重难点28 圆锥曲线向量条件转化的八大类型讲义——2026届上海市高考数学一轮复习

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点28 圆锥曲线向量条件转化的八大类型 一、由向量关系求参数的范围 1、核心逻辑：将向量条件（平行、垂直、共线、线性表示等）转化为坐标等式或不等式，结合点在圆锥曲线上的条件，通过函数值域或判别式求参数范围。 2、解题模型 （1）设点坐标：设圆锥曲线上动点坐标（如椭圆上点），参数为等。 （2）转化向量关系：例如“”转化为，“”转化为坐标比例关系。 （3）联立曲线方程：将转化后的坐标关系代入圆锥曲线方程，得到关于参数的函数或方程。 （4）求范围：利用判别式Δ≥0（直线与曲线有交点）、变量取值范围（如椭圆）或均值不等式求参数界限。 二、由向量关系求圆锥曲线的离心率 1、核心逻辑：向量关系转化为的等量关系，再结合离心率及或（椭圆或双曲线）推导。 2、解题模型 （1）提取向量条件：聚焦与焦点、顶点、准线相关的向量关系（如“”“”）。 （2）转化为坐标等式：结合圆锥曲线的焦点坐标（椭圆、双曲线），列出坐标方程。 （3）消元得关系：利用点在曲线上的条件代入，消去坐标变量，得到仅含的等式。 （4）求离心率：等式两边除以，转化为关于的方程，求解得（注意的范围：椭圆，双曲线）。 三、求向量数量积的范围 1、核心逻辑：将数量积表示为坐标运算，转化为关于单个变量的函数，结合圆锥曲线的变量范围求值域。 2、解题模型 （1）表达数量积：设相关点坐标，将目标向量数量积展开为坐标形式。 （2）变量统一：利用圆锥曲线方程消去一个坐标变量（如椭圆），转化为单变量函数。 （3）确定变量范围：根据圆锥曲线定义域（如椭圆、抛物线）划定自变量取值区间。 （4）求函数值域：通过二次函数配方法、导数或均值不等式，求函数在区间内的最大值和最小值，即数量积的范围。 四、常见几何条件与向量转化 1.设为直线l的方向向量,若,则l斜率为k；若（m≠0）,则l斜率为； 2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:①=;②=+且+=1;③=(+)/(1+)；④∥. 3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:①=;②=(+). 4.在四边形ABCD中,若∙=0,则ABAC;若∣+∣=∣-∣,则ABAD;若∙=∙,则ACBD. 5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量共线转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化. 题型一：向量共线：单共线 【例1】（2022届上海市格致中学高三上学期期中）椭圆：的焦点,是等轴双曲线：的顶点,若椭圆与双曲线的一个交点是P,的周长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点,设直线、的斜率分别为,,求证,的乘积为定值； （3）过点任作一动直线l交椭圆与A,B两点,记,若在直线AB上取一点R,使得,试判断当直线l运动是,点R是否在某一定直线上运动？若是,求出该直线的方程；若不是,请说明理由. 【解析】（1）有由题可知：,由的周长为 所以,即 所以 所以椭圆的方程为 （2）设,由 所以 所以,又,则 所以 （3）依题可知：直线的斜率存在,设方程为, 所以 所以 由,设 由 所以 所以 【跟踪训练】 1.（2025上海高三阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，长轴长为，且短轴长是焦距的倍． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； (3)过点的直线与椭圆相交于，两点，，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意，，得到，由短轴长是焦距的倍，得， 又，所以，解得，所以，   故椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，故该直线为， 由，消可得， 故，由弦长公式，. （3）显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，，与题设矛盾）， 设，，直线为， 由，消得， 由韦达定理可得：①，， 又，则，故②， 由①②得，，故， 即，化简可得，解得. 故直线为. 2.（2025上海高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)． (1) 求椭圆C的标准方程； (2) 过点O且平行于l的直线交椭圆C于M，N两点，求的值； (3) 记直线l与y轴的交点为P，若＝，求直线l的斜率k. 【解析】 (1) 由点(b,2e)在椭圆C上，得＋＝1. 因为e2＝＝＝1－，所以＋＝.(2分) 又b2<a2＝8，解得b2＝4， 所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(4分) (2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 由对称性知N(－x0，－y0)，其中y1＜0. 因为MN∥AB，所以＝.(6分) 直线AB的方程为y＝k(x－1)，直线MN的方程为y＝kx，其中k＞0. 由消去x，得(1＋2k2)y2＋2ky－7k2＝0，所以y1＝，y2＝，y1y2＝.(8分) 由消去x，得(1＋2k2)y2＝8k2，所以y＝. 从而得＝.(10分) (3) 由＝，得－x1＝(x2－1)．(12分) 由消去y，得 (1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－8＝0， 解得x1＝，x2＝， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 又因为－x1＝(x2－1)， 所以x1＝，x2＝，(14分) 从而·＝. 整理得50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2. 因为k＞0，所以k＝.(16分) 3.（2025复旦附中高三三模）已知点G是圆T:上一动点（T为圆心），点H的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R，动点R的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)M，N是曲线C上的两个动点，O是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)设P为曲线C上任意一点，延长至Q，使，点Q的轨迹为曲线E，过点P的直线l交曲线E于A、B两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)为定值， (3) 【详解】（1），则， 则曲线C是以和为焦点，4为长轴的椭圆； 设椭圆方程为，则，，，曲线. （2）设 所以 则 化简得：，则， 又， 直线 则到直线的距离， 所以为定值； （3）设点，则点，代入椭圆方程得到曲线； 当直线l的斜率不存在时：设， 代入E中有，则    当直线l斜率存在时：设，，， 代入E的方程：， 则，， ； 而l与椭圆C有公共点，代入得：， 由有，记，则， 综上，面积的最大值为. 4．（2025上海高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若， ①证明：； ②若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据椭圆性质和将带入椭圆方程可得关于的方程，求解即可； （2）①设，，联立方程组，根据根于系数的关系和数量积的坐标运算可证； ②设的中点为，因为，所以，不妨设，，又，并由点在椭圆上进一步求范围. 【详解】（1），得， 将带入椭圆方程有，解得，． 所以椭圆方程为． （2）设，， 由，得， ，（*） ①由于， 所以． 将（*）带入得，化简得． ②设的中点为，因为，所以， 不妨设，， 到直的距离为，， ． 由，得点坐标为， 则， 由点为椭圆上点，， 得，即， 所以， 所以． 综上，四边形面积的取值范围为． 题型二：向量共线：双共线 此类问题一般是给出形如的条件,确定关于的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标与纵坐标分别相等（注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等,使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一个）,把用其他变量（若点的横坐标或纵坐标）表示,再利用题中条件消去其他变量. 【例2】（2025上海高三阶段练习）已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为.    (1)求椭圆的方程； (2)设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点. （i）求证点在定直线上； （ii）设，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）1 【分析】（1）由题意求出的值，即得答案； （2）（i）设直线方程为，联立椭圆方程可得根与系数关系，写出直线，的方程，联立化简，即可证明结论；（ii）由可得的表达式，化简，即可求得答案. 【详解】（1）依题意，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为， 椭圆方程为 （2）（i）证明：由（1）知可设直线方程为， 联立和， 得，直线l过椭圆焦点，必有， ， ，直线方程为， 直线方程为， 联立两方程得， ，即点在定直线上； （ii）依（i）有.设，若， 则，则， . 故当时，的最大值为1. 【跟踪训练】 1.（2025青浦二模）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点的直线交椭圆于、两个不同的点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的倾斜角的取值范围； （3）当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围． 解：（1）因为，所以； 又点在图像上即，所以， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）可得 ①当直线的斜率不存在时，，以线段为直径的圆交轴于 点在以线段为直径的圆的外部，符合，此时， ②当直线的斜率存在时，设直线，设、， 由得， 解得或（i） ∵点在以线段为直径的圆的外部，则， 又 解得或 （ii） 由（i）、（ii）得实数的范围是或， 由①、②得直线的倾斜角的范围是； （3）设直线，又直线的倾斜角为锐角，由（2）可知， 记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：. 令，解得，所以点S为；同理点T为. 所以，，. 由，，可得：，， 所以， 由（2）得，， 所以 综上所以的范围是. 2.（2024届上海市七宝中学高三高考押题卷）已知椭圆C：（）经过，两点.O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为k（）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线，分别与y轴交于点S，T. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围； （Ⅲ）设，，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】 （Ⅰ）因为椭圆C：经过点， 所以解得. 由的面积为可知，， 解得， 所以椭圆C的方程为. （Ⅱ）设直线l的方程为，，. 联立，消y整理可得：. 因为直线与椭圆有两个不同的交点， 所以，解得. 因为，所以k的取值范围是. （Ⅲ）因为，，，. 所以直线的方程是：. 令，解得. 所以点S的坐标为. 同理可得：点T的坐标为. 所以，，. 由，， 可得：，， 所以. 同理. 由（Ⅱ）得，， 所以 所以的范围是. 题型三：向量共线：三点共线 【例3】（2025奉贤中学高二月考）已知椭圆的右焦点为，A为C上一点，的最小值为1. (1)求C的方程； (2)设点，斜率不为0的直线与C交于另一点B. （i）若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； （ii）若D为C上一点，且点D与点A关于x轴对称，证明：三点共线. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意得 解得， 所以的方程为. （2）由题可知直线的斜率存在且不为0， 设直线，则， 联立，消去，可得， 则，解得， 所以. （i）因为弦中点的纵坐标为， 所以， 解得或（舍）， 所以直线的斜率为. （ii）由题得， 因为 ， 所以， 又与有公共点，所以三点共线. 【跟踪训练】 1．已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 . (1)求双曲线 的方程; (2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 ，建立方程组求解即可； （2） 三点共线，即证，设出直线的方程联立双曲线的方程，由韦达定理，求出的坐标，由坐标判断，证明即可. 【详解】（1）由题意得，且 （2）由 (1) 得， 设直线 的方程为，则， 由 得， 直线 的方程为，令 ，则， ， 所以三点共线. 2 （2025上海市育才中学高三三模）设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过的右焦点，且，，求的值； （3）设直线的方程为，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系列出等式，进而可得椭圆的方程； （2）设的左焦点为，连接，利用向量的运算以及椭圆的定义和对称性推出，再代入三角形面积公式中即可求解； （3）设出，，三点的坐标，利用向量的运算得到，，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到和，将点的坐标代入椭圆方程中得到，此时满足，再结合弦长公式和换元法进行求解即可． 【小问1详解】 由的离心率是短轴的长的倍，得 ，即， 又，则， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 设的左焦点为，连接， 因为，所以点、关于点对称， 又，则， 由椭圆的对称性可得， ，且三角形与三角形全等， 则， 又，化简整理得， ，则. 【小问3详解】 设，，， 又 ，则，， 由得，， ， 由韦达定理得，，， 又， 则，， 因为点在椭圆上，所以， 化简整理得，， 此时，， 则 ， 令，即， 则， 则的取值范围是. 【点睛】关键点点睛:本题考查直线与椭圆得位置关系及弦长范围问题，关键是向量坐标化得C坐标并代入椭圆方程得m,k的等量关系. 3. （2025上海市崇明区高三三模）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若椭圆上点满足，求的值； （2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； （3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点，然后代入椭圆方程，即可求出，再根据椭圆定义求； （2）设，求出，根据二次函数在给定区间上的最值要求列不等式求解； （3）设直线的方程为，与椭圆联立，写出韦达定理，再根据求出的坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理计算，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 因为，所以设点， 则，所以，即， 所以； ； 【小问2详解】 设，则，， 则， 所以，， 要时取最小值，则必有， 所以； 【小问3详解】 设过点且法向量为的直线的方程为，， 联立，消去得， 则， 则， ， 又， 又点在椭圆上，则， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 即的最大值为. 题型四：向量数量积问题 【例4】 （2025华师大二附中高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. （1）若且点在第一象限，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）分别讨论直线斜率是否存在的情况，若直线斜率存在，设直线，与椭圆联立方程组，可得，同理与联立可得，利用向量数量积的坐标公式结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 ，，设，且， 则且，解得，， 因此的坐标为. 【小问2详解】 直线为水平直线时，不存在， 设直线方程为，联立， 得，， 设，，则. 由于在线段上，，其中， 因此，整理得， 所以，解得（负值舍）， 因此直线方程为，即或. 【小问3详解】 由题设，直线斜率不可能为0，而直线斜率不存在时，、重合，； 若直线斜率存在，设直线，与联立得， 因此；而联立直线与可得； 所以，即取值范围是. 综上，的取值范围为. 【跟踪训练】 1．（25-26上师大附中高三练习）已知双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率，求的值. (2)若为等腰三角形时，且点在第二象限，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意得，则； 因此. （2）当时，双曲线，其中， 如下图所示： 因为为等腰三角形，则 当以为底时，显然点在直线上，这与点在第二象限矛盾，故舍去； 当以为底时，， 设，则点的轨迹是以为圆心，半径为3的圆， 其方程为； 联立，解得或或； 因为点在第二象限，显然不合题意，舍去； 当以为底时，， 设，其中，则点的轨迹是以为圆心，半径为3的圆， 其方程为； 则有解得. 综上所述：点的坐标为. （3）由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有，可得， 显然二次项系数， 其中， ①，②， 可得， 则，因为在直线上， 则， 即， 将①②代入有， 即， 所以，代入到，得. 且，解得，则， 因此. 所以的取值范围为. 2．（24-25高三松江二中开学考试）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为A，下顶点为，是线段的中点，其中． (1)求椭圆E的方程． (2)设M为椭圆E上一动点，求的最大值． (3)过点的动直线与椭圆E有两个交点，．在轴上是否存在点使得恒成立．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，，， 故， 故，所以，，故椭圆方程为：． （2）设M点坐标为，满足，又C点坐标为， 所以：，其中 所以当时，有最大值，所以的最大值为． （3）若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由，可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 3．已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，解得，，故C的方程为； （2）（ⅰ）依题意可设直线l的方程为，，，. 联立得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ⅱ）， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为. 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程． (2)点P、Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线OP、OQ的斜率之积为，求证：为定值； (3)直线l过点且与椭圆交于A、B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）因为点T在椭圆上且，所以，； 将点代入椭圆得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）设直线：，联立方程组，得， 所以， 又直线：，类似的可得， 故而，为定值． （3）当直线l与x轴不垂直时，设l：，设，，， 由得， ， 又， ， 令得，此时， 当l与x轴垂直时，l：，，， 又，有， 综上，，． 5．（2025上海高三阶段练习）已知椭圆上右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点； (3)在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于、两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意可得 ：且， 解得：， 所以椭圆的方程为； （2）如图所示： 由题意，可设直线的方程为 ，， 联立方程组消去得方程：， ，所以， 所以直线的方程为：， 令，则， 故直线过定点； （3）①当直线与轴重合时，， ②当直线与轴不重合时，设直线的方程为， 联立，消去得方程， 可知，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围是， 综上可知，的取值范围是． 题型五：利用向量解决夹角问题 【例5】（2025华东师大三附中高三三模）已知双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； （3）若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率得，再根据双曲线所过的点求出基本量后可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，由已知距离得，联立直线方程和双曲线方程结合韦达定理可求，故可求； （3）法1：设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程后消元，再结合韦达定理化简斜率之和得直线参数关系，从而可求定点；法2：平移双曲线图象，使点平移到坐标原点，设平移后的直线的方程为：，齐次化后结合斜率为1可得参数关系，从而可求出原直线所过的定点. 小问1详解】 由，得， 则双曲线的方程为，将点代入的方程中，得． 解得，故，所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，因为点到直线的距离为1， 作出简图如下所示， 所以，即． 设，，由于直线与交于点，所以， 联立整理得． 则，， 且， 故， 所以， 则．故． 【小问3详解】 法一：当直线的斜率为0时，可设其方程为，则，， 则即， 又在双曲线上，所以，联立可得，所以或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 故此时直线的方程为． 当直线的斜率不为0时， 设的方程为，设，， 联立得，其 则，且 而 ， 化简得． 代入（※）式，得， 即，所以或． （ⅰ）当时， 的方程为，此时直线过定点． （ⅱ）当时，的方程为， 此时直线过定点，与是双曲线上异于的两点矛盾，故舍去． 综上，直线过定点． 【跟踪训练】 1．已知为抛物线上的一点，，为抛物线上异于点的两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数. （1）求直线的斜率； （2）设直线过点并交抛物线于，两点，且，直线与轴交于点，试探究与的夹角是否为定值，若是则求出定值，若不是，说明理由. 【答案】（1）； （2）是定值， 【解析】（1）根据点的坐标求出抛物线方程，设出点和点的坐标，利用斜率公式和抛物线方程，求出和，再根据和互为相反数，得到，进而求出直线的斜率； （2）设出点和点的坐标，根据，得到，再设出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理，并结合，化简，得到的坐标表示，求出，借助向量的数量积，即可求得与的夹角. 【详解】（1）设，， 因为点为抛物线上的一点， 所以，解得，所以， 同时，有，， ， 同理，， 因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数， 所以，即， 故. （2）设直线的方程为，，，， 将直线的方程代入，得， 所以，， ，，且， ，解得， ， 又 ， ， 又，， ，即与的夹角为. 与的夹角是定值，定值为. 【点睛】本题考查了抛物线标准方程的求解、斜率公式的运用以及直线与抛物线的位置关系中的定值问题，其中涉及到向量的坐标运算等知识，属于中档题.在处理直线与抛物线的位置关系的题时，一般要用到根与系数的关系. 2．（2025·上海长宁·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1) (2)或. (3) 【分析】（1）根据题设条件求出基本量后得双曲线方程； （2）就、、分类得方程组，求解后得的坐标； （3）联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理可得关于斜率的不等式，求解后得斜率的范围. 【详解】（1）设半焦距为，则即，而，故， 故，，故双曲线的方程为：. （2）由（1）得，， 因为在第一象限，故设，其中， 因为三角形是等腰三角形，故或或， 若，则在的中垂线上，则，舍； 若，则，故， 故，解得，故. 若，同理有，， 故， 综上，或. （3） 设直线，设， 而，故， 因为是锐角， 故， 所以， 整理得到， 由可得， 故且， 且，因为点P在第一象限，所以或， 又， 整理得：，故或或. 题型六：向量加法构造平行四边形或坐标化 若点满足,则四边形ABCD是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用. 【例6】已知点是已知椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,当时,面积达到最大,且最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于两点,且两点与左右顶点不重合,若,求四边形面积的取值范围. 【分析】（1）根据题意,点在短轴端点时,△PF1F2的面积最大,且为正三角形,进而得到的关系,解得答案即可； （2）根据判断出四边形是平行四边形,进而设出直线方程并代入椭圆方程化简,然后结合根与系数的关系求出面积的表达式,最后解出面积的范围. 【解析】（1）由题可知,当点在短轴端点时,△PF1F2的面积最大,且为正三角形, ,又,由,解得, 所以椭圆的标准方程为. （2）设,则由, 可得,即, , 又因为,所以四边形是平行四边形, 设平面四边形的面积为S, 则. 设,则, 所以 因为,而对勾函数在上单调递增,所以, 所以. 所以四边形面积的取值范围为. 【跟踪训练】 1.（23-24高三下·上海浦东新·二模）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； (3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设点，然后代入椭圆方程，即可求出，再根据椭圆定义求； （2）设，求出，根据二次函数在给定区间上的最值要求列不等式求解； （3）设直线的方程为，与椭圆联立，写出韦达定理，再根据求出的坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理计算，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为，所以设点， 则，所以，即， 所以； ； （2）设，则，， 则， 所以，， 要时取最小值，则必有， 所以； （3）设过点且法向量为的直线的方程为，， 联立，消去得， 则， 则， ， 又， 又点在椭圆上，则， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 即的最大值为. 2.在平面直角坐标系中,点,的坐标分别为,,是动点,且直线与的斜率之积等于. （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知直线与椭圆：相交于,两点,与轴交于点,若存在使得,求的取值范围. 【解析】（1）设,则, 所以可得动点P的轨迹C的方程为. （2）设又,由得 , 联立可得 , 即,且, 又,则, , 代入得, ,解得. 的取值范围是 题型七：共线线段乘积或比例转换为向量 【例7】已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点． (1)求C的方程； (2)不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点中的一个． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）设，，，直线l的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，，再根据，求出的关系，即可得出结论. 【详解】（1）设C的焦距为2c，则，即，，， 由双曲线的定义，得， 即，所以， 故C的方程为； （2）设，，，直线l的方程为， 联立，整理得， 由题意，得，则， 则，， ， 设MN的中点为，则，， 所以线段MN的垂直平分线的方程为， 令，得，即，所以， 由题意，得，即，从而， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或， 所以直线l的方程为，或，或，或， 故直线l过四个定点中的一个． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中直线过定点问题通法，是先设出直线方程（或），通过韦达定理和已知条件若能求出为定值可得直线恒过定点，若得到和的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点. 【跟踪训练】 1.顺次连接椭圆的四个顶点，得到的四边形的面积为，连接椭圆C的某两个顶点，可构成斜率为的直线. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知过点的直线l与椭圆C交于E，F两点，点B在线段上，若，求（O为坐标原点）面积的取值范围. 【解析】（1）依题意得 解得所以椭圆C的标准方程是. （2）设直线l的方程为，代入椭圆C的方程得，由得. 设， 所以，， 设，则 . 原点O到直线l的距离， 故的面积. 因为，故， 故面积的取值范围为. 题型八：复杂向量关系式的转化 【例8】设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值. 【解析】（1）由题意可得，，当时，， 所以得：，解得，所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知，，，， 过点且斜率为的直线方程为， 联立方程，可得， 设，，则，， 故， 又，，，， 所以 ， 整理可得，解得. 【跟踪训练】 1．已知椭圆过点，且离心率，直线l与E相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C，D两点，O为坐标原点． (1)求椭圆E的方程； (2)判断是否存在直线l，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，直线l的方程为或 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）将向量之间的关系转化点的坐标之间的关系，结合椭圆方程求解即可. 【详解】（1）由题意得，且椭圆过点， 所以，同时， 联立解得：， 所以椭圆E的方程为. （2）    若存在直线l,设， 由得: ,解得， M，N两点在椭圆上， 所以，解得：， 故存在直线l. 由直线方程过M，N两点可得， 此时直线方程为：或 2．双曲线：的顶点与椭圆：长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，，又过原点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，．是否存在定值，使得？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由椭圆：得到：， 双曲线的渐近线方程为，得到：，解得：.则双曲线的方程． （2）若存在定值，使得，∵与同向，∴， ∵，设：，由消去整理得：，∴，由交左右两支于、两点，有，即，则， ， 由于，可设：，由消去整理得：，∴， 由此， ∴，故存在定值，使得． 3．（2025上海高三阶段练习）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线； (3)若是椭圆上的点，且，求的面积． 【答案】(1)焦距为，离心率为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接由椭圆的方程得出和，再由求出，即可得出焦距和离心率； （2）设，，首先由得出，方法一：由三点共线和三点共线，得出，再将代入椭圆方程，联合整理得，，即可证明结论；方法二：写出直线的方程与椭圆联立，由根与系数关系得出点和的坐标，进而得出，，即可证明结论； （3）设，由，得出和，①当直线的斜率不存在时，得出，即可得出的面积；②当直线的斜率存在时，设，与椭圆方程联立，得出和，结合点在椭圆上，得出，再根据弦长公式得出，根据点到直线距离公式得出点到直线的距离，根据即可得出面积． 【详解】（1）由可知， ，，故， 所以焦距，离心率． （2）设，， 由题意，，，，，，，， 又， 所以，得， 方法一：由三点共线，则，即， 同理可得，三点共线，则，即， 故，即， 又，， 所以， 所以， 由，整理得， 所以有， 又， 故， 所以， 所以三点共线． 方法二：因为，，则， 由得直线的方程为， 与椭圆联立，得， 则， 所以， 同理得， 所以，，即三点共线．    （3）设， 因为，，， ①当直线的斜率不存在时，则， 所以，， 又是椭圆上的点，此时， 故， ②当直线的斜率存在时，可设， 由，得， 所以，， 所以， 又点在椭圆上，代入整理得，， 从而， 于是， 点到直线的距离， 所以．    4．（2025上海高三阶段练习）已知中心在原点，焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点E作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6. (1)求E的方程； (2)若面积为3的的三个顶点均在E上，边BC过F，边AB过原点，求直线BC的方程； (3)已知，过点的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足，且？若存在，求S的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）依题意设出双曲线方程，根据双曲线离心率公式、通径公式进行求解即可； （2）根据直线与双曲线相交，由弦长公式及三角形面积公式可得结果； （3）根据直线与双曲线相交，由条件得出点S的轨迹可判断结果. 【详解】（1）圆锥曲线E的离心率为2，故E为双曲线， 因为E中心在原点、焦点在x轴上，所以设E的方程为， 令，解得，所以有 ① 又由离心率为2，得 ②，由①②解得， 所以双曲线E的标准方程是． （2）设，，由已知，得，根据直线过原点及对称性， 知， 联立方程，得，化简整理，得， 所以，且， 所以，解得， 所以直线的方程是或． （3）若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意， 故直线l斜率存在，设直线l方程，联立方程，得， 化简整理，得， 依题意有，因为恒成立， 所以，故，解得：， 设，，则由韦达定理，得， 设点S的坐标为，由，得， 则，变形得到， 将，代入，解得， 将代入中，解得， 消去k，得到点S的轨迹为定直线：上的一段线段（不含线段端点，，设直线与双曲线切于，直线与渐近线平行时于交点为）． 因为，，且，取中点， 因为， 所以， 所以，故， 即S的轨迹方程为，表示以点H为圆心，半径为的圆H， 设直线与y轴，x轴分别交于，， 依次作出直线，，，， 且四条直线的斜率分别为：，，，， 因为，所以线段是线段的一部分 经检验点，均在圆H内部，所以线段也必在圆H内部， 因此线段也必在圆H内部，所以满足条件的点S始终在圆H内部， 故不存在这样的点S，使得，且成立． 【点睛】关键点点睛：根据向量表达式求出点S的轨迹方程，再结合直线斜率之间的大小关系进行判断是解题的关键. 5. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点 （1）设直线的方程为，求线段的长 （2）设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程 （3）设，若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）直线方程与抛物线方程联立，结合抛物线焦点弦长公式可求得结果； （2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，根据可构造方程求得结果； （3）设，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，根据可建立等量关系，得到，由此可得的范围. 【小问1详解】 由抛物线方程知：，则直线过焦点， 设， 由得：，， . 【小问2详解】 由题意知：直线斜率不为零，可设，， 由得：，则，解得：； ，， ，，， ， 解得：（满足）， 直线得方程为：或. 【小问3详解】 由题意知：直线斜率不为零，可设，，，， ，； 由得：，则，即， ，，， 由得：， 即，，， ，，即的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，本题求解参数范围的关键是能够将已知条件中的向量运算转化为坐标运算的形式，从而将所求变量表示为另一变量的函数的形式，利用函数值域来求得参数范围. 6．（23-24高三下·上海·开学考试）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的焦点三角形，即可结合余弦定理求解， （2）（i）联立直线与椭圆的方程可得韦达定理，即可根据中点坐标公式可得，从而即可得证；（ii）进一步根据向量的坐标运算即可得证. 【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得. 因为，，. 在中，由余弦定理得， 解得，则，故椭圆的方程为； （2）（i） 当直线的斜率存在且不为0时，不妨设直线的方程为， 联立得. 因在椭圆内，所以直线必与椭圆相交. 设，由韦达定理得， 所以. 因为为线段中点， 所以，此时，则. 要证，只需证明， 而， 所以点轨迹方程为； （ii）联立得，则. 不妨设，所以，. 不妨设，由得 ， 即. 因为，， 所以. ∵，所以，即， 则点在定直线上. 当直线斜率为0时，轴，此时,. 因为，所以，则， 故点在定直线上； 当直线无斜率时，此时直线方程为，易知轴， 所以点在轴上，则. ∵，所以，即，则点在定直线上. 综上可得：点在定直线上. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，点是的长轴上的动点，点为上的动点，且异于点． （1）当点位于椭圆的左焦点，且、、能构成三角形时，求的周长； （2）当点位于椭圆的左顶点时，直线与轴交于点，，求实数的值； （3）当点与椭圆的左、右顶点均不重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，过点作直线与椭圆交于、两点，设和分别为弦和弦的中点，若、、、为四个相异的点，，且直线恒过定点，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦点三角形的周长计算公式求解出结果； （2）联立直线与椭圆方程，求得点坐标，然后根据纵坐标求得的值； （3）先判断出的位置关系，然后通过联立直线与椭圆方程求得中点的坐标，由此可表示出直线的方程，根据直线过定点可求解出结果. 【小问1详解】 由椭圆方程可知，， 所以的周长为； 【小问2详解】 因为，所以，则，即， 联立，可得，解得或，所以， 因为，所以， 所以； 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 所以 ，所以，所以； 当中有一条直线斜率不存在时，此时一定有一条弦的中点和点重合，故不符合条件； 当为坐标原点时，此时均与点重合，故不符合条件； 由上可知，的斜率都存在， 设，， 联立，可得， 所以，所以，所以，所以， 同理可得，即， 所以，所以， 令，解得， 因为直线恒过定点，所以，所以， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 重难点28 圆锥曲线向量条件转化的八大类型 一、由向量关系求参数的范围 1、核心逻辑：将向量条件（平行、垂直、共线、线性表示等）转化为坐标等式或不等式，结合点在圆锥曲线上的条件，通过函数值域或判别式求参数范围。 2、解题模型 （1）设点坐标：设圆锥曲线上动点坐标（如椭圆上点），参数为等。 （2）转化向量关系：例如“”转化为，“”转化为坐标比例关系。 （3）联立曲线方程：将转化后的坐标关系代入圆锥曲线方程，得到关于参数的函数或方程。 （4）求范围：利用判别式Δ≥0（直线与曲线有交点）、变量取值范围（如椭圆）或均值不等式求参数界限。 二、由向量关系求圆锥曲线的离心率 1、核心逻辑：向量关系转化为的等量关系，再结合离心率及或（椭圆或双曲线）推导。 2、解题模型 （1）提取向量条件：聚焦与焦点、顶点、准线相关的向量关系（如“”“”）。 （2）转化为坐标等式：结合圆锥曲线的焦点坐标（椭圆、双曲线），列出坐标方程。 （3）消元得关系：利用点在曲线上的条件代入，消去坐标变量，得到仅含的等式。 （4）求离心率：等式两边除以，转化为关于的方程，求解得（注意的范围：椭圆，双曲线）。 三、求向量数量积的范围 1、核心逻辑：将数量积表示为坐标运算，转化为关于单个变量的函数，结合圆锥曲线的变量范围求值域。 2、解题模型 （1）表达数量积：设相关点坐标，将目标向量数量积展开为坐标形式。 （2）变量统一：利用圆锥曲线方程消去一个坐标变量（如椭圆），转化为单变量函数。 （3）确定变量范围：根据圆锥曲线定义域（如椭圆、抛物线）划定自变量取值区间。 （4）求函数值域：通过二次函数配方法、导数或均值不等式，求函数在区间内的最大值和最小值，即数量积的范围。 四、常见几何条件与向量转化 1.设为直线l的方向向量,若,则l斜率为k；若（m≠0）,则l斜率为； 2.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A、B、C共线:①=;②=+且+=1;③=(+)/(1+)；④∥. 3.A、B、C是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C为线段AB的中点:①=;②=(+). 4.在四边形ABCD中,若∙=0,则ABAC;若∣+∣=∣-∣,则ABAD;若∙=∙,则ACBD. 5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量共线转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化. 题型一：向量共线：单共线 【例1】（2022届上海市格致中学高三上学期期中）椭圆：的焦点,是等轴双曲线：的顶点,若椭圆与双曲线的一个交点是P,的周长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点,设直线、的斜率分别为,,求证,的乘积为定值； （3）过点任作一动直线l交椭圆与A,B两点,记,若在直线AB上取一点R,使得,试判断当直线l运动是,点R是否在某一定直线上运动？若是,求出该直线的方程；若不是,请说明理由. 【跟踪训练】 1.（2025上海高三阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，长轴长为，且短轴长是焦距的倍． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长； (3)过点的直线与椭圆相交于，两点，，求直线的方程． 2.（2025上海高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)． (1) 求椭圆C的标准方程； (2) 过点O且平行于l的直线交椭圆C于M，N两点，求的值； (3) 记直线l与y轴的交点为P，若＝，求直线l的斜率k. 3.（2025复旦附中高三三模）已知点G是圆T:上一动点（T为圆心），点H的坐标为，线段的垂直平分线交线段于点R，动点R的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)M，N是曲线C上的两个动点，O是坐标原点，直线、的斜率分别为和，且，则的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)设P为曲线C上任意一点，延长至Q，使，点Q的轨迹为曲线E，过点P的直线l交曲线E于A、B两点，求面积的最大值. 4．（2025上海高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若， ①证明：； ②若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围． 题型二：向量共线：双共线 此类问题一般是给出形如的条件,确定关于的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标与纵坐标分别相等（注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等,使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一个）,把用其他变量（若点的横坐标或纵坐标）表示,再利用题中条件消去其他变量. 【例2】（2025上海高三阶段练习）已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为.    (1)求椭圆的方程； (2)设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点. （i）求证点在定直线上； （ii）设，求的最大值. 【跟踪训练】 1.（2025青浦二模）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点的直线交椭圆于、两个不同的点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的倾斜角的取值范围； （3）当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围． 2.（2024届上海市七宝中学高三高考押题卷）已知椭圆C：（）经过，两点.O为坐标原点，且的面积为.过点且斜率为k（）的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线，分别与y轴交于点S，T. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求直线l的斜率k的取值范围； （Ⅲ）设，，求的取值范围. 题型三：向量共线：三点共线 【例3】（2025奉贤中学高二月考）已知椭圆的右焦点为，A为C上一点，的最小值为1. (1)求C的方程； (2)设点，斜率不为0的直线与C交于另一点B. （i）若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； （ii）若D为C上一点，且点D与点A关于x轴对称，证明：三点共线. 【跟踪训练】 1．已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 . (1)求双曲线 的方程; (2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线. 2 （2025上海市育才中学高三三模）设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过的右焦点，且，，求的值； （3）设直线的方程为，且，求的取值范围. 3. （2025上海市崇明区高三三模）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若椭圆上点满足，求的值； （2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； （3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 题型四：向量数量积问题 【例4】 （2025华师大二附中高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆，、分别是其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点. （1）若且点在第一象限，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）若、两点不在轴上，设为线段的中点，于，求的取值范围. 【跟踪训练】 1．（25-26上师大附中高三练习）已知双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率，求的值. (2)若为等腰三角形时，且点在第二象限，求点的坐标； (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围. 2．（24-25高三松江二中开学考试）已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为A，下顶点为，是线段的中点，其中． (1)求椭圆E的方程． (2)设M为椭圆E上一动点，求的最大值． (3)过点的动直线与椭圆E有两个交点，．在轴上是否存在点使得恒成立．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 3．已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. (1)求C的方程； (2)过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程． (2)点P、Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线OP、OQ的斜率之积为，求证：为定值； (3)直线l过点且与椭圆交于A、B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由． 5．（2025上海高三阶段练习）已知椭圆上右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点； (3)在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于、两点，求的取值范围. 题型五：利用向量解决夹角问题 【例5】（2025华东师大三附中高三三模）已知双曲线过点，且离心率为． （1）求的方程； （2）设斜率为的直线与交于点，若坐标原点到的距离为1，求的值； （3）若是上异于点的两点，且的斜率之和为1，证明：直线过定点． 【跟踪训练】 1．已知为抛物线上的一点，，为抛物线上异于点的两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数. （1）求直线的斜率； （2）设直线过点并交抛物线于，两点，且，直线与轴交于点，试探究与的夹角是否为定值，若是则求出定值，若不是，说明理由. 2．（2025·上海长宁·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点A是其左顶点，点P是双曲线上一点，且位于第一象限，若双曲线的离心率． (1)求双曲线的方程； (2)若三角形是等腰三角形，求点P的坐标； (3)直线不垂直于x轴，且与曲线的另一个交点为Q，若是锐角，求直线的斜率的取值范围． 题型六：向量加法构造平行四边形或坐标化 若点满足,则四边形ABCD是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用. 【例6】已知点是已知椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,当时,面积达到最大,且最大值为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆交于两点,且两点与左右顶点不重合,若,求四边形面积的取值范围. 【跟踪训练】 1.（23-24高三下·上海浦东新·二模）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； (3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 2.在平面直角坐标系中,点,的坐标分别为,,是动点,且直线与的斜率之积等于. （1）求动点的轨迹的方程； （2）已知直线与椭圆：相交于,两点,与轴交于点,若存在使得,求的取值范围. 题型七：共线线段乘积或比例转化为向量 【例7】已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点． (1)求C的方程； (2)不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点中的一个． 【跟踪训练】 1.顺次连接椭圆的四个顶点，得到的四边形的面积为，连接椭圆C的某两个顶点，可构成斜率为的直线. （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知过点的直线l与椭圆C交于E，F两点，点B在线段上，若，求（O为坐标原点）面积的取值范围. 题型八：复杂向量关系式的转化 【例8】设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的下顶点，为椭圆的上顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点.若，求的值. 【跟踪训练】 1．已知椭圆过点，且离心率，直线l与E相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C，D两点，O为坐标原点． (1)求椭圆E的方程； (2)判断是否存在直线l，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 2．双曲线：的顶点与椭圆：长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为． （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，，又过原点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，．是否存在定值，使得？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 3．（2025上海高三阶段练习）已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线； (3)若是椭圆上的点，且，求的面积． 4．（2025上海高三阶段练习）已知中心在原点，焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点E作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6. (1)求E的方程； (2)若面积为3的的三个顶点均在E上，边BC过F，边AB过原点，求直线BC的方程； (3)已知，过点的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足，且？若存在，求S的坐标，若不存在，请说明理由. 5. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点 （1）设直线的方程为，求线段的长 （2）设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程 （3）设，若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围 6．（23-24高三下·上海·开学考试）已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，是椭圆上一点，，． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，为线段中点． （i）求证：点轨迹方程为； （ii）为坐标原点，射线与椭圆交于点，点为直线上一动点，且，求证：点在定直线上． 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为和，点是的长轴上的动点，点为上的动点，且异于点． （1）当点位于椭圆的左焦点，且、、能构成三角形时，求的周长； （2）当点位于椭圆的左顶点时，直线与轴交于点，，求实数的值； （3）当点与椭圆的左、右顶点均不重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，过点作直线与椭圆交于、两点，设和分别为弦和弦的中点，若、、、为四个相异的点，，且直线恒过定点，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $