5.4.3正切函数的图像与性质 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.4.3正切函数的图像与性质 设α是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点． 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 正切函数 ,{|} 你还记得正切与正切函数吗？ 复习回顾 1.周期性 正切函数是奇函数. 2.奇偶性 正切函数是周期函数，最小正周期是 正切函数 ,{|} 新知探究 知识点一　正切函数的定义域、周期性与奇偶性 1．周期性：由诱导公式tan (π＋x)＝tan x，x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z，可知正切函数是____________，周期是π. 2．奇偶性：由诱导公式tan (－x)＝－tan x，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z，可知正切函数是_________． 周期函数 奇函数 注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期， 真正切函数求周期的公式为：T＝. 新知生成 例1：（1）函数y＝tan 的定义域是(　　) A．{x} B．{x} C．{x，k∈Z} D．{x，k∈Z} 解析：D　由x－≠kπ＋，k∈Z，得x≠kπ＋，k∈Z. 例题讲解 例1：(2)函数f(x)＝tan 的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π 解析：A　T＝. 例1：(3)函数f(x)＝cos ＋tan x为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 解析：A　因为f(x)＝sin x＋tan x， {x＋kπ，k∈Z}，定义域关于原点对称， f(－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，故函数为奇函数． 例1．（4）函数y＝tan 的最小正周期为(　　) A． B．π C．2π D．3π 解析：A　y＝tan ，∴T＝. 探究：如何画出函数 ,的图象？ (1)借助单位圆，寻求［0,时正切值的几何意义 如图，设［0，），在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点 T A B 过点轴的垂线，垂足为；过点 作轴的垂线与角的终边交于点，则 M 同理我们可以利用画出函数(-,的图象 新知探究 (2)将区间等分，自变量取值 -，- ，- ,0，， 当［0,)时，随着的增大，线段的长度也增大，当趋于 时，的长度趋于无穷大. -1 1 0 当(-,0]时，随着的减小,线段的长度也增大，当趋于时，的长度趋于负无穷大. 0 - - IIIIIIIIIII 2 - -2 - 根据正切函数的周期性，只要把函数,的图象向左、右平移，每次平移个单位，就可得到正切函数R, ,的图象，我们把它叫做正切曲线. 1．正切函数的图象叫做______曲线，对称中心为_____________． 2．正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝______________所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的． 知识点二　正切函数的图象 正切 (k∈Z) 正切函数只有对称中心，没有对称轴． 新知生成 例2： (1)(2025·广东深圳高一期末)函数y＝|tan x|，y＝tan x，y＝tan (－x)，y＝tan 的大致图象依次是图中的(　　) A．①②③④　　　　 B．②①③④ C．①②④③ D．②①④③ : 例题讲解 解析：C　y＝|tan x|对应的图象为①，y＝tan x对应的图象为②，y＝tan (－x)对应的图象为④，y＝tan |x|对应的图象为③.故选C. 例2：(2)y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为 (　　) A．π B． C． D．π 解析：C　y＝tan 3x的周期为，所以y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为. 例2： (3)与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是(　　) A．x＝ B．y＝ C．x＝ D．y＝ 解析：C　 令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝(k∈Z)．令k＝0，得x＝. 例2：(4)函数y＝tan 的一个对称中心是(　　) A．(0，0) B． C． D．(π，0) 解析：C　令x＋，k∈Z，得x＝，k∈Z， 所以函数y＝tan 的对称中心是，k∈Z.令k＝2，可得函数的一个对称中心为. 习题5.4(第213页) （1）偶函数 ； （2）偶函数； （3）奇函数； （4）既不是奇函数也不是偶函数． 习题5.4(第213页) 1．单调性：正切函数在每一个区间(＋kπ，)(k∈Z)上都____________． 2．值域：正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是___________． 知识点三　正切函数的单调性与最值 单调递增 实数集R 0 - - IIIIIIIIIII 2 - -2 - 新知生成 例3： (1)(2025·福建漳州高一上期末)函数f(x)＝tan 的单调区间是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 解析：A　 由－＋kπ<<＋kπ，k∈Z，解得k∈，k∈Z， 所以函数f(x)＝tan 的单调区间是(k∈Z)． 例3：(2)(2025·北京门头沟高一下期中)比较tan 48°、tan (－22°)、tan 114°的大小关系(　　) A．tan 114°>tan 48°>tan (－22)° B．tan (－22°)>tan 114°>tan 48° C．tan (－22°)>tan 48°>tan 114° D．tan 48°>tan (－22°)>tan 114° 解析：D　tan 114°＝tan (180°－66°)＝tan (－66°)， 因为函数y＝tan x在(－90°，90°)上单调递增， 且－66°<－22°<48°，所以tan (－66°)<tan (－22°)<tan 48°， 即tan 48°>tan (－22°)>tan 114°. 例3： (3)(2025·江西高一下月考)函数f(x)＝3tan ，x∈的值域为 (　　) A． B． C． D． 解析：C　∵x∈，∴2x＋∈，∴tan ∈，∴3tan ∈，故选C. 例3：(1)设a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>c>b B．a<b<c C．a>b>c D．a<c<b 解析：A　由题意得， 函数y＝tan x在上单调递增且tan x>0，在上单调递增 且tan x<0，因为<1<<2<3<π，所以tan 2<tan 3<0，tan 1>0，所以a>c>b. 练习(第213页) 练习(第213页) 练习(第213页) 练习(第213页) 练习(第213页) 练习(第213页) $