精品解析：上海市嘉定区第一中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

高二年级第一学期期末考试 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写姓名、学校、班级，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 与的等差中项为______. 【答案】 【解析】 【分析】设与的等差中项为，根据等差中项的定义得到方程，解得即可. 【详解】设与的等差中项为， 则，解得， 所以与的等差中项为. 故答案为： 2. 椭圆的长轴长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程和长轴定义求解即可. 【详解】由椭圆方程可得， 所以长轴长， 故答案为： 3. 半径为2的球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】代入球的表面积公式:即可求得. 【详解】， 由球的表面积公式可得, , 故答案为: 【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题. 4. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线定义可得，解不等式组即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 5. 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】 由可将直线平移到，与相交，则为异面直线与所成角.在中，利用余弦定理即可求值. 【详解】如图，连接，，则， 所以为异面直线与所成角， 由题意可得，， 则 . 故答案为：. 【点睛】本题考查了平移法求异面直线所成角，属于基础题. 6. 过点作圆的切线，则切线的一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆经过点的直径所在直线的斜率即可得切线斜率，进而求出切线方程. 【详解】因为，所以点在圆上，而圆心， 直线的斜率，因此圆C在点处切线斜率为， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 7. 已知点在抛物线上，则点到该抛物线焦点的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定点的坐标，再根据抛物线定义求点到该抛物线焦点的距离. 【详解】由于点在抛物线上， 则，所以，则点， 由于抛物线准线方程为, 根据抛物线的定义，点到该抛物线焦点的距离等于点到准线的距离， 为, 所以点到该抛物线焦点的距离为. 8. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由题干条件计算圆锥的高，再求圆锥的母线，进而可求圆锥的侧面积. 【详解】由题得圆锥底面积，体积，解得， 母线长，故圆锥侧面积. 故答案为：. 9. 等差数列的公差不为0，前项和为，若成等比数列，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据条件得，再利用等差数列的前项和公式及等差数列的通项公式，即可求解． 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 则，所以，整理得到， 所以， 故答案为：. 10. 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为______． 【答案】 【解析】 【详解】如图，过S作SO1⊥平面ABCD，由已知=1.在Rt△SO1C中， ∵ SC＝ ，∴ ，∴ O1S＝O1A＝O1B＝O1C＝O1D，故O1是过S，A，B，C，D点的球的球心，∴ 球的半径为r＝1， ∴ 球的体积为. 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 11. 已知圆锥曲线的方程：.当为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点满足，则满足题意的有序实数对共有__________对. 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义，易得到，，是椭圆，，，，是双曲线，从而根据题意可得，.再结合椭圆与双曲线的定义与即可得，从而得到答案. 【详解】由题意得，，是椭圆，，，，是双曲线， 结合椭圆与双曲线的几何性质可知本题中的任意两椭圆与两双曲线均无公共点， 从而时，存在两条曲线、有交点， 必然有，. 设，，则由椭圆与双曲线的定义可得 ，， 且，，故， 即， 所以存在两条曲线、，且，，. 故答案为：3. 12. 已知平面向量满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先建系将向量用坐标表示，再用坐标表示问题后寻找其几何意义求解即可. 【详解】由，，不妨设，， 则，即，，则， 设，由可得，即， 表示点在以为圆心，半径的圆上. 由得 ，因为，最终化简为， 设，即， 易得点应是圆与直线的交点， 则圆心到直线距离的最大值应为, 则有：，解得，应取最小值. 综上， 的最小值为. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. “”是“成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用推出关系来判断即可. 【详解】当时，如，此时不能成等比数列，故充分性不成立， 当成等比数列，可以推出，故必要性成立， 所以“”是“成等比数列”的必要不充分条件， 故选：B. 14. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 15. 已知抛物线，若第一象限的点、在抛物线上，抛物线焦点为，，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由抛物线定义可知，然后由可得答案. 【详解】设， 由题可知的斜率存在，设的斜率为． 因都在轴上方，由题意知， 由抛物线定义 则， 由弦长公式可得， 所以，解得. 故选：C． 16. 设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列．给出下列命题： （1）若对任意的正整数均有，则数列为和谐数列； （2）若等差数列为和谐数列，则一定存在最大值； 以下说法正确的是（ ） A. （1）错（2）对 B. （1）对（2）错 C. （1）（2）都对 D. （1）（2）都错 【答案】B 【解析】 【分析】探索和谐数列的性质，可判断（1）的真假；举例说明（2）不正确. 【详解】数列为和谐数列， 则. 对（1）由，所以数列为和谐数列.故（1）正确； 对（2）设，则，所以等差数列为和谐数列，但不存在最大值.故（2）错误. 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在管题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知向量． （1）若，求的值； （2）若为钝角，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用“两向量和与差的模相等”等价于“两向量垂直”的性质，由数量积为零建立方程解得. （2）由数量积为负确定夹角的余弦为负，得到关于的不等式，再排除反向共线这一夹角为的特殊情况，得到最终范围. 【小问1详解】 由，两边平方得, 展开并消去和，得 计算 令，解得. 【小问2详解】 夹角为钝角需同时满足： ，即；与不反向共线. 若反向共线，设存在使，则 代入得（此时，反向共线），排除. 故的取值范围为 18. 设关于的实系数一元二次方程两虚根为． （1）若，求的取值范围； （2）设在复平面上对应点为，为坐标原点，且为等腰直角三角形，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得､互为共轭复数，根据，再由模的计算公式可得的取值范围； （2）根据题意，，则，，根据韦达定理可得，可解问题. 【小问1详解】 由已知得､互为共轭复数，设，则， 则，可得， 又因为，即，则， 综合可得，即； 【小问2详解】 根据题意，两点关于轴对称，则， 又为等腰直角三角形，所以， 所以，即，， 根据韦达定理可得， 所以，解得或（舍）， 所以. 19. 某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2022年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2021年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2021年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利. （1）试求的表达式； （2）根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由. 【答案】（1） （2）该新产品将从2029年开始并持续赢利，理由如下： 因为， 所以当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，， 所以该新产品将从第9年开始并持续赢利. 所以该新产品将从2029年开始并持续赢利. 【解析】 【分析】（1）由题意求出累计投入，可判断出每年的收入为等比数列，根据等比数列求和公式求解出累计收入，从而表示出； （2）由（1）可得，根据的正负判断出从第4项开始单调递增，再判断的正负，从而判断出该新产品将从第9年开始并持续赢利. 【小问1详解】 由题意知，第1年至此后第年的累计投入为（千万元）. 设第年的收入为，前年的累计收入为， 由题意得，， 所以数列是以为首项、以为公比的一个等比数列，则有（千万元）， （千万元）， 所以，即（千万元）. 所以的表达式为. 【小问2详解】 略 【点睛】解答本题的关键是，能将实际问题转化为等比数列问题求解，求解第二问时，需要判断的单调性，此时可通过判断（或）进行判断，从而降低利用导数判断其单调性的难度. 20. 如图，在四棱锥中，平面，，是棱的中点，． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若点在棱上，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围． 【答案】（1） 由题平面，平面，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，是棱的中点，所以， 又因为，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直证明平面则可证，再结合，从而可求证平面. （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用点到面距离的向量求法即可求解； （3）设，，则，再利用向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值，再结合二次函数性质即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题平面，且， 所以以点为坐标原点，以所在直线为轴，如图所示， ，，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，，则， 则点到平面的距离. 【小问3详解】 设，，则， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，则， 由（2）可得平面的一个法向量为， 平面与平面所成锐二面角为， 所以， 因为，对于二次函数，其对称轴， 当时，取的最小值， 当或时，取的最大值， 所以，则， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围为. 21. 已知椭圆的上顶点，离心率为，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为． （1）求椭圆的标准方程； （2）判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由； （3）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）存在，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到的值即可； （2）根据题意，设直线方程为，，联立得到，结合，进而得到，则直线过定点，再由，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半即可求解； （3）由（2）得，则，再令，结合基本不等式求最值即可． 【小问1详解】 椭圆上顶点，离心率为， ，又， 解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 当轴时，不可能垂直， 故可设直线方程为， 由，得， 方程的判别式， 设，， ， 所以， 又因为，所以 即，即：， 所以 代入可得， 整理得：，解得（舍）或， 所以直线的方程为，令，得， 所以直线过定点， ，为直角三角形， 当为中点时，即时，， 所以，存在，当时，的长度为定值； 【小问3详解】 由（2）知， 所以面积 ， 令，所以代入可得： ， 此时，所以面积的最大值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级第一学期期末考试 数学试卷 考生注意： 1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 2．作答前，考生在答题纸正面填写姓名、学校、班级，粘贴考生本人条形码． 3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分． 4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 与的等差中项为______. 2. 椭圆的长轴长为________． 3. 半径为2的球的表面积为________. 4. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是__________. 5. 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为________． 6. 过点作圆的切线，则切线的一般式方程为______． 7. 已知点在抛物线上，则点到该抛物线焦点的距离为__________． 8. 已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 9. 等差数列的公差不为0，前项和为，若成等比数列，则__________． 10. 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为______． 11. 已知圆锥曲线的方程：.当为正整数，且时，存在两条曲线、，其交点与点满足，则满足题意的有序实数对共有__________对. 12. 已知平面向量满足，则的最小值为__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. “”是“成等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 15. 已知抛物线，若第一象限的点、在抛物线上，抛物线焦点为，，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 16. 设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列．给出下列命题： （1）若对任意的正整数均有，则数列为和谐数列； （2）若等差数列为和谐数列，则一定存在最大值； 以下说法正确的是（ ） A. （1）错（2）对 B. （1）对（2）错 C. （1）（2）都对 D. （1）（2）都错 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在管题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知向量． （1）若，求的值； （2）若为钝角，求的取值范围． 18. 设关于的实系数一元二次方程两虚根为． （1）若，求的取值范围； （2）设在复平面上对应点为，为坐标原点，且为等腰直角三角形，求的值． 19. 某公司2021年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2022年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2021年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25%.记2021年为第1年，为第1年至此后第年的累计利润（注：含第年，累计利润=累计收入-累计投入，单位：千万元），且当为正值时，认为新产品赢利. （1）试求的表达式； （2）根据预测，该新产品将从哪一年开始并持续赢利?请说明理由. 20. 如图，在四棱锥中，平面，，是棱的中点，． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）若点在棱上，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围． 21. 已知椭圆的上顶点，离心率为，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点（不与点重合），过点作直线的垂线，垂足为． （1）求椭圆的标准方程； （2）判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和的长度；若不存在，请说明理由； （3）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $