1.1 三角形内角和定理 第4课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形的证明及其应用 第1节 三角形内角和定理 第4课时 多边形的外角和 新版北师大数学八年级数学下册 学习目标 1.结合广场五边形等生活情境,理解多边形外角和的定义,掌握“多边形外角和等于360°”的定理,并能进行证明. 2.能运用内角和与外角和的关系解决多边形边数与角度的计算问题，提升逻辑推理能力. 3.关联多边形内角和、三角形外角等旧知,通过问题链逐步深入,体会 “从特殊到一般”“转化”的数学思想. 教学设计的基本环节 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 问题：小刚绕着五边形公园步道跑一圈,跑步方向改变的角度总和是多少？如果换成六边形、八边形，甚至任意多边形,这个角度总和会变吗？我们如何用数学方法证明这个结论？ 问题1:上节课我们学习了多边形内角和公式,你还记得n边形的内角和是多少吗？五边形的内角和是多少度？ (n−2)×180°；五边形内角和540° 问题2:三角形的一个外角与它相邻的内角是什么关系？ 互为邻补角，和为 180° 4 问题构建 问题3:小刚在五边形步道逆时针慢跑,每次从一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角是哪个角？请在下图上标出这些角,说说你的发现？ 方向改变的角是五边形的外角,即内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角. 5 问题构建 问题4:他每跑完一圈,跑步方向改变的角的总和是多少度？你能先猜一猜,再尝试用学过的知识验证吗？ 根据上节课所学知识,五边形的内角和等于： (5-2)×180°=540°， 图中外角∠1，∠2，∠3，∠4，∠5与内角形成5组邻补角，和为180°，内外角之和等于5×180°=900° 所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360° 问题构建 追问:如果步道是六边形、八边形，跑完一圈方向改变的角的总和还是360°吗？请用同样的方法推导六边形和八边形的外角和. 六边形内角与外角总和6×180°=1080° 内角和：(6−2)×180°=720° 外角和：1080°−720°=360°，验证结论. 八边形内角与外角总和8×180°=1440° 内角和：(8−2)×180°=1080° 外角和：1440°−1080°=360°，验证结论. 猜想:任意多边形的外角和都等于360°. 问题构建 问题5:对于任意n边形（n≥3），你能仿照五边形、六边形、八边形的推导过程,证明它的外角和等于360°吗？ 1.n边形所有内角与外角的总和：n×180° 2.n边形内角和：(n−2)×180° 3.外角和=n×180°−(n−2)×180°=360° 4.结论：多边形的外角和等于360°（与边数无关） 追问：在研究多边形外角和的过程中，你经历了怎样的过程？你有怎样的思考？ 猜想 验证 归纳 从特殊到一般 转化 问题构建 例5 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,它是几边形？ 定理 多边形的外角和等于360° 解:设多边形边数为n,内角和(n−2)×180°，外角和360° 可列方程：(n−2)×180°=3×360° 解得n=8，即八边形. 答:这个多边形是八边形. 追问：解决本例主要应用了什么数学思想？ 方程思想 协作破冰 问题6:如果一个正多边形的每个外角都是45°,这个正多边形是几边形？它的每个内角是多少度？ 边数n=360°÷45°=8（正八边形） 每个内角=180°−45°=135° 追问:你还有其他的计算方法吗？ 1.正多边形的每个内角与外角互为邻补角,因此每个内角135° . 2.多边形内角和公式：内角和=(n−2)×180° 正多边形的内角和也可以表示为:n×每个内角的度数. 可列方程：(n−2)×180°=n×135° 3.解得：n=8 结论：这个正多边形是正八边形，每个内角是135°. 协作破冰 多边形内外角综合大挑战（改编课本p12页第15题） 课堂小组竞赛版任务单 竞赛规则分组:全班分为8个小组,每组6人,取一个响亮的队名.积分:完成基础任务得10分,挑战拓展任务得20分,抢答正确得5 分,错误不扣分. 胜负：竞赛结束时积分最高的小组获得“几何先锋队”称号，并获得小奖品. 第一关：基础任务（必答）题目： 在四边形的四个内角中,最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？请写出完整推导过程. 协作破冰 步骤 探究内容 你的推导（请写在白板上） 1 四边形内角和是多少？ 2 最多能有几个钝角？ 3 最多能有几个锐角？ (4−2)×180°=360° 钝角＞90°,若4个钝角,内角和＞360°,矛盾；3个钝角时,第4个角=360°-3×钝角,可取正数,故最多3个钝角 锐角＜90°,对应外角＞90°;若4个锐角，外角和＞360°,矛盾；3个锐角时,第4个外角=360°-3×外角,可取正数,故最多3个锐角 完成时间:5分钟,完成后举手示意,老师检查并给分. 协作破冰 第二关：抢答挑战（共3题） 1.三角形中最多能有几个钝角？（抢答,5分） 2.五边形中最多能有几个锐角？（抢答,5分） 3.一个多边形的外角和是 360°,它一定是四边形吗？（抢答,5分） 三角形中最多能有几个钝角？ 答案：最多1个钝角 解析：三角形内角和为180°,钝角的定义是大于90°且小于180°.若存在2个钝角,仅这两个角的和就会超过180°,与三角形内角和为180°矛盾.因此,三角形中最多只能有1 个钝角. 教师示范 第二关：抢答挑战（共3题） 1.三角形中最多能有几个钝角？（抢答,5分） 2.五边形中最多能有几个锐角？（抢答,5分） 3.一个多边形的外角和是 360°,它一定是四边形吗？（抢答,5分） 2.答案：最多3个锐角. 解析:任意多边形的外角和恒为360°，锐角的外角是大于90°的角.若五边形有4个锐角,对应的4个外角都大于90°,则这4个外角的和会超过4×90°=360°，与外角和为360°矛盾.若有3个锐角,对应的3个外角各取100°（共300°）,剩下2个外角的和为360°−300°=60°，可以是30°和30°,满足条件.因此,五边形中最多能有3个锐角. 教师示范 第二关：抢答挑战（共3题） 1.三角形中最多能有几个钝角？（抢答,5分） 2.五边形中最多能有几个锐角？（抢答,5分） 3.一个多边形的外角和是 360°,它一定是四边形吗？（抢答,5分） 3.答案：不一定. 解析:多边形外角和的性质是:任意多边形的外角和都恒为360°与边数无关.例如，三角形、五边形、六边形的外角和都是360°,所以外角和360°的多边形不一定是四边形. 第三关：拓展任务（选做,20分） 题目:如果一个多边形的内角中,锐角的个数为k,请你推导出k的最大值与多边形边数n的关系? 巩固拓展 定理 任意多边形的外角和为 360° 内角与外角的关系: 若一个内角是锐角,则它的外角为180°−内角,满足90°＜外角＜180°. 不等式推导:设多边形有k个锐角,这k个锐角对应的外角均大于90°,其余(n−k)个外角均大于0°,所有外角之和为360°,因此：k×90°＜360 °, 化简得:k＜4,由于k是正整数,故k≤3. 结论:对于任意边数n≥3的多边形,其内角中锐角的个数k的最大值为3,与边数n无关. 举例验证： 三角形:最多3个锐角（如等边三角形）. 四边形:最多3个锐角. 五边形:最多3个锐角. 十边形:最多3个锐角。这是因为如果有4 个或更多锐角,对应的4个外角之和就会超过 4×90°=360°，与外角和为360°矛盾. 巩固拓展 积分表 小组名称 基础任务 抢答得分 拓展任务 总积分 🏅颁奖环节竞赛结束后,为积分最高的小组颁发“几何先锋队”奖状,并赠送几何尺套装. 问题7:如果一个多边形的内角和是外角和的k倍（k为正整数），你能写出边数n与k的关系式吗？ (n−2)×180°=k×360°，化简得n=2k+2 当堂检测 第1题图 1.图1是我国古建筑墙上采用的八角形 空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外 之境如同镶嵌于一个画框之中，图2是 八角形空窗的示意图，它的一个外角 ( ) A A. B. C. D. 当堂检测 2.如图，，，，是五边形的4个外角.若 ， 则 ______. 第2题图 当堂检测 3. （1）如图1、图2，试研究其中，与， 之间的数量关系. 解：，，， 是四边形的四个内角， . . ， ， . . 当堂检测 （2）请用文字描述上述关系式. 解：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和. （3）用你发现的结论解决下列问题：如图3，， 分别是四边形 的外角，的平分线， ，求 的度数. 解： ， . ，分别是， 的平分线， ， . . . 反思总结 1.多边形内角和与外角和的核心区别是什么？分别适合解决哪类问题？ 2.生活中哪些场景能用到“多边形外角和为360°”的结论？举 1个例子并说明. 3.如果一个正多边形的每个内角是150°,你能分别用内角和公式和外角和定理两种方法求出它的边数吗？对比一下哪种方法更简便. 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第9页 第1题 二、素养类作业 课本第12页 第15题. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $