CA＝2， ∴， 解得a＝1， ∴A（1，3），C（1，1）， ∴B（3，1）， 作BE⊥x轴于E，延长AC交x轴于D， ∵S△ABO＝S△AOD＋S梯形ABED﹣S△BOE，S△AOD＝S△BOE， ∴S△ABO＝S梯形ABED=（1＋3）（3﹣1）＝4； 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，准确计算是解题的关键． 18．如图是反比例函数与反比例函数在第一象限中的图象，点P是图象上一动点， PA⊥X轴于点A，交函数图象于点C，PB⊥Y轴于点B，交函数 图象于点D，点D的横坐标为a． （1）用字母a表示点P的坐标； （2）求四边形ODPC的面积； （3）连接DC交X轴于点E，连接DA、PE，求证：四边形DAEP是平行四边形． 【答案】（1）P（2a，）；（2）2；（3）见解析 【分析】（1）先求出点D的纵坐标得到点P的纵坐标，代入解析式即可得到点P的横坐标； （2）利用矩形的面积计算公式及反比例函数k值的几何意义，利用，即可求出答案； （3）证明△DPC≌△EAC，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵点D的横坐标为a，且点D在函数图象上， ∴点D的纵坐标， 又PB⊥y轴，且点P在图象上， ∴点P的纵坐标， ∴点P的横坐标为x＝2a， ∴P（2a，）； （2）∵，， ∴； （3）∵PA⊥x轴于点A，交函数图象于点C， ∴点C的坐标为（2a，）， 又P（2a，）， ∴PC＝CA＝， ∵DP∥AE， ∴∠PDE＝∠DEA，∠DPA＝∠PAE， ∴△DPC≌△EAC， ∴DP＝AE， ∴四边形DAEP是平行四边形． 【点睛】此题考查反比例函数的性质，反比例函数图象与几何图形，平行四边形的判定定理，反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质及计算方法是解题的关键． 19．如图，点A，B在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，AM⊥x轴于点M，BC∥AM交线段OA于点C，连结OB．已知点A，B的横坐标分别为6，4．地 城 类型04 反比例函数相关已知面积求反比例系数 (1)求的值． (2)当△AOM与△OBC的面积之差等于4时，求k的值． 【答案】(1) (2)k＝18 【分析】（1）延长BC交OM于N，得到OM＝6，ON＝4，进而得到BN ，AM，证得△CON∽△OAM，根据相似三角形的性质求得CN ，BC ，代入 即可求出结果； （2）由S△AOM•OM•AM，S△OBC•ON•BC，根据S△AOM﹣S△OBC＝4，即可求出k． 【详解】（1）解：延长BC交OM于N， ∵AM⊥x轴，BC∥AM， ∴BN⊥x轴，△CON∽△OAM， ∴ ， ∵A，B的横坐标分别为6，4， ∴OM＝6，ON＝4， ∵点A，B在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上， ∴BN ，AM， ∴ ， ∴CNAM ， ∴BC＝BN﹣CN ， ∴ ； （2）解：∵S△AOM•OM•AM6• ， S△OBC•ON•BC4• ， S△AOM﹣S△OBC＝4， ∴ 4， 解得：k＝18． 20．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：解：如图，过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点， 点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， ， ， ， ， ； （2）解：点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， 由（1）知， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 21．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，的垂直平分线交双曲线于点P．若，点A的横坐标为m． (1)求k与m之间的关系式； (2)连接，，若的面积为6，求k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，点A在反比例函数的图象上， ， ，． ，垂直平分， 是等腰直角三角形， 点D是的中点， ， ． ∵点在反比例函数的图象上， ， ． （2）解：设交于点E． 由（1）可知， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 22．如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，过B点作BE⊥x轴，垂足为E．若△ADO的面积为1，D为OB的中点， （1）求四边形DCEB的面积． （2）求k的值． 【答案】（1）1；（2）． 【详解】（1）∵A、B是双曲线y=上的两点，BE⊥x轴，AC⊥x轴， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴； （2）∵D为OB的中点，BE⊥x轴，AC⊥x轴， ∴CD是△OBE的中位线，即CD=BE． 设A（x，），则B（2x，）， 则CD=，AD=-， ∵△ADO的面积为1， ∴AD•OC=1， 即（-）•x=1， 解得k=． 23．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作y轴的平行线交反比例函数的图象于点B，点C在y轴上，若的面积为8，求k的值． 【答案】-6 【分析】连接OA、OB，根据AB∥y轴得到，列得，求解即可． 【详解】解：连接，． ∵轴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴． 【点睛】此题考查反比例函数的图象及性质，比例系数k的值与图形面积的关系，连接辅助线得到是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，函数（其中）的图象经过平行四边形的顶点A，函数（其中）的图象经过顶点C，点B在x轴上，若点C的横坐标为2，的面积为6． (1)求k的值； (2)求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵点C的横坐标是2， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴轴， ∵，即， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为． 25．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．地 城 类型05 二次函数相关等腰三角形存在性问题 (1)如图①，连接，在轴上存在一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③，连接，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为，连接，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点，使是以为底的等腰三角形，，或， (3)存在点，使是以为腰的等腰三角形，满足条件的点，或，或， (4)存在点，使是等腰三角形，点坐标为，或，或，或， (5)存在点，使是等腰三角形，点坐标为，或，或，或，或， 【分析】（1）设，，由，则，求出即可求，； （2）点在线段的垂直平分线上，再由是等腰直角三角形可得垂直的直线为，联立方程组即可求点坐标； （3）设，，由和，建立方程求出的值，即可求出答案； （4）求出顶点，，设，，分三种情况讨论：①当时，可得，；②当时，可得．，或，；③当时，可得，； （5）设，，分三种情况讨论∶①当时，可得，；②当时，可得，或，；③当时，可得，或，． 【详解】（1）解：令，则， ∴，， 令，则， ∴，， 令，则， 解得或， ∴，， 设，， ∴， ∴， 解得， ∴，； （2）解：存在点，使是以为底的等腰三角形，理由如下： ∵，，，， ∴的中点为，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴过的中点与垂直的直线为， 联立方程组， 解得或， ∴，或，； （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形，理由如下： 设，， 当时， ∴， 解得舍去或， ∴，； 当时，， ∴， ∴，或，， 即满足条件的点，或，或，； （4）解：存在点，使是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴顶点，， 设，， ①当时，， 解得或舍， ∴，； ②当时，， 解得或， ∴，或，； ③当时，， 解得， ∴，； 综上所述：点坐标为，或，或，或，； （5）解：存在点，使是等腰三角形，理由如下： ∵抛物线的对称轴为直线， 设，， ①当时，， 解得， ∴，； ②当时，， 解得， ∴，或，； ③当时，， 解得或， ∴，或，； 综上所述：点坐标为，或，或，或，或，． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 26．综合与探究： 在《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战，一次他们在陈塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线来描述．如图，抛物线的顶点M的坐标为与y轴交于点，与x轴交于两点（A在B的左边）． (1)求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式； (2)哪吒、敖丙在飞行中的位置分别为动点，点P在线段上（不与点B重合），点Q在线段上且，设原点到哪吒的距离，敖丙到抛物线顶点的距离，求与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； (3)数学建模 ①在（2）的条件下是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在试求点Q的坐标，若不存在说明理由； ②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；②或或或． 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将点C的坐标代入即可得出答案； （2）先证明，根据相似的性质列等式，求与m的函数关系式； （3）①假设存在满足条件的P点，根据条件是为底的等腰三角形，作的垂直平分线交于，．求出和点坐标；②根据是等腰三角形，只有点使得该三角形的两边相等即可． 【详解】（1）∵抛物线的顶点为可设， 将点代入，得， ∴． ∴； （2）解：令，得， 解得： ∴． 如图，过点M作x轴的垂线，垂足为H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； （3）解：①存在点Q，理由如下： ∵是以为底的等腰三角形， ∴． ∴ 又∵ ∴此时轴， ∴P为， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴点是的中点，则， ∴Q的坐标为； ②如图， ∵， ∴， 当时，，； 当时，； 当时，； 综上，点F的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的知识，是一道综合题，还考查了相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，等腰直角三角形的性 质，注意对各部分知识的熟练掌握以便灵活应用． 27．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交x轴于点D．已知线段， 直线经过B，C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求函数解析式，两点间距离公式，等腰三角形的定义等知识点． （1）先根据一次函数求出点坐标，再由求出坐标，然后由待定系数法求解即可； （2）先求出对称轴为直线，则，然后设，表示出，，，再分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：对于，当， ∴， 将代入，则， ∴， 当，， 解得：， ∴， ∵， ∴， 将代入，则 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：存在，由可得对称轴为直线，则 ∴设， 则，，， ①时，， 解得：或（舍）， ∴； ②时，， 解得：， ∴； ③当时，， 解得：， ∴或， 综上：当是等腰三角形，，，，． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值； (3)在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图，求解，设，，求解直线的解析式为．可得，可得，再进一步求解即可； （3）分情况讨论：①当点与点重合时，满足为等腰三角形，②当时，过点作于点，如图，③当时，过点作于点，如图，过点作于点，如图，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：根据题意， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，当时，， ∴， 点是直线下方的抛物线上一动点， 设，， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为． 过点作轴的平行线交直线于点， ， ， ， 当时，有最大值为． 线段的最大值为． （3）解：①， ， ， 当点与点重合时，满足为等腰三角形， ； ②当时，过点作于点，如图， ，， ， 点的纵坐标为， 点在直线上， ， ． ； ③当时，过点作于点，如图， ， ，． ， ， ， ； 当时，过点作于点，如图， ， ． ∴， ， ， ， ∴． 综上，在直线找一点，使得为等腰三角形，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，求解二次函数的与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，切线的分类讨论是解本题的关键． 29．如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当B、C、Q三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点Q； （3）设，而可得；；，再由等腰三角形的边的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴当时，； ∴ ∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴ 解得： ∴ ∴ （2）存在； 如图；连接与对称轴交于点；连接 ，此时的周长最小； ∵ 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线： ∴当时，代入得： ∴ （3）设，而 ∴；； ∵是以为腰的等腰三角形 ∴①当时，则；解得 当时，在一条直线上，故舍去； ∴ ②当时，则 ；解得： ∴；. 综上所述：点坐标为；；. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在直线上找一点Q，使得为等腰三角形，写出Q点坐标． 【答案】(1)； (2)Q点坐标为或或或． 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，利用两点之间的距离公式可得，，的值，再分、和三种情况，分别建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入二次函数得：， 解得， 则这个二次函数的表达式为； （2）解：设点的坐标为， ∵， ∴，，， ①当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）， 当时，， 所以此时点的坐标为； ②当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或， 当时，，即， 当时，，即； ③当时，为等腰三角形， 则，即， 解得， 此时， 所以此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的综合问题、等腰三角形的定义、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 31．如图1，抛物线与直线（是常数）交于A，B两点（点A在点B的左边），且是直角三角形．地 城 类型06 二次函数相关直角三角形存在性问题    (1)求的值； (2)如图2，将抛物线向下平移，得到抛物线，若抛物线与直线交于C，D两点（点C在点D的左边），与x轴正半轴交于点E．求证：是直角三角形； (3)如图3，若抛物线（）与直线交于M，N两点（点M在点N的左边），点K在抛物线上，当是直角三角形时，直接写出点K的坐标．（用含，的代数式表示） 【答案】(1)4； (2)见解析； (3)或． 【详解】（1）解：如图1，设与y轴的交点为P． ∵平行于x轴，的图象关于y轴对称， ∴    ∵是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴点B的坐标为． ∵点B在抛物线上， ∴． ∵， ∴． （2）证明：如图2，分别过点C，D作轴于点H，轴于点Q．    联立 解得 ∴点C的坐标为，点D的坐标为 将代入，解得，(舍去)． ∴点E的坐标为 ∴，， ，． 证法一：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴是直角三角形． 证法二：在中，根据勾股定理，得 ． 同理可得 ． ∴． ∵ ∴． ∴是直角三角形． （3）解：点K的坐标为，或． 将抛物线向左平移h个单位得到抛物线． 设平移后得到， 如图3．过点作x轴的平行线l3，分别过点M'，N'作于点L，于点T．      联立 解得    ∴点M'的坐标为(，)，点N'的坐标为(，)． 设的坐标为(，)，． ∴． 易证． ∴． 即． ∴． ∵， ∴． ∴点的纵坐标为，即点的纵坐标为． 解方程，得． ∴点K的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．需要学生熟练掌握二次函数的各项性质． 32．如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点（与点不重合），设点的横坐标为． ①当点在直线的下方运动时，求四边形的面积的最大值及此时点的坐标； ②该抛物线上存在点，使得为直角三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】(1) (2)①四边形的面积的最大值为，；②点坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及相似三角形的判定与性质，与面积的综合等知识点，解题的关键是需要利用分类讨论的思想求解； （1）将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，如图1，过点作轴的平行线交于点，设点，则点，，根据，利用二次函数的性质求解面积的最大值，而，即可求解四边形的面积的最大值； ②分三种情况讨论，构造一线三等角的相似求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线， 得：， 解得：， 该抛物线的表达式为：； （2）解：对于，当，得， 解得：，， 点， ∴ 设直线的解析式为，将点、的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 如图1，过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ， ， ， 有最大值，当时，其最大值为，此时； ∵， ∴当取得最大值时，四边形的面积取得最大值， 此时四边形的面积的最大值为：； 设点， 当时，如图，过点作轴于点，过点作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：或（舍）， ∴； 当时，构造同样辅助线，如图： 同理可证明：， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：或（舍）， ∴； 当时，构造同样辅助线，如图： 同理可得：， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴整理得：， 解得：， ∴或， 综上：点坐标为或或或． 33．如图1，若二次函数图象与轴交于点A和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时 (3)点P的坐标为，，或． 【分析】（1）代入点坐标求出参数值即可； （2）利用分割法或作差法，先求出的解析式，再设出参数，表示出对应三角形的底和高，构造的面积的函数，利用二次函数求最值的方法即可； （3）设出点P的坐标，分别用参数表示，，计算出，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入，得解得 ∴． （2）解：如图，过点P作轴，交于点Q， 设直线的解析式为， 代入点，得，解得， ∴， 设点，则点， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时， ∴． （3）解：抛物线的对称轴为直线， ∴设点， ∴， ， ， 分三种情况， 第一种，当为斜边时，， ∴， 解得， 第二种，当为斜边时，， ∴， 解得， 第三种，当为斜边时，， ∴， 解得， ∴点P的坐标为，，或． 【点睛】本题考查了“待定系数法求解析式”“坐标系中面积的求值”“二次函数的图象与性质”“直角三角形的分类讨论”，根据设问，设出参数，利用参数构造出相应的函数和方程是解题关键． 34．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出B，C两点坐标，再代入抛物线解析式中，即可求出解析式； （2）过点P作轴交于点G，设，则，表示长，进而表示面积求最大值； （3）先求得，根据勾股定理分别表示出，，，根据是直角三角形时，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点， 在中，当时，得：， 解得：； 当时，得：， ∴，， 将点B，C的坐标分别代入抛物线，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：过点P作轴交于点G，如图1， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为； （3）解：抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）， 当时，得：， 解得：，， ∴， ∵是关于y轴的对称点， ∴， 如图2， 设， ∵，， ∴，，， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 当时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，当是直角三角形时，或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的应用，二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理；三角形的面积等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用数形结合的思想考虑问题． 35．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 (1)求抛物线的表达式； (2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）求出点A的坐标，然后把和代入解析式求出b，c的值即可； （2）以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接，即可得到，点C，N，B共线，即可得到当时，最小为，然后根据勾股定理解答即可； （3）设点P的坐标为，表示，，然后分为为斜边，为斜边或为斜边三种情况，利用勾股定理求出m的值解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵点A在负半轴， ∴点A的左边为， 把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接， 则， 又∵，， ∴， ∴, 令，则， 解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∴点C，N，B共线， ∴当时，最小为， 这时， ∴， ∴， 解得，（负值舍去） 即的最小值为． （3）解：， ∵， ∴对称轴为直线， 设点P的坐标为， 则，， ①当为斜边时，， 即， 解得， ∴点P的坐标为或； ②当为斜边时，， 即， 解得， ∴点P的坐标为； ③当为斜边时，， 即， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 36．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，． (1)求二次函数的表达式； (2)点P在第一象限的抛物线上，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件和结论下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是以为斜边的直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数的性质、坐标与图形性质、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意设出点的坐标并列出方程求解． （1）将A、B、C三点代入，可求得抛物线的解析式； （2）设，先求出的解析式，从而得出点E的坐标，进而得出的长，从而求得用m表示的的面积，最后根据二次函数的性质，求出最值； （3）设点Q的坐标为，根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出、、，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：作轴交于E． 设． 设直线的解析式为 将点A和点C的坐标代入，得 解得： ∴直线的解析式为， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴当时，的面积最大， 此时， ∴点P坐标为； （3）解：∵，，抛物线的对称轴为直线， ∴可设点Q的坐标为， ∴， ， ， 要使是以为斜边的直角三角形，只需， ∴， 整理，得， 解得或， ∴点Q的坐标为或． 37．如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为．地 城 类型07 二次函数相关等边三角形存在性问题 (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解：设平移前的抛物线的解析式为，则平移前的抛物线的解析式为， ∴平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式， ∵重合后的抛物线的顶点为， ∴，， ∴，， ∴平移前的抛物线的解析式为， 将点代入可得， 解得， 故平移前的抛物线的解析式为． （2）解：①平移后的抛物线的解析式为，平移后的抛物线的解析式为， 将代入解析式可得，， 则． ②∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：或（负值舍）． 38．抛物线与轴相交于点，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标； (3)设点是抛物线上位于第一象限的一点且位于对称轴右侧，是抛物线对称轴上的一点，当为等边三角形，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)；； (3)． 【分析】（1）把点，的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法求二次函数的解析式； （2）根据点、的坐标可知，，根据直角三角形的性质可得，利用三角函数求出，，根据折叠的性质可知，从而可求点、的坐标； （3）根据等边三角形的性质可得、、，利用可证，根据全等三角形的性质可得，利用三角函数求出点的坐标，再利用待定系数法可以求出直线的解析式． 【详解】（1）解：把点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是； （2）解：如下图所示， 抛物线的对称轴是， 设点的坐标为， 点，， ，， 根据折叠的性质可知， ， 又， ， 根据折叠的性质可知， 在中，， ， ， 点的坐标是， 根据折叠的性质可知， ， 点的坐标是；    （3）解：如下图所示， 由（2）可知是等边三角形， ，， 又是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， 在中，，， 点的坐标为， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点的坐标和点的坐标是入代， 可得：， 解得：， 直线的解析式为；    【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数的应用、直角三角形的性质、用待定系数法求函数的解析式，解决本题的关键是根据图形的性质找边和角之间的关系。 39．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点A、． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点，点在坐标平面内，且为等边三角形（点、、顺时针排列）时，连结，试求直线与抛物线交点的坐标，若能，请求出，若不能请说明理由． 【答案】(1)顶点D的坐标 (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式，再将解析式化为顶点式即可求解； （2）由折叠可知，，在中，，在中，，解得，即可得； （3）由（2）可知是等边三角形，证明，可得，在中，，，可求，则直线的解析式为，直线与抛物线的交点为G． 【详解】（1）解：将点，代入, ∴， 解得， ∴； ∵， ∴顶点D的坐标； （2）解：由折叠结合抛物线的对称性可知，， 当时，， 解得或， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：设直线与对称轴的交点为T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时， 解得或， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 40．如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为． 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数综合、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接运用代入消元法求解即可； （2）设点的坐标为，则，，易得点的横坐标为，则，然后根据二次函数的性质即可解答； （3）先求得抛物线的对称轴为，设点的坐标为，设点的坐标为，则，，易得、、，由等边三角形的性质可得为等边三角形，即，则、，据此列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像过点、， 故将代入，得， 将代入，得． （2）解：由（1）可得抛物线的解析式为， 设点的坐标为，则，， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线的图像上， ∴点的横坐标为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）解：抛物线的对称轴为， 设点的坐标为，点的坐标为，则，， 则， ， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴，解得：或（不合题题意舍弃）， ∴， 点的坐标为． 41．如图，二次函数图像的顶点在原点O处，且经过点，点在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图像上的一点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M．求证：点M到两边的距离相等； (3)在（2）的条件下，当是等边三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)见解析 (3)点P的坐标为或． 【分析】本题考查了定系数法求函数解析式，勾股定理，等边对等角，等边三角形的性质，解一元二次方程． （1）根据题意可设函数的解析式为，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式； （2）利用勾股定理求出，表示出，可得，即，根据平行线的判定和性质证明即可； （3）首先可得，根据，可得关于x的方程，求出x的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O， ∴设二次函数的解析式为， 将点代入得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设， ∵， ∴， ∵，且点M在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即点M到两边的距离相等； （3）解：当是等边三角形时，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴满足条件的点P的坐标为或． 42．如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：将代入， 解得：，， 点、的坐标分别为，， ，， 是等边三角形， 易得点在轴上，且， 轴， ， ， 点的坐标为， 点的坐标为或． 43．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．地 城 类型08 反比例函数相关等腰三角形存在性问题 (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)点P是在y轴上一动点，连接，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【详解】（1）解：已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点， ， ，， 反比例函数解析式为：； （2）解：，在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为：， 设一次函数与轴交点为，则，， ； （3） 解：在轴上存在点，使是等腰三角形， 设点，， ， 分四种情况考虑，如图所示： 当时，为等腰三角形， 则，即， 解得 ； 当时， 则， 此时； 当时，， 此时； 当时， 则， 此时； 综上，满足题意坐标为，，，． 44．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P是x轴上一点，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴， 作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当是等腰三角形时，分3种情况： ①当时， 则点或； ②当时，则，故，即； ③当时，此时点与点重合为； 综上：或或或． 45．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，． (1)求反比例函数与一次函数的函数关系式； (2)根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； (3)在y轴上找一点P，使得点A，O，P构成以为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)，． (2)或； (3)或或． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， 所以反比例函数的关系式为． 将代入，得， 解得，即． 将、代入，得 ， 解得，， 所以一次函数的关系式为． （2）解：由（1）得反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，， 结合图形得当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． （3）解：∵ ，， ∴， 当时，设，则， 所以或，对应点的坐标为、． 当时，，则 ， ， ， 所以或． 当时，（与点O重合，舍去）； 当时，，对应点的坐标为， 综上，点P的坐标为或或． 46．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，， 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）将反比例函数图象上的点的坐标代入其解析式即可； （2）先求出一次函数的解析式，再进而得到与轴的交点坐标，最后通过三角形的面积公式即可求出答案； （3）先设，再根据等腰三角形的判定与性质，分情况讨论即可求值． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点， 将代入得，， 解得，， 反比例函数的解析式为． （2）解：根据题意将代入得，， ． 将和分别代入得， ， 解得，， 一次函数的解析式为， 当时，即， 解得，， ， ， ． （3）解：存在． 设， ， ，，， 当时，， ， 解得，或， ，； 当时，， ， 解得，或（不符合题意，舍去）， ； 当时， ， 解得，， ． 综上，在轴上存在一点P，使得是等腰三角形；点P的坐标为，，，． 47．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据函数图象即可求解； （3）分两种情况：以为腰和以为底边，分别进行解答即可． 【详解】（1）将代入中，得， ∴反比例函数的表达式为； ∵在的图象上， ∴， 将、坐标代入得， ， 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）由函数图象可知： 当或时，， ∴不等式的解集为或； （3）①当以为腰时， ∵， ∴， ∴点P的坐标为，或； ②当以为底边时， 如图，过点A作轴于点D，连接， 设，则， 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得， ∵此时点P在x轴负半轴， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或或． 48．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一个动点，且是为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，， 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴，解得， ∴点， 把点代入得，， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：联立与得，， 解得或 ∴直线与双曲线的交点的横坐标为和6， ∴由图象得，的解集为或； （3）设点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ 当时，，即， 解得（不合题意，舍去）或， ∴点P坐标为， 当时，，即， 解得或， ∴点P的坐标为或 综上可知，点P的坐标为或或． 49．如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A．地 城 类型09 反比例函数相关直角三角形存在性问题 (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， 、、、 【详解】（1）解：依题得解得，即 将代入得，即反比例函数解析式为：； （2）解：如图，假设在x轴上存在使为直角三角形， 联立解得：或， 即，， ， ，． 分三种直角情况讨论： 情况1：为直角 ∵， 化简得 ，即 ， 解得 ，对应点 、． 情况2：为直角 则，即 化简得 ，解得 ，对应点 ． 情况3：为直角 则，即， 化简得 ，解得 ，对应点 ． ∴x轴上存在点 、、、，使为直角三角形． 50．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上有一点P，使得是直角三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）∵点也在反比例函数的图象上， ∴． ∵点，都在一次函数的图象上， ∴， 解得． ∴一次函数的解析式为． 如图，设直线与x轴交于点C， ∴， ∴． ∵，， ∴ ． （3）当点P在x轴上时，设． ①如图，若， ∵点A的坐标为， ∴点P的坐标为； ②如图，若，则，． ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为． ③当点P在y轴上时，设． 如图，若， ∵点A的坐标为， ∴点P的坐标为； ④如图，若，，则 ，． ∵是直角三角形， ∴， 即， 解得， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或或或． 51．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)点是y轴上的一点，若是直角三角形，请直接写出b的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)或 (3)或9或或． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 又在反比例函数的图象上， ， ∴， 把，代入得： ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：∵ ∴， 由图象得不等式的解集为或， ∴不等式的解集为或； （3）解：，，， ∴，，， ①当时，， ， 解得， ②当时，， ， 解得， ③当时，， ∴， 解得或 的值为：或9或或． 52．如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数（）的图象交于、两点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是y轴上的一点，若是以AB为直角边的直角三角形，求b的值． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)的值为或 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入一次函数得， ，解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：当时，， 即， 整理得，， ∴； 当时，， 即， 整理得，， ∴； 综上，的值为或． 53．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出当时的取值范围； (3)在反比例函数图象上，是否存在一点使得为直角三角形，且，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【详解】（1）解：把代入中，可得， 故反比例函数为， 将代入中，得， 则点坐标为， 把和代入中， 可得：， 解得：， 故一次函数的表达式为． 答：，． （2）解：由图像以及，可得：或． （3）解：过作轴的垂线，过和分别作直线的垂线，垂足分别为和． ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 设，则， 则， 把代入中， 可得，解得：（不合题意，舍去），， 故的坐标为． 答：存在，． 54．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（）的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出关于的不等式的解集； (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出的值． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)或 (3)或9 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 又在反比例函数的图象上， ， ∴， 把，代入得： ， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：由图象得不等式的解集为或， ∴不等式的解集为或； （3）解：，，， 当是斜边时，作轴，轴交于，过P作轴交的延长线于M，作轴交于G， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ， 解得：， 当是斜边时，作轴，轴，过P作轴交的延长线于M，作轴交于G， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ， 解得：， 的值为：或9． 55．如图，平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接．已知，，．地 城 类型10 二次函数相关平行四边形存在性问题 (1)求抛物线的表达式； (2)已知点D为线段上方抛物线上的一个动点，连接．连接，分别交y轴与于点E、F．当四边形的面积最大时，求直线的表达式及此时的面积； (3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）根据．可求得，设抛物线的表达式的抛物线为：，将代入即可求解； （2），为定值，故求出的最大值即可求解；根据即可求解； （3）根据平行四边形对角线互相平分可求出点的坐标，继而根据即可求解； 【详解】（1）解：∵，． ∴ 设抛物线的表达式的抛物线为：， 将代入可得： 解得： ∴ （2）解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大值，且最大值为； ∵，为定值 ∴此时也最大 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令可得，即 联立，解得： ∴ ∴ （3）解：由，可知：抛物线的对称轴为直线， 由（2）可得， 设 若四边形为平行四边形，则， 解得： ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交直线于点，如图所示： 则，即 ∴ 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了一次函数的解析式求解，平行四边形的存在性问题，二次函数的性质等知识点，综合性较强，掌握函数的相关知识点是解题关键． 56．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)请直接写出：抛物线的解析式为 (2)点在第二象限内的抛物线上，交于点，若与相似，求点的坐标； (3)如图2，点在对称轴上，过点任作直线（不同于对称轴）交抛物线于、两点，点为对称轴上的一个定点，以、为邻边作平行四边形，若在的旋转变化过程中，点始终落在抛物线上，求点的坐标． (4)（选做，不计总分）若平行四边形的面积为，请直接写出直线的函数解析式为 ． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为 (4)或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定． （1）利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况：当时，；当时，；分别求解即可； （3）设，，待定系数法求得直线的解析式为，代入得出，进而根据平行四边形的性质以及平移的性质得出，代入抛物线解析式，得出，进而求得，即可求解； （4）根据已知得，则，结合，求得的值，代入直线的解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 故答案为：． （2）解：在中，令，则，即， ∵，， ∴，，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵与相似， ∴当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴直线的解析式为， 联立，可得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 此时点的横坐标为，纵坐标为 ∴； 当时，，即， ∴， 过点作于，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立可得， 解得：，（不符合题意，舍去）； 此时点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 综上所述，点的坐标为或； （3）解：设， 设直线的解析式为，代入，， 得， 解得：， ∴直线的解析式为， 代入， ∴， 设， ∵到向右平移个单位，向下平移个单位长度， ∴将向右平移个单位，向下平移个单位长度得到， ∴， 又∵在抛物线上， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得： ∴； （4）解：∵，， ∴， 设，， 由（3）可得直线的解析式为， ∵平行四边形的面积为， ∴， ∴， 又∵， 当时，，解得：或， 当时，，解得：或， 又∵直线的解析式为， ∴或， 故答案为：或． 57．综合与探究：如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第四象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接，当时，求点E的横坐标； (3)如图2，点M是的中点，点N在抛物线上，轴．在（2）中，当四边形为平行四边形时，试探究，在线段上是否存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点E的横坐标为或1 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据题意，证明，然后即可求解； （3）根据题意，画出相应的图象，然后利用分类讨论的方法即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：把和代入可得． 解得． ∴抛物线的解析式为：； （2）直线中，令可得，解，得， ∴． 直线中，令，可得． ①分别过E，F向y轴作垂线，垂足为G，H，根据题意，可得，如图： ∵轴，轴， ∴和为直角三角形． 在和中，， ∴． ∴． 设，则， ∴，． 从而，． ∴．解，得（舍去）或． ②如图：同理可得． 解，得（舍去）或． ∴点E的横坐标为或1； （3）在线段上存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．点P的坐标为或． 理由：∵点M是的中点，，． ∴． ∵点N在抛物线上，轴． ∴． ∴． 在（2）中，当四边形为平行四边形时， ∵，，，， ∴． 解，得（舍去）或． ∴，． 分两种情况： ①如图，当四边形为平行四边形时，点P的坐标为． ②如图，当四边形为平行四边形时，点P的坐标为． 在线段上存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．点P的坐标为或． 【点睛】本题是一道二次函数综合题目，主要考查二次函数的性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 58．已知二次函数的图像经过点，和，点P是抛物线上的一个动点，且在直线的下方． (1)求该二次函数的解析式． (2)在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以 B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． (3)在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， (3)存在，，， 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，平行四边形性质及应用，解题的关键是方程思想的应用． （1）设二次函数的解析式为，把，和代入计算即可； （2）设，过P作轴于点E，交直线于点F，求出直线解析式为，则，，再根据铅垂法得到，据此求面积最大值即可； （3）分别过三个顶点作对边的平行线，交点分别为，此时四边形，，是平行四边形，再利用平移求坐标即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 把，和代入得 ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点P在抛物线上， ∴可设， 过P作轴于点E，交直线于点F，如图： ∵和， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，最大值为，此时， ∴当时，最大值为； （3）解：如图，分别过三个顶点作对边的平行线，交点分别为，此时四边形，，是平行四边形， ∵，和， ∴，点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，可以看成点向左平移4个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，可以看成点向右平移4个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，则点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到； 综上所述，存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标，，． 59．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 60．如图，抛物线经过，，三点． (1)求b，c的值； (2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或， (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法先确定函数解析式，再代入相应坐标即可求解； （2）先求出P点到x轴的距离，再将坐标代入解析式即可求解； （3）先设出M点与N点坐标，利用平行四边形的对角线互相平分，设出对角线的交点，利用中点坐标关系即可求解． 【详解】（1）解:∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∴对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线经过， ∴， ∵抛物线经过， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， 设点纵坐标为m， ∵， ∴    ， ∴， 令，则， ∴或， 令，则该方程无解， ∴或， （3）解：存在，或或 设， 由（1）可知， ， 若以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形，设它们的对角线的交点为点Q 则分为以下三种情况： ，， ∴，， ∴或， 当时，，此时M点与A点重合，故不符合题意，舍去， 当时，，； ，， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，； ，， ∴，， ∴或， 当时，，， 当时，，，与C点重合，故舍去； 综上可得：或或． 【点睛】本题考查了抛物线与平行四边形的判定或性质，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，正确确定点的坐标关系，本题涉及了分类讨论的思想方法． 61．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．地 城 类型11 二次函数相关菱形存在性问题 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点的坐标为：或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得到答案； （2）作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示，数形结合，利用待定系数法确定直线解析式，联立求解即可得到答案； （3）由题意表示出点，点，再由菱形的性质分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把 代入得： 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：直线上方的抛物线上存在点，使， 理由如下： 作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； （3）解：设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设， 又，由勾股定理得，解得：或，故点， 设直线的表达式为， 将代入可得，则直线的表达式为， 由，可得直线的表达式为 ， 设直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为：， 点，点，而点； 要使以为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形． ①若，由对称性得， 由，解得， 此时，故； ②若，则， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时； ③若 ，则， 解得：或， 当时，，，此时， 当时，，四边形不存在，舍去； 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定函数解析式、求函数图象的交点方法、勾股定理、菱形性质、二次函数与特殊平行四边形综合等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法是解决问题的关键． 62．已知直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B，抛物线与x轴交于A ，C两点，与y轴交于点B (1)求这个抛物线的解析式 (2)若P是直线上方抛物线上一点，存在点P使得，求点P的坐标 (3)在对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由 (4)点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N，使以A  ，B  ，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)存在， (4)存在，或或 【分析】（1）先求出点，点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再求出，过点P作x轴的垂线，交直线于点H，设，则，求出，由，结合，建立方程求解即可； （3）作点O关于抛物线对称的对称点E，则，则，由为定值，当三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，令，代入计算即可得到结果； （4）分为对角线和边两种情况，利用菱形的性质，求解即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B， 令，，令，， ， 将代入抛物线，则， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：存在， 抛物线与x轴交于A ，C两点， 令，则， 解得：， 根据题意得， ， ， 如图，过点P作x轴的垂线，交直线于点H， 设，则， ， ， ， ，即， 解得：或， 点P的坐标为或； （3）解：存在， 作点O关于抛物线对称的对称点E，连接， 抛物线的对称轴为， ，， 为定值， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长最小， 设直线的解析式，则， 解得：， 直线的解析式， 令，则， ； （4）解：存在， 如图，当以为对角线时， 四边形为菱形， ， 点在x轴上， 点M在点A的左侧， 设， ， ， ， ， ，即， 解得：， ； 如图，当以为边时， 当点M在点A左侧时， 四边形为菱形，， ，， ； 如图，当点在点A右侧时， 同理得：； 综上，点N的坐标为或或 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，轴对称的性质，菱形的性质等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图象及性质．解题关键是找特殊点，充分利用对称轴，顶点坐标等知识． 63．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求的最大值； (3)如图2，点是抛物线上一动点且位于对称轴左侧，交对称轴于点，将线段绕点旋转得到点的对应点．是否存在的位置，使点落在轴上？若存在，请求出满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由； (4)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值是 (3)或 (4)或或或或． 【分析】（1）根据，，得，，，再由待定系数法即可求出解析式； （2）作轴于点F，交于点E，用含m的式子表示出D、E的坐标，进而表示出，根据，列出S关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）由题意知，，设对称轴与轴交点为点，过点作对称轴的垂线交于点，可证明，得到，再根据线段顺时针或逆时针旋转，分情况讨论，分别求出点坐标，再求出直线解析式，与抛物线联立求交点即可； （4）分为边和为对角线两种情况，根据菱形的邻边相等以及对角线中点坐标相同讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，， ∴可设抛物线的表达式为， 把代入得，，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ∴ ∴， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，且点D在抛物线上， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值是； （3）解：由题意知，， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设对称轴与轴交于点， 如图，过点作交直线于Q， ①当线段顺时针旋转得到线段时， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为； ②当线段逆时针旋转得到线段时， 同理可证， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或； （4）解：设， 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 如图所示，当四边形是菱形时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵菱形对角线交于一点，且对角线互相平分， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，旋转的性质，两点距离公式，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，中点坐标，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 64．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)存在，的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）将、，代入即可求解析式； （2）如图，连接，，，设，而，，则，，，再利用割补法建立面积函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）根据题意，以，，，为顶点的四边形为菱形，可分四种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过、，． ，解得：， ∴抛物线为：； （2）如图，连接，，， 设，而，， ∴，，， ∴ ，其中， 当时，取得最大值， 此时P的纵坐标为：， ∴， 所以当时，取得最大值． （3）存在，由（2）知，又， ， 在轴上，以，，，为顶点的四边形为菱形， ①如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ②如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ③如图，当，且互相平分时， 此时关于轴对称，； ④如图，当，且互相平分时，， 设相交于，过作交于， 易得， ，即， 解得， ； 综上，存在，的坐标为或或或． 65．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线关系式； (2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积最大值是16，此时P的坐标为 (3)存在，点N的坐标为，，， 【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的关系式； （2）连接，设P点坐标，根据，可得，然后利用二次函数的性质即可求得四边形面积的最大值； （3）分情况进行解答并利用菱形的性质即可求出点N的坐标． 【详解】（1）解：将，两点代入解析式得，， 解得：， ∴抛物线关系式， （2）连接， 对于抛物线， 当时，可有，即， 又∵，， ∴， 设P点坐标，则 ， ∵，此函数有最大值， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值，最大面积是16． 当时，，此时P的坐标为． （3）存在， 此时点N的坐标为：；；；． 由，可知，对称轴为直线， ∴，连接，可得， 设直线解析式为， 将点，代入， 可得，解得， 所以直线解析式为， ①当为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时， 过点作轴于点G， 设，则，，， ∴， 解得（舍去），或， ∴，； ②当为边，且四边形为菱形时，如图所示， 此时，过点作轴于点H，过点作轴于点T， ∵， ∴，， ∴， ， ∴，， ∴，， ∴，； ③当为对角线，且四边形CNEM为菱形时，如图所示， 取的中点K，过点K作，交于点M， ∴， 设直线的表达式为：，把，代入可得， 解得 ∴直线的表达式为：， ∵直线与直线垂直，且过的中点， ∴直线的表达式为：， 联立，解得， ∴， ∴， 综上可知，此时点N的坐标为：，，，． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、四边形的面积、菱形的存在性等，分类讨论思想；利用数形结合思想和分类讨论思想进行正确的讨论是解题的关键． 66．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)存在，， 【分析】本题考查了二次函数与面积，特殊四边形的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，菱形的性质，平移的性质等知识点． （1）先求出直线与坐标轴的交点，再由待定系数法求解二次函数解析式； （2）先求出，过点D作y轴的平行线交于点K，则，则，那么，由，得到，再由二次函数的性质即可求解； （3）由菱形可得，设，则，解得，故，再由平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当； 当，则，解得， ∴，， ∵对称轴为直线 ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵，抛物线对称轴为， ∴， ∴ 过点D作y轴的平行线交于点K， 则，则， ∴ ∵， ∴ ， ∵，， ∴当时，取得最大值为，此时； （3）解：存在， 如图，设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴点向点的平移方式与点C向点Q的平移方式一样， ∵，，， ∴由平移的性质可得． 67．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，抛物线的对称轴与交于点．地 城 类型12 二次函数相关矩形存在性问题 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得四边形的面积最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出，从而可得直线的解析式为，连接、、，作轴交直线于点，设，则，表示出，再根据，并结合二次函数的性质计算即可得出结果； （3）由等腰直角三角形的性质可得，设点关于的对称点为点，则，，求出，得到点和点关于直线对称，即，求出，由题意可得，设，再由矩形的性质和勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于、两点，抛物线的顶点的坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图：连接、、，作轴交直线于点， 设，则， ∴， ∵，，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，为，此时， ∴点的坐标为； （3）解：如图： ∵，， ∴， ∴， 设点关于的对称点为点，则，， ∴， ∴点和点关于直线对称， ∴， ∴， ∴，即， ∵以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形， ∴， 设， ∵，，， ∴， 解得：或， 当时，，由矩形的性质可得此时， 当时，，由矩形的性质可得此时； 综上所述，点的坐标为或． 68．如图，抛物线与轴交于，，顶点为． (1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________． (2)为抛物线上一点，当时，求M点坐标． (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，顶点D的坐标是，对称轴是直线； (2)； (3)， 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，可证，得到，，即可得，过点作的垂线交于点，交抛物线于点，可知，，利用中点坐标公式可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后联立两函数解析式解方程组即可求解； （）先求出顶点的坐标，设，，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标是，对称轴是直线； （2）解：如图，把绕着点逆时针旋转到位置，过点作轴于点，则，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作的垂线交于点，交抛物线于点， ∵，， ∴，， 即点为的中点， ∴， 即， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得，， ∴； （3）解：存在． ∵， ∴， 设，， 如图， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴， ∴对角线交点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴． 69．如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)求三角形的面积； (3)若点P是抛物线在一象限内上方一动点，连接，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)10； (3)存在，； (4)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）将点和代入，解得，即可得解； （2）令，得，，又可知，再利用三角形的面积公式求； （3）由已知可得的面积为8，求出直线的解析式为，过P点作轴，交于点M，设，则，则，求出，则； （4）设，当当时时，过点Q作轴交H点，过K作轴交G点， ，证明，得到，则，所以；当时，与x轴的交点为F，与y轴的交点为H， 证明，则有，求得，则，可求． 【详解】（1）的图象过点和， ， 解得 抛物线的解析式的解析式为 （2）令，则，解得或， ∴， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： ∵四边形的面积为18， ∴的面积为8， 设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 过P点作x轴，交于点M， 设，则， ， ∴， ∴； （4）存在，或． 理由如下： 设，当时，如图1， ∵矩形是以为边， ∴， 过点Q作轴交H点，过K作轴交G点， ∵， ， ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵矩形是以为边， ∴， 设与x轴的交点为F，与y轴的交点为H， 过点Q作轴交G点，过K作轴交E点， ， ， ∴或（舍）， ∴， ∴ 综上，或； 70．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点F的坐标为或或或 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，可得，用待定系数法即可求解； （2）分两种情形讨论：①当为对角线时，②当为边时，先求出点E的坐标，再利用平行四边形的中心对称性求出点F的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， 与x轴交于点A，， ∴点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式； （2）设， ∵，， ∴， ①以为对角线时，如图， ， ∴， 解得：，或， ∴点或， ∵，， ∴，或， ，或， ∴点F的坐标为或； ②以为边时，如图， 当时， ∴， 解得， ∴， 当时， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴，或，， ∴，或，， ∴点F的坐标为或． 综上所述：存在，点F的坐标为或或或． 71．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上，，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 72．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为或． 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入和可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴把代入可得：， ∴， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示： 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：由（2）知，，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的对称性可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：点坐标为或． 73．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点．地 城 类型13 二次函数相关正方形存在性问题 (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 74．如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在， (4)存在，点的坐标为：或或 【分析】（1）由对称轴为，计算得到，将点D的坐标代入抛物线表达式求出，计算即可； （2）求出，当时，，即可判断点D在抛物线上 （3）设点关于抛物线对称轴的对称点为点，可知，连接并延长交直线于点，此时最大，设直线的表达式为：，求出直线的表达式为：，即可得到 （4）连接，勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，进而得到当于点重合时，满足题意，作关于点得对称点，易得为等腰直角三角形，且点在抛物线上，得到点于点重合时满足题意，过点作的平行线交抛物线于点，求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标，求出，满足题意，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由题意得：， 当时，， 故点D在抛物线上； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点， ∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令，解得：， ∴， 设直线的表达式为：，将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ （4）存在，理由如下： 连接， ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点，则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于，当时，， 故，在抛物线上，满足题意； 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴， 故存在正方形； 综上：存在，点的坐标为或或 75．如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式是； (2)3 (3) 【分析】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图象及性质，三角形和正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）根据题意得出，，连接，然后结合图形得出即可求解； （3）分是正方形的边和是正方形的对角线两种情况分析，再根据正方形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于点 ∴，， ∴， ∴直线的解析式为，抛物线的解析式是； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴点A的坐标是， 当时，， ∴点C的坐标是， ∴， 连接，如图所示： ∴； （3）解：当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示： 此时M点与A点关于y轴对称，点Q与点O重合，点P与点Q关于对称， ∴，， ∴，，， ∴当，时，四边形为正方形； 同理，当点M与顶点C重合，点Q与点O重合时，如图所示： ∴当，时，四边形为正方形； 当是正方形的边时，为对角线，连接，如图所示：作点A关于的对称点M， ∴，， ∴当，时，，四边形为正方形； 如图，当是正方形的对角线时，如图所示： ∴点P的纵坐标为 ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述：M点坐标为． 76．如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当的值最大时，点的坐标为，最大值为 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识点； （1）根据抛物线与轴交于，对称轴：直线，列方程组求解即可； （2）先求出直线解析式为，过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，得到，则，再求出，设，则，，代入计算求最大值即可； （3）过作轴，由得到，根据给定的条件发现在内部，即，但是由以为顶点的四边形为正方形，得到必定是等腰直角三角形，或，与矛盾，据此得到不存在以为顶点的四边形为正方形． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：令，则，令，则，解得， ∴，， 设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， 过作轴交直线于，过作轴交直线于，则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时， ∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为； （3）解：不存在，理由如下： 过作轴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方， ∴在内部， ∴， 假设存在以为顶点的四边形为正方形， ∴必定是等腰直角三角形， ∴或，与矛盾， ∴假设不成立， ∴不存在以为顶点的四边形为正方形． 77．如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在的坐标为或时，使得四边形是正方形 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题． （1）利用将、代入，利用待定系数法即可求解； （2）由题意，设，四边形是正方形，可知，得则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，将、代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下： 由题意，设， ∵，四边形是正方形，轴，则， ∴， 则， 即：， 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形． 78．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点，点的坐标为或 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）将、两点坐标代入到中，利用待定系数法求函数解析式． （2）由题意和可得点坐标，与点坐标代入一次函数，中解出解析式，从而得出点坐标，再分两种情况：①当为正方形的一条边时，②当为正方形的对角线时，根据正方形的性质，即可求解． 【详解】（1）将，代入中， 得， 解得： 抛物线的函数表达式为． （2）由题意和可得， ， 可设直线的函数表达式为：， 将代入得：， ， 直线的函数表达式为. 设（），分两种情况： ①当为边时，如图1，四边形是正方形（点、可互换位置）. 则， 故的纵坐标与的纵坐标相等为， 将代入中，可得的横坐标为， 则点E的坐标为， ，即， 解得（，要舍）或， 点的坐标为． ②当为对角线时，如图2，连接，过点作轴于点H， ，， 易得， 则， 则的纵坐标为， 点的坐标为． 点在直线上， ， 解得或2（，要舍）， 点的坐标为． 综上可得：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或． 79．如图，在直角坐标系中，点C在第一象限，轴于B，轴于A， ，有一反比例函数图象刚好过点C．地 城 类型14 反比例函数相关特殊四边形存在性问题 (1)分别求出过点C的反比例函数和过A、B两点的一次函数的函数表达式． (2)直线轴，并从y轴出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，交反比例函数图象于点D，交于点E，交直线于点F，当直线l运动到经过点B时，停止运动，设运动时间t(秒)． ①问是否存在t的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． ②若直线l从y轴出发的同时，有一动点Q从点B出发，沿射线方向，以每秒3个单位的速度运动，是否存在t的值，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形？若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)①不存在，理由见解析；②当时，以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形；当时，点Q在线段的延长线上，平行四边形只是矩形． 【详解】（1）解∶(1)由题意可得∶点C的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为． 设过点C的反比例函数的表达式为，则有， ∴过点C的反比例函数的表达式为． 设过A、B两点的一次函数的表达式为， 则有， 解得． ∴过A、B两点的一次函数的表达式为； （2）①不存在． 轴，轴， ． 当四边形是平行四边形，则：． 设，则， ， ．此时与重合， 不存在t的值，使四边形为平行四边形． ②存在．当时，点Q在线段上， 此时，，． 当时，， 整理可得：， ∵， ∴方程无解， ∴当时，不存在t，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形． 当时，点在线段的延长线上， 由，，得． 由，．得． 当时，四边形为平行四边形． ． ，（舍） 当时，四边形为平行四边形． 又且， 为矩形． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式以及平行四边形的判定、解方程、根的判别式等知识，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解答本题的关键． 80．如图，已知在平面直角坐标系中，其中，，且、、． (1)求点坐标； (2)将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点、正好落在某反比例函数图像上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式； (3)在（2）的条件下，直线交轴于点．若存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得由、、、四点构成的四边形是平行四边形．请直接写出点和点的坐标；若不存在满足题意的平行四边形，请说明理由． 【答案】(1) (2)反比例函数解析式为，此时的直线的解析式 (3)存在点、点使得、、、四个点构成的四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为或点的坐标为，点的坐标为 【分析】（1）过点作轴于点，证明，由全等三角形的性质可得，，进而可得，即可求得答案； （2）根据平移的性质，可设点的坐标为，则点的坐标为，结合点、正好落在反比例函数图像上，可设该反比例函数解析式为，易得，解得，进而可得点，点，设直线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （3）分为平行四边形的边和为平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图所示， ∵、， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （2）根据题意，将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点为、， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点、正好落在反比例函数图像上， 设该反比例函数解析式为， 则有，解得， ∴点，点， ∴，即反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，点代入， 可得，解得 ∴直线的解析式为； （3）对于直线，当时，， ∴， 当为平行四边形的边时，如下图，此时四边形为平行四边形， ∵，， 又∵点在轴上，即的纵坐标为0，点在反比例函数的图像上， ∴点的纵坐标为， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为； 当为对角线时，如下图， 设是的中点， ∵，， ∴， 过点作直线与轴交于点，与的图像交于点， 若四边形是平行四边形， 则有， 易知点的横坐标大于，点的横坐标小于， 作轴于点，轴于点，与交于点，作轴于点， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴点的横坐标，点的纵坐标，点的坐标是， ∵在反比例函数的图像上，即， 解得， ∴，． 综上所述：存在点、点使得、、、四个点构成的四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为或点的坐标为，点的坐标为． 81．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知点、、． (1)将矩形向右平移m个单位，得到矩形，若、恰好落在反比例函数的图象上，求出此时m的值和反比例函数的解析式； (2)在（1）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B、D四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为， (2)存在，点Q的坐标为或或 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，正确求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据平移规则求出、的坐标，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程进行求解即可； （2）分为边和为对角线，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：矩形向右平移m个单位，、，则点、的坐标分别为、， 将点、的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得，， 故反比例函数表达式为，． （2）解：存在，理由：设点，点， ①当是边时，点D向右平移4个单位，向下平移2个单位得到B， 则点向右平移4个单位，向下平移2个单位得到，故，即， 故点Q的坐标为或． ②当是对角线时，可得中点的横坐标为， ，解得， 故点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 82．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点C为线段上一点，且，连接，求； (3)当反比例函数大于一次函数时，直接写出自变量x的取值范围； (4)如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在P、Q两点（点P在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)3 (3)或 (4)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用，而，则，即可求解； （3）根据函数图象即可求解； （4）分为和两种情况讨论，分别构造“三垂直相似”证明，利用相似三角形的性质得到，设，，分别得到关于、的方程求解即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：， 则反比例函数的解析式为：， 将点的坐标代入反比例函数的解析式得：， 即点， 由点、的坐标得，， 解得， 则一次函数的解析式为：； （2）解：如图，连接、、， 对于， 当，， 解得： ∴点， 则， ， ∴， 则； （3）解：∵， ∴由图象可得：反比例函数大于一次函数时，自变量x的取值范围为或； （4）解：存在， 由题意得，，或， ①当时， 过点作轴的平行线分别交过点、与轴的平行线于点、， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则，， 则，， 解得：，， 则点； ②当时， 同理可证明：， ∴， 设，， 则，， 则且， 解得：，， 则点； ∴综上所述，点P的坐标为或． 83．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 84．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数交于点和点B． (1)求反比例函数的解析式和点B的坐标； (2)若点在反比例函数图象上，求的面积； (3)点C为x轴上一点，在坐标平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)15 (3)存在，点的坐标为或或 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数交于点 将点代入，则 ∴， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数解析式为：， ∵一次函数与反比例函数交于点和点B． ∴ ∴ 解得（舍）或 ∴； （2）解：∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴； 设直线：， ∴代入点得，， 解得， ∴直线， 过点轴交于点， 当，， ∴ ∴； （3）解：设 ∵以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形， ∴为等腰三角形， ①时， 解得，， ∴，， 当平行四边形时， ∴ ∵， ∴点向右平移个单位，向下平移5个单位得到点， ∴向右平移个单位，向下平移5个单位得到点； 当平行四边形时， ∴ ∵， ∴点向右平移个单位，向下平移5个单位得到点， ∴向右平移个单位，向下平移5个单位得到点； 当时， ， 解得， ∴， 当平行四边形时， ∴ ∵， ∴点向左平移个单位，向下平移1个单位得到点， ∴向左平移个单位，向下平移1个单位得到点； 当时， ， 整理得，，此时，方程无实数根， 故不存在点使得， 综上：在坐标平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或． 85．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接．地 城 类型15 二次函数与相似三角形综合 (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c即可； （2）①先求出直线的表达式为，过P作轴，交于Q，设，则，，结合，得出方程，解方程即可； ②先求出，根据与相似，且，则分两种情况讨论：当时，或，设，则或，分别解方程求出x，即可求出P的坐标；当时，过P作于H，证明，进而判断出与相似，，则或，然后同理可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：①令，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴， 过P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得（不符合题意舍去），， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对称轴上，且与相似， ∴当时， 或， 设， 则或， 解方程，得，， ∴， ∴， 解，得，， ∴， ∴， 当时， 过P作于H， 则， 又， ∴， 又与相似， ∴与相似，， ∴或， 同理可求或， 综上：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想和添加合适的辅助线是解答类似题的关键． 86．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点，是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方时，求面积的最大值． (3)直线与线段相交于点，当与相似时，直接写出点的横坐标___________． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)最大值为； (3)或或或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设直线与轴交于点，如图，设，直线解析式为，则，解得，则直线解析式为，又，再通过二次函数的性质即可求解； （）由（）得抛物线解析式为，当时，，则，所以，故有，当与相似时，分两种情况，当时，即，当时，即，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线与轴交于点，如图， 设，直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为； （3）解：由（）得抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当与相似时，分两种情况， 当时，即，如图， ∴， 由题意可得，，， ∴， ∴， 由，，同理可得直线解析式为， 设， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立， 解得：或； ∴点的横坐标为或； 当时，即，如图， ∴， 由，，同理可得直线解析式为， ∴直线解析式为， 联立， 解得：或； ∴点的横坐标为或； 综上可得：点的横坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 87．抛物线过点，顶点为，与轴交于、两点（在点左侧），且． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)若点在抛物线上且，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点的坐标为； (2)点的坐标或； (3)点的坐标． 【分析】（1）先求得，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得点的坐标为，在线段上取点，使，此时，求得，则，分点在轴上方和下方时，两种情况讨论，分别求得直线的解析式，联立解一元二次方程即可求解； （3），则，作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和，证明，求得点的坐标为，求得直线的解析式，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：令，则， 解得或， ∴点的坐标为， 在线段上取点，使，此时， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 则， ∴， ∵， ∴， 当点在轴上方时，设交轴于点， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标； 当点在轴下方时，设交轴于点， ∴，解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标； 综上，点的坐标或； （3）解：∵， ∴， 如图，作交的延长线于点，过点作轴，分别过点和作的垂线，垂足分别为和， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，解直角三角形，一次函数，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质，合理添加辅助线是解题的关键． 88．如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接、．求的面积最大值及此时点的坐标； (3)点为轴上一动点． ①若的垂直平分线交于点，交抛物线于、两点，且点在第三象限，当线段时，求点的坐标； ②若点是直线上一点，当与相似时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，此时点的坐标为； (3)①；②或或或或或． 【分析】（1）利用对称轴公式即可得出b的值，再利用抛物线与y轴交于点，求出抛物线解析式即可； （2）求出直线的解析式为，连接、，过点作轴交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，求得，得，根据二次函数的性质得出结论； （3）①过作轴于，求出，，，求得，由垂直平分可得结论；②根据相似三角形的相似条件画出图形即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， 解得，， ∵点在点左侧， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 如图，连接、，过点作轴交直线于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∴． ∵， ∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为； （3）①过作轴于，如图： 在中令得，令得，， ∴，，，且对称轴， ∴，直线解析式为， ∵， ∴， ∵轴，由对称性可得，对称轴， ∴，即横坐标为， ∴， ∵垂直平分， ∴ ∴ ②∵，，， ∴， 当与相似时，是直角三角形，且两直角边比为，分三种情况： 为直角顶点，如图3： ∵， ∴若时，则可得，同理， 若，则，可得，同理， 为直角顶点，如图： ， 若，则，，同理可得， 若，则，，同理可得， 为直角顶点，过、作直线的垂线，垂足分别是、，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴，且， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， 综上所述，当与相似时，的坐标为：或或或或或 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题型以及直角三角形的性质和待定系数法求一次函数解析式等知识，利用直角三角形的性质得出a的值是解题关键，学会分类讨论的思想解决问题，注意最后一个问题答案比较多，考虑问题要全面． 89．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，是坐标原点，已知点的坐标是，． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）根据题意求出点的坐标，再结合，可求出点的坐标，再根据待定系数法求得函数解析式，即可求解； （2）过点作轴于点，证明为等腰直角三角形，得出，求出，先求出直线的解析式，设点的坐标为，求出，，根据二次函数最值，求出最后结果即可； （3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得出关于的方程，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点， 令，得， ∴点的坐标为． ∴． ∵， ∴， 即点A的坐标为． ∵点， ∴， 解得． ∴抛物线的函数表达式是，即． ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：如图1，过点作轴于点， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． ∴． 设直线的解析式为，把代入得：，解得， ∴直线的解析式为． 设点的坐标为， ∵轴， ∴． 把代入得：，解得， ∴． ∴ ． ∴当时，有最大值，且最大值为． ∴的最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：如图2， 设点的坐标为， ∵，， ∴为的锐角三角形． 也是锐角三角形． ∴点在点的上方． ∴． ∴． ∵，，， ①当时， ∴，即，解得， 即点． ②当时， ∴，即，解得， 即点． 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 90．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且其顶点为点，连接，，． ①求证：； ②若点是轴上一点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①见解析；②点的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出的坐标，两点间的距离公式结合勾股定理逆定理，即可得出结论；②分点在轴正半轴和负半轴上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点和， ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）当时，，解得或， 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为， 当时，， 点的坐标为； ， 顶点的坐标为， ①由两点间距离得，， ， ，， ， 是直角三角形， ； ②当点在轴正半轴上时，设点坐标为， 以点，，为顶点的三角形与相似， 或， 或， 或， 解得或，此时点的坐标为或； 当点在轴负半轴上时，同理可得点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 91．如图，直线与，轴分别交于、两点，为双曲线上的一动点，轴于，交线段于，轴于，交线段于．地 城 类型16 反比例函数与相似三角形综合 (1)点E的坐标为 　 　，点F的坐标为 　 　(用a，b的式子表示)； (2)当点运动且线段、均与线段有交点时，在下列个问题中任选一题探究； ①与是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，请简短说明理由； ②、、这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由． (3)的大小是否会改变？若不变，求出∠EOF的度数，若会改变，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①与一定相似，理由见解析，②BE、EF、FA这三条线段能组成一个直角三角形，理由见解析 (3)的大小不变，为 【分析】（1）根据点的坐标得出的纵坐标以及的横坐标，分别代入一次函数即可求解； （2）①根据（1）的坐标，得出，继而得出，又，即可判断，继而证明； ②根据点的坐标得出，根据勾股定理的逆定理来进行判断即可求解； （3）同（2）①得，得出，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ，， 故答案为：，； （2）①与一定相似， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②， ， 点在上， ， ， ， 、、这三条线段能组成一个直角三角形； （3）的大小不变， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 的大小不变，为． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，勾股定理及其逆定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 92．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)请直接写出A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，，直线交射线于点D，若，且相似比为2，求a的值； (3)在直线的上方有一点P，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为k，且与在点P的同侧，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，当k取最小值时，求P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)的最小值为， 【分析】（1）在中，当时，，即可得出点的坐标，当时，，解得，即可得出点的坐标； （2）由相似三角形的性质可得，再结合一次函数的性质可得直线的表达式为，设点，求出，从而可得，求出，即，再利用待定系数法求解即可； （3）由位似三角形的性质可得，从而可得，即可得出，过点作轴于，轴于，则，证明，得出，设，则，求出，同理可得，将两个点代入反比例函数的解析式可得， 设，，则，，求出，从而可得，再由一元二次方程根的判别式得出，从而可得的最小值为，此时，，将，，代入和计算即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即； （2）解：∵， ∴， ∴直线的表达式为， 设点， ∵，， ∴， ∴， ∵，且相似比为2， ∴， ∵， ∴，即， 将代入反比例函数的解析式可得， ∴； （3）解：如图： ， ∵在直线的上方有一点P，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为k，且与在点P的同侧，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 过点作轴于，轴于， 则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 同理可得：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，， ∴， 设，，则，， ∴， ∴， 代入可得：， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为，此时，， 将，，代入和可得，， 解得：，， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的性质，勾股定理，位似的性质，反比例函数几何综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 93．如图，已知矩形OABC，OA在y轴上，OC在x轴上，，，双曲线与矩形的边AB、BC分别交于点E、F． (1)若点E是AB的中点，求点F的坐标； (2)将沿直线EF对折，点B落在x轴上的D处，过点E作于点．问：与是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由． 【答案】(1) (2)，相似比为 【分析】（1）根据点E是AB中点，可求出点E的坐标，将点E的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，再由点F的横坐标为4，可求出点F的纵坐标，继而得出答案； （2）证明∠GED=∠CDF，然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF，设点E坐标为，点F坐标为，即可得，在Rt△CDF中表示出CD，利用对应边成比例可求出k的值． 【详解】（1）∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4， ∴点E的坐标为（2，2）， 将点E的坐标代入，可得k=4， 即反比例函数解析式为：， ∵点F的横坐标为4， ∴点F的纵坐标=， ∴点F的坐标为（4，1）； （2）由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°， ∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°， ∴∠CDF=∠GED， 又∵∠EGD=∠DCF=90°， ∴△EGD∽△DCF， 结合图形可设点E坐标为，点F坐标为， 则， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是利用点E的纵坐标，点F的横坐标，用含k的式子表示出其他各点的坐标，注意掌握相似三角形的对应边成比例的性质． 94．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式； (3)在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查相似三角形的性质，反比例函数与几何综合； （1）令，则；，则，进而即可求解； （2）由相似三角形的性质得，从而得的解析式为：，设，进而即可求解； （3）分①当M、N在直线的左侧时，②当M、N在直线的右侧时，两种情况画出图形，利于相似三角形的性质，表示出M、N的坐标即可求解 【详解】（1）解：令中，，则；，则， ∴A，B两点的坐标分别是：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的解析式为：， ∵，相似比为2， ∴， 设，则， ∴，即， ∴该反比例函数的表达式：； （3）解：①当M、N在直线的左侧时， ∵以P为位似中心画，使它与位似，M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴， ∴M、N关于直线对称， ∴点P在直线上， 设，（）， ∵相似比为5， ∴， ∴，即， 同理：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵与位似，且相似比为5， ∴， ∴，解得：（舍去）或， ∴； ②同理：当M、N在直线的右侧时，设，， ， 同理：， ∵M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵与位似，且相似比为5， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， 综上所述：或 95．【发现问题】数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，并与双曲线交于点． 【提出问题】徐老师认为可以求出直线与双曲线的解析式； 【分析问题】徐老师在图中连接，过点作于点（如图2），问同学们是否能求出的值；老师又提出，若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解决问题】 (1)求直线与双曲线的解析式； (2)连接，过点作于点，求的值： (3)若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求直线与双曲线的解析式； （2）根据，求出，再利用勾股定理求出，即可求解； （3）过点A作轴，先证是等腰直角三角形，推出，分或两种情况，则或，代入数值求出即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， 直线解析式为， 点在直线上， ， ， 将代入，得：， 解得， 双曲线的解析式为； （2）解：，， ，，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点A作轴，垂足为点N， 对于直线，令，得， ， ，， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 若以点、、为顶点构成的三角形与相似， 则或， 或， 或， 解得或， ，点D在点C右侧， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用等面积法求三角形的高，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的存在性问题，第三问有一定难度，证明，注意分情况讨论是解题的关键． 96．直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求直线的解析式． (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵与反比例函数的图象分别交于点和点， ∴，， ∴，， 则有， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：如图， 在中，当时，，即， 当时，，解得：，即， ①当时， ∵， ∴， 此时． ②当时，易知， 设，则，，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得，此时点的坐标为； 综上所述，满足条件的点坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数与反比例函数相关综合题 （16种类型96道） 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．地 城 类型01 二次函数相关角度问题 (1)求拋物线的函数表达式： (2)如图1，是线段上方拋物线上的一个动点，过点作交于点，为轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在平面内，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线在平移后的新抛物线上确定一点．使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（）中取得最大值的条件下，将原抛物线向左平移，使新抛物线经过原点，平移后点的对应点为．过点作轴于点，为直线上一点，且满足，在轴下方新抛物线上确定一点，使的角平分线与轴所成钝角与互补，直接写出所有符合条件的点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点（点在点左侧），点坐标是，抛物线与轴交于点，抛物线顶点为点，连接． (1)求抛物线的函数表达式并直接写出顶点的坐标． (2)直线与抛物线的对称轴交于点，点为直线上一动点．当的面积等于的面积的倍时，求点的坐标； (3)若点为抛物线上一动点，横坐标为，设抛物线在点和点之间的部分（包括点和点）的最高点纵坐标为，最低点的纵坐标为，且，求与的函数关系式． (4)在（2）的条件下，当点在轴上方的直线上时，点是抛物线上一动点，当时，请直接写出此时点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，过点作于点，点、是抛物线的对称轴上的两动点，点在点上方且，连接、，当长度取得最小值时，求长度的最小值； (3)在（2）中长度取得最小值的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，点为点的对应点，点为抛物线上一动点，点为抛物线与轴左侧的交点，若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标．并写出其中一个点的求解过程． 5．如图1，已知抛物线与轴交于，两点（在左侧），与轴交于点，连接、，若，． (1)求点坐标及抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上的一个动点，连接、，、为上的两个动点且满足（在左侧），为上一个动点，连接、，当最大时，求的最小值； (3)如图2，将抛物线沿着射线平移得到新抛物线，上找一点，连接，当与互补时，请直接写出所有符合条件的的横坐标． 6．如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点，于点，轴于点，交线段于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长最大时，求点的坐标； (3)如图②，点是抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 7．如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．地 城 类型02 二次函数相关面积最值问题    (1)求此抛物线的解析式； (2)试判断的形状，并说明理由，且求； (3)若点Q是直线上方抛物线上的一个动点，则的面积有最大值吗？若有最大值，请求出最大值，若没有最大值，说明理由． 8．如图，二次函数的图象与轴交于点、点，点是该函数与轴的交点，且，连接、． (1)求二次函数的表达式； (2)判断的形状并说明理由； (3)若是此二次函数图象上第一象限内的点（如图），设点横坐标为，记的面积为，写出关于的函数关系式，有没有最大值?如果有，求出的最大值． 9．已知如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求的最大值，并求取得最大值时x的值； (3)如图2，在抛物线上是否存在一点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标，若不存在请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象经过坐标原点且与x轴交于点A，若抛物线顶点坐标． (1)求该抛物线的表达式； (2)若过点A的直线与抛物线交于A，B两点，连接． ①求证：； ②若M为x轴上方的抛物线上任意一点，判断的面积是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 11．如图，抛物线与直线交于点，B，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点E，N是线段上一动点（不与点A，B重合），过点N的直线交抛物线于点M，且轴，连接，，，． (1)求拋物线和直线的函数表达式． (2)四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形的面积的最大值；若不存在，请说明理由． (3)求证：． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点，交轴于，两点（在的左侧)，连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，连接、，点是抛物线对称轴上的一动点，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)在（2）中当的面积取得最大值时，连接，将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一个动点，当，请写出所有符合条件的点的坐标． 13．如图，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝（x＞0）的图象于点A，C．地 城 类型03 反比例函数相关求面积 (1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标； (2)若点B是y＝（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积． (3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积． 14．如图，将一矩形放在直角坐标系中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点是边上的一个动点（不与点、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点． 若、的面积分别为、，且，求的值； 在的结论下，当，时，求三角形的面积． 15．如图，已知，，三点在反比例函数的图象上，且． (1)当时，连接，，，求的面积（用含k的式子表示）． (2)请比较与的大小关系，并说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B在函数y1＝（x＞0）的图象上，边AB与函数y2＝（x＞0）的图象交于点D．求四边形ODBC的面积． 17．如图，点C在反比例函数y的图象上，CA∥y轴，交反比例函数y的图象于点A，CB∥x轴，交反比例函数y的图象于点B，连结AB、OA和OB，已知CA＝2，求△ABO的面积． 18．如图是反比例函数与反比例函数在第一象限中的图象，点P是图象上一动点， PA⊥X轴于点A，交函数图象于点C，PB⊥Y轴于点B，交函数 图象于点D，点D的横坐标为a． （1）用字母a表示点P的坐标； （2）求四边形ODPC的面积； （3）连接DC交X轴于点E，连接DA、PE，求证：四边形DAEP是平行四边形． 19．如图，点A，B在反比例函数y（k＞0，x＞0）的图象上，AM⊥x轴于点M，BC∥AM交线段OA于点C，连结OB．已知点A，B的横坐标分别为6，4．地 城 类型04 反比例函数相关已知面积求反比例系数 (1)求的值． (2)当△AOM与△OBC的面积之差等于4时，求k的值． 20．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 21．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，的垂直平分线交双曲线于点P．若，点A的横坐标为m． (1)求k与m之间的关系式； (2)连接，，若的面积为6，求k的值． 22．如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，过B点作BE⊥x轴，垂足为E．若△ADO的面积为1，D为OB的中点， （1）求四边形DCEB的面积． （2）求k的值． 23．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作y轴的平行线交反比例函数的图象于点B，点C在y轴上，若的面积为8，求k的值． 24．如图，在平面直角坐标系中，函数（其中）的图象经过平行四边形的顶点A，函数（其中）的图象经过顶点C，点B在x轴上，若点C的横坐标为2，的面积为6． (1)求k的值； (2)求直线的解析式． 25．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．地 城 类型05 二次函数相关等腰三角形存在性问题 (1)如图①，连接，在轴上存在一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③，连接，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为，连接，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．综合与探究： 在《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战，一次他们在陈塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线来描述．如图，抛物线的顶点M的坐标为与y轴交于点，与x轴交于两点（A在B的左边）． (1)求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式； (2)哪吒、敖丙在飞行中的位置分别为动点，点P在线段上（不与点B重合），点Q在线段上且，设原点到哪吒的距离，敖丙到抛物线顶点的距离，求与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； (3)数学建模 ①在（2）的条件下是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在试求点Q的坐标，若不存在说明理由； ②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标． 27．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴交x轴于点D．已知线段， 直线经过B，C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值； (3)在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标． 29．如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 30．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在直线上找一点Q，使得为等腰三角形，写出Q点坐标． 31．如图1，抛物线与直线（是常数）交于A，B两点（点A在点B的左边），且是直角三角形．地 城 类型06 二次函数相关直角三角形存在性问题    (1)求的值； (2)如图2，将抛物线向下平移，得到抛物线，若抛物线与直线交于C，D两点（点C在点D的左边），与x轴正半轴交于点E．求证：是直角三角形； (3)如图3，若抛物线（）与直线交于M，N两点（点M在点N的左边），点K在抛物线上，当是直角三角形时，直接写出点K的坐标．（用含，的代数式表示） 32．如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点（与点不重合），设点的横坐标为． ①当点在直线的下方运动时，求四边形的面积的最大值及此时点的坐标； ②该抛物线上存在点，使得为直角三角形，请直接写出所有点的坐标． 33．如图1，若二次函数图象与轴交于点A和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线经过B，C两点，点P是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点F为直线上一点，作点A关于y轴的对称点，连接，，当是直角三角形时，直接写出点F的坐标． 35．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 (1)求抛物线的表达式； (2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 36．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，，． (1)求二次函数的表达式； (2)点P在第一象限的抛物线上，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件和结论下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是以为斜边的直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 37．如图1，抛物线与x轴的两个交点中左边的一个交点为，将该抛物线沿y轴翻折，得到抛物线，点A的对应点为点，将抛物线，沿x轴分别向右、向左平移1个单位后，恰好重合（如图2），重合后的抛物线的顶点坐标为．地 城 类型07 二次函数相关等边三角形存在性问题 (1)求平移前的抛物线对应的二次函数的表达式． (2)小明发现：将抛物线，沿x轴分别向右，向左平移个单位，平移后得到的两条抛物线与y轴的交点的位置在发生变化． ①试求出t与m之间的函数表达式． ②在平移过程中，求当m为何值时，是等边三角形． 38．抛物线与轴相交于点，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标； (3)设点是抛物线上位于第一象限的一点且位于对称轴右侧，是抛物线对称轴上的一点，当为等边三角形，求直线的解析式． 39．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点A、． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点，点在坐标平面内，且为等边三角形（点、、顺时针排列）时，连结，试求直线与抛物线交点的坐标，若能，请求出，若不能请说明理由． 40．如图：已知抛物线的图像过点、，点为抛物线在第一象限上的一动点． (1)求、的值； (2)过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一动点，若为等边三角形，求点的坐标． 41．如图，二次函数图像的顶点在原点O处，且经过点，点在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图像上的一点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M．求证：点M到两边的距离相等； (3)在（2）的条件下，当是等边三角形时，求点P的坐标． 42．如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 43．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．地 城 类型08 反比例函数相关等腰三角形存在性问题 (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)点P是在y轴上一动点，连接，若是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 44．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P是x轴上一点，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 45．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点，． (1)求反比例函数与一次函数的函数关系式； (2)根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值； (3)在y轴上找一点P，使得点A，O，P构成以为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的点P的坐标． 46．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）． (1)利用图中条件，求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 47．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 48．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一个动点，且是为腰的等腰三角形，求点的坐标． 49．如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A．地 城 类型09 反比例函数相关直角三角形存在性问题 (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 50．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上有一点P，使得是直角三角形，直接写出点P的坐标． 51．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)点是y轴上的一点，若是直角三角形，请直接写出b的值． 52．如图，一次函数（m，n为常数，）的图象与反比例函数（）的图象交于、两点．    (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是y轴上的一点，若是以AB为直角边的直角三角形，求b的值． 53．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请直接写出当时的取值范围； (3)在反比例函数图象上，是否存在一点使得为直角三角形，且，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 54．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（）的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合图形，请直接写出关于的不等式的解集； (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出的值． 55．如图，平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接．已知，，．地 城 类型10 二次函数相关平行四边形存在性问题 (1)求抛物线的表达式； (2)已知点D为线段上方抛物线上的一个动点，连接．连接，分别交y轴与于点E、F．当四边形的面积最大时，求直线的表达式及此时的面积； (3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由． 56．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)请直接写出：抛物线的解析式为 (2)点在第二象限内的抛物线上，交于点，若与相似，求点的坐标； (3)如图2，点在对称轴上，过点任作直线（不同于对称轴）交抛物线于、两点，点为对称轴上的一个定点，以、为邻边作平行四边形，若在的旋转变化过程中，点始终落在抛物线上，求点的坐标． (4)（选做，不计总分）若平行四边形的面积为，请直接写出直线的函数解析式为 ． 57．综合与探究：如图1，抛物线经过点，与y轴交于点，点E为第四象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线轴，交于点F，连接，当时，求点E的横坐标； (3)如图2，点M是的中点，点N在抛物线上，轴．在（2）中，当四边形为平行四边形时，试探究，在线段上是否存在点P，使以点P，M，N和线段的一个端点为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 58．已知二次函数的图像经过点，和，点P是抛物线上的一个动点，且在直线的下方． (1)求该二次函数的解析式． (2)在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以 B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． (3)在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 59．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 60．如图，抛物线经过，，三点． (1)求b，c的值； (2)点P在抛物线上，当，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 61．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．地 城 类型11 二次函数相关菱形存在性问题 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 62．已知直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B，抛物线与x轴交于A ，C两点，与y轴交于点B (1)求这个抛物线的解析式 (2)若P是直线上方抛物线上一点，存在点P使得，求点P的坐标 (3)在对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由 (4)点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N，使以A  ，B  ，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 63．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点为第一象限抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求的最大值； (3)如图2，点是抛物线上一动点且位于对称轴左侧，交对称轴于点，将线段绕点旋转得到点的对应点．是否存在的位置，使点落在轴上？若存在，请求出满足条件的点坐标，若不存在，请说明理由； (4)若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 64．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 65．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线关系式； (2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 66．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 67．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，抛物线的对称轴与交于点．地 城 类型12 二次函数相关矩形存在性问题 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得四边形的面积最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将抛物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 68．如图，抛物线与轴交于，，顶点为． (1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________． (2)为抛物线上一点，当时，求M点坐标． (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由． 69．如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)求三角形的面积； (3)若点P是抛物线在一象限内上方一动点，连接，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (4)如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 70．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 71．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 72．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 73．如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点．地 城 类型13 二次函数相关正方形存在性问题 (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 74．如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 75．如图，抛物线与直线交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B点的坐标是． (1)求直线及抛物线的解析式． (2)求的面积． (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 76．如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值； (3)若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 77．如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 78．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 79．如图，在直角坐标系中，点C在第一象限，轴于B，轴于A， ，有一反比例函数图象刚好过点C．地 城 类型14 反比例函数相关特殊四边形存在性问题 (1)分别求出过点C的反比例函数和过A、B两点的一次函数的函数表达式． (2)直线轴，并从y轴出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，交反比例函数图象于点D，交于点E，交直线于点F，当直线l运动到经过点B时，停止运动，设运动时间t(秒)． ①问是否存在t的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． ②若直线l从y轴出发的同时，有一动点Q从点B出发，沿射线方向，以每秒3个单位的速度运动，是否存在t的值，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形？若不存在，说明理由． 80．如图，已知在平面直角坐标系中，其中，，且、、． (1)求点坐标； (2)将沿轴的正方向平移，在第一象限内、两点的对应点、正好落在某反比例函数图像上．请求出这个反比例函数和此时的直线的解析式； (3)在（2）的条件下，直线交轴于点．若存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得由、、、四点构成的四边形是平行四边形．请直接写出点和点的坐标；若不存在满足题意的平行四边形，请说明理由． 81．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知点、、． (1)将矩形向右平移m个单位，得到矩形，若、恰好落在反比例函数的图象上，求出此时m的值和反比例函数的解析式； (2)在（1）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B、D四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 82．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点C为线段上一点，且，连接，求； (3)当反比例函数大于一次函数时，直接写出自变量x的取值范围； (4)如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在P、Q两点（点P在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 83．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 84．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数交于点和点B． (1)求反比例函数的解析式和点B的坐标； (2)若点在反比例函数图象上，求的面积； (3)点C为x轴上一点，在坐标平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 85．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，顶点为，连接．地 城 类型15 二次函数与相似三角形综合 (1)求抛物线的表达式； (2)点是抛物线上对称轴右侧的点． ①当点在轴上方时，连接，如果，求点的坐标； ②如果点在对称轴上，且使与相似，请直接写出点的坐标． 86．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点，是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在直线下方时，求面积的最大值． (3)直线与线段相交于点，当与相似时，直接写出点的横坐标___________． 87．抛物线过点，顶点为，与轴交于、两点（在点左侧），且． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)若点在抛物线上且，求点的坐标； (3)若点在抛物线上，且，请直接写出满足条件的点坐标． 88．如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点，连接、．求的面积最大值及此时点的坐标； (3)点为轴上一动点． ①若的垂直平分线交于点，交抛物线于、两点，且点在第三象限，当线段时，求点的坐标； ②若点是直线上一点，当与相似时，请直接写出点的坐标． 89．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与y轴交于点，是坐标原点，已知点的坐标是，． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)点是轴上一动点，若以、、为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点的坐标． 90．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且其顶点为点，连接，，． ①求证：； ②若点是轴上一点，以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 91．如图，直线与，轴分别交于、两点，为双曲线上的一动点，轴于，交线段于，轴于，交线段于．地 城 类型16 反比例函数与相似三角形综合 (1)点E的坐标为 　 　，点F的坐标为 　 　(用a，b的式子表示)； (2)当点运动且线段、均与线段有交点时，在下列个问题中任选一题探究； ①与是否一定相似？如果一定相似，请予以证明；如果不一定相似或一定不相似，请简短说明理由； ②、、这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由． (3)的大小是否会改变？若不变，求出∠EOF的度数，若会改变，请说明理由． 92．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)请直接写出A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，，直线交射线于点D，若，且相似比为2，求a的值； (3)在直线的上方有一点P，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为k，且与在点P的同侧，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，当k取最小值时，求P的坐标． 93．如图，已知矩形OABC，OA在y轴上，OC在x轴上，，，双曲线与矩形的边AB、BC分别交于点E、F． (1)若点E是AB的中点，求点F的坐标； (2)将沿直线EF对折，点B落在x轴上的D处，过点E作于点．问：与是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由． 94．在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，其中交线段于点D，若，且相似比为2，求该反比例函数的表达式； (3)在的内部取一点P，以P为位似中心画，使它与位似，且相似比为5，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，求位似中心P的坐标． 95．【发现问题】数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，并与双曲线交于点． 【提出问题】徐老师认为可以求出直线与双曲线的解析式； 【分析问题】徐老师在图中连接，过点作于点（如图2），问同学们是否能求出的值；老师又提出，若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解决问题】 (1)求直线与双曲线的解析式； (2)连接，过点作于点，求的值： (3)若点在轴的正半轴上，是否存在以点、、为顶点构成的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 96．直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． (1)求直线的解析式． (2)若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $