7.3.1 正弦函数的性质和图象（题型专练）高一数学人教B版必修第三册

7.3.1 正弦函数的性质和图象 题型一 确定函数的周期 1．（20-21高一下·全国·课后作业）函数＝1＋sin x的最小正周期是（    ） A． B．π C． D．2π 2．（2022高二下·贵州·学业考试）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南驻马店·期中）已知函数，则函数的最小正周期为 ． 题型二 函数的奇偶性判断问题 1．（24-25高一下·湖北·期中）函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 2．（25-26高一上·天津北辰·月考）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且周期为 B．是奇函数，且周期为 C．是偶函数，且周期为 D．是奇函数，且周期为 题型三 根据函数奇偶性求（函数值）参数 1．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数，若，则（ ） A． B．3 C．7 D．8 2．（25-26高一上·广东·月考）已知函数，，则（    ） A．12 B．－12 C．－17 D．17 3．（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知函数是奇函数，则 ． 5．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数，，则 ． 6．（25-26高一上·吉林长春·期末）已知函数，且，则 ． 7．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，且，求的值． 8．（2024高一上·江苏南京·专题练习）已知定义在上的奇函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则的值为 ． 题型四 函数的单调性（区间）问题 1．（25-26高一上·北京朝阳·月考）以下函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东深圳·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的最小正周期为π C．在区间上单调递增 D．为奇函数 4．（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调增区间是 . 题型五 比较大小问题 1．．（25-26高一上·江苏南京·月考）下列大小关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·北京房山·期中）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高一·全国·假期作业）函数值，从大到小的顺序为 .（用“>”或“<”连接） 5．（25-26高一·全国·假期作业）函数值，，从大到小的顺序为 ．（用“＞”连接） 题型六 解三角函数不等式 1．（25-26高一上·江苏盐城·月考）已知是的内角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一下·四川内江·月考）已知，则不等式的解集为 ． 3．（2025高一上·吉林长春·专题练习）已知，不等式成立的角x的集合是 ． 题型七 “五点法”作y=Asinx+B的图象 1．（24-25高一上·全国·周测）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 2.．（24-25高一下·上海·月考）函数图像的对称轴方程是 . 3．（25-26高一·全国·假期作业）正弦函数的图象中，五个关键点是：， ，. 题型一   根据函数的单调性求参数范围 1．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数，在区间上是单调函数，则的取值范围 ． 题型二 函数的定义域问题 1．（24-25高一下·山东威海·期中）函数的定义域为 . 2．（24-25高一下·上海·月考）求函数的定义域 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则函数的定义域为 ． 4．（24-25高一下·江西景德镇·期中）函数的定义域是 ． 5．（24-25高一下·上海·月考）函数的定义域为 题型三 函数的值域、最值问题 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）对于的最大值为（   ） A．－1 B． C．0 D． 2．（24-25高一下·河北张家口·期中）设函数，若．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广西桂林·月考）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海·月考）函数在区间上的值域为 . 5．（25-26高一上·江苏扬州·月考）函数（）的最大值为 ． 6．（25-26高一上·新疆·月考）函数的最大值为 ． 7．（25-26高一上·浙江宁波·月考）函数的值域是 . 8．（24-25高一下·广西柳州·期中）函数的最小值为 ． 9．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知函数. (1)求的定义域. (2)求的值域. 题型四 含绝对值的正弦函数的图象 1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高一下·上海·月考）在下列哪个区间上是严格减函数（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东潍坊·月考）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．为周期函数 题型五   正弦函数图象和性质的综合问题 1．（24-25高一下·四川德阳·月考）关于函数的图象与性质的描述正确的是（   ） A．最小正周期是 B．图象的对称轴为 C．单调增区间是 D．图象的对称中心为 2．（21-22高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数 (1)用五点法作图作出在的图象；    (2)求在的最大值和最小值. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； (2)求的最小正周期； (3)求的单调递增区间． 4．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数． (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象； (2)若，求． (3)若，求的单调递减区间和对称轴． 题型一 根据函数的定义域、值域（最值）求参数 1．（24-25高一下·陕西渭南·月考）已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖南·月考）若，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏盐城·月考）已知函数在处取得最小值，则（    ） A． B．0 C．3 D． 4．（24-25高一下·福建泉州·月考）若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是 . 5．（25-26高三上·江苏南通·月考）若对于，总，使得，则实数的最小值为 . 6.（2025高一上·江苏·专题练习）若函数的最大值为，最小值为． (1)求，的值； (2)求函数取得最大值时的的值. 题型二 函数的零点相关问题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则在上的零点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则方程解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 4．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 5．（24-25高一下·上海·期中）关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 . 6．（24-25高一上·安徽合肥·月考）设a为常数，函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.1 正弦函数的性质和图象 题型一 确定函数的周期 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】 题型二 函数的奇偶性判断问题 1．【答案】D 2．【答案】A 题型三 根据函数奇偶性求（函数值）参数 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】1 5．【答案】0 6．【答案】 7．【答案】． 8．【答案】 题型四 函数的单调性（区间）问题 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】BC 4．【答案】, . 题型五 比较大小问题 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4.【答案】 5．【答案】 题型六 解三角函数不等式 1．【答案】A 2．【答案】 3．【答案】或. 题型七 “五点法”作y=Asinx+B的图象 1．【答案】D 2.【答案】（其中为整数）. 3．【答案】 题型一   根据函数的单调性求参数范围 1．【答案】 题型二 函数的定义域问题 1．【答案】 2．【答案】 3．【答案】 4．【答案】 5．【答案】 题型三 函数的值域、最值问题 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】6 7．【答案】 8．【答案】3 9．【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、具体函数的定义域 【分析】（1）根据题意，求解的范围；（2）根据初等函数的性质求解的范围. 【详解】（1）根据题意可得，， 则, 故的定义域为. （2）由（1）可知，，故， 所以， 故的值域为 题型四 含绝对值的正弦函数的图象 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】C 题型五   正弦函数图象和性质的综合问题 1．【答案】A 2．【答案】(1)作图见解析； (2)，. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】（1）根据“五点法”作图，即可得函数的图象； （2）利用函数图象结合，即可求得答案. 【详解】（1）列表如下： x 对应的图象如图：      （2） 由且，结合图象知，且. 3．【答案】(1)答案见解析 (2)． (3)， 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】（1）直接用“五点法”作出函数图像； （2）直接用周期的公式计算最小正周期； （3）根据正弦函数的单调区间来计算的单调区间 【详解】（1）列表如下： 0 0 1 0 0 1 3 1 1 在平面直角坐标系中描点，再连线，得在上的图像如图所示． （2）由，所以函数的最小正周期为 （3）由， 因为的单调递增区间为，所以令， 解得，所以的单调递增区间为，． 4．【答案】(1)填表见解析；作图见解析； (2)或； (3)单调递减区间为，；对称轴为，. 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、五点法画正弦（型）函数的图象、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据函数解析式，完善题干的表格，应用五点法画出函数图象； （2）由已知，可得，再根据同角三角函数的平方关系，即可求解； （3）根据题意，先求得函数的解析式，再由正弦型函数的性质及整体法求得函数的单调递减区间和对称轴． 【详解】（1）根据题意，列表得       再描点，得图象如下， （2）根据题意，，且， 解得， 又， 解得或 . （3）根据题意，，且， 则， 根据正弦函数的图像性质，令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，， 令，，解得，， 所以函数的对称轴为，. 题型一 根据函数的定义域、值域（最值）求参数 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】 5．【答案】 6.【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）根据的正负进行分类讨论，由条件可求得值； （2）根据条件确定出，由此可求的取值. 【详解】（1）因为， 当时，由条件可知，解得； 当时，由条件可知，解得， 由上可知，或. （2）由（1）可知， 若取得最大值，则， 可得. 题型二 函数的零点相关问题 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】(1) (2) 【知识点】零点存在性定理的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）利用换元法结合三角函数值域，由二次函数性质即可得出函数的值域； （2）根据零点个数可得函数在上仅有一个零点，再由二次函数根的分布可得； 【详解】（1）由题意， 令，则， 当时，， 所以当时，取最大值； 当时，取最小值， 所以的值域为； （2）由题意函数在区间上有两个不同的零点， 即函数在上仅有一个零点，因为， 由零点存在性定理，只需，得； 所以实数a的取值范围为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.1 正弦函数的性质和图象 题型一 确定函数的周期 1．（20-21高一下·全国·课后作业）函数＝1＋sin x的最小正周期是（    ） A． B．π C． D．2π 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由周期公式求解即可. 【详解】函数的图象上所有点向上平移1个单位得到函数的图象， 则函数的最小正周期为. 故选：D 2．（2022高二下·贵州·学业考试）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据三角函数最小正周期的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，函数 根据正弦型函数的周期的计算公式，可得函数的最小正周期为. 故选：C. 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】先判断，再得到加减运算和开算术平方根不影响周期性，最后利用正弦函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】由正弦函数的最小正周期公式得的最小正周期为， 由正弦函数性质得，故加减运算和开算术平方根不影响周期性， 则函数的最小正周期是，故B正确. 故选：B 4．（24-25高一下·河南驻马店·期中）已知函数，则函数的最小正周期为 ． 【答案】 【知识点】求含sinx的函数的最小正周期 【分析】根据正弦函数的性质，得到的最小正周期为，的最小正周期为，进而得到是函数的一个正周期，不是函数的周期，然后利用特值法可证明函数的正周期只能是的任意正整数倍，从而得到其最小正周期为. 【详解】由正弦函数的图象与性质，可得的最小正周期为，的最小正周期为， 可得， ， 所以函数的一个正周期为. 设是函数的正周期， 则， 当时，， 当时得，无解. 所以的最小正周期只能是的任意正整数倍， 但上面已经证明不是函数的周期，是函数的周期， 所以函数的最小正周期为. 故答案为：． 题型二 函数的奇偶性判断问题 1．（24-25高一下·湖北·期中）函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数 C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的奇偶性 【分析】根据正弦型函数的周期公式及奇偶性即可求解． 【详解】设， ，所以为偶函数， 因为的周期为， 所以的周期为， 故选：D． 2．（25-26高一上·天津北辰·月考）关于函数，下列说法正确的是（    ） A．是偶函数，且周期为 B．是奇函数，且周期为 C．是偶函数，且周期为 D．是奇函数，且周期为 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四、求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据偶函数定义判断函数奇偶性，再应用周期定义判断即可. 【详解】函数，定义域为， 因为，所以为偶函数， 又因为，所以的最小正周期为， 故选：A. 题型三 根据函数奇偶性求（函数值）参数 1．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数，若，则（ ） A． B．3 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】由正弦函数的奇偶性求函数值、函数奇偶性的应用、求函数值 【分析】由可得，再根据正弦函数的奇偶性求解即可. 【详解】由题意可知，则， 所以， 故选：C 2．（25-26高一上·广东·月考）已知函数，，则（    ） A．12 B．－12 C．－17 D．17 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、求含sinx的函数的奇偶性 【分析】构造奇函数，利用奇函数的性质求函数值. 【详解】设，函数定义域为R， 由， 知函数为奇函数， ，故， 所以. 故选：C 3．（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据，化简求得的值即可. 【详解】函数，定义域为， 由于为偶函数，即， 则， 化简为, 即，则， 因为不恒为0，所以. 故选：B 4．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】1 【知识点】由奇偶性求参数、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据奇偶函数的性质可得函数是偶函数，再根据偶函数的定义求解即可. 【详解】因为是奇函数，是奇函数， 所以函数是偶函数，则，所以． 故答案为：1． 5．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数，，则 ． 【答案】0 【知识点】求函数值、由正弦函数的奇偶性求函数值 【分析】由推得，将其看成整体，代入的表达式中，即可求得. 【详解】由可得，即， 则. 故答案为：0. 6．（25-26高一上·吉林长春·期末）已知函数，且，则 ． 【答案】 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先求出，再利用，计算， 【详解】,将替换成， 得：， ， 当时，代入，得，， 则 故答案为： 7．（2025高一·全国·专题练习）已知函数，且，求的值． 【答案】． 【知识点】函数奇偶性的应用、求函数值 【分析】方法一：构建函数，验证的奇偶性，利用奇偶性即可求解； 方法二：由得，进而求. 【详解】方法一：利用奇偶性求解，， 构建函数， 因为， 所以函数是奇函数，所以，即， 所以．因为，所以． 方法二：整体思想求解． 由题意得， 所以， 又， 所以． 8．（2024高一上·江苏南京·专题练习）已知定义在上的奇函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】由函数的周期性和奇偶性即可求得结果. 【详解】易知. 故答案为：. 题型四 函数的单调性（区间）问题 1．（25-26高一上·北京朝阳·月考）以下函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性、求sinx的函数的单调性、求正弦（型）函数的奇偶性 【分析】利用奇函数定义及函数单调性逐项判断得解. 【详解】对于A，是定义在上的奇函数，且在上单调递增，A不是； 对于B，是R上的偶函数，不是奇函数，B不是； 对于C，是R上的奇函数，在上不单调，C不是； 对于D，是R上的奇函数，在上单调递减，D是. 故选：D 2．（24-25高一下·广东深圳·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求sinx的函数的单调性、对数型复合函数的单调性、判断指数函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由函数的奇偶性、基本初等函数的性质再结合复合函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，由在上递增，在定义域上递增，故在上递增，故A不满足题意； 对于B，由在上递增，在定义域上递增，故在 上单调递增函数，故B不满足题意； 对于C，为偶函数，由幂函数的性质知在上递减，故C满足题意； 对于D，为偶函数，在上为周期函数，故D不满足题意. 故选：C. 3．（多选）（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的最小正周期为π C．在区间上单调递增 D．为奇函数 【答案】BC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的最小正周期、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用函数的周期定义易判断AB项，利用正弦函数的单调性和绝对值函数的图象变换可判断C项，利用奇函数的定义可判断D项. 【详解】对于AB，因， 故的最小正周期不是，故A项错误； 假设存在，对于，都有， 不妨取，则， 而因，，即不存在比更小的正周期， 故的最小正周期是,故B项正确； 对于C，当时，单调递减，且为负值， 将在上的图象沿着轴翻折，即得在上的图象， 故在区间上单调递增，故C项正确； 对于D，因的定义域为， 且，故不是奇函数，即D项错误. 故选：BC. 4．（24-25高一下·上海普陀·期中）函数的单调增区间是 . 【答案】, . 【知识点】求sinx的函数的单调性 【分析】根据正弦函数性质求函数的单调增区间即可. 【详解】函数的单调增区间是, . 故答案为：, . 题型五 比较大小问题 1．．（25-26高一上·江苏南京·月考）下列大小关系正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较正弦值的大小、比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用诱导公式与正弦函数的单调性可判断A；利用中间量“1”可判断B；利用对数函数的单调性可判断C；利用幂函数的单调性可判断D. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，，则，故C错误； 因为在上单调递增，则，故D正确． 故选：D. 2．（24-25高一下·北京房山·期中）已知，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】诱导公式五、六、比较正弦值的大小 【分析】应用诱导公式及正弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】由，即. 故选：D 3．（24-25高一下·北京延庆·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较正弦值的大小、三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式二、三、四 【分析】利用诱导公式转换为即可得解. 【详解】，， ， 而，故， 故选：B. 4.（25-26高一·全国·假期作业）函数值，从大到小的顺序为 .（用“>”或“<”连接） 【答案】 【知识点】比较正弦值的大小 【分析】根据正弦函数的单调性判断即可. 【详解】，又函数在上单调递减， . 故答案为： 5．（25-26高一·全国·假期作业）函数值，，从大到小的顺序为 ．（用“＞”连接） 【答案】 【知识点】比较正弦值的大小 【分析】根据正弦函数在上单调递减计算求解. 【详解】∵， 又函数在上单调递减， ∴． 故答案为：. 题型六 解三角函数不等式 1．（25-26高一上·江苏盐城·月考）已知是的内角，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据正弦函数的性质和充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】因为是的内角，所以. 所以时，根据正弦函数的性质可知，充分性成立； 当时，或，所以必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高一下·四川内江·月考）已知，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解正弦不等式 【分析】依题意可得，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】由，即，所以， 又，所以， 即不等式的解集为. 故答案为： 3．（2025高一上·吉林长春·专题练习）已知，不等式成立的角x的集合是 ． 【答案】或. 【知识点】解正弦不等式 【分析】结合特殊点函数值，得到不等式解集. 【详解】，有， ，故或， 故解集为或. 故答案为：或. 题型七 “五点法”作y=Asinx+B的图象 1．（24-25高一上·全国·周测）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【答案】D 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】用五点法作三角函数的图，五个点的横坐标分别为，求出值. 【详解】由“五点法”作图知，令， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：D． 2.．（24-25高一下·上海·月考）函数图像的对称轴方程是 . 【答案】（其中为整数）. 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据正弦函数的对称性，结合伸缩变换与平移变换的影响得出. 【详解】正弦函数的对称轴是直线（其中为整数）. 因为纵坐标的伸缩变换与上下平移变换均不影响水平方向的对称性. 函数的对称轴方程为（其中为整数）. 故答案为：为（其中为整数）. 3．（25-26高一·全国·假期作业）正弦函数的图象中，五个关键点是：， ，. 【答案】 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】根据五点法直接填空即可. 【详解】正弦函数的图象中，五个关键点是：，， 故答案为： 题型一   根据函数的单调性求参数范围 1．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知函数，在区间上是单调函数，则的取值范围 ． 【答案】 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、解正弦不等式 【分析】根据二次函数的单调性可得三角不等式，结合解三角不等式，即得答案.. 【详解】因为函数，在区间上是单调函数， 函数对称轴为，所以，或者， 所以，或者，且， 则的取值范围为． 故答案为：. 题型二 函数的定义域问题 1．（24-25高一下·山东威海·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】解正弦不等式、具体函数的定义域 【分析】列不等式求解即可. 【详解】由题：，即， 由正弦函数的图像与性质得：， 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海·月考）求函数的定义域 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、解正弦不等式 【分析】由，求解即可. 【详解】∵函数有意义，, ∴函数的定义域为. 故答案为： 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的定义域、正弦函数图象的应用、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数型函数定义域求法结合三角函数图象求解即可. 【详解】要使函数有意义，则必有，即， 结合正弦函数的图象及可知，， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 4．（24-25高一下·江西景德镇·期中）函数的定义域是 ． 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据三角函数的性质结合函数定义域列式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，即， 可得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 5．（24-25高一下·上海·月考）函数的定义域为 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、解正弦不等式 【分析】要使函数有意义，则需，再求解不等式组即可得解. 【详解】由题，，解得， 解得或. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型三 函数的值域、最值问题 1．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）对于的最大值为（   ） A．－1 B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】令，根据x的范围，可得t的范围，利用换元法，结合二次函数的性质，即可得答案. 【详解】令，因为，所以，则， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故选：D 2．（24-25高一下·河北张家口·期中）设函数，若．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据正弦函数的性质确定出，再得出即可求最值. 【详解】由可知，， ，，，， ，，， 当且仅当或时（，），． 故选：A． 3．（24-25高一下·广西桂林·月考）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二次函数的值域或最值、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【详解】， 令，由，得，变为． 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为. 故选：C. 4．（25-26高三上·上海·月考）函数在区间上的值域为 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、诱导公式五、六 【分析】由诱导公式化简，利用正弦函数的单调性求解. 【详解】因为，，所以. 所以函数的值域为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·江苏扬州·月考）函数（）的最大值为 ． 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求函数值或值域、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系，结合正弦函数的单调性、二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】当时，，令， ， 设，该二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，当时，函数有最大值， 即时，取得最大值． 故答案为： 6．（25-26高一上·新疆·月考）函数的最大值为 ． 【答案】6 【知识点】诱导公式五、六、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】先利用诱导公式和同角三角函数的平方关系对原函数进行化简，再结合一元二次函数性质即可求解． 【详解】， 又，函数在上单调递增， 所以函数最大值为． 故答案为：6． 7．（25-26高一上·浙江宁波·月考）函数的值域是 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用正弦函数的最值性质进行求解即可. 【详解】由函数的解析式可知：， ， 当时，即时，显然不成立， 当时，， 因为，且， 所以有或， 所以该函数的值域为， 故答案为： 8．（24-25高一下·广西柳州·期中）函数的最小值为 ． 【答案】3 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】换元令，结合对勾函数单调性求最值. 【详解】令，则，可得， 由对勾函数的性质，易知函数在上单调递减，则， 所以函数的最小值为3. 故答案为：3. 9．（24-25高一下·北京朝阳·月考）已知函数. (1)求的定义域. (2)求的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、具体函数的定义域 【分析】（1）根据题意，求解的范围；（2）根据初等函数的性质求解的范围. 【详解】（1）根据题意可得，， 则, 故的定义域为. （2）由（1）可知，，故， 所以， 故的值域为 题型四 含绝对值的正弦函数的图象 1．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】正弦函数图象的应用 【分析】分，化简，结合正弦函数图象求解即可. 【详解】当时， 当时，， 由正弦函数的图象可知，A选项符合题意， 故选：A． 2．（24-25高一下·上海·月考）在下列哪个区间上是严格减函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、正弦函数图象的应用 【分析】作出函数的图象，结合选项可得答案. 【详解】根据正弦函数的图象，作出函数的图象， 如图所示：    分析选项可得函数函数在区间上是严格减函数. 故选：B. 3．（24-25高一下·山东潍坊·月考）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的图象关于直线对称 C．的值域为 D．为周期函数 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的奇偶性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据奇函数定义可判断A；举出反例判断B；脱出绝对值符号，结合正弦函数性质判断C；数形结合，结合函数的性质可判断D. 【详解】函数的定义域为， 因为，即为偶函数， 所以，，所以，所以不是奇函数，A错 ， 则，函数的图象不关于直线对称， B错误； 对于C，当时，， 当时，，当时，； 当时，则， 结合为偶函数，可知的值域为，C正确； 由于为偶函数，图象如图示： 可知不是周期函数，故不是周期函数，D错误， 故选：C 题型五   正弦函数图象和性质的综合问题 1．（24-25高一下·四川德阳·月考）关于函数的图象与性质的描述正确的是（   ） A．最小正周期是 B．图象的对称轴为 C．单调增区间是 D．图象的对称中心为 【答案】A 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据正弦函数的最小正周期、对称轴、对称中心、单调增区间即可得到答案. 【详解】的最小正周期是，故A正确； 对称轴为，故B错误； 单调增区间是，原结论缺少故C错误； 图象的对称中心为，故D错误； 故选：A. 2．（21-22高一下·陕西宝鸡·期末）已知函数 (1)用五点法作图作出在的图象；    (2)求在的最大值和最小值. 【答案】(1)作图见解析； (2)，. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】（1）根据“五点法”作图，即可得函数的图象； （2）利用函数图象结合，即可求得答案. 【详解】（1）列表如下： x 对应的图象如图：      （2） 由且，结合图象知，且. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)请用“五点法”画出函数在上的图像（先列表，再画图）； (2)求的最小正周期； (3)求的单调递增区间． 【答案】(1)答案见解析 (2)． (3)， 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、五点法画正弦（型）函数的图象 【分析】（1）直接用“五点法”作出函数图像； （2）直接用周期的公式计算最小正周期； （3）根据正弦函数的单调区间来计算的单调区间 【详解】（1）列表如下： 0 0 1 0 0 1 3 1 1 在平面直角坐标系中描点，再连线，得在上的图像如图所示． （2）由，所以函数的最小正周期为 （3）由， 因为的单调递增区间为，所以令， 解得，所以的单调递增区间为，． 4．（25-26高一上·福建厦门·月考）已知函数． (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象； (2)若，求． (3)若，求的单调递减区间和对称轴． 【答案】(1)填表见解析；作图见解析； (2)或； (3)单调递减区间为，；对称轴为，. 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、五点法画正弦（型）函数的图象、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据函数解析式，完善题干的表格，应用五点法画出函数图象； （2）由已知，可得，再根据同角三角函数的平方关系，即可求解； （3）根据题意，先求得函数的解析式，再由正弦型函数的性质及整体法求得函数的单调递减区间和对称轴． 【详解】（1）根据题意，列表得       再描点，得图象如下， （2）根据题意，，且， 解得， 又， 解得或 . （3）根据题意，，且， 则， 根据正弦函数的图像性质，令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，， 令，，解得，， 所以函数的对称轴为，. 题型一 根据函数的定义域、值域（最值）求参数 1．（24-25高一下·陕西渭南·月考）已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据正弦函数的图象即可求解. 【详解】的定义域为，值域为，则， 则观察函数图象可得，的最大值为的最小值为， 故选：D. 2．（25-26高三上·湖南·月考）若，，使得，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】把问题转化成的区间长度要不小于的解集的区间长度求的取值范围. 【详解】由，得，， 由，得，， 若，，使得， 则的区间长度要不小于的解集的区间长度， ，. 故选：A 3．（25-26高一上·江苏盐城·月考）已知函数在处取得最小值，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用二次函数与余弦函数的性质求出取得最小值时的值，再利用诱导公式求解. 【详解】当，，， 即时，取得最小值，此时， 则 . 故选：B 4．（24-25高一下·福建泉州·月考）若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】令，将原问题转化为在上恒成立，研究最大值即可． 【详解】令，则原问题转化为在上恒成立， 即在上恒成立， ， 即在上恒成立， 令，易知在单调递减， 所以，， 所以， 故答案为：. 5．（25-26高三上·江苏南通·月考）若对于，总，使得，则实数的最小值为 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据正弦函数性质解不等式，由题意，列不等式求解即可得解. 【详解】因为，所以， 所以的解集为， 对于，总，使得， 所以，，， 所以， 所以，即实数的最小值为. 故答案为： 6.（2025高一上·江苏·专题练习）若函数的最大值为，最小值为． (1)求，的值； (2)求函数取得最大值时的的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）根据的正负进行分类讨论，由条件可求得值； （2）根据条件确定出，由此可求的取值. 【详解】（1）因为， 当时，由条件可知，解得； 当时，由条件可知，解得， 由上可知，或. （2）由（1）可知， 若取得最大值，则， 可得. 题型二 函数的零点相关问题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，则在上的零点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数、正弦函数图象的应用、对数函数图象的应用 【详解】求函数在上的零点个数，即求函数的图象与函数的图象在上的交点的个数．如图所示，显然函数的图象与函数的图象在上的交点的个数为3． 2．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则方程解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】对数函数图象的应用、正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】将方程解的个数转化为函数与函数的图象的交点的个数，数形结合即可判断 【详解】根据题意，令，分别作出函数与函数的图象.    在区间内，函数单调递减，与函数有1个交点； 在区间内，函数的值域为，函数单调递增且值域为， 又当时，，结合图象，在区间内，函数与函数有3个交点， 故方程解的个数为4. 故选：D. 3．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知函数在区间上有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、正弦函数图象的应用 【分析】令，分析可知函数在上有两个不同的零点，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围． 【详解】∵，令，，令，如下图所示： 要使得函数在上有个零点，则函数在上有个不同的零点，显然， 所以，，解得． 故选：C． 4．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、求含sinx(型)函数的值域和最值、函数与方程的综合应用 【分析】利用换元法，分离参变量，构造两个函数图象有交点问题，即可求参数范围. 【详解】令，则， 原方程可转化为关于的方程在上有解， 分离参变量得：， 即等价于直线与函数的图象在内有交点． 又因为的图象开口向下，对称轴为直线， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·期中）关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】根据题意，换元令，分离参数转化为二次函数有解问题求解即可. 【详解】由可得． 令，则关于的方程在区间上有实数解． 则， ，时，，时，， 故实数的取值范围是． 故答案为： 6．（24-25高一上·安徽合肥·月考）设a为常数，函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】零点存在性定理的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）利用换元法结合三角函数值域，由二次函数性质即可得出函数的值域； （2）根据零点个数可得函数在上仅有一个零点，再由二次函数根的分布可得； 【详解】（1）由题意， 令，则， 当时，， 所以当时，取最大值； 当时，取最小值， 所以的值域为； （2）由题意函数在区间上有两个不同的零点， 即函数在上仅有一个零点，因为， 由零点存在性定理，只需，得； 所以实数a的取值范围为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $