2025-2026学年人教版八年级上学期期末考试数学模拟试卷（能力提升试卷）

2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷（能力提升卷） 人教版 考试范围：七上全册；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，代数式的值是（   ） A． B．3 C．5 D．7 2．如图，，，垂足分别为，，，相交于点，，连接，则图中的全等三角形一共有（    ） A．对 B．对 C．对 D．对 3．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点．连接并延长交于点．若，则的面积是（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 4．如图，在等腰中，，为延长线上一点，且，垂足为，连接，若，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 5．如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ） A． B．8 C．6 D．4 6．如图，四边形中，，，，四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 8．若a，b，c，d都是正实数，，，则①，②，③，在这3个结论中，正确的个数为（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．设是实数，且，则的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定的 10．已知整式，其中为自然数，，，，，为整数，且．下列说法： ①若，且，则满足条件的的值有5个； ②若，且，其中，则满足条件的整式有5个； ③若，，且关于的方程无解，则或． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若，则的值是 ． 12．已知关于的不等式至少有一个整数解，并且关于的方程有不大于7的整数解，则整数有 个． 13．如图，在中，，点在边上，，点在边上，，若，，则的长为 ． 14．新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续奇数的平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是 ． 15．我们规定：一个各个数位互不相等且均不为0的四位数，若满足，，则称这个四位数为“八面玲珑数”．则最小的“八面玲珑数”为 ；一个“八面玲珑数”，调换数字得到新数，记，，若为整数，且满足也为整数，则满足条件的为 ． 16．如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有 ． 则， 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）（1）解方程：； （2）先化简：，再从1，2，，中选一个合适的数代入求值． 18．（6分）（若一个方程（组）的解为整数，我们称它为“诚意”方程（组）． (1)下列哪个方程（组）不是“诚意”方程（组）（   ） A．　B．　C．　D． (2)已知关于，的方程组为“诚意”方程组，求正整数的值． (3)为正整数，，当关于的方程是“诚意”方程时，求的最小值． 19．（8分）（某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题． (1)若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶万千米后报废， ①用含有的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量； ②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求的值； (2)若型号轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，安装在后轮行驶万千米后报废，其中，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式： 20．（8分）（已知：等边的边长为． (1)如图1，点P、Q分别是等边的边、上的动点，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，且它们的速度都为，设运动时间为． ①嘉淇认为，在点P、Q运动的过程中，，你认为她的理由是（   ） A．            B．            C．            D． ② ， （用含t的式子表示） ③当为直角三角形时，求t的值． (2)若点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿着射线、运动，当点P在线段上运动时，点P的速度为，点Q的速度为；当点P在线段的延长线上运动时，点P、Q的速度都为，在点P、Q运动的过程中，当时，请直接写出的值． 21．（10分）（综合与实践 根据引入概念，理解应用概念． 经历数学概念的学习过程 引 入 概 念 概念1 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 概念2 连接不等边三角形的一个顶点和它对边上一点的线段，将不等边三角形分成两个小三角形，若一个小三角形为等腰三角形，另一个小三角形与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 问题解决 理 解 概 念 任务1 （1）如图1，在 中，写出图中两对“等角三角形”． ① ; ② ． 任务2 （2）如图2，在中，为角平分线， 证明是的“等角分割线”． 应用概念 任务3 （3）在中，若为的“等角分割线”，写出可能的度数(写出一个即可)． 22．（10分）（阅读材料： （一）若关于，的多项式中不含有项，则的值为__________． （二）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若，求的值． 解：∵，∴，∴． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）【类比应用】 ①若，，则的值为__________． ②若，则__________． （2）【迁移应用】 ①如图，点是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形，正方形，设，两正方形的面积和为40，求的面积． ②若，求的值． 23．（12分）（阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值1． 材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5． (1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”； (2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”； (3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值． 24．（12分）（在中，点D，E分别是边上的动点，连接交于点F． (1)如图1，若度，分别是的角平分线，求的度数． (2)如图2，若度，，且，． ①求的度数； ②探究之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期期末模拟卷（能力提升卷） 人教版 考试范围：七上全册；考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，代数式的值是（   ） A． B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式，代数式求值，将所求代数式展开，利用已知方程变形代入求值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ . 故选：C． 2．如图，，，垂足分别为，，，相交于点，，连接，则图中的全等三角形一共有（    ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 共有四对．分别为，，，，从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法逐个寻找即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴共有四对全等三角形． 故选：C． 3．如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点．连接并延长交于点．若，则的面积是（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】根据基本作图，得平分，过点D作于点E，利用角的平分线性质，三角形的面积计算即可． 本题考查了角的平分线基本作图，角的平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得平分， 过点D作于点E， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，在等腰中，，为延长线上一点，且，垂足为，连接，若，则的面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：过A作于H，过E作于F，   ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：B． 5．如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（    ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形中线等分三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点．设交于点，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得.，推出当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交于点，设交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，△的面积最大，最大面积为． 图中两个阴影部分面积之差的最大值为8， 故选：B． 6．如图，四边形中，，，，四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，过作，交的延长线于，可证，得到，即得是等腰直角三角形，再根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴四边形的面积与的面积相等 ∴， 故选：． 7．对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，正确找到规律是解题的关键．观察式子，发现规律，根据规律化简所求式子即可． 【详解】解：根据题意得， 则， ， 故选：D． 8．若a，b，c，d都是正实数，，，则①，②，③，在这3个结论中，正确的个数为（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，完全平方公式和非负数的性质，熟练掌握相关知识的关键． 由，可得，．利用不等式的性质和完全平方公式，在左边配方成，此时右边为，运用非负数的性质判断的范围，同理②③也可以判断出范围． 【详解】解： ∵，， ∴， 两边同时加上，得， 利用完全平方公式合并，得， ∵，， ∴， ∴， ∵a，b，c，d都是正实数， ∴， ∴，故①正确； 两边同时加上，得， 利用完全平方公式合并，得， ∵，， ∴， ∴， ∵a，b，c，d都是正实数， ∴， ∴，故②正确； 同理可得，③也正确，共3个． 故选：D． 9．设是实数，且，则的值是（　　） A．3 B． C． D．无法确定的 【答案】A 【分析】利用等式的性质对进行变形，并凑出分子“”和“”，得到，最后移项从而得解． 【详解】解：两边同时乘以，得， ， ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，灵活运用分式的运算法则是解题的关键． 10．已知整式，其中为自然数，，，，，为整数，且．下列说法： ①若，且，则满足条件的的值有5个； ②若，且，其中，则满足条件的整式有5个； ③若，，且关于的方程无解，则或． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据整式的定义以及的约束条件，结合题干中的具体条件逐个分析组合解答即可；本题主要考查多项式的系数规律问题，理解题意并列出不等式是解题的关键． 【详解】解：①∵，且， ∴， 又∵为整数，且， ∴，共4个值，①错误； ②∵，且， ∴， 又∵，且， ∴整数解有或或或或5种情况，对应5个整式，②正确； ③∵，， ∴， ∴无解， ∴， 当或时，方程无解， 即当或或时，方程无解，③错误； ∴正确个数为1． 故选：B． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值． 根据得到，进而得到，代入计算即可． 【详解】解：由， 得， 交叉相乘得， 即， 两边除以（，）， 得， 即， ∴， 因此． 故答案为：． 12．已知关于的不等式至少有一个整数解，并且关于的方程有不大于7的整数解，则整数有 个． 【答案】4 【分析】首先解不等式组，得到且，由于至少有一个整数解，因此，即，故（ 为整数）；然后解方程，化简得，且，方程有不大于的整数解，因此且为整数，故，即，同时必须被整除，结合和，满足条件的为，共个． 【详解】解：解不等式组，， ∵该不等式组至少有一个整数解，且的整数解为， ∴，解得，即（为整数）； 解方程，化简得，且， ∵方程有不大于的整数解， ∴且为整数，则， 解得，同时必须被整除， 在和范围内，满足题意的值为，共个，对于每个，不等式组均有整数解（如满足条件），故整数有个， 故答案为4． 13．如图，在中，，点在边上，，点在边上，，若，，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键． 根据等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理和三角形外角的性质，进行计算即可． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 如图，作交于点， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 14．新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续奇数的平方差，并且这两个连续奇数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式、“差方数”，设两个连续奇数为 和 ，其中 为正整数，根据差方数的定义可知，其中为偶数，为整数，根据“差方数”的定义可知，当时，代入求出第个“差方数”即可． 【详解】解：设两个连续奇数为 和 ，其中 为正整数， 则平方差为 ，即 ， 两个连续奇数的和为 ，且必须为某个正整数的平方， 设 ，则 ， 为整数， 必须为偶数， 令，则 ， 代入得 ， “差方数”为 ，其中 为正整数， 第个“差方数”对应， 即 ． 15．我们规定：一个各个数位互不相等且均不为0的四位数，若满足，，则称这个四位数为“八面玲珑数”．则最小的“八面玲珑数”为 ；一个“八面玲珑数”，调换数字得到新数，记，，若为整数，且满足也为整数，则满足条件的为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，数的整除，掌握相关知识是解决问题的关键．四位数最小需高位尽可能小，所以千位a取1，得；剩余数字中十位c取2，得，组成，满足所有条件；用 简化为， 由得，找出S所有可能的值，结合条件是倍数筛选S、T组合 ，用条件验证，得唯一解，对应． 【详解】解∶最小“八面玲珑数”： 四位数需满足，且各数位互不相等、均不为0， ∴千位最小取1，则(且均不为0) ， ∵该数各个数位互不相等， ∴不能为1或7，并要满足且，均不为0， ∴则数对只能是或及其倒序， ∴十位c最小取2，则， ∴最小“八面玲珑数”为； 满足条件的M求解： 设 则， 条件1： 为整数， 则 为整数； 条件2：为整数； ∵， ∴，其中，2，3，5，6，7(排除因，因) ， 故S可能值为， 同理T可能值与S相同，但数字不重复． 结合条件2：为整数，得为的倍数， ∵，且在确保数位互不相等的前提下，在所有可能的S与T的组合中，通过检验，仅有和的组合满足“是的倍数”这一条件， ∴与只能取和， 当时，或当时，； 结合条件1：为整数， 当，时，不被7整除 ； 当，时，能被7整除， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，C是线段上的一点，和都是等边三角形，交于M，交于N，交于O．则①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥是的平分线．其中，正确的有 ． 【答案】①②③④⑤⑥ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．证明≌，可得①正确；即可求得，可得③正确；再证明≌，可得②④正确和，即可证明⑤正确；结合全等三角形的判定与性质及角平分线的判定定理即可求出⑥正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴，，，故①正确，符合题意； ∵， ∴，故③正确，符合题意； 在和中，， ∴≌， ∴，，，故②④正确，符合题意； ∵， ∴是等边三角形，故⑤正确，符合题意； 作于，于，如图所示： 则， 在和中，， ∴≌， ∴， 又∵于，于， ∴是的平分线，故⑥正确，符合题意； 则正确的有①②③④⑤⑥． 故答案为：①②③④⑤⑥． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）（1）解方程：； （2）先化简：，再从1，2，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式（或当时，原式） 【分析】本题考查了解分式方程，分式的化简求值． （1）解分式方程，通过去分母转化为整式方程求解，并检验； （2）先因式分解化简分式，再根据分式有意义的条件选取合适的值代入求值即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘， 得， 整理得， 解得， 检验：当时，， 所以原方程的解为； （2）解：原式 ， ∵，且， ∴且且，从1，2，，中选或， 当时，原式； 当时，原式． 18．（6分）（若一个方程（组）的解为整数，我们称它为“诚意”方程（组）． (1)下列哪个方程（组）不是“诚意”方程（组）（   ） A．　B．　C．　D． (2)已知关于，的方程组为“诚意”方程组，求正整数的值． (3)为正整数，，当关于的方程是“诚意”方程时，求的最小值． 【答案】(1)D (2)2 (3)1 【分析】本题考查“诚意”方程（组）的定义、解二元一次方程组、解分式方程，熟练掌握二元一次方程组及分式方程的解法，正确理解“诚意”方程（组）的定义是解题的关键． （1）分别解各方程（组），判断解是否为整数； （2）解方程组得，根据x为整数，则是10和15的正公约数，且，据此解答即可； （3）将代入分式方程，解得，由于为正整数，方程是“诚意”方程，则是63的正约数，且， 满足的63的正约数有有7，9，21，63，据此解答即可． 【详解】（1）解：选项A、方程的解为，是整数， 选项B、方程组解为，是整数， 选项C、方程解为，是整数， 选项D、方程的解为，不是整数， 则选项D不是“诚意”方程， 故选：D； （2）解：根据题意得 ， 解得， 由于方程组为“诚意”方程组，是正整数， 则是10和15的正公约数，且， ∴， 当，即时，方程组的解为， 因此，正整数的值为2； （3）解：将代入方程得 ， 解得， 由于为正整数，方程是“诚意”方程， 则是63的正约数，且， 63的正约数有1，3，7，9，21，63， 满足的有7，9，21，63， 当，即时，，且分母、； 当，即时，，分母，故舍去； 当，即时，，且分母、； 当，即时，，且分母、， 因此，的最小值为1． 19．（8分）（某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题． (1)若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶万千米后报废， ①用含有的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量； ②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求的值； (2)若型号轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，安装在后轮行驶万千米后报废，其中，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式： 【答案】(1)①该型号轮胎安装在前轮上每万千米的损耗量为，安装在后轮上每万千米的损耗量为；② (2)在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废．理由见解析；该型号新轮胎应行驶万千米后，前后轮胎对调可使得前后轮胎同时报废． 【分析】本题考查分式的运算的应用，分式方程的应用． （1）①把轮胎完好到报废的损耗量看成单位1，根据每万千米的损耗量等于损耗量除以里程即可解答； ②根据“安装在前轮的损耗量＋安装在后轮的损耗量＝1”列出方程，求解并检验即可； （2）B型轮胎在前轮每万千米的损耗量为，在后轮每万千米的损耗量为，当行驶万千米后将前后轮对调，原来在前轮的轮胎还可以行驶路程为万千米，原来在后轮的轮胎还可以行驶路程为万千米，若它们同时报废，则，得到，不合题意，即可解答．设行驶m千米后互换，再行驶n万千米后，两条轮胎同时报废，列出方程组，求解即可． 【详解】（1）解：①该型号轮胎安装在前轮上每万千米的损耗量为， 安装在后轮上每万千米的损耗量为． ②根据题意，得， 解得， 经检验，是该方程的解，且符合题意． （2）解：在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废．理由如下： B型轮胎在前轮每万千米的损耗量为，在后轮每万千米的损耗量为， 当行驶万千米后将前后轮对调， 原来在前轮的轮胎还可以行驶路程为（万千米）， 原来在后轮的轮胎还可以行驶路程为（万千米）， 若它们同时报废，则， 整理，得， ∴，不合题意， ∴在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废． 设行驶m千米后互换，再行驶n万千米后，两条轮胎同时报废，则 解得：， ∴该型号新轮胎应行驶万千米后，前后轮胎对调可使得前后轮胎同时报废． 20．（8分）（已知：等边的边长为． (1)如图1，点P、Q分别是等边的边、上的动点，点P、Q分别从顶点A、B同时出发，且它们的速度都为，设运动时间为． ①嘉淇认为，在点P、Q运动的过程中，，你认为她的理由是（   ） A．            B．            C．            D． ② ， （用含t的式子表示） ③当为直角三角形时，求t的值． (2)若点P、Q分别从顶点A、B同时出发，沿着射线、运动，当点P在线段上运动时，点P的速度为，点Q的速度为；当点P在线段的延长线上运动时，点P、Q的速度都为，在点P、Q运动的过程中，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)①B，②，，③或； (2)或5.6 【分析】（1）①根据等边三角形得和，结合题意得，即可利用证明；②根据题意可得和；③分情况：当时，，有列式求解即可；当时，，有列式求解即可． （2）根据等边三角形求得顶点到对边的距离的为，分当点P在线段上运动时，点Q线段上运动时，有和，根据三角形面积公式列式求解；当点P在线段上运动时，点Q在线段延长线上运动时，有和；当点P在线段延长线上运动时，点Q在线段延长线上运动时，有和，求解即可． 【详解】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，， 又由条件得， 在和中， ∴， 故选：B； ②设时间为，则，， ③当时， ∵， ∴， ∴，得，； 当时， ∵， ∴， ∴， 得，； ∴秒或秒时，为直角三角形； （2）解：∵是边长为等边三角形， ∴， 过点A作交于点D，如图， 则，， ∴顶点到对边的距离的为 当点P在线段上运动时，点Q线段上运动时，如图， ∵点P的速度为，点Q的速度为， ∴，， ∴，解得，不符合题意，舍去； 当点P在线段上运动时，点Q在线段延长线上运动时， ∵点P的速度为，点Q的速度为 ∴，， ∴，解得； 当点P在线段延长线上运动时，点Q在线段延长线上运动时， ∵点P的速度为，点Q的速度为 ∴，， ∴，解得； 综上，或5.6． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质和应用分类讨论思想是解题的关键． 21．（10分）（综合与实践 根据引入概念，理解应用概念． 经历数学概念的学习过程 引 入 概 念 概念1 如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 概念2 连接不等边三角形的一个顶点和它对边上一点的线段，将不等边三角形分成两个小三角形，若一个小三角形为等腰三角形，另一个小三角形与原来三角形互为“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 问题解决 理 解 概 念 任务1 （1）如图1，在 中，写出图中两对“等角三角形”． ① ; ② ． 任务2 （2）如图2，在中，为角平分线， 证明是的“等角分割线”． 应用概念 任务3 （3）在中，若为的“等角分割线”，写出可能的度数(写出一个即可)． 【答案】任务1: 与 是等角三角形；任务见解析；任务 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，等腰三角形的性质； 任务1：先根据题意得出，故，再由，得出，进而可得出结论； 任务2：根据三角形内角和定理计算，由角平分线的定义可知，故可得出是满足有两个角相等的三角形；进而得出与互为“等角三角形”，据此得出结论； 任务3：由题意可知，分种情况求解：①当是等腰三角形，时；②当是等腰三角形，时；③当是等腰三角形，时；④当是等腰三角形，时，分别求出的度数即可． 【详解】解：任务1：， ， ， ， ， ， 与是“等角三角形”． 故答案为：，； 任务：，， ， 为角平分线， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ，， 与是“等角三角形”， 为的等角分割线． 任务3：的度数：或或或．理由如下： 根据题意可知，存在以下四种情况： ①当是等腰三角形，时，，， ； ②当是等腰三角形，时，， ； ③当是等腰三角形，时，， ； ④当是等腰三角形，时，，， 在中，， ， 故：的度数为或或或（任写一个）． 22．（10分）（阅读材料： （一）若关于，的多项式中不含有项，则的值为__________． （二）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若，求的值． 解：∵，∴，∴． 根据上面的解题思路与方法解决下列问题： （1）【类比应用】 ①若，，则的值为__________． ②若，则__________． （2）【迁移应用】 ①如图，点是线段上的一点，分别以，为边向直线两侧作正方形，正方形，设，两正方形的面积和为40，求的面积． ②若，求的值． 【答案】（一）6；（二）（1）①20，②13；（2）①6；5 【分析】（一）先去括号，再合并同类项，然后根据关于，的多项式中不含有项，得到关于的方程求解； （二）（1）①利用完全平方公式将待求式子变形为，再整体代入求值； ②先根据，得到，再将待求式子用完全平方公式展开，适当变形后整体代入求值； （2）①先说明，设，，从而可得，两边平方后整体代入得到，从而可求得，即的面积为6． ②将、看作一个整体，将待求式子利用完全平方公式变形后，再整体代入求值． 【详解】（一）解： 因为关于，的多项式中不含有项， 所以， 所以， 故答案为：6； （二）（1）①解：因为，， 所以， 故答案为：20； ②因为， 所以， 所以， 所以 ． 故答案为：13； （2）①∵以，为边向直线两侧作正方形，正方形， ∴， 设，， 则， 所以， 所以， 又两正方形的面积和为40， 所以， 所以， 所以， 所以， 即的面积为6． ②， ． 【点睛】本题考查了通过对完全平方公式变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，运用完全平方公式进行运算，已知式子的值，求代数式的值，整式的加减中的化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 23．（12分）（阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∵，∴ ∴当时，代数式有最小值1． 材料二：我们定义：若两个关于x的多项式的和为常数，则称这两个多项式互为“和常多项式”，该常数称为它们的“和常值”．例如：，，，则A和B互为“和常多项式”，“和常值”为5． (1)判断多项式与是否互为“和常多项式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出它们的“和常值”； (2)已知多项式，（m，n为常数），且M和N互为“和常多项式”．若N的最小值为2，求M和N的“和常值”； (3)关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为．已知，求式子的最值． 【答案】(1)多项式与互为“和常多项式”，证明见解析，它们的“和常值”为2 (2)2 (3)8 【分析】本题主要考查了新定义，整式的混合运算，完全平方公式，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）计算出的结果，再根据“和常多项式”的定义判断即可； （2）计算出的结果，根据M和N互为“和常多项式”得到含x的项的系数为0，据此可求出m的值，再根据N的最小值为2可求出n的值，进而可得答案； （3）求出的结果，根据“和常多项式”的定义可推出，，根据得到；则可得到，进而可用m表示出，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：多项式与互为“和常多项式”，证明如下： ， ∴多项式与互为“和常多项式”； （2）解： ， ∵M和N互为“和常多项式”， ∴， ∴； ， ∵， ∴， ∵N的最小值为2， ∴， ∴， ∴， ∴M和N的“和常值”为2； （3）解： ， ， ∵关于x的多项式与互为“和常多项式”，和常值为；多项式与互为“和常多项式”，和常值为， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最小值为8． 24．（12分）（在中，点D，E分别是边上的动点，连接交于点F． (1)如图1，若度，分别是的角平分线，求的度数． (2)如图2，若度，，且，． ①求的度数； ②探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见详解 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可得，结合角平分线的定义可知，然后根据三角形外角的定义和性质求解即可； （2）①延长至点，使得，证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，进一步可知，然后证明，进而确定的度数； ②延长至点，使得，连接，过点作，交于点，易得为等边三角形，结合全等三角形的性质以及三角形外角的定义和性质证明，由全等三角形的性质可得，易知，再证明，，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2）①如下图，延长至点，使得， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②，理由如下， 如下图，延长至点，使得，连接，过点作，交于点， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，综合性强，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $