江苏省苏州市2025-2026学年上学期九年级数学期末模拟卷（十）

苏州市2025-2026学年第一学期初三数学期末模拟卷（十） 一．选择题（共8小题） 1．cos30°的值是（　　） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程ax2﹣4x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≤4且a≠0 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a＜4 3．将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到的抛物线相应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x+1）2+5 4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC、AD，若∠CAB＝35°，则∠ADC的度数为（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 第4题第5题第6题 5．如图，将半径为6的⊙O沿AB折叠，使得折痕AB垂直半径OC，当AB恰好经过CO的三等分点D（靠近端点O）时，折痕AB长为（　　） A．8 B． C．8 D． 6．已知直线y＝mx+n和抛物线y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（﹣1，0）、（2，0），抛物线与直线交点的横坐标为1和，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是（　　） A．1＜x＜2 B．x或x＞1 C．x＜2 D．﹣1＜x＜2 7．如图在给定的⊙O中，弦AB的弦心距OH＝6，CD＝16，点E在弦CD上，且OE＝ED＝5，当△EAB面积的为最大时，DH的长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，已知点A（3，4），点B为直线x＝﹣2上的动点，点C（x，0）且﹣2＜x＜3，BC⊥AC垂足为点C，连接AB．若AB与y轴正半轴的所夹锐角为α，当tanα的值最大时x的值为（　　） A． B． C．1 D． 第7题 第8题 二．填空题（共8小题） 9．已知圆锥的底面圆半径为3cm、高为4cm，则圆锥的侧面积是 　 　 cm2． 10．抛物线y＝x2﹣4x+1的顶点坐标为　 　 ． 11．在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A（﹣6，8），B（﹣4，0）．以原点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的一半，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是 　 　 ． 12．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若（3﹣x）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则的值为　 　 ． 13．若函数y＝mx2﹣4x+1的图象与x轴有公共点，则m的范围是 　 　 ． 14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F＝80°，则∠A＝　 　 °． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知，，B（0，2），，点P（m，n）为直线AB上一动点，若∠OPC＝30°，则m的值为　 　 ． 第14题第15题第16题 16．如图，等边△ABC中，AB＝6，点D、点E分别在BC和AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，则CF的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共11小题） 17．计算 （1）sin230°+cos245°sin60°•tan45° （2）|tan60°﹣cos30°| 18．解方程 （1）x2﹣2x﹣2＝0 （2）2（x﹣3）2＝x﹣3 19．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABO的三个顶点A、B、O都在格点上． （1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1O三角形； （2）点B的运动路径的长； （3）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积． 20．图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽3.9米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为3.3米，灯臂OM长为1.2米（灯罩长度忽略不计），∠AOM＝60°． （1）求点M到地面的距离； （2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：1.73，结果精确到0.01米） 21．为了提高学生的数学实践能力，某中学开展了数学实践作业成果展示活动，每位同学只上交一项作业，作业项目包括：无字证明、数学园地设计、调查活动、测量、七巧板．为了解学生上交作业的情况，随机调查了若干名学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查的学生人数是　 　 人，请根据以上信息直接补全条形统计图； （2）在扇形统计图中上交“无字证明”作业的学生人数占　 　 %； （3）求扇形统计图中表示上交“七巧板”作业的扇形圆心角的度数． 22．“双减”政策下，为了切实提高课后服务质量，某中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读、科普活动四大板块课程（依次记为A，B，C，D）．若该校小丽和小慧两名同学随机选择一个板块课程． （1）小慧选择科普活动课程的概率是 　 　 ； （2）用画树状图或列表的方法，求小丽和小慧选择同一个板块课程的概率． 23．某商店销售一种进价50元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表： 售价x（元/件） 55 65 销售量y（件/天） 90 70 （1）若某天销售利润为800元，求该天的售价为多少元/件？ （2）设该商店销售商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式，并求出当销售单价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？ （3）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（a＞0），该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足原来的函数关系．规定商店售价不低于进价，售价不得超过70元/件，若今后每天能获得的销售最大利润是960元，求a的值． 24．如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N． （1）求证：△ODM∽△MCN； （2）设DM＝x，求OA的长（用含x的代数式表示）； （3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？ 25．如果三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”． （1）若△ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝70°，则∠B＝　 　 °． （2）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB＝10，D是BC上的一点，tanB，若CD，请判断△ABD是否为准直角三角形，并说明理由． （3）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，E是直径AB下方半圆上的一点，AB＝10，tan∠ABC，若△ACE为”准直角三角形”，求CE的长． 26．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l． （1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标； （2）如果直线y＝kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形； （3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3）． （1）求该抛物线与直线AB的解析式． （2）点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PC∥y轴，交直线AB于点C，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，以PD，PC为边作矩形PCED．设点P的横坐标为m． ①求矩形PCED的周长的最大值． ②当直线AB将矩形PCED分成面积比为1：3的两个部分时，直接写出m的值． ∴，即，解得，OP， 设过点，B（0，2）的直线解析式为y＝kx+b， ，得，即直线AB的函数解析式为yx+2， ∵P（m，n）为直线AB上一动点，∴nm+2， ∵OP，∴， 解得，m1，m2，故答案为：或． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、三角形相似、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16．【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°， ∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE， 又∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，∴∠AFE＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC， ∴∠AFE＝60°，∴∠AFB＝120°， ∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA为半径的弧上运动（∠AOB＝120°，OA＝2）， 连接OC交⊙O于N，当点F与N重合时，CF的值最小，最小值＝OC﹣ON＝422． 故答案为2． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三．解答题（共11小题） 17．【解答】解：（1）原式＝（）2+（）21 ； （2）原式（）． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键． 18．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，x2﹣2x＝2，x2﹣2x+1＝2+1， （x﹣1）2＝3，x﹣1，x1＝1，x2＝1； （2）2（x﹣3）2＝x﹣3，2（x﹣3）2﹣（x﹣3）＝0，（2x﹣3）[2（x﹣3）﹣1]＝0， 2x﹣3＝0，2（x﹣3）﹣1＝0，x1，x2． 【点评】本题考查了解一元二次方程， 能选择适当的方法解方程是解此题的关键． 19．【解答】解：（1）△A1B1O如图所示； （2）点B的运动路径的长2π； （3）扫过的面积＝S扇形B1OB+S△AOB， 4×2，＝4π+4． 【点评】本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算， 扇形面积的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 20．【解答】解：（1）如图，过M作MN⊥AB于N，交BA的延长线于N， Rt△OMN中，∠NOM＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，∴ONOM＝0.6， ∴NB＝ON+OB＝3.3+0.6＝3.9；即点M到地面的距离是3.9米； （2）取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9﹣2.55﹣0.65＝0.7， 过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P， ∵∠GOP＝30°，∴tan30°，∴GPOP0.404， ∴GH＝3.3+0.404＝3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过． 【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，在直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 21．【解答】解：（1）本次共调查的学生人数是36÷30%＝120（人）， 上交“调查活动”作业的学生人数为120﹣30﹣36﹣12﹣18＝24（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：120； （2）在扇形统计图中上交“无字证明”作业的学生人数占100%＝25%；故答案为：25； （3）360°54°， 答：扇形统计图中表示上交“七巧板”作业的扇形圆心角的度数为54°． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 22．【解答】解：（1）小慧选科普活动课程的概率是 ，故答案为：； （2）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有4种， ∴小丽和小慧选同一个板块课程的概率为． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键． 23．【解答】解：（1）依题意设y＝kx+b， 即∠CAE＝90°+∠CBA＝180°﹣90°+∠CBA＝∠ACB+∠CBA＝180°﹣∠CAB， ∵四边形ACBE的内角和是360°，∠ACB＝90°＝∠AEB，∴∠CBE＝180°﹣∠CAE＝∠CAB， 又∵∠CAB＝∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB，∴CE＝BC＝8； 图1图2 ②当∠CAE＝90°+∠ECA时，即∠CAE＝90°+∠ABE＝∠AEB+∠ABE＝180°﹣∠BAE＝180°﹣∠CBE， ∴∠BAE＝∠CBE，即∠CBE＝∠ECB，∴CE＝BE， ∵tan∠ABC，∴tan∠CAB，∴tan∠CEB， 作CH⊥BE于H，作EM⊥BC于M，图2，设EH＝3x，则CH＝4x， ∴EC＝BE5x，∵BE•CHBC•EM，∴EMx2， ∵EC2＝CM2+EM2，且CMBC＝4，∴（5x）2＝42+（x2）2，令（5x）2＝t，即CE2＝t， 则上式可表示为t＝16+（）2，解得t＝80或t＝20（不合题意舍去），∴CE4， 综上，若△ACE为”准直角三角形”，CE的长为8或4． 【点评】本题主要考查圆的综合知识，明确题中“准直角三角形”的定义是解题的关键． 26．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）， ∴，∴，∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， 对称轴为直线x＝1，顶点M（1，4）； （2）如图1，∵点C关于直线l的对称点为N，∴N（2，3）， ∵直线y＝kx+b经过C、M两点，∴，∴，∴y＝x+3， ∵y＝x+3与x轴交于点D，∴D（﹣3，0），∴AD＝2＝CN 又∵AD∥CN，∴CDAN是平行四边形； （3）设P（1，a），过点P作PH⊥DM于H，连接PA、PB，如图2，则MP＝4﹣a， 又∠HMP＝45°，∴HP＝AP，Rt△APE中，AP2＝AE2+PE2， 即：，解得：，∴P1（1，﹣4+2），P2（1，﹣4﹣2）． 【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式、求抛物线的对称轴及顶点坐标、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆的切线性质、勾股定理、解一元二次方程等知识点，综合性较强，难度适中．第（3）问的直线与圆相切问题往往转化为点到直线的距离与半径相等来解决． 27．【解答】解：（1）由题意得：，解得：， 备用题： 1．综合与实践 【主题】制作圆锥． 【素材】直径为40cm的圆形卡纸、剪刀、透明胶． 【实践操作】 步骤1：如图1，把直径为40cm的圆形卡纸剪出一个圆心角为60°的最大扇形ABC（图2）． 步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥，并用透明胶粘住接合处． 【实践探索】 （1）求剪下的扇形ABC的半径． （2）如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径r． 题图答图 2．已知抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝2． （1）求b的值； （2）当1≤x≤4时，函数值y的最大值与最小值的和为6，求c的值； （3）当1≤x≤4时，抛物线与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围． 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $