成对数据的统计分析课件-2026届高三数学一轮复习

统计与概率 第三节 成对数据的统计分析 知识清单 一．变量之间的两种关系 (1)函数关系 函数关系是确定性的关系，变量之间的关系可以用函数表示， (2)相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系． 二．相关关系 正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现________的趋势，我们就称这两个变量正相关； 如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现________的趋势，则称这两个变量负相关． 增加 减少 知识清单 (3)线性相关关系与经验回归直线 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条________附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做经验回归直线． 直线 一般地，我们在研究两个变量之间是否存在某种关系时，常通过画散点图的方法来做判断： 知识清单 正相关 负相关 越强 越弱 知识清单 3．一元线性回归模型 (1)我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程， 其中 (2)残差：观测值减去________，称为残差．残差的平方和越小越好 (3)决定系数 R2越接近1，则线性回归刻画的效果越好. 在一元线性回归模型中R2=r2，即决定系数R2等于 响应变量与解释变量的样本相关系数r的平方. 预测值 知识清单 1. 分类变量：用于区别不同的现象或性质的随机变量称为分类变量； 分类变量的取值可以用实数表示，即用不同的实数表示不同的现象或性质； X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d 2.分类变量的2✖2列联表： 甲校 乙校 3. 等高堆积条形图： 四．列联表与独立性检验 不优秀 0.7674 0.8444 优秀 0.2326 0.1556 知识清单 零假设H0：分类变量X和Y独立. 通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表, 4.独立性检验公式及定义 ： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附 当≥时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；当<时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立. 热点命题——1.成对数据的统计相关性 例1 (1)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 r＝0.824 5，下列说法正确的是(　　) A．花瓣长度和花萼长度没有相关性 B．花瓣长度和花萼长度呈负相关 C．花瓣长度和花萼长度呈正相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数 一定是0.824 5 C 热点命题——1.成对数据的统计相关性 (2)已知5个成对数据(x，y)的散点图如下，若去掉点D(4，3)，则下列说法正确的是(　　) A．变量x与变量y呈正相关 B．变量x与变量y的相关性变强 C．残差平方和变大 D．样本相关系数r变大 B 变式：若该5个成对数据的相关系数为，决定系数为，去掉点D(4，3)后相关系数为，决定系数为，请比较与，与的大小. 热点命题——1.成对数据的统计相关性 方法归纳：判断相关关系的方法 (1)散点图法：如果样本点的分布从整体上看大致在某一曲线附近，变量之间就有相关关系；如果样本点的分布从整体上看大致在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系． (2)样本相关系数：当r＞0时，正相关；当r＜0时，负相关；|r|越接近1，相关性越强． (3)经验回归方程：当时，正相关；当时，负相关． 热点命题——1.成对数据的统计相关性 1　(多选)为了判断某地区超市的销售额与广告支出之间的相关关系，现随机抽取7家超市，得到其广告支出与销售额数据如表，则(　　) 超市 A B C D E F G 广告支出x万元 1 2 4 6 10 13 20 销售额y万元 19 32 44 40 52 53 54 A.广告支出的极差为19 B.销售额的中位数为40 C.若销售额y与广告支出x之间的经验回归方程为＝1.5x＋m，则m＝30 D.若去掉超市A这一组数据，则销售额y与广告支出x之间的线性相关程度会减弱 AC 热点命题——2.一元线性回归模型 例2 我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度y(单位：cm)，与其根茎长度x(单位：cm)之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据： 参考数据： ,≈59.1. 样本编号i 1 2 3 4 根茎长度xi 10 12 14 16 植株高度yi 62 86 112 132 热点命题——2.一元线性回归模型 (1)由上表数据计算相关系数r，并说明是否可用线性回归模型拟合y与x的关系(若|r|>0.75，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001)； 热点命题——2.一元线性回归模型 (2)求y关于x的经验回归方程． 热点命题——2.一元线性回归模型 方法归纳：回归分析问题的类型及解题方法 (1)求经验回归方程 ①当两个系数均未知时，可利用公式法求解； ②当两个系数已知一个求另一个时，可利用经验回归直线过样本点的中心求解． (2)利用经验回归方程进行预测，把经验回归方程看作一次函数，求函数值． (3)经验回归方程的拟合效果可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强． 热点命题——2.一元线性回归模型 2　一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如表所示． (1)画出散点图； (2)建立加工时间关于零件数的一元线性回归模型； (3)关于加工零件的个数与加工时间，你能得出什么结论？ 参考数据： 零件数x/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y/min 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 热点命题——2.一元线性回归模型 解析：(1)散点图如图所示： (2)＝55，＝91.7， 因此＝≈0.668， ＝＝91.7－0.668×55＝54.96， 因此，所求的经验回归方程为y＝0.668x＋54.96. (3)这个经验回归方程的意义是每多加工1个零件，需要增加约0.668分钟加工时间． 热点命题——3.提升：非线性回归模型 当回归方程不是形如y＝bx＋a(a，b∈R)时，称之为非线性回归方程． (1)将幂函数型函数y＝axn(a为常数，a，x，y均取正值)化为线性函数： 将y＝axn两边取常用对数，则有， 令代入上式得(其中n，b是常数)，其图象是一条直线． (2)将指数型函数y＝cax(a＞0，c＞0，a，c为常数，且a≠0)化为线性函数： 将y＝cax两边取常用对数，则有lg y＝lg cax＝lg c＋x lg a， 令μ＝lg y，b＝lg c，d＝lg a代入上式得μ＝b＋dx(其中d，b是常数)，其图象是一条直线． 热点命题——3.提升：非线性回归模型 例3 某公司研制了一种对人畜无害的灭草剂，为了解其效果，通过实验，收集到其不同浓度x(mol/L)与灭死率y的数据，得下表： (1)以x为解释变量，y为响应变量，在＝x＋和＝＋lg x中选一个作为灭死率y关于浓度x(mol/L)的经验回归方程，不用说明理由； 浓度x(mol/L) 10－12 10－10 10－8 10－6 10－4 灭死率y 0.1 0.24 0.46 0.76 0.94 解析：根据表格数据可知解释变量x呈现指数增长，而响应变量y增长幅度不大，且相应的增加量大约相等， 故选＝＋lg x. 热点命题——3.提升：非线性回归模型 (2)①根据(1)的选择结果及表中数据，求出所选经验回归方程； 解析：令ui＝lg xi，则＝＋u， 所以可得如下数据： 则＝×(－12－10－8－6－4)＝－8，＝×(0.1＋0.24＋0.46＋0.76＋0.94)＝0.5， ＝(－12)2＋(－10)2＋(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＝360， u －12 －10 －8 －6 －4 y 0.1 0.24 0.46 0.76 0.94 热点命题——3.提升：非线性回归模型 (2)①根据(1)的选择结果及表中数据，求出所选经验回归方程； ＝(－12)×0.1＋(－10)×0.24＋(－8)×0.46＋(－6)×0.76＋(－4)×0.94 ＝－15.6， 所以＝＝0.11， ＝0.5－0.11×(－8)＝1.38， 所以＝1.38＋0.11u，即＝1.38＋0.11lg x. 热点命题——3.提升：非线性回归模型 (2)②依据①中所求经验回归方程，要使灭死率不低于0.8，估计该灭草剂的浓度至少要达到多少摩尔每升? 解析：依题意，＝1.38＋0.11lg x≥0.8，即0.11lg x≥－0.58， 即lg x≥－， 所以，即要使灭死率不低于0.8， 则该灭草剂的浓度至少要达到 mol/L. 热点命题——3.提升：非线性回归模型 4　(1)某学校数学兴趣小组在探究姜撞奶随着时间变化的降温及凝固情况的数学建模活动中，将时间x(分钟)与温度y(摄氏度)的关系用模型y＝c1ec2x(其中e为自然对数的底数)拟合．设z＝ln y，变换后得到一组数据： 由上表可得经验回归方程z＝－0.06x＋a，则c1＝(　　) A．－4 B．e－4 C．4.16 D．e4.16 x 2 2.5 3 3.5 4 z 4.04 4.01 3.98 3.96 3.91 D 热点命题——3.提升：非线性回归模型 x 2 2.5 3 3.5 4 z 4.04 4.01 3.98 3.96 3.91 解析：由表格中数据，得＝＝3，＝＝3.98， 则3.98＝－0.06×3＋a，解得a＝4.16， 因此z＝－0.06x＋4.16，由y＝两边取对数，得ln y＝c2x＋ln c1， 又z＝ln y，所以c2＝－0.06，ln c1＝4.16，即c2＝－0.06，c1＝e4.16. 热点命题——3.提升：非线性回归模型 4　(2)(2025·广东江门模拟)已知x，y之间的一组数据： 若y与满足经验回归方程＝＋，则此曲线必过点________． x 1 4 9 16 y 1 2.98 5.01 7.01 解析：由已知＝，设t＝，则＝t＋，由回归直线性质可得()在直线＝t＋上，又＝＝2.5，＝＝4，所以点(2.5，4)在直线＝t＋上，故点(6.25，4)在曲线＝上． 热点命题——4.独立性检验 例3 一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15．2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8　26.5　27.5　30.1 32．6　34.3　34.8　35.6　35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7．8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5　18.0　18.8　19.2 19．8　20.2　21.6　22.8　23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5 热点命题——4.独立性检验 (1)计算试验组的样本平均数； (2)①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表．   ＜m ≥m 合计 对照组 试验组 合计 解析：试验组的样本平均数为×(7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5)＝19.8. 热点命题——4.独立性检验 (1)计算试验组的样本平均数； (2)①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表．   ＜m ≥m 合计 对照组 试验组 合计 (2)①将40个数据按照从小到大的顺序依次排列，得最中间的两个数据即第20个和第21个数据分别为23.2和23.6，则40只小白鼠体重的增加量的中位数m＝＝23.4.   ＜m ≥m 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 热点命题——4.独立性检验 ②根据①中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 热点命题——4.独立性检验 ②零假设H0：小白鼠在高度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量没有差异． χ2＝＝＝6.4＞3.841. 所以依据α＝0.05的独立性检验有充分理由推断出H0不成立，即认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异． 热点命题——4.独立性检验 方法归纳：独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成2×2列联表． (2)根据公式χ2＝，（其中n＝a＋b＋c＋d）计算． (3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断． 若χ2大于临界值，则零假设不成立，若χ2小于临界值，则零假设成立 热点命题——4.独立性检验 3　为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，根据105个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表：(单位：只) 依据α＝0.05的独立性检验，分析药物A对预防疾病B的有效性． 药物A 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 29 15 44 服用 47 14 61 合计 76 29 105 热点命题——4.独立性检验 解析：假设H0服用药物A与患疾病B相互独立，即药物A对预防疾病B无效． 由列联表知 χ2＝≈1.586 9＜3.841， ∴根据小概率α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断出H0不成立，故可认为H0成立，即服用药物A对预防疾病B无效． (4)样本相关系数 ①r＝； ②当r>0时，表明成对样本数据________； 当r<0时，表明成对样本数据________． r的绝对值越接近1，表明成对样本数据的线性相关程度________． r的绝对值越接近0，表明成对样本数据的线性相关程度________． |r|>0.75,表明成对样本数据的线性相关程度很强 答案：易得＝×(10＋12＋14＋16)＝13，＝×(62＋86＋112＋132)＝98， ＝(－3)×(－36)＋(－1)×(－12)＋1×14＋3×34＝236， 故r＝＝＝≈≈0.998. 则>0.75，故可用线性回归模型模拟． 答案：＝＝＝11.8， ＝＝98－11.8×13＝－55.4， 故经验回归方程为y＝11.8x－55.4. $