5.3.2函数的极值与最大（小）值（第一课时）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2函数的极值与最大（小）值 第1课时 1.结合教材所给实例，观察分析函数图像，直观认识极值与单调性的关系。 2.在分析导函数零点两侧正负值变化的基础上，理解极值概念，归纳概括求极值的一般方法，并总结出可导函数取得极值的充要条件。 3.在实际问题中，利用所学归纳解决问题的一般方法，并进行优化，发展识图能力、运算能力和逻辑推理素养。 学习目标 增 减 复习引入 1.函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)： f ′(x)的正负 f (x)的单调性 f ′(x)＞0 单调递 f ′(x)＜0 单调递 2.判断函数y=f (x)的单调性 第1步：确定函数的 ； 第2步：求出导数f ′(x)的 ； 第3步：用f ′(x)的 将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的 ，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 定义域 零点 零点 正负 复习引入 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数值的正负可以判断函数的增减。 如果函数在某些点处的导数值为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 新知探究 探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附近的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律? O t a b h 新知探究 放大t=a附近函数h(t)的图像，可以看出，h′(a)=0； 在t=a的附近，当t<a时，函数h(t)单调递增，h′(t)>0； 当t>a时，函数h(t)单调递减，h′(t)<0。 在t=a附近，函数值先增(t<a, h′(t)>0 )后减(t>a, h′(t)<0 )。 当t在a的附近从小到大经过a时，h′(t)先正后负，且h′(t)连续变化, 对于一般函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢？ O t a b h 单调递增 单调递减 新知探究 于是有h′(a)=0 。 探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？ O a c b x y d e 新知探究 O a c b x y d e 以x=a，b两点为例，可以发现： 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, f ′(a)=0; 而且在点x=a附近的左侧, f ′(x)<0, 右侧f ′(x)>0。 类似的，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f′(b)=0 ; 而且在点x=b附近的左侧，f′(x)>0, 右侧f′(x)< 0。 新知探究 1.极小值点与极小值 若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f(a)＝ ，而且在点x=a附近的左侧 ，右侧 ，就把a叫做函数y=f(x)的极小值点，_____叫做函数y=f(x)的极小值。 0 概念形成 2.极大值点与极大值 若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f(b)＝ ，而且在点x=b附近的左侧 ，右侧 ，就把b叫做函数y=f(x)的极大值点，_____叫做函数y=f(x)的极大值。 概念形成 0 3.极大值点、极小值点统称为 ；极大值、极小值统称为 ． 极值点 极值 思考1观察y=f(x)在[a, b]上的图象，回答下列问题 1.图中有哪些极值点？极值点唯一吗？ 深化概念 极值点可能不唯一，且单调函数没有极值。 极值是局部性质，存在于区间内部，而非端点。 极大值和极小值之间没有必然的大小关系。 2.区间端点是极值点吗？ 3.极大值一定比极小值大吗？ 思考2由极值的定义可知函数y=f(x) 在极值点处的导数值为0， 反之，如果f()=0 ，那么是极值点吗？ 深化概念 对于可导函数y=f(x) ， x0是极值点的充要条件为： f()=0,且在x0左右两侧导数值异号 对于可导函数，f(是为极值点的必要不充分条件 如果是极值点，且f()存在，则f()=0 反之，如果f(不一定是极值点。 x=0时导数值为0，但x=0不是极值点。 y x o f(x)= 例1：（单选题）设函数y=f(x) 在处及其附近可导，且 f()=0， 则下列说法不正确的是（ ） A .若在 左侧附近 f() >0，在 右侧附近 f() <0 ， 则 f()为极大值 B .若在 左侧附近 f() <0 ，在 右侧附近 f() >0 ， 则 f()为极小值 C .若在 左右两侧 f()同号，则 f()不是极值 D. 一定是极值点 D 知识应用 函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)（ ） C 　解析：设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4， 则f (x)在x＝x1、x＝x4处取得极大值，在x＝x2处取得极小值, x＝x3处无极值。 x1 x2 x3 x4 A .无极大值点，有四个极小值点 B .有一个极大值点，两个极小值点 C .有两个极大值点，一个极小值点 D .有两个极大值点，两个极小值点 直通高考 f (x) x o 例2：求函数f(x)= 的极值 解: 函数f(x)= 的定义域为R， f(x)=x2-4, 令 f(x)=0，即x2-4=0 解得 x1=-2,x2=2. 当 x 变化时, f(x) 、 f(x) 的变化情况如下表： f(x) x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f(x) + 0 0 - + 单调递增 单调递增 单调递减 - 知识应用 因此，当x=-2时，f(x)有极大值,并且极大值为 f(-2)=. 当x=2时，f(x)有极小值,并且极小值为 f(2)=. 函数f(x)= 的图象如右图所示 求函数y=f(x) 的极值的步骤 (1)如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值; 2.求f(x)的零点，即解方程f(x) =0 1.求函数 f(x)的定义域； 3.根据方程f(x) =0的根，顺次将函数的定义域分成若干开区间，并列成表格； 4.检验方程f(x) =0的根左右两侧导数值的符号，并求出极值 (2)如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值; (3)如果这个根左右两侧导数值的符号相同，那么无极值; 知识应用 练习2：求函数f(x)=的极值 解：函数f(x)=的定义域为(0,+∞) f(x)=-, 令 f(x)=0，得x=1. 当 x 变化时, f(x) 、 f(x) 的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,+∞) f(x) - 0 + f(x) 单调递减 3 单调递增 因此，当x=1时, f(x)有极小值, 并且极小值为f(1)=，无极大值. 高考链接 数学知识： （1）函数极值的定义 （2）可导函数y=f(x)，在x0处有极值的条件： f(x0)=0且在x0左右两侧导数值异号 （3）求函数极值的步骤： ①求定义域 ②求f(x)，解方程f(x) =0. ③列表 ④检验根两侧导数值的符号 思想方法：数形结合 课堂小结 五、分层作业 必做 选做 课本第92页 练习 第2题 课本第98页 习题5.3 第4、5题 同步练习 第55页 基础巩固、变式训练 布置作业 函数f(x)==1处取得极值10，则a+b=? 直击高考 给我最大快乐的 不是已懂得的知识， 而是不断的学习； 不是已达到的高度， 而是继续不断的攀登！ ——数学家高斯 花开花落是生命的起伏， 波峰波谷是人生的极值。 人在最低谷时，不要放弃， 往往这是人生的转折点！ ——数学老师 f ′(x)＜0 f ′(x)＞0 f (a) f ′(x)＜0 f (b) f ′(x)＞0 $$