期末培优专题03 代数与几何综合压轴分类训练（7种类型56道）（期末复习压轴题专项训练）九年级数学上学期北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03代数与几何综合压轴分类训练 (7种类型56道) 类型几何相关折叠问题 类型2几何相关最值问题 类型3几何与函数相关综合题 代数与几何综合 类型4几何动点与函数图像 压轴分类训练 类型5几何相关动点求值 类型6函数与几何相关规律性问题 类型口方程与函数相关定义新运算 目目 类型01 几何相关折叠问题 1.如图，在矩形ABCD中，点M在边AD上，先将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在 点D处，与BC交于点N.之后再将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD'上，点A落在点A处， 点B落在点B处，折痕为ME.若CD=4,MD=8,则EC的长为() 1/83 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】C 【详解】解：矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠， ∠CMD=∠CMD' MD'=DM=8,CD'=CD=4,∠D'=∠D=90° :四边形ABCD是矩形， .AD∥BC, .∠CMD=ZMCN, .∠CMD'=∠MCN, ..MN =CN: 由四边形ABEM折叠得到四边形A'B'EM, ∴.∠AME=∠A'ME, :AD∥BC, ∴.∠AME=∠MEN, .∠A'ME=∠MEN, ..MN =EN, .MN =CN, ..MN EN=NC, 即EC=2MN: 设MN=CN=x,则：ND'=8-x, 在RtCDN中，由勾股定理，得：8-+4 x=5, MN=5, .EC=10, 2/83 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 2.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是边AD,CD上的点，且AE<ED,将矩形沿EF折叠，点D恰 好落在BC边上点G处，再将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在EG上的点H处.若AB=1,AD=2,则 ED的长为() B 5+1 8 5 A.2 B.5 C.5 D.3 【答案】D 【分析】连接DG相交于EF于K点，根据折叠的性质可得∠HEB=∠DGE,进而得出四边形BEDG是平 行四边形，设AE=x,则GH=2-2x,BG=2-x,在RtBHG中，利用勾股定理列出方程，求得AE, 进而可得ED 【详解】解：连接DG相交于EF于K点， A 将矩形沿 折叠，点恰好落在 边上点处， B EF D BC G ∴.DG⊥EF,∠DEF=∠GEF,DE=GE, ∠GEF+∠DGE=90°， 又：将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在EG上的点H处，AB=1, .∠AEB=∠HEB,BH=AB=1,AE=HE,BH⊥GE, ∠AEB+∠HEB+∠DEF+∠GEF-18O°， :∠HEB+∠GEF=90°， :∠GEF+∠DGE=90°， .∠HEB=∠DGE, 3/83 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE∥DG, 又'四边形ABCD是矩形，AD=2, AD∥BC, ∴四边形BEDG是平行四边形， .DE=BG, 设AE=x,则BG=DE=AD-AE=2-x,HE=AE=x, .GH=GE-HE,GE =DE=2-x, .GH=2-2x, :BH=AB=1,BH⊥GE, .在Rt△BHG中，BH2+GH2=BG, 即1+(2-2x=(2- 化简方程解得=3，x=1, AE<ED .2=1 舍去， 六6 ED=2-'=5 33· 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，平行四边形的性质与判定，矩形的性质等知识，掌握折叠的 性质和勾股定理是解题的关键。 3.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、 D重合)，折痕为EF,若BG=4,AB=10,则DF的长为() G(4 B 4/83 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 32 A.7 B.7 C.4.5 D.5 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，作 FH⊥BD,先证明△ABD为等边三角形，进而得到△DHF为含30度角的直角三角形，设DF=x,得到 DH=方FH=5x,折叠得到FG=A=AD-DF=10-x在RVFHG中，利用勾股定理进行求解即可。 【详解】解：，在菱形ABCD中，∠ABC=120°， AB=AD,∠ABD=)∠ABC=60, ∴△ABD为等边三角形， ∴AD=AB=BD=10,∠ADB=60°， BG=4, ..DG=BD-BG=6, 作FH⊥BD于点H,设DF=x,则AF=AD-DF=I0-x, .'∠ADB=60° ∠DFH=30°， DH-TDF-x FH-DH- 2 2 2 ..HG=DG-DH=6 2t, 折叠， .FG=AF=10-x, 在RVc由向股定理利：0-9-6-. 5/83 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x= 32 7； DF=32 9 故选B。 4.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AD=6,点E在边CD上，且DE=4,F是边AD上一动点， 将△DEF沿直线EF折叠，点D落在点N处，当点N在四边形ABCD内部（含边界）时，DF的长度的最 小值是() A ------D N B A.2 8.2 C.4 D.4V2 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并得出点 N的运动轨迹是解题的关键.根据题意可知点N在以E为圆心，DE长为半径的圆上运动，连接DN,由 DF+NF≥DN,即2DP≥DN,DF≥2DN,然后根据点N在四边形ABCD内部（含边界），可推出当 点N正好落在AD边上时，DN最短，此时易证△EDN是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求 得DF. 【详解】解：根据折叠的性质可知，EN=ED=4,DF=NF,E为定点， ∴点N在以E为圆心，DE长为半径的圆上运动，如图所示，连接DN, A D ，即 B .DF+NF≥DN 2DF≥DN 6/83 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DF≥5DW 2 :点N在四边形ABCD内部（含边界）， 肾点y正好落在4D边时，DN最短，此时DF=DN,DF最短，如图所示 四边形 为菱形， ABCD ∠ABC=60° ∴.∠D=∠ABC=60° 又EN=ED=4, :△EDN是等边三角形， .DN EN ED=4, .DF-DN-x4-2 1 故选：A. 5.如图，折叠正方形ABCD的一边AD,使点A落在BD上的点N处，折痕DM交AC于点P.若BM=8, 则AP的长是() A.4V2 8.4 c.22+2 2V2-2 【答案】A 【分析】设AC、BD交于点O,过点P作PE L AD于点E,由正方形的性质可得AB=AD, OA=OB=OD,∠BAD=∠AOD=90°，∠DAO=∠ABO=45°，由对折可得∠DAM=∠MND=90° 7/83 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM=MN∠ADM=∠NDM ,推出 M=w=四，热联句取定里来出：BN-45,则 AD=AB=4W5+8,进面求出OD=01=4+5 证明△OPD≌aEPD 得到 DE=OD=4+42 ,可得 AE=4,由PE⊥AD,∠DAO=45°可得PE=AE=4,最后根据勾股定理求解即可， 【详解】解：如图，设AC、BD交于点O,过点P作PE⊥AD于点E, :四边形ABCD是正方形， .AB=AD,OA=OB=OD,∠BAD=∠AOD=90°，∠DAO=∠AB0=45°， 由折叠可得∠DAM=∠MND=90°，AM=MN,∠ADM=∠NDM, .∠BNM=90° ∠MBN=45°， .MN =BN, .AM=MN=BN, 设AM=MN=BN=x, 在Rt△BMN中，由勾股定理得MN2+BN2=BM2,即x2+x2=82, 解得x4V2 (负值已舍去)， .AM=MN=BN=42 :AD=AB=AM+BM=42+8 0A2+OD2=AD2, 20A=42+8, .OD=0A=4+42 在△OPD和△EPD中， ∠POD=∠PED=90° ∠PDO=∠PDE PD-PD :△OPD≌aEPD(AAS 8/83 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE=OD=4+42 AE=AD-DE=4V2+8-4+4V2]=4 PE⊥AD,∠DA0=45°， .PE=AE=4, .AP=VAE2+PE2=V42+42=4V2 故选：A. A E D Mk-P N B 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定 理，折叠的性质，灵活运用相关知识是解题的关键 6.如图，在边长为8的正方形ABCD纸片中，E、F分别是边BC、AD上的两点，将正方形ABCD沿EF 折叠，点C恰好落在边AB上的中点G处，则EF的长度是() D A G B 4v5 A. 8.3v6 C.10 D.65 【答案】A 【分析】本题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性 质、勾股定理等知识.作DM∥EF,交BC于点M,证明四边形EFDM是平行四边形，再证明 9/83 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △DCM≌△CBGASA ,再利用勾股定理求解即可 【详解】解：作DM∥EF,交BC于点M, D M A G B ·正方形ABCD, AD∥BC, ∴四边形EFDM是平行四边形， .EF DM, ,将正方形ABCD沿EF折叠，点C恰好落在边AB上的中点G处， EF⊥CG, DM⊥CG, ,∴，∠GCB=90°-∠DMC, ∠DCM=90°， .∠MDC=90°-∠DMC, ..∠MDC=∠GCB, ∠DCM=∠CBG=90°，DC=CB, △DCM≌ACBG(ASA) .CM-BG=1AB-4. ADM=V4+82=4V5 BF的长度是45 故选：A 7.如图，在矩形ABCD中，点E在CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上点F处；点G在 10/83 专题03 代数与几何综合压轴分类训练 （7种类型56道） 1．如图，在矩形中，点M在边上，先将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．之后再将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长为（    ）地 城 类型01 几何相关折叠问题 A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为（   ） A． B． C．4.5 D．5 4．如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 5．如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（    ） A． B． C．10 D． 7．如图，在矩形中，点E在上，将沿折叠，点D恰好落在边上点F处；点G在上，将沿折叠，点B恰好落在线段上点H处．若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 8．如图，在等腰直角三角形中，，，点D是边上一点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接，当时，的长为（    ） A． B． C．5 D． 9．如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（　　）地 城 类型02 几何相关最值问题 A．4 B．3 C．5 D．2 10．如图，矩形中，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 11．如图，在△中，，，在上取点，使，作于，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在矩形中，．若点分别是线段上的两个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 13．如图，点为边延长线上一点，连接，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 14．如图，在矩形中，，，点在线段上运动，连接，以为斜边作等腰，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 15．如图，四边形为平行四边形，，，对角线，为上一动点，为上一定点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 16．如图，在矩形中，，是对角线上的动点，连接，将直线绕点顺时针旋转使，且过作，连接，则最小值为（    ） A． B． C．2 D． 17．如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ）地 城 类型03 几何与函数相关综合题 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，，，和都是等边三角形，F为中点，交于G点，下列结论中，正确的结论有（   ） ①；②；③四边形是菱形；④． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 19．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论： ①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图，四边形中，对角线，交于点，若，则下列结论中正确的有 个（    ） ①                ②与的周长比为 ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．如图，在中，点、分别是、的中点，则下列四个结论中正确的结论有几个（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 22．已知点，均在函数的图象上，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．反比例函数与一次函数的图像如图所示，则下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④若均在反比例函数上且，则且    A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 24．如图，函数的图象过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围是，其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．如图，在四边形中，，，点P从点A出发，以的速度向点B运动；点从点C同时出发，以的速度向点D运动，规定当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，的长度为，y与x的对应关系如图所示，最低点为．对于下列说法：①，②，③， 当时，．正确的说法有（    ）地 城 类型04 几何动点与函数图像 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．如图1，在菱形中，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点为第2段函数图象上的最低点，结合图象判断以下结论：①；②为等边三角形；③菱形的面积为；④最低点的坐标为．其中结论正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 27．如图①，点O，A在直线上，射线与直线的夹角，四边形是菱形，点O与点B重合，线段于点O．若菱形以每秒4个单位长度的速度沿射线滑行，设菱形落在射线下方部分的面积为S（如图②）．小丽经过研究发现S与滑行时间t的函数关系的图象是由四段函数图象组成的，并正确绘制了如图③所示的图象（E，F，G为相邻两段图象的公共点），则点G的坐标为（   ）． A． B． C． D． 28．如图①，在菱形中，动点P从点B出发，沿折线运动．设点P经过的路程为的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图②所示，则图②中的b等于（    ） A． B． C．5 D．4 29．如图，在矩形中，，动点由点出发，沿的路径匀速运动，过点作对角线的垂线，垂足为，设的面积为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 30．如图，点P是菱形边上的动点，它从点A出发沿路径匀速运动到点D，设的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　） A．B． C． D． 31．如图1，动点P从矩形（）的点A 出发，沿边→匀速运动，运动到点 C 时停止．设点P的运动路程为x，的周长为y，y与x的函数图象如图2所示，则矩形的面积为（     ）    A．3 B．6 C．7 D． 32．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点A出发沿着AB运动至点B，再沿BC运动至点C，设点P的运动路程为x，，y关于x的函数图象，如图2，其中点M为图象的最低点，点N为两段曲线的公共点，则点N的纵坐标为（   ） A． B． C． D．5 33．如图，在钝角三角形中，，动点从点出发沿以的速度向点运动，到达点停止．同时动点从点出发以的速度沿方向运动，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当以、、为顶点的三角形与相似时（两个三角形不重合），运动时间是 s．地 城 类型05 函数与几何相关规律性问题 34．如图，在矩形中，．动点M从点A出发，沿边向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点M，N同时出发，点M运动的速度为，点N运动的速度为，且．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值为 ．    35．如图，在矩形中，，，B为中点，连接．动点M从点O出发沿边向点A运动，动点N从点A出发沿边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接，，，设运动时间为秒．则 时，为直角三角形． 36．如图，在中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是 ． 37．在正方形中，点P是射线上一个动点，连接，过点C作于点M，过点A作于点N．若，则 ．地 城 类型06 方程与函数相关定义新运算 38．如图，长方形中，，．现有一动点P从A出发以的速度，沿长方形的边运动返回到点A停止，设点P运动的时间为． （1）当时， ； （2）连接，，当 时，是等腰三角形． 39．如图，等边的边长为，为上一点，，是线段上的动点，若点和中的一个顶点的连线与的夹角为，则的长为 ． 40．如图，在矩形中，，，是边靠近点的三等分点．动点在边上运动，过点作，交射线于点，若是线段的中点，则 ，当点从点运动到点时，点运动的路径长为 ． 41．如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则 ．地 城 类型06 方程与函数相关定义新运算 42．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点分别在轴，轴上，点在反比例函数图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为 ． 43．观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题： 如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点．则的值为 ．    44．如图，抛物线的解析式为，点的坐标为，连接：过A1作，分别交y轴、抛物线于点、：过作，分别交y轴、抛物线于点、；过作，分别交y轴、抛物线于点、…：按照如此规律进行下去，则点（n为正整数）的坐标是 ． 45．如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以对角线为边作正方形，……依此规律，则点的坐标是 ． 46．如图，在边长为1的菱形中，，连接对角线，以为边作第2个菱形，使，连接对角线，再以为边作第3个菱形，使按此规律所作的第2025个菱形的边长是 ． 47．直线与轴交于点，与轴交于点，把正方形、和按如图所示方式放置，点、在直线上，点、、在轴上，按照这样的规律，则正方形中的点的坐标为 ． 48．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，，按照此规律作下去，则边的长为 ． 49．定义新运算：对于任意实数，都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．若，求 ．地 城 类型07 定义新运算 50．定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．若（k为实数）是关于x的方程，且是这个方程的一个根，则k的值是 ． 51．定义新运算“”：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，例如，若 为实数是关于的方程，则它的根的情况为： ． 52．定义新运算：，即的取值为，，的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为 ． 53．定义一个新的运算：则运算的最小值为 ． 54．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、乘法运算，例如．若y关于x的函数图象与x轴有两个公共点，则实数k的范围是 ． 55．若定义一种新运算：，例如：@，@．则： （1）@ ； （2）@与直线（为常数）有个交点，则的取值范围是 ． 56．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如1．若y关于x的函数的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $