专题15 三角恒等变换（竞赛培优专项训练）高一数学人教A版全国通用

专题15 三角恒等变换 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 知角求值 3 考点二 知值求值 4 考点三 知值求角 5 考点四 辅助角公式的应用 6 考点五 和差化积、积化和差的应用 6 考点六 判断三角形的形状 7 考点六 化简三角关系式 7 考点七 证明三角恒等式 8 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题22道） 【归纳重点知识】 知识点01 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 知识点2 三角函数的叠加(辅助角公式) asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(a，b不同时为0)，其中sin φ＝，cos φ＝. 知识点3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.二倍角公式 (1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α. (2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. (3)公式T2α：tan 2α＝. 2.半角公式(不要求记忆) sin＝± ；cos＝± ；tan＝± .符号由所在象限决定. 知识点4 和差化积与积化和差公式 1.积化和差公式 cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 2.和差化积公式 sin α＋sin β＝2sincos； sin α－sin β＝2cossin； cos α＋cos β＝2coscos； cos α－cos β＝－2sinsin. 【熟记重要结论（二级结论）】 1.两角和与差的公式的常用变形 ⑴sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. ⑵cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. ⑶tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； ⑷tan αtan β＝1－＝－1. 2.辅助角公式的常见形式 ⑴sin x±cos x＝sin； ⑵sin x±cos x＝2sin； ⑶sin x±cos x＝2sin. 3．降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；tan2α＝；sin αcos α＝sin 2α. 4．升幂公式: 5．半角正切公式的有理化：tan＝＝. 6．配方变换公式： 7．因式分解变换公式： 8.万能公式：. 考点一 知角求值 1．的值为（    ） A． B． C． D． 2．（   ） A． B． C． D．2 3．=（    ） A．16 B．32 C． D． 4．1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角的斜边与邻边的比，叫做的正割，用表示；其斜边与对边的比，叫做的余割，用表示；其邻边与对边的比，叫做的余切，用表示，则（   ） A．1 B． C．2 D． 5．年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（   ） A． B． C． D． 考点二 知值求值 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．已知角，满足，，则（） A． B． C． D． 10．若，则（   ） A． B． C． D． 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，，则（ ） A． B． C． D． 13．已知，且，则（　　） A． B． C． D． 14.已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点三 知值求角 15．已知且，，则（    ） A． B． C． D． 16．已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 17．若，且，，则（    ） A． B． C． D． 18．设，，且，则（   ） A． B． C． D． 19．已知函数的最小正周期为， (1)求的值，及单调递增区间： (2)是否存在锐角，，使，同时成立?若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由. 20．已知 (1)求的值； (2)求的值. 21．已知，且． (1)求的值； (2)求的值． 考点四 辅助角公式的应用 22．已知，则（   ） A． B． C． D． 23．已知是函数的最小值，则（    ） A． B． C． D． 24．已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则 ． 考点五 和差化积、积化和差的应用 25．已知，则（   ） A． B． C．3 D． 26．在中，若，则（   ） A． B． C． D． 27．设，则（    ） A．1 B． C． D． 28．若，，则（    ） A． B． C． D． 29．已知函数，，若有两个零点，，则（    ） A． B． C． D． 30．函数在内的零点之和为（    ） A． B． C． D． 考点六 判断三角形的形状 31．在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 32．已知在中，，，则此三角形是 三角形． 33．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是 . 34．在中，若，则的形状 ． 35．在中，若，则是 三角形； 考点六 化简三角关系式 36．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 37．已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 38．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 39．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村一矩形空地进行绿化，如图所示，.点是中点，F，G分别是线段和线段上的动点（足够长），.    (1)当时，求的面积； (2)求面积的最小值. 考点七 证明三角恒等式 40．在中，求证：. 41．已知为斜三角形． (1)证明：； (2)若为锐角三角形，，求的最小值． 42．已知斜三角形. (1)借助正切和角公式证明：. 并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值： ①， ②； (2)若，求的最小值. 1．(2023··山东师大附中竞赛)我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为、，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的（    ）倍． A．1 B． C． D． 2．(2023··山东师大附中竞赛)数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如下图，点为半圆上一点，，垂足为，记，则由可以直接证明的三角函数公式是（    ） A． B． C． D． 3．(2023··山东师大附中竞赛)魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（    ） A． B． C． D． 4．(2024·湖南湘西州教师解题大赛)已知，则（    ） A． B． C． D． 5．(2023··山东师大附中竞赛)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生于1946年9月应普林斯顿大学邀请去美国讲学，之后又被美国伊利诺依大学聘为终身教授.新中国成立的消息使华罗庚兴奋不已，他放弃了在美国的优厚待遇，克服重重困难，终于回到祖国怀抱，投身到我国数学科学研究事业中去.这种赤子情怀，使许多年轻人受到感染､受到激励，其中他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则的值为（    ） A．-4 B．4 C．-2 D．2 6．（2023··全国“加速杯”竞赛）若，且为钝角，则（    ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最大值 7．（2024·山东滨州竞赛）2023·年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一幅蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点离地面194cm.小南身高160cm（头顶距眼睛的距离为10cm），为使观赏视角最大，小南离墙距离应为（    ） A． B．76cm C．94cm D． 8．(多选)(2023·山东师大附中竞赛)由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．一般地，存在一个（）次多项式（），使得，这些多项式称为切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多项式．运用探究切比雪夫多项式的方法可得（    ） A． B． C． D． 9．（2024·“同济大学杯”数理化联赛） ． 10．（2024·贵州“圆周率”杯竞赛）设a，b为正整数，且是函数的一个零点，则 . 11．（2024·贵州“圆周率”杯竞赛）魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值为 ． 12．（2024·海南省海口实验中学竞赛）已知点，过点P的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O点为坐标原点，则的周长的最小值为 13．（2024·湖南“同济大学”杯数理化联赛） ． 14．（2024·贵州贵阳“圆周率”杯竞赛）设a，b为正整数，且是函数的一个零点，则 . 15．（2024·山东滨州学科素养知识竞赛）若，且，则 . 16．（2023·全国高中数学联赛A卷）方程的最小的20个正实数解之和为 . 17（2023·全国安徽省十校联盟高二解题能力竞赛） ． 18．（2025·北京大学强基计划）已知，求最大值. 19．(2025·山东大学强基计划)已知，，，求的值. 20．（2025·北京大学强基计划）若是的两解，且，求. 21．(2024·第四届英才杯数学竞赛)（1）计算： （2）若、都是实数，且，求的值. 22．(2024·北京大学优秀中学生寒假学堂)A，B，C为内角，x，y，z为实数,求以下三式中恒成立的个数. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15三角恒等变换 目录概览一 A考点精研·竞赛考点专项攻坚 上 考点一知角求值… 43 考点二知值求值… 5 考点三知值求角9 考点四辅助角公式的应用… .14 考点五和差化积、积化和差的应用… ..15 考点大判断三角形的形状.18 考点六化简三角关系式. …20 考点七证明三角恒等式22 B实战进阶·竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题22道） 积累运用 【归纳重点知识】 知识点01两角和与差的余弦、正弦、正切公式 sin(a-B)= sin a cos B- tan(a-B)= 角差公 cos a sin B 相除 tana-tanβ cos(a-B)= 1+tan a tan B cos a cos B+ sin a sin B B代替-B B代替-B sin(a+B)= sin a cos B+ 角和公式 tan(a+B)= cos a sinβ； 相除 tana+tanβ cos(a+B)= cos a cos B- l-tantanβ sin asin B 知识点2三角函数的叠加（辅助角公式） b asin a+--beosa=-a2+b3sin(a+Xa,b不同时为0，其中snp-a+b,cosp=Va2+b- 知识点3二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.二倍角公式 1/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)公式S2a:sin2a=2 sin acos&. (2)C2a:cos 2a=cos'a-sin'a=2cos2a-1=1-2sin2a. 2tana (3)公式T2a:tan2a= 1-tan'a 2.半角公式（不要求记忆） -cosa sin2=±7 1+cosa -； 2 tan 2 士 cos符号由号所在象限决 1+cosa 知识点4和差化积与积化和差公式 1积化和差公式 cos acos B= 2lcos(a+B)+cos(a-B)]: sin asin B--lcos()-cosfa-]; sin acos -sin(sin( cos asin B=[sin(B-sin(a-B)]. 2.和差化积公式 sin asin B=2sinBaB 2 cos 2 iai2c cos a+cos B=2cos- a+B a-B 22cos22 cos a-cosB--2sinBa-B sin- 2 2 【熟记重要结论（二级结论）】 1.两角和与差的公式的常用变形 (1)sin asin B+cos(a+B)=cos acos B. (2)cos asin B+sin(a-B)=sin acos B. 3)tan a+tan B=tan(a±pf)(1千tan atan): (4)tan atan B=1- tana+tan阝_tana-tanβ tan(a+β)tan(a-β) 2辅助角公式的常见形式 1 sin=2sinX土4 2/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2sinx+3cosx=2sinx± 3只3sinx+cosx=2sinx± 6 3.降幂公式：cosa=1+c0s2g, 1-cos2a 1-cos2a 1 ；sin2a= -tan'a= 2 2 1+cos2;sin acos a= 2sin 2a. 4.升幂公式：1+cos2a=2cos2a;1-cos2a=2sin2a; a sin a 1-cosa 5.半角正切公式的有理化：tan2一1+cosa sin a 6.配方变换公式：1±sin2a=sin'a+cos2a±2 sina cosa=(sina±cosa)2. 7.因式分解变换公式： cos 2a =(cosa +sin a)(cosa-sina) 2tan 2tan 2 1-tan2 sin a = 2 2 coSa=- tana=- 1+tan 2 1+tan2 8万能公式： 2 1-tan2 2 考点精研·竞赛考点专项攻坚 考点一知角求值 V3tanl0°-1 1. 的值为() sinl0° A.2 B.4 C.-2 D.-4 【答案】D 3sin1o-1 3sin10-cos10 2sin(10-30 2sin 20 【解析】 V5tanl0-1_cosl0° =-4 sin10 sin10 sin10°cosl0 1sin20 1 -sin 20 2 故选：D. 2. V3-4sin20°+8sin320° =() 2sin20°sin480 A.35 3 B. D.2 3 c 【答案】A 【解析】5-4sin20°+8sin20°V5-4sin201-2sin'20 2sin20°sin480 2sin20°sin60° _2sin60°-4sin20°c0s40°_2sin40°cos20°-2sin20°cos40°_ 2sin20°2W5 √3sin20° V3sin20° V3sin20° 31 3/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：A 1 3 c0s280° c0s210° c0s20°=() A.16 B.32 C.-16 D.-32 【答案】B 3) 1 3 【解析】由 1cos210°-3sin210° 1 cos280°cos210°cos20 sin210 cos210 cos 20 sin210°cos210°cos20 =4×1-4sin210 1 1-21-cos20° 2c0s20-1 =8× =16× sin220" cos20 sin20°.sin40 c0s20°-40)-cos20+40 =16x2c0s20°-1 2c0s20°-1 =32× =32 c0s20° 2c0s20°-1 故选：B 4.1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割， 余割和余切在某直角三角形中，一个锐角8的斜边与邻边的比，叫做日的正割，用sc8表示；其斜边与对 边的比，叫做θ的余割，用cscO表示；其邻边与对边的比，叫做8的余切，用cot0表示，则 cot20V3cot70°-1 =() sec10 A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】B 【解析】依题意可得secl0°= cos10° cot20°=1 tan20°，cot70°= 1 tan70°' 1 √5 cos20°√3c0s70° ot20√3cot70°-1 tan20°tan70° sin20° 所以 sin70° sec10o cos10° cosl0° cosl0°cos20°√3cos70°-sin70° sin 20 sin70° cos10°cos20°V3sin20°-cos20° sin20° cos20° 1 cos10√5sin20°-cos20° 2cos10° sin20° 2 2c0s200 sin20° sin20° 2cos10°sin20°-30）-2cos10°sin10°-sin20° =-1. sin20° sin20° sin20° 故选：B 4/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和 余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sC(角)表示；锐角 的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc(角)表示，则cscl0°-V3scI0°=() A.-4 B.2W3 C.4 D.-25 【答案】C 【解析】cscl0°-V3secl10°= 1-5-os10-V5sin10=-5sim10-cos10 sinl0°cos10°sin10°cosl0 sinl0°cos10° 2sin10°-30°4sin20° =4 2sin20 sin20° 故选：C 考点二知值求值 3sin +0 +sina-3 6.已知tan2g 2 ,则 的值为() sing cos2a 1 5 1 4 A.5 B.13 C.3 D. 5 【答案】B 【解析】由tan2 3sin π +a+sina-3 2 sina 得tan2&」 3cosa+sina-3 2sincosa -6sin2 2 2=1-3tan sina 2 2 2 2tan 则tana= 2-2 1-tan2e3,而 cos2a-cos'a-sin'a1-tan'a5 cos2a+sin'a 1+tan'a 13 故选：B 7.已知sna+2na- √2 B. c. 10 10 10 D.75 10 【答案】C cosa-sina-cosa 5/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2sinacosa 2tana 3 得 tana=3 sin2a=2singcosa= cos'a+sin'a 1+tan2a 5' cos2a=cos'a-sin'a1-tan'a 4 cos'a +sin'a 1+tan2a 5' -2os2a=5×3+5,4.75 sin2a-co 2252x5=10 故选：C 8.已知Be0引 且3sina=sin2B-w)'则tana的最大值为（） tana A.② C.- 4 4 D.4 【答案】B 【解析】3 sin=sin2 Bcosa-cos2 Bsin a,即(3+cos2B)sina=sin2 Bcosa; 2sin B cos B 2tan B sin 28 2sin B cos B cos2 B+sin2 B 1+tan2B 即sina sin2B,故ana= 3+cos+coB-sin 3 cosin3+1-tan cosa 3+cos2B cos2B+sin2 B 1+tan2阝 2t 令 ,则ama=1+i。=,24=1s1=2 3+1-24+275 +22万=4（当且仅当 时等号成立) t+ t=tanB 1+t2 t=√2 故选：B. 9.已知角。'B满足na=osa+9血B:m月=有期a+星)-0 1 A. B.5 C.7 0.7 【答案】A 【解析】由sina=sin[(a+P)-B]可得：sina=sina+B)cosB-cos(a+B)sinB. 代入条件sina=cos(a+B)sinB, 得sina+B)cosB-cosa+β)sinβ=cosa+B)sinB. 移项整理sin(a+B)cosB=2cos(a+β)sinB. 则tan(a+B)=2tanB. a明-子ma+A=号代入ma+= 1-tanatanβ 6/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 可得 -tand 3tana+1=2- 2 tand,3 3 ↓tana=l→tana= 3 1 3 14 +1 π 代入可得： tand+1_11 11147 1-tana 1-3884 故选：A 10.若2-cosx=V3sinx,则cos2x=() 1 A月 B.- c.v 2 D.- 2 2 【答案】B 【解析】由2-eosx=55inx可得2=v5sim+cosx=2s如+6)： 即sinx+亚 6 =1,可得x+五-+2m,kZ,所以2x=2+4,ke乙. 62 2 则cos2x=cos 2+4km=cos ）2元1 321 故选：B. 业引a+-。m tanB,则sin(2a-B)=（) 1 2 C.5 2 5 B. 5 D.-5 【答案】B 【解析】由题意得 sina cosa 即 cosa sina cosB cos'a-sin'a cosB 2cos2a_cosβ 即 sinacosa sinB, sin2a sinB' 得sin2 acosp=2cos2 asinB,又因为sin(2a+A)=sin2 pacosB+-cos2asin0=2 5 所以sin2 acosB= F5,cos2 asinB=」 1 因此sin(2a-B)=sin2 acosB-cos2 asinB=二 故选：B 7/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.已知》-手则m2r+引(） 5 7 12 A.24 B.24 C.7 【答案】B 【解1因为r信》所以后引 13 8 24 四 3 7 故选：B 13.已知0∈ 且sincos-月-cosin(B-a=号，则to2-（） sin2a 4 3 3 B.-4 C.4 4 A.-3 D.3 【答案】B 【解析】因为sinBcos(a-B)-cosBsin(B-a)=sinBcos(a-B)+cosβsin(a-B) 4 =sin[B+(a-B)]=sina=5, 又2π 所以cosa=-V1-sina= 3 5 +cos2a 所以 2cos'a cosa 3 sin2a 2sinacosa sina 4 故选：B. 14.已知sina+cos,B=3 ,cosa+sinB=4 5,则cosasin B的值为() 8/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A曲 13 17 B. 100 D.-100 【答案】A 【解析】由题意，sina+cosB=} cosa+sinB=手 则awg-图传-1. 化简可得sina cosB+cosasin B= 分：所以sma+例=方》 又Isma+o-(gg-3 sina +cosB+2sin a cos-cos'a+sin'B+2cosa sin B)= 7 -cos 2a+cos2B+2sin a cos B-2cosa sin B=- 25 -sin(B)sin(B-a)+2sinacos B-2cosasin B--7 251 所以sin(B-a)+2 sin-2 cosin=-7 25 7 所以sin a cos B-cosa sin B=- 25 sin a cos B+cosasin =-1 2 由 sina cos B-cosa sin B.=7，可得 25 cosa sin B=-11 100 故选：A. 考点三知值求角 15.已知a,pe0对且csa-5 ，cosa+pP)=2 0:则a-B=(D A月 π B.4 c 【答案】A 【解行1因为。：时且a9宁子：国数，o心在利上单调适成 52 ae 2ac( 3， 9/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又a,B∈0，x' cos(a+B)=v2 ，所以a+Ae0,孕： sin(a+B)=1-cos2(a+B)= 7N2 10 cos2a=2cos'a-1=2x(sinza-oos 2a=4 5 g)=sinf2a-a+B)=sin 2acos(a+B)-cos2asin(a+)xY2-(-3 二)X 5102 又a写受，a+Be0孕，所以B=a+月-u<号音-若结合0可得08引， 所以a-B(》 所以a-B-年， 故选：A. 16.己知tana= 1-sinβ 且a,Be0 则下列选项正确的是() A.a+B= 2 8.2a-月-号 C.2加+B-号 D.2a+B=元 【答案】C 1-sinβ 【解析】解法1：由tanc= cossinccosB=cosa-cosasinp sin(B)=cosa 又因为a,B∈0， 所以0<a+B<x则a+B+a-或a+例-a-子 2 整理得2a+B= 2或B= 2 (舍去). 故选：C cos 、B co -sin B B 解法2：因为 1-sinB 2 2 1-tan 所以tana= 2 B cosB cos2 -sin2B =tan 1+tan 42 cos 2 2 +sin- 2 又因为a,B∈ 0, 2 42子则a=元B 所以0<π-E<亚 42’ 整理得2a+B= 2 故选：C 17.若开<B<元<a< 4 2,且cosa+B)=-2 0，sin2B=4 ,则a-B=（） A B.2 D.x 10/38