2025--2026学年沪教版（五四制） 数学六年级期末满分冲刺 解答压轴题真题讲与练

该初中数学讲义通过分类梳理有理数、代数式、一元一次方程、线段与角四大模块的期末压轴真题，以知识框架图呈现数轴动点、绝对值应用、行程工程模型等核心考点，清晰展现各知识点的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于真题与方法结合，如数轴蚂蚁运动题培养几何直观，网约车计费方程题发展模型意识，通过分层课后练习满足不同学生需求，助力教师实施精准复习，提升学生用数学思维解决复杂问题的能力。

沪教版(新课标) 数学六年级期末满分冲刺 解答压轴题真题讲与练 一．有理数（共6小题） 1．（2025秋•青浦区校级期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 1．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解； （2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出﹣20向右运动到相遇地点所对应的数； （3）此题是追及问题，分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可． 【解答】解：（1）M点对应的数是（﹣20+100）÷2＝40； （2）A，B之间的距离为120， 它们的相遇时间是120÷（6+4）＝12（秒）， 即相同时间Q点运动路程为：12×4＝48（个单位）， 即从数﹣20向右运动48个单位到数28； （3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒）， 相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）． 故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度． 2．（2024秋•浦东新区校级期中）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示． （1）用“＜”号把a，b，c连接起来； （2）化简：|c|﹣|a+b|﹣|c﹣a|+2|a﹣b| 2．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案； （2）根据绝对值的性质，差的绝对值是大数减小数，可化简绝对值，根据整式的加减，可得答案． 【解答】解：（1）c＜a＜b； （2）原式＝﹣c﹣（a+b）﹣[﹣（c﹣a）]+2[﹣（a﹣b）] ＝﹣c﹣a﹣b+c﹣a﹣2a+2b ＝﹣4a+b． 3．（2023秋•徐汇区校级月考）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是　 　 ， （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为　 　 ． （3）如果|x﹣2|＝5，则x＝　 　 ． （4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是　 　 ． （5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 3．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据距离公式即可解答； （2）利用距离公式求解即可； （3）利用绝对值求解即可； （4）利用绝对值及数轴求解即可； （5）根据绝对值的几何意义，即可解答． 【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7，故答案为：7； （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|； （3）∵|x﹣2|＝5， ∴x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5， 解得：x＝7或x＝﹣3， 故答案为：7或﹣3； （4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|＝4， ∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1， 故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1； （5）根据绝对值的几何意义可知当3≤x≤6时，有最小值是3． 4．（2023秋•徐汇区校级月考）把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：{1，2，8}、{﹣2，7，，19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数10﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“好的集合”．例如集合{10，0}就是一个“好的集合”． （1）集合{﹣2，1，8，12}　 　 （填“是”或“不是”）“好的集合”． （2）请你再写出两个好的集合（不得与上画出现过的集合重复）　 　 ． （3）在所有“好的集合”中，元素个数最少的集合是　 　 ． 4．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意好集合的定义当有理数a是集合的元素时，有理数10﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合，计算后验证一下即可判断； （2）根据有理数a是集合的元素时，有理数10﹣a也必是这个集合的元素这个条件尽量写元素少的集合； （3）在所有好的集合中，元素个数最少就是a＝10﹣a，由此即可求出a，也就求出了元素个数最少的集合． 【解答】解：（1）∵10﹣8＝2，2不是集合中的元素， ∴集合{﹣2，1，8，12}不是好的集合， （2）例如{2，8，4，6}、{3，7}； （3）元素个数最少的集合就是只有一个元素的集合，设其元素为a； 则有10﹣a＝a，可得a＝5； 故元素个数最少的集合是{5}． 故答案为：不是；{2，8，4，6}、{3，7}；{5}． 5．（2004秋•卢湾区期末）问题：在下面括号里填上适当的自然数，使等式成立． . 分析：把表示成两个单位分数（分子为1的分数）的和，可以这样考虑：若两个加数相同，则； 若两个加数不相同，可利用分数的基本性质将分数的分子、分母扩大相同的倍数，再将分子拆成两个自然数的和，即： （A＝B+C，A、B、C是自然数），若B、C是6的约数，则可以化成单位分数． 所以； 根据对上述材料的理解完成下列各题： （1）在下面括号里填上相同的自然数，使等式成立 （2）已知 （A、B是不相等的自然数）求所有满足条件A、B的值．（直接写出答案）． 5．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）（2）题可以根据材料中的分析去解答，即利用分数的基本性质将分数的分子、分母扩大相同的倍数，再将分子拆成两个自然数的和，然后再化成单位分数即可． 【解答】解：（1）； （2）； 所以A＝30、B＝15；A＝60、B＝12；A＝110、B＝11；A＝35、B＝14 （每组A、B的取值可任意交换）． 6．（2025秋•静安区校级期中）甲、乙、丙三个教师承担本学期期末考试的第17题的网上阅卷任务，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时． （1）如果甲乙丙三人同时改卷，那么需要多少时间完成？ （2）如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙，…的次序轮流阅卷，每一轮中每人各阅卷1小时，那么需要多少小时完成？ （3）能否把（2）题所说的甲、乙、丙的次序作适当调整，其余的不变，使得完成这项任务的时间至少提前半小时？（答题要求：如认为不能，需说明理由；如认为能，请至少说出一种轮流的次序，并求出相应能提前多少时间完成阅卷任务） 6．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据甲乙丙每小时完成试卷的百分比，求出同时改卷需要的时间． （2）由（1）得他们合伙完成时需小时，故经过n轮后，三人轮流阅卷完成的任务为n，则可得n最大取为3，则3轮后，计算出甲做1小时后余阅卷任务，计算乙还需做的时间，最后计算出共需要的时间． （3）按照丙、乙、甲的次序轮流阅卷．求出3轮后，丙做1小时后余阅卷任务，正好完成任务． 【解答】解：（1）1÷（）＝1小时． 答：需要的时间为小时． （2）经过n轮后，三人轮流阅卷完成的任务为n， 由n≤1得n， 因为n为整数，取最大为3， 3轮后，甲做1小时后余阅卷任务， 乙还需做小时， 共需要3×3+110小时完成任务． （3）能， 按照丙、乙、甲的次序轮流阅卷或按照丙、甲、乙的次序轮流阅卷． 3轮后，丙做1小时后余阅卷任务0，正好完成任务， 共需要3×3+1＝10小时完成任务． 1010小时． 二．代数式（共3小题） 7．（2019秋•闵行区校级月考）如图，四边形ABCD与ECGF是两个边长分别为a，b的正方形，写出用a，b表示阴影部分面积的代数式，并计算当a＝4cm，b＝6cm时，阴影部分的面积． 7．【答案】见试题解答内容 【分析】阴影部分面积可视为大小正方形减去空白部分（即△ABD和△BFG），把对应的三角形面积代入即可得Sa2abb2．直接把a＝4cm，b＝6cm代入可求出阴影部分的面积． 【解答】解：S＝a2+b2a2（a+b）b＝a2+b2a2abb2a2abb2． 当a＝4cm，b＝6cm时S424×662＝14cm2． 8．（2015秋•浦东新区期末）如图，小明自制了一个正整数数字排列图，他用一个长方形框出任意相邻的两行两列的四个数列出等式：15×7﹣6×16＝9．由此他猜想：在长方形框中，左下角与右上角两数之积减去左上角与右下角两数之积，差为9． （1）请你在图中任意框出另一个相邻的两行两列的四个数，将它们写在下面的长方形框内，并列式计算出结果，验证与小明的计算结果是否相同． （2）小明猜想：“用一个长方形框出任意相邻的两行两列的四个数，左下角与右上角两数之积减去左上角与右下角两数之积．差为9．”请用代数式的相关知识说明小明的猜想是否正确． （3）如果框出相邻的两行三列的六个数为：，那么在长方形框中，左下角与右上角两数之积减去左上角与右下角两数之积的差是多少？ 8．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意框出另一个相邻的两行两列的四个数，按照左下角与右上角两数之积减去左上角与右下角两数之积，计算得出答案即可； （2）设左上角表示的数为a，分别表示出右上角、左下角与右下角的数，进一步按照计算方法计算整理验证即可； （3）按照左下角与右上角两数之积减去左上角与右下角两数之积的差列式计算即可． 【解答】解：（1）假设圈出的四个数字分别为20，21，29，30； 则21×29﹣20×30＝609﹣600＝9， 答：与小明的计算结果相同． （2）设左上角表示的数为a，则右上角数字为a+1，左下角数字为a+9，右下角的数为a+10， ∵（a+9）（a+1）﹣a（a+10） ＝a2+10a+9﹣a2﹣10a ＝9， ∴小明的猜想是正确的． （3）3651×3644﹣3642×3653 ＝13304244﹣13304226 ＝18． 9．（2025秋•普陀区校级月考）为了能有效地使用电力资源，株洲市市区实行居民峰谷用电，居民家庭在高峰时段用电的电价为0.55元/千瓦时，低谷时段用电的电价为0.35元/千瓦时．若某居民户某月用电100千瓦时，其中高峰时段用电x千瓦时． （1）请用含x的代数式表示该居民户这个月应缴纳电费； （2）利用上述代数式计算，当x＝40时，求应缴纳电费． 9．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）应缴纳电费＝峰时段电费+谷时段电费； （2）把x＝40代入（1）中式子即可； 【解答】解：（1）0.35x+（100﹣x）×0.55＝﹣0.2x+55； （2）当x＝40时，﹣0.2x+55＝63元； 三．一元一次方程（共7小题） 10．（2024秋•奉贤区期末）某人从家里骑自行车到学校．若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？ 10．【答案】见试题解答内容 【分析】设从家里到学校的路程为x千米，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【解答】解：设从家里到学校的路程为x千米， 根据题意得：， 解得：x． 答：从家里到学校的路程为千米． 11．（2017春•浦东新区期末）学校操场的环形跑道长为250米，小明和小丽在这条跑道上练习长跑，如果小明每分钟跑160米，小丽每分钟跑120米，两人同时同地同向出发，那么多少分钟后他们第一次相遇？ 11．【答案】见试题解答内容 【分析】设x分钟后他们第一次相遇，根据相遇时小明比小丽多跑了1圈的路程，可得出方程，解出即可． 【解答】解：设x分钟后他们第一次相遇，依题意有 160x﹣120x＝250， 解得x＝6.25． 答：6.25分钟后他们第一次相遇． 12．（2021春•杨浦区校级期中）某工人计划加工一批产品，如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务，如果每小时多加工2个，就可以提前1小时完成任务． （1）该产品的预定加工时间为几小时？ （2）若该产品销售时的标价为100元/个，按标价的八折销售时，每个仍可以盈利25元，该批产品总成本为多少元？ 12．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设这批产品需要加工x个，根据按现在的加工速度可以提前1小时完成任务列方程，解方程即可； （2）先计算每个产品的成本，由（1）可知：该产品一共有60个，可得结论． 【解答】解：（1）设这批产品需要加工x个， 1， x＝60， 60÷10＝6， 答：该产品的预定加工时间为6小时； （2）设该批产品成本为a元/个， 100×80%＝a+25， a＝55， 55×60＝3300， 答：该批产品总成本为3300元． 13．（2008秋•闸北区校级期中）如图，6个正方形无缝拼接成一个大长方形，中间最小的一个正方形的面积为1，求这个大长方形的面积． 13．【答案】见试题解答内容 【分析】首先设AB＝x，则CM＝x+1，EF＝x+1+1＝x+2，大长方形的长为NK＝3x+1，FH＝2x+5，宽FN＝2x+3，根据长方形的对边相等可得2x+5＝3x+1，解方程可算出x，然后可计算出大正方形的长和宽，进而算出面积． 【解答】解：设AB＝x，则CM＝x+1，EF＝x+1+1＝x+2，大长方形的长为NK＝3x+1，FH＝2x+5，宽FN＝2x+3， 由题意得：2x+5＝3x+1， 解得：x＝4， 则大正方形的长为3×4+1＝13， 宽为2×4+3＝11， 面积为：13×11＝143． 答：这个大长方形的面积为143． 14．（2024秋•浦东新区校级期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣20，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问： （1）当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 　 　 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 　 　 ； （2）动点P从点A运动至C点需要多少时间？ （3）P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？ （4）在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 14．【答案】（1）﹣14，24； （2）20，10； （3）4或13或22或34或42． 【分析】（1）先求出点P运动3秒的路程，再根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；先求出点Q从点C运动到点B所用的时间，判断t＝12时，Q点位置，再根据此时的速度即可求出运动路程，从而求出点Q在数轴上表示的数； （2）根据OA、OB、BC的长除以各自的速度即为时间，相加即可； （3）首先判断出P、Q两点相遇在线段OB上的点M处，根据相遇问题公式求出相遇时间，进而可以求出M所对应的数； （4）根据t的取值分类讨论，用t表示出P、O两点在数轴上相距的长度和Q、B两点在数轴上相距的长度，列出一元一次方程求解即可． 【解答】解：（1）当t＝3时，AP＝2×3＝6， ∴P点表示的数为：﹣20+6＝﹣14， ∵Q从C到B所用时间为：（36﹣20）÷1＝16（秒）＞12秒， ∴t＝12时，Q在CB上， ∴Q所表示数为：36﹣12×1＝24， 故答案为：﹣14，24； （2）P从A到C所用时间为： [0﹣（﹣20）]÷2+（20﹣0）÷（2）+（36﹣20）÷2 ＝20÷2+20÷1+16÷2 ＝10+20+8 ＝38（秒）； （3）Q从C到B所用时间为：16÷1＝16（秒），从B到O所用时间为：20÷（1×2）＝10（秒）， ∴P，Q两点在OB段相遇， 当Q到达B点时，OP＝1×（16﹣10）＝6， ∴Q离开B到P、Q相遇所用时间为：（20﹣6）÷（1+2）（秒）， ∴相遇总时间为：t＝1620（秒）， 此时，QB＝29， ∴相遇点M所对应的数为：20﹣910； （4）当0＜t≤10时，OP＝20﹣2t，BQ＝16﹣t， ∴20﹣2t＝16﹣t， 解得：t＝4，符合题意； 当10＜t≤16时，OP＝t﹣10，BQ＝16﹣t， ∴t﹣10＝16﹣t， 解得：t＝13，符合题意； 当16＜t≤26时，OP＝t﹣10，BQ＝2（t﹣16）＝2t﹣32， ∴t﹣10＝2t﹣32， 解得：t＝22，符合题意； 当26＜t≤30时，OP＝t﹣10，BQ＝20+t﹣26＝t﹣6， ∵t﹣10＜t﹣6， ∴无解； 当30＜t≤38时，OP＝20+2（t﹣30）＝2t﹣40，BQ＝t﹣6， ∴2t﹣40＝t﹣6， 解得：t＝34，符合题意； 当38＜t≤46时，OP＝36，BQ＝t﹣6， ∴36＝t﹣6， 解得：t＝42，符合题意； 综上所述，t＝4或13或22或34或42时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 15．（2024秋•虹口区校级期末）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们的出行方式有了更多的选择．如图是某市两种网约车的收费标准，例：乘车里程为30公里： 若选乘出租车，费用为：14+2.2×（30﹣3）+1×（30﹣10）＝93.4（元）； 若选乘曹操出行（快选），费用为：10+2.4×30+0.8×（30﹣10）+0.460＝116（元）． TAXI 起步费：14元 超3公里费：超过的部分2.2元/公里 远途费：超过10公里后，1元/公里 曹操出行（快选） 起步费：10元 里程费：2.4元/公里 远途费：超过10公里后，0.8元/公里 时长费：0.4元/分钟（速度：40公里/时） 请回答以下问题： （1）小明家到学校的路程是10公里．如果选乘出租车，车费为　 　 元；如果选乘曹操出行（快选），车费为　 　 元． （2）周末小明有事外出，要选乘网约车，如果乘车费用预算为25元，他的行车里程数最大是多少公里？ （3）元旦期间，小明外出游玩，约车时发现曹操出行（快选）有优惠活动：总费用打八折．于是小明决定选乘曹操出行（快选）．付费后，细心的小明发现：相同的里程，享受优惠活动后的曹操出行（优选）的费用还是比出租车多了1.8元，求小明乘车的里程数． 15．【答案】（1）29.4；40； （2）8； （3）6公里或15公里． 【分析】（1）根据两种行程方式的收费标注计算即可． （2）设行车里程数为x公里，分别求出两种方式的行车里程数，在比较大小． （3）设小明乘车里程数为y公里，分三种情况列方程解决问题． 【解答】（1）出租车：14+2.2×（10﹣3）＝14+15.4＝29.4（元）； 曹操出行10+2.4×10+0.460＝10+24+6＝40（元）． （2）设他的行车里程数为x公里，因为25＜29.4，25＜40，故x＜10． 出租车：14+2.2×（x﹣3）＝25， 解得：x＝8． 曹操出行：， 解得：x＝5． ∵8＞5， ∴小明行车路程数最大是8公里． （3）设小明乘车的里程数为y公里． ①y≤3时，[10+2.4y+0.460]×0.8﹣14＝1.8， 解得：y＝3.25＞3（舍去）． ②3＜y≤10时，[10+2.4y+0.460]×0.8﹣[14+2.2×（y﹣3）]＝1.8， 解得：y＝6． ③y＞10时，[10+2.4y+0.8×（y﹣10）+0.460]×0.8﹣[14+2.2×（y﹣3）+（y﹣10）]＝1.8， 解得：y＝15． 综上所述，小明乘车里程数为6公里或15公里． 16．（2021春•杨浦区校级期中）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值； （2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值． 16．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据和解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据和解方程的定义即可得出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出m、n的值． 【解答】解：（1）∵方程3x＝m是和解方程， ∴m+3， 解得：m． （2）∵关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n， ∴﹣2n＝mn+n，且mn+n﹣2＝n， 解得m＝﹣3，n． 四．线段与角（共6小题） 17．（2020秋•虹口区校级期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上） （1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置； （2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值． （3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 17．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据C、D的运动速度知BD＝2PC，再由已知条件PD＝2AC求得PB＝2AP，所以点P在线段AB上距离A的处； （2）由题设画出图示，根据AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，从而求得PQ与AB的关系； （3）当点C停止运动时，有，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以． 【解答】解：（1）根据C、D的运动速度知：BD＝2PC ∵PD＝2AC， ∴BD+PD＝2（PC+AC），即PB＝2AP， ∴点P在线段AB上的处； （2）如图： ∵AQ﹣BQ＝PQ， ∴AQ＝PQ+BQ； 又AQ＝AP+PQ， ∴AP＝BQ， ∴， ∴． 当点Q'在AB的延长线上时 AQ'﹣AP＝PQ' 所以AQ'﹣BQ'＝PQ＝AB 所以1； （3）②． 理由：当CDAB时，点C停止运动，此时CP＝5，AB＝30 ①如图，当M，N在点P的同侧时 MN＝PN﹣PMPD﹣（PD﹣MD）＝MDPDCDPD（CD﹣PD）CP ②如图，当M，N在点P的异侧时 MN＝PM+PN＝MD﹣PDPD＝MDPDCDPD（CD﹣PD）CP ∴ 当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以，． 18．（2024春•浦东新区期末）如图，已知∠AOB＝120°．点C在∠AOB的内部，且∠BOC＝30°；OP是∠AOB的角平分线． （1）作∠BOC； （2）尺规作图：作∠AOB的角平分线OP；（不写作法，保留作图痕迹．） （3）若射线OC、OA分别表示从点O出发的北、东两个方向，则射线OB表示　 　 方向； （4）在图中找出与∠AOP互余的角是　 　 ； （5）在图中找出与∠AOB互补的角是　 　 ． 18．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）以OB为边，在∠AOB的内部画∠BOC＝30°； （2）利用尺规作图的方法，作∠AOB的角平分线OP； （3）把OC、OA看作方向标，那么OB指的是北偏西30°方向； （4）互余角是指两角角度和为90度，这两个角叫互为余角，据此找出； （5）互补角是指两角角度和为180度，这两个角叫互为补角，根据图形中角的度数特点即可解决． 【解答】解：（1）以OB为边，在∠AOB的内部画∠BOC＝30°，如图所示； （2）画出∠AOB的角平分线OP如图所示； （3）把射线OC、OA看作方向标，分别表示从点O出发的北、东两个方向，则射线OB表示北偏西30°方向； （4）∠BOC＝30°，∠AOP＝∠BOP＝60°，则∠C0P＝60°﹣30°＝30°， 所以可得：∠AOP+∠BOC＝90°，∠AOP+∠COP＝90° 所以∠AOP的余角是∠BOC和∠COP； （5）因为∠AOB＝120°所以∠AOB+∠AOP＝180°，∠AOB+∠BOP＝180°， 所以∠AOB的补角是：∠AOP和∠BOP． 故答案为：（3）北偏西30°；（4）∠BOC和∠COP；（5）∠AOP和∠BOP． 19．（2025秋•闵行区校级期中）在如图数轴上用点A表示这个数，若点D表示的整数在A、C两点之间，且线段AD与线段DC的长度之和为，请直接写出点D的值． 19．【答案】﹣2，﹣1，0． 【分析】根据题目给出的点A标示的数，以及线段AD与线段DC的和可以求出C表示的数，所以线段AC上任意整数都满足AC长是一个定值． 【解答】解：∵A表示的数是﹣2，AD+DC＝3， ∴C表示的数是32， ∴点D表示的整数可以是﹣2，﹣1，0， 故D的值是﹣2，﹣1，0． 20．（2024秋•杨浦区校级期末）让我们继续对本卷第一部分的第25题开展探究． （1）已知点O在线段AB的延长线上，C、D分别是AO、BO的中点．请你画出此时相应的示意图，并判断点C的位置是否一定会在线段AB上？请写出你的结论，并举例说明； （2）已知点O在直线AB上，C、D分别是AO、BO的中点．我们发现，由于点O的位置不确定，所以点C和点D的位置都会随之发生变化．如果现在给出线段AB的长度，我们是否还能求线段CD的长呢？请写出你的观点，并说明理由． 我的观点是： 理由： 20．【答案】（1）不一定，理由见解析． （2）观点：能求线段CD的长，理由：见解析． 【分析】（1）分若AB≥OB，若AB＜OB，两种情况进行讨论，画出图形，得出结论； （2）分情况讨论即可． 【解答】解：（1）不一定，理由如下： 若AB≥OB，点C在线段AB上； 若AB＜OB，点C不在线段AB上； （2）观点：能求线段CD的长，理由如下： 若点O在点A、B之间， CD＝OC+ODOAOB； 若点O在点A左侧， CD＝OD﹣OCOBOA； 若点O在点B在侧， CD＝OC﹣ODOAOB； 综上所述：已知线段AB的长度，可求出线段CD的长度． 21．（2024秋•杨浦区校级期末）如图，O是直线MN上一点，OA是以O为顶点的射线，射线OB平分∠AON，射线OC平分∠AOM． （1）填空：如果∠AOM＝60°，那么∠COA的度数为 　 　 ，∠AOB的度数为 　 　 ，∠COB的度数为 　 　 ； （2）如果∠AOM的度数不确定，你还能够求出∠COB的度数吗？为什么？ （3）在学完了“余角和补角”一课后，老师又提出了这样一个问题：图中互补的角有多少？ 小聪立即回答道：“这个简单，一共有3对，分别是：∠MOC和∠CON，∠MOA和∠AON，∠MOB和∠BON．” （i）很多同学都觉得小聪回答得不对，请你写出小聪错在哪里； （ii）老师又继续提问：图中互余的角有多少对？请给出你的结论． 21．【答案】（1）30°，60°，90°； （2）∠AOM的度数不确定，能够求出∠COB的度数，理由见解析部分； （3）（i）小聪少写了两对∠AOC和∠CON，∠MOB和∠AOB； （ii）互余的角有4对，分别是∠MOC和∠AOB，∠MOC和∠BON，∠AOC和∠AOB，∠AOC和∠BON． 【分析】（1）根据角平分线定义，得到∠COA的度数，由∠AON＝120°，结合角平分线，得到∠AOB+∠AOC＝90°，得到结果； （2）由角平分线定义，结合平角的概念，得到∠COB∠MON＝90°； （3）根据补角和余角的概念，结合图形，找出互补的角，互余的角即可． 【解答】解：（1）∵∠AOM＝60°， ∴∠AON＝120°， ∵射线OB平分∠AON，射线OC平分∠AOM， ∴∠AOB∠AON＝60°，∠COA∠AOM＝30°， ∴∠AOB+∠AOC（∠AON+∠AOM）＝90°， 即∠COB＝90°， 故答案为：30°，60°，90°； （2）如果∠AOM的度数不确定，能够求出∠COB的度数，理由如下： ∵射线OB平分∠AON，射线OC平分∠AOM， ∴∠AOB∠AON，∠COA∠AOM， ∴∠AOB+∠COA（∠AON+∠AOM）， 即∠COB∠MON＝90°； （3）（i）图中互补的角有五对， 分别是∠MOC和∠CON，∠AOC和∠CON，∠MOA和∠AON，∠MOB和∠BON，∠MOB和∠AOB， ∴小聪少写了两对∠AOC和∠CON，∠MOB和∠AOB； （ii）图中互余的角有4对， 分别是∠MOC和∠AOB，∠MOC和∠BON，∠AOC和∠AOB，∠AOC和∠BON． 22．（2021春•长宁区校级期末）如图1，已知∠AOB＝180°，射线ON，尺规作出∠BON的平分线OC，∠AON的平分线OD． （1）如果∠AON＝52°，射线OA、OB分别表示从点O出发东、西两个方向，那么射线OD表示 　 　 方向，射线OC表示 　 　 方向． （2）如果将∠AOB沿着ON剪开分为两个角，再将∠AON逆时针旋转n°，到图2中∠AON′的位置，求此时∠COD＝　 　 °．（用n表示） 22．【答案】（1）北偏东64°；北偏西26°； （2）（90﹣n）． 【分析】（1）根据方向角的定义判断即可； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，OC，OD即为所求； ∵∠AON＝52°，∠AOB＝180°， ∴∠BON＝180°﹣∠AON＝128°， ∵OC平分∠BON，OD平分∠AON， ∴∠BOC64°， 26°， ∴90°﹣26°＝64°， ∴射线OD表示北偏东64°方向， 射线OC表示北偏西26°方向． 故答案为：北偏东64°；北偏西26°； （2）根据旋转可知，∠MON＝n°，∠AON＝52°， ∵OD平分∠AON， ∴∠NOD26°， 由①知，∠BOC64°，∠BON＝128°， ∴∠DON＝∠NON′﹣∠N′OD＝n°﹣26°＝（n﹣26）°， ∴∠COD＝∠BON﹣∠DON＝128°﹣64°﹣（n﹣26）°＝（90﹣n）°． 故答案为：（90﹣n）． 五．课后练习（共10小题） 1．（2025秋•普陀区期中）两个非零有理数a、b组成一个有理数对（a，b），如果a与b的和、差、积、商的结果同号，那么我们称有理数对（a，b）为“保号数对”；如果a与b的和、差、积、商的结果同号且均为整数，那么我们称有理数对（a，b）为“严格保号数对”． （1）分别判断（18，12）和是否为“保号数对”； （2）如果（a，3）和（60，a+15）均为“严格保号数对”，求a的值； （3）当（a，b）和（b，c）均为“保号数对”时，试说明（a，c）也为“保号数对”的理由． 【答案】（1）（18，12）是“保号数对”，不是“保号数对”； （2）a的值为15或﹣12或﹣9； （3）当（a，b）和（b，c）均为“保号数对”时，a与c同号，和、差、积、商符号相同，故（a，c）也为“保号数对”． 【分析】（1）判断（18，12）和是否为“保号数对”，分别计算出两个数的和、差、积、商，看它们的符号是否相同，据此解答； （2）因为（a，3）和（60，a+15）均为“严格保号数对”，所以别计算出两个数的和、差、积、商，根据它们的符号相同且结果为整数解答即可； （3）（a，b）和（b，c）均为“保号数对”，求出它们的和、差、积、商，根据它们的符号相同，求出a、b、c的大小关系，然后判（a，c）是否为“保号数对”． 【解答】解：（1）∵18+12＝30，18﹣12＝6，18×12＝216，18÷12＝1.5， 18和12的和、差、积、商的结果同号， ∴（18，12）是“保号数对”． ∵，； ∴不是“保号数对”； （2）已知（a，3）和（60，a+15）均为“严格保号数对”， 和：a+3，差：a﹣3，积：3a，商：，四者同号且为整数， ∴|a|＞3， ∵为整数， ∴a是3的整数倍； 又（60，a+15）为“严格保号数对”， 和：60+（a+15）＝a+75，差：60﹣（a+15）＝45﹣a，积：60（a+15），商：，四者同号且为整数， 由商为整数，得a+15是60的约数； 分两种情况：若和与差均为正，则a+75＞0，45﹣a＞0，a+15＞0，即﹣15＜a＜45， ∵|a|＞3， ∴﹣15＜a＜﹣3或3＜a＜45； 若和与差均为负，则a+75＜0，45﹣a＜0，a+15＜0，即a＜﹣75且a＞45，无解． 60的正约数有1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60，对应a+15的可能值为这些约数， 故a的可能值为：1﹣15＝﹣14（舍去，因a＞3）， 2﹣15＝﹣13（舍去）， 3﹣15＝﹣12， 4﹣15＝﹣11（舍去）， 5﹣15＝﹣10（舍去）， 6﹣15＝﹣9， 10﹣15＝﹣5（舍去）， 12﹣15＝﹣3（舍去）， 15﹣15＝0， 20﹣15＝5（a＝5，检查：和8正，差2正，积15正，商非整数，舍去）， 30﹣15＝15（a＝15，检查：和18正，差12正，积45正，商5整数，符合； 和60+30＝90正，差60﹣30＝30正，积60×30＝1800正，商整数，符合）， 60﹣15＝45（a＝45，检查：和48正，差15正，积135正，商15整数，符合； 和60+60＝120正，差60﹣60＝0（舍去，因差需非零）， 故a＝15或﹣12或﹣9． （3）∵（a，b）是“保号数对”，和、差、积、商同号， 故（商同号）， 即a与b同号， 因（b，c）是“保号数对”，和、差、积、商同号， 故（商同号）， 即b与c同号， 由a与b同号，b与c同号，得a与c同号， ∴和：a+c，因a与c同号，和的符号与a（或c）相同； 差：a﹣c，因a与c同号，差的符号与a（或c）相同； 积：ac，因a与c同号，积为正； 商：，因a与c同号，商为正； 和、差、积、商均与a（或c）同号，故符号相同， 因此（a，c）是“保号数对”． 2．（2019秋•虹口区校级月考）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上x1，x2对应点之间的距离； 例1．已知|x|＝2，求x的值． 解：容易看出，在数轴上与原点距离为2点的对应数为﹣2和2， 即x的值为﹣2和2． 例2．已知|x﹣1|＝2，求x的值． 解：在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和﹣1， 即x的值为3和﹣1． 仿照阅读材料的解法，求下列各式中x的值． （1）|x|＝3 （2）|x+2|＝4． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由例1可知x＝3和﹣3．（2）由例2可知在数轴上与﹣2的距离为4点的对应数为2和﹣6． 【解答】解：（1）|x|＝3表示在数轴上与原点距离为3点的对应数为﹣3和3，即x的值为3和﹣3； （2）|x+2|＝4表示在数轴上与﹣2的距离为4点的对应数为2和﹣6，即x的值为2和﹣6． 3．（2024秋•闵行区校级期中）十•一黄金周期间，泗县运河人家风景区门票价格为：成人票每张80元，学生票每张40元，泗县某中学七年级有x名学生和y名老师；八年级学生人数是七年级学生人数的倍，八年级老师人数是七年级老师人数的倍；若他们一起去风景区 （1）两个年级在该景点的门票费用分别为： 七年级　 　 元；八年级　 　 元；（用含x、y的代数式表示） （2）若他们一起去风景区，则门票费用共需多少元？（用含x、y的代数式表示）若x＝200，y＝10，求两个年级门票费用的总和． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意表示出两个年级的费用即可； （2）求出两个年级费用之和，化简后将x与y的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）七年级（40x+80y）元；八年级（60x+96）元； 故答案为：（40x+80y）；（60x+96）； （2）根据题意得：（40x+80y）+（60x+96y）＝100x+176y， 当x＝200，y＝10时，原式＝21760元． 4.（2024春•浦东新区期末）甲乙两人从相距28千米的两地同时相向出发，3小时30分钟后相遇．如果甲先出发2小时，那么在乙出发2小时后与甲相遇，求甲乙两人的速度． 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意，3小时30分钟后相遇，即3.5小时相遇，易得两人的速度和为28÷3.5＝8千米/小时，设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为（8﹣x）千米/小时，根据等量关系：甲4小时走的路程+乙2小时走的路程＝28，把相关数值代入即可求解． 【解答】解：两人的速度和为28÷3.5＝8千米/小时， 设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为（8﹣x）千米/小时， 则（2+2）x+2（8﹣x）＝28， 解得：x＝6， ∴8﹣x＝8﹣6＝2， 答：甲的速度为6千米/小时，则乙的速度为2千米/小时． 5．（2024春•闵行区校级期末）减少雾霾，环保出行．家住上海的小明家人经常拼车出行．某拼车公司规定车主“一对一服务”，即车主每次服务一个拼车订单，不能中途接送他人，并按照乘客上、下车地点、时间准时接送乘客．按照拼车所发生的成本等制定了合理的付费规则．其中上海、昆明两个城市拼车付费规则如下：（见表1、表2） 表1上海拼车付费规则 路程x（公里） 计费规则 0＜x≤3 10元 3＜x≤10 1.5元/公里 x＞10 1元/公里 表2 昆明拼车付费规则 路程x（公里） 计费规则 x＞0 4元+1.2元/公里 例如，小李拼车一次的路程是15公里，如果他在上海，那么所付的费用为10+（10﹣3）×1.5+（15﹣10）×1＝25.5元；如果他在昆明，所付的费用为4+15×1.2＝22元． （1）一天，小明爸爸从家到单位拼车出行一次，付费16元，那么从他家到单位的拼车路程是多少公里？ （2）如果小明爸爸从上海到昆明出差的路上，除了乘动车外的路程，他都选择该拼车公司拼车出行．已知小明爸爸在上海和昆明两地各拼车出行一次，且每次拼车路程大于3公里． ①如果小明爸爸在两地拼车路程共计50公里，付费71.3元，那么他在两地拼车的路程各为多少公里？ ②如果小明爸爸在上海拼车的路程超过10公里，他在两地拼车的费用共36.1元，且在两地拼车的路程都是整数公里，那么小明爸爸在这两地拼车的路程各为多少公里？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）设从小明家到单位的拼车路程是m公里，求出当m＝10时的乘车费用，与所付费用比较后可得出3＜m＜10，根据表格中的拼车付费规则即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）①设小明的爸爸在上海拼车路程是n公里，则在昆明拼车路程是（50﹣n）公里．分3＜n≤10及n＞10两种情况找出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论； ②设小明的爸爸在上海拼车a公里，在昆明拼车b公里，根据两城市的拼车付费规则结合他在两地拼车的费用共36.1元，即可得出关于a、b的二元一次方程，再根据“a＞10，a、b均为正整数”，即可求出a、b的值，此题得解． 【解答】解：（1）设从小明家到单位的拼车路程是m公里， ∵10+（10﹣3）×1.5＝20.5，10＜16＜20.5， ∴3＜m＜10． 根据题意得：10+（m﹣3）×1.5＝16， 解得：m＝7． 答：从小明家到单位的拼车路程是7公里． （2）①设小明的爸爸在上海拼车路程是n公里，则在昆明拼车路程是（50﹣n）公里． 当3＜n≤10时，有10+（n﹣3）×1.5+4+1.2（50﹣n）＝71.3， 解得：n＝6， ∴50﹣n＝44， ∴小明的爸爸在上海拼车6公里，在昆明拼车44公里； 当n＞10时，有10+（10﹣3）×1.5+（n﹣10）×1+4+1.2（50﹣n）＝71.3， 解得：n＝16， ∴50﹣n＝34， ∴小明的爸爸在上海拼车16公里，在昆明拼车34公里． 综上所述：小明的爸爸在上海拼车6（或16）公里，在昆明拼车44（或34）公里． ②设小明的爸爸在上海拼车a公里，在昆明拼车b公里， 根据题意得：10+（10﹣3）×1.5+（a﹣10）×1+4+1.2b＝36.1， 整理得：5a+6b＝108， ∴b＝18a． ∵a＞10，且a、b均为正整数， ∴当a＝12时，b＝8； 当a＝18时，b＝3（不合题意，舍去）． 答：小明的爸爸在上海拼车12公里，在昆明拼车8公里． 6．（2022秋•宝山区校级期末）一件商品标价3000元，打八折后商家仍可获利20%，求这件商品的售价及进价． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据售价＝标价×折扣率，即可求出该商品的售价，设该件商品的进价x元，根据售价＝本金×（1+盈利率），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：3000×80%＝2400（元）． 设该件商品的进价x元， 根据题意得：2400＝（1+20%）x， 解得：x＝2000． 答：该件商品的售价为2400元，进价为2000元． 7．（2015春•闵行区期中）小丽每天早上步行去学校，她步行的速度是80米/分．一天早上在小丽出门小时后，爸爸发现她的作业落在了家里，于是赶紧以180米/分的速度去追，并且在途中追上了她．请问：爸爸需要多长时间才能追上小丽？ 【答案】见试题解答内容 【分析】可以设爸爸追上小丽用了x分钟，根据爸爸追上小丽时爸爸的行程＝小丽小时的行程+x分钟的行程列出方程求解即可． 【解答】解：设爸爸追上小丽用了x分钟， 依题意得：180x＝80（60+x）， 解得x＝8． 答：爸爸需要8分钟才能追上小丽． 8．（2024春•金山区校级期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°． （1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝　 　 ； （2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝　 　 ； （3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD∠AOE，求此时∠BOD的度数． 【答案】（1）50°； （2）20°； （3）15°或52.5°． 【分析】（1）利用余角的定义可求解； （2）由平角的定义及角平分线的定义求解∠COE的度数，进而可求解； （3）可分两种情况：①当∠COD在∠BOC的内部时，②当∠COD在∠BOC的外部时，根据角的和差可求解． 【解答】解：（1）由题意得∠BOD＝90°， ∵∠BOC＝40°， ∴∠COD＝90°﹣40°＝50°， 故答案为50°； （2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝40°， ∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°， ∵OE平分∠AOC， ∴∠COE∠AOC＝70°， ∵∠DOE＝90°， ∴∠COD＝90°﹣70°＝20°， 故答案为20°； （3）①当∠COD在∠BOC的内部时， ∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，而∠BOC＝40°， ∴∠COD＝40°﹣∠BOD， ∵∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，∠EOD＝90°， ∴∠AOE＝90°﹣∠BOD， 又∵， ∴， ∴∠BOD＝15°； ②当∠COD在∠BOC的外部时， ∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC，而∠BOC＝40°， ∴∠COD＝∠BOD﹣40°， ∵∠AOE+∠EOD﹣∠BOD＝180°，∠EOD＝90°， ∴∠AOE＝90°﹣∠BOD， 又∵， ∴， ∴∠BOD＝52.5°， 综上所述：∠BOD的度数为15°或52.5°． 9.（2025秋•普陀区校级月考）甲、乙两运动员在周长为400米的环形跑道上分别练习跑步与竞走，已知甲、乙两人的速度之比为8：3． （1）两人同时同地同向出发，2分钟后第一次相遇，求甲、乙两人的速度分别是多少？ （2）如果两人相距40米，以同样的速度同时同向而行，问经过多少时间后两人第一次相遇？ 【答案】（1）甲的速度为320米/分，则乙的速度为120米/分； （2）经过1.8分钟或0.2分钟后两人第一次相遇． 【分析】（1）设甲的速度为8x米/分，则乙的速度为3x米/分，根据相遇时甲比乙多走400米列出方程求解即可； （2）设经过t秒后两人第一次相遇，然后分当甲在前，乙在后时，当甲在后，乙在前时，两种情况列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设甲的速度为8x米/分，则乙的速度为3x米/分，由题意得： 2（8x﹣3x）＝400， 解得x＝40， ∴8x＝320，3x＝120， 答：甲的速度为320米/分，则乙的速度为120米/分； （2）设经过t秒后两人第一次相遇， 当甲在前，乙在后时，则320t﹣120t＝400﹣40， 解得t＝1.8； 当甲在后，乙在前时，则320t﹣120t＝40， 解得t＝0.2； 综上所述，经过1.8分钟或0.2分钟后两人第一次相遇． 10．（2025秋•松江区期中）对于数轴上的三点，若其中一点到另一点的距离恰好是其到第三点距离的2倍，则称该点是另外两点的“倍距点”．例如，若数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，则点B是点A、C的“倍距点”，如图所示． （1）在数轴上，若点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，数、1、7所对应的点分别为C1，C2，C3，则其中是点A、B的“倍距点”的是 　 　 ． （2）在数轴上，点A表示的数为﹣5，点B表示的数为15，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为t秒（t＞0）．当点P为点A、B的“倍距点”时，求t的值． （3）在数轴上，点A表示的数为﹣5，点B表示的数为15，点P为数轴上的一个动点，且点P在点B右侧．若点P、A、B中恰好有一个点是另外两个点的“倍距点”，求此时点P表示的数． 【答案】（1）C1，C3； （2）t的值为或或20； （3）当点A是点P、B的“倍距点”时，点P表示的数是35；当点B是点P、A的“倍距点”时，点P表示的数是25或55；当点P是点A、B的“倍距点”时，点P表示的数是35． 【分析】（1）利用“倍距点”的定义，可得出点C1，C3是点A、B的“倍距点”； （2）当运动时间为t秒（t＞0）时，点P表示的数为﹣5+2t，根据点P为点A、B的“倍距点”，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设点P表示的数是x，分点A是点P、B的“倍距点”，点B是点P、A的“倍距点”及点P是点A、B的“倍距点”三种情况，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）∵AC1（﹣1），BC1＝3，2， ∴点C1是点A、B的“倍距点”； ∵AC2＝1﹣（﹣1）＝2，BC2＝3﹣1＝2，2÷2＝1， ∴点C2不是点A、B的“倍距点”； ∵AC3＝7﹣（﹣1）＝8，BC3＝7﹣3＝4，8÷4＝2， ∴点C3是点A、B的“倍距点”． 故答案为：C1，C3； （2）当运动时间为t秒（t＞0）时，点P表示的数为﹣5+2t， 当PB＝2PA时，15﹣（﹣5+2t）＝2[﹣5+2t﹣（﹣5）]， 解得：t； 当PA＝2PB时，﹣5+2t﹣（﹣5）＝2|﹣5+2t﹣15|， 即2t＝2（20﹣2t）或2t＝2（2t﹣20）， 解得：t或t＝20． 答：t的值为或或20； （3）设点P表示的数是x． 当点A是点P、B的“倍距点”时，x﹣（﹣5）＝2×[15﹣（﹣5）]， 解得：x＝35； 当点B是点P、A的“倍距点”时，15﹣（﹣5）＝2（x﹣15）或x﹣15＝2[15﹣（﹣5）]， 解得：x＝25或x＝55； 当点P是点A、B的“倍距点”时，x﹣（﹣5）＝2（x﹣15）， 解得：x＝35． 答：当点A是点P、B的“倍距点”时，点P表示的数是35；当点B是点P、A的“倍距点”时，点P表示的数是25或55；当点P是点A、B的“倍距点”时，点P表示的数是35 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版(新课标) 数学六年级期末满分冲刺 解答压轴题真题讲与练 一．有理数（共6小题） 1．（2025秋•青浦区校级期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100． （1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？ （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？ 2．（2024秋•浦东新区校级期中）已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示． （1）用“＜”号把a，b，c连接起来； （2）化简：|c|﹣|a+b|﹣|c﹣a|+2|a﹣b| 3．（2023秋•徐汇区校级月考）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是　 　 ， （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为　 　 ． （3）如果|x﹣2|＝5，则x＝　 　 ． （4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是　 　 ． （5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 4．（2023秋•徐汇区校级月考）把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：{1，2，8}、{﹣2，7，，19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数10﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“好的集合”．例如集合{10，0}就是一个“好的集合”． （1）集合{﹣2，1，8，12}　 　 （填“是”或“不是”）“好的集合”． （2）请你再写出两个好的集合（不得与上画出现过的集合重复）　 　 ． （3）在所有“好的集合”中，元素个数最少的集合是　 　 ． 5．（2004秋•卢湾区期末）问题：在下面括号里填上适当的自然数，使等式成立． . 分析：把表示成两个单位分数（分子为1的分数）的和，可以这样考虑：若两个加数相同，则； 若两个加数不相同，可利用分数的基本性质将分数的分子、分母扩大相同的倍数，再将分子拆成两个自然数的和，即： （A＝B+C，A、B、C是自然数），若B、C是6的约数，则可以化成单位分数． 所以； 根据对上述材料的理解完成下列各题： （1）在下面括号里填上相同的自然数，使等式成立 （2）已知 （A、B是不相等的自然数）求所有满足条件A、B的值．（直接写出答案）． 6．（2025秋•静安区校级期中）甲、乙、丙三个教师承担本学期期末考试的第17题的网上阅卷任务，若由这三人中的某一人独立完成阅卷任务，则甲需要15小时，乙需要10小时，丙需要8小时． （1）如果甲乙丙三人同时改卷，那么需要多少时间完成？ （2）如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙，…的次序轮流阅卷，每一轮中每人各阅卷1小时，那么需要多少小时完成？ （3）能否把（2）题所说的甲、乙、丙的次序作适当调整，其余的不变，使得完成这项任务的时间至少提前半小时？（答题要求：如认为不能，需说明理由；如认为能，请至少说出一种轮流的次序，并求出相应能提前多少时间完成阅卷任务） 二．代数式（共3小题） 7．（2019秋•闵行区校级月考）如图，四边形ABCD与ECGF是两个边长分别为a，b的正方形，写出用a，b表示阴影部分面积的代数式，并计算当a＝4cm，b＝6cm时，阴影部分的面积． 8．（2015秋•浦东新区期末）如图，小明自制了一个正整数数字排列图，他用一个长方形框出任意相邻的两行两列的四个数列出等式：15×7﹣6×16＝9．由此他猜想：在长方形框中，左下角与右上角两数之积减去左上角与右下角两数之积，差为9． （1）请你在图中任意框出另一个相邻的两行两列的四个数，将它们写在下面的长方形框内，并列式计算出结果，验证与小明的计算结果是否相同． （2）小明猜想：“用一个长方形框出任意相邻的两行两列的四个数，左下角与右上角两数之积减去左上角与右下角两数之积．差为9．”请用代数式的相关知识说明小明的猜想是否正确． （3）如果框出相邻的两行三列的六个数为：，那么在长方形框中，左下角与右上角两数之积减去左上角与右下角两数之积的差是多少？ 9．（2025秋•普陀区校级月考）为了能有效地使用电力资源，株洲市市区实行居民峰谷用电，居民家庭在高峰时段用电的电价为0.55元/千瓦时，低谷时段用电的电价为0.35元/千瓦时．若某居民户某月用电100千瓦时，其中高峰时段用电x千瓦时． （1）请用含x的代数式表示该居民户这个月应缴纳电费； （2）利用上述代数式计算，当x＝40时，求应缴纳电费． 三．一元一次方程（共7小题） 10．（2024秋•奉贤区期末）某人从家里骑自行车到学校．若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？ 11．（2017春•浦东新区期末）学校操场的环形跑道长为250米，小明和小丽在这条跑道上练习长跑，如果小明每分钟跑160米，小丽每分钟跑120米，两人同时同地同向出发，那么多少分钟后他们第一次相遇？ 12．（2021春•杨浦区校级期中）某工人计划加工一批产品，如果每小时加工产品10个，就可以在预定时间完成任务，如果每小时多加工2个，就可以提前1小时完成任务． （1）该产品的预定加工时间为几小时？ （2）若该产品销售时的标价为100元/个，按标价的八折销售时，每个仍可以盈利25元，该批产品总成本为多少元？ 13．（2008秋•闸北区校级期中）如图，6个正方形无缝拼接成一个大长方形，中间最小的一个正方形的面积为1，求这个大长方形的面积． 14．（2024秋•浦东新区校级期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣20，点B表示20，点C表示36，我们称点A和点C在数轴上相距56个长度单位．动点P、Q同时开始运动，点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点C处停止运动；点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点A处停止运动．设运动的时间为t秒，问： （1）当点P运动3秒时，点P在数轴上表示的数是 　 　 ；当点Q运动12秒时，点Q在数轴上表示的数是 　 　 ； （2）动点P从点A运动至C点需要多少时间？ （3）P、Q两点何时相遇？相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少？ （4）在整个运动过程中，当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 15．（2024秋•虹口区校级期末）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们的出行方式有了更多的选择．如图是某市两种网约车的收费标准，例：乘车里程为30公里： 若选乘出租车，费用为：14+2.2×（30﹣3）+1×（30﹣10）＝93.4（元）； 若选乘曹操出行（快选），费用为：10+2.4×30+0.8×（30﹣10）+0.460＝116（元）． TAXI 起步费：14元 超3公里费：超过的部分2.2元/公里 远途费：超过10公里后，1元/公里 曹操出行（快选） 起步费：10元 里程费：2.4元/公里 远途费：超过10公里后，0.8元/公里 时长费：0.4元/分钟（速度：40公里/时） 请回答以下问题： （1）小明家到学校的路程是10公里．如果选乘出租车，车费为　 　 元；如果选乘曹操出行（快选），车费为　 　 元． （2）周末小明有事外出，要选乘网约车，如果乘车费用预算为25元，他的行车里程数最大是多少公里？ （3）元旦期间，小明外出游玩，约车时发现曹操出行（快选）有优惠活动：总费用打八折．于是小明决定选乘曹操出行（快选）．付费后，细心的小明发现：相同的里程，享受优惠活动后的曹操出行（优选）的费用还是比出租车多了1.8元，求小明乘车的里程数． 16．（2021春•杨浦区校级期中）我们规定：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x＝﹣4的解为x＝﹣2，而﹣2＝﹣4+2，则方程2x＝﹣4为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： （1）已知关于x的一元一次方程3x＝m是“和解方程”，求m的值； （2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“和解方程”，并且它的解是x＝n，求m，n的值． 四．线段与角（共6小题） 17．（2020秋•虹口区校级期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上） （1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置； （2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求的值． （3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣PN的值不变；②的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 18．（2024春•浦东新区期末）如图，已知∠AOB＝120°．点C在∠AOB的内部，且∠BOC＝30°；OP是∠AOB的角平分线． （1）作∠BOC； （2）尺规作图：作∠AOB的角平分线OP；（不写作法，保留作图痕迹．） （3）若射线OC、OA分别表示从点O出发的北、东两个方向，则射线OB表示　 　 方向； （4）在图中找出与∠AOP互余的角是　 　 ； （5）在图中找出与∠AOB互补的角是　 　 ． 19．（2025秋•闵行区校级期中）在如图数轴上用点A表示这个数，若点D表示的整数在A、C两点之间，且线段AD与线段DC的长度之和为，请直接写出点D的值． 20．（2024秋•杨浦区校级期末）让我们继续对本卷第一部分的第25题开展探究． （1）已知点O在线段AB的延长线上，C、D分别是AO、BO的中点．请你画出此时相应的示意图，并判断点C的位置是否一定会在线段AB上？请写出你的结论，并举例说明； （2）已知点O在直线AB上，C、D分别是AO、BO的中点．我们发现，由于点O的位置不确定，所以点C和点D的位置都会随之发生变化．如果现在给出线段AB的长度，我们是否还能求线段CD的长呢？请写出你的观点，并说明理由． 我的观点是： 理由： 21．（2024秋•杨浦区校级期末）如图，O是直线MN上一点，OA是以O为顶点的射线，射线OB平分∠AON，射线OC平分∠AOM． （1）填空：如果∠AOM＝60°，那么∠COA的度数为 　 　 ，∠AOB的度数为 　 　 ，∠COB的度数为 　 　 ； （2）如果∠AOM的度数不确定，你还能够求出∠COB的度数吗？为什么？ （3）在学完了“余角和补角”一课后，老师又提出了这样一个问题：图中互补的角有多少？ 小聪立即回答道：“这个简单，一共有3对，分别是：∠MOC和∠CON，∠MOA和∠AON，∠MOB和∠BON．” （i）很多同学都觉得小聪回答得不对，请你写出小聪错在哪里； （ii）老师又继续提问：图中互余的角有多少对？请给出你的结论． 22．（2021春•长宁区校级期末）如图1，已知∠AOB＝180°，射线ON，尺规作出∠BON的平分线OC，∠AON的平分线OD． （1）如果∠AON＝52°，射线OA、OB分别表示从点O出发东、西两个方向，那么射线OD表示 　 　 方向，射线OC表示 　 　 方向． （2）如果将∠AOB沿着ON剪开分为两个角，再将∠AON逆时针旋转n°，到图2中∠AON′的位置，求此时∠COD＝　 　 °．（用n表示） 五．课后练习（共10小题） 1．（2025秋•普陀区期中）两个非零有理数a、b组成一个有理数对（a，b），如果a与b的和、差、积、商的结果同号，那么我们称有理数对（a，b）为“保号数对”；如果a与b的和、差、积、商的结果同号且均为整数，那么我们称有理数对（a，b）为“严格保号数对”． （1）分别判断（18，12）和是否为“保号数对”； （2）如果（a，3）和（60，a+15）均为“严格保号数对”，求a的值； （3）当（a，b）和（b，c）均为“保号数对”时，试说明（a，c）也为“保号数对”的理由． 2．（2019秋•虹口区校级月考）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上x1，x2对应点之间的距离； 例1．已知|x|＝2，求x的值． 解：容易看出，在数轴上与原点距离为2点的对应数为﹣2和2， 即x的值为﹣2和2． 例2．已知|x﹣1|＝2，求x的值． 解：在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和﹣1， 即x的值为3和﹣1． 仿照阅读材料的解法，求下列各式中x的值． （1）|x|＝3 （2）|x+2|＝4． 3．（2024秋•闵行区校级期中）十•一黄金周期间，泗县运河人家风景区门票价格为：成人票每张80元，学生票每张40元，泗县某中学七年级有x名学生和y名老师；八年级学生人数是七年级学生人数的倍，八年级老师人数是七年级老师人数的倍；若他们一起去风景区 （1）两个年级在该景点的门票费用分别为： 七年级　 　 元；八年级　 　 元；（用含x、y的代数式表示） （2）若他们一起去风景区，则门票费用共需多少元？（用含x、y的代数式表示）若x＝200，y＝10，求两个年级门票费用的总和． 5．（2024春•浦东新区期末）甲乙两人从相距28千米的两地同时相向出发，3小时30分钟后相遇．如果甲先出发2小时，那么在乙出发2小时后与甲相遇，求甲乙两人的速度． 4．（2024春•闵行区校级期末）减少雾霾，环保出行．家住上海的小明家人经常拼车出行．某拼车公司规定车主“一对一服务”，即车主每次服务一个拼车订单，不能中途接送他人，并按照乘客上、下车地点、时间准时接送乘客．按照拼车所发生的成本等制定了合理的付费规则．其中上海、昆明两个城市拼车付费规则如下：（见表1、表2） 表1上海拼车付费规则 路程x（公里） 计费规则 0＜x≤3 10元 3＜x≤10 1.5元/公里 x＞10 1元/公里 表2 昆明拼车付费规则 路程x（公里） 计费规则 x＞0 4元+1.2元/公里 例如，小李拼车一次的路程是15公里，如果他在上海，那么所付的费用为10+（10﹣3）×1.5+（15﹣10）×1＝25.5元；如果他在昆明，所付的费用为4+15×1.2＝22元． （1）一天，小明爸爸从家到单位拼车出行一次，付费16元，那么从他家到单位的拼车路程是多少公里？ （2）如果小明爸爸从上海到昆明出差的路上，除了乘动车外的路程，他都选择该拼车公司拼车出行．已知小明爸爸在上海和昆明两地各拼车出行一次，且每次拼车路程大于3公里． ①如果小明爸爸在两地拼车路程共计50公里，付费71.3元，那么他在两地拼车的路程各为多少公里？ ②如果小明爸爸在上海拼车的路程超过10公里，他在两地拼车的费用共36.1元，且在两地拼车的路程都是整数公里，那么小明爸爸在这两地拼车的路程各为多少公里？ 6．（2022秋•宝山区校级期末）一件商品标价3000元，打八折后商家仍可获利20%，求这件商品的售价及进价． 7．（2015春•闵行区期中）小丽每天早上步行去学校，她步行的速度是80米/分．一天早上在小丽出门小时后，爸爸发现她的作业落在了家里，于是赶紧以180米/分的速度去追，并且在途中追上了她．请问：爸爸需要多长时间才能追上小丽？ 8．（2024春•金山区校级期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°． （1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝　 　 ； （2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝　 　 ； （3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD∠AOE，求此时∠BOD的度数． 9．（2025秋•普陀区校级月考）甲、乙两运动员在周长为400米的环形跑道上分别练习跑步与竞走，已知甲、乙两人的速度之比为8：3． （1）两人同时同地同向出发，2分钟后第一次相遇，求甲、乙两人的速度分别是多少？ （2）如果两人相距40米，以同样的速度同时同向而行，问经过多少时间后两人第一次相遇？ 10．（2025秋•松江区期中）对于数轴上的三点，若其中一点到另一点的距离恰好是其到第三点距离的2倍，则称该点是另外两点的“倍距点”．例如，若数轴上点A、B、C所表示的数分别为1、3、4，则点B是点A、C的“倍距点”，如图所示． （1）在数轴上，若点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，数、1、7所对应的点分别为C1，C2，C3，则其中是点A、B的“倍距点”的是 　 　 ． （2）在数轴上，点A表示的数为﹣5，点B表示的数为15，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为t秒（t＞0）．当点P为点A、B的“倍距点”时，求t的值． （3）在数轴上，点A表示的数为﹣5，点B表示的数为15，点P为数轴上的一个动点，且点P在点B右侧．若点P、A、B中恰好有一个点是另外两个点的“倍距点”，求此时点P表示的数． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $