第03讲 二次根式的加法与减法（知识详解+9典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版八年级数学下册同步讲义与测试

第03讲 二次根式的加法与减法（知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】可以合并的二次根式 1.可以合并的二次根式：将二次根式化成最简二次根式 后，如果被开方数相同，那么这样的二次根式称为可以合并. 如和，化成最简二次根式是2，所以 和 可以合并.也称为同类二次根式 2. 合并的方法：合并二次根式的方法与合并同类项类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是分配律，如a＋b ＝(a＋b)·(m≥0).可看作二次根式的“系数” 【知识点02】二次根式的加减实质是合并被开方数相同的最简二次根式 1. 二次根式的加减法法则 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 2. 二次根式加减运算的步骤 化—将二次根式化成最简二次根式 找—找出被开方数相同的二次根式 并—合并被开方数相同的二次根式：“系数”相加(减)，作为和(差)的“系数”. 3. 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 根号外的因数(式) 根号外的因数(式)相乘除 根号外的因数(式)相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式 【知识点03】二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、 除、乘方(或开方)的混合运算. 2. 二次根式的混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘 除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的，与整式的混合运算顺序相同. 3. 二次根式混合运算中的运算依据：实数的运算律(交换律、结合律、分配律)、整式的乘法法则和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. 4. 二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 (1)(＋)＝＋； (2)(＋)(＋)＝＋＋＋； (3)(＋)(－)＝()²－()²＝a－b； (4)(±)²＝()²±2＋()²＝a±2＋b； (5)(＋)÷＝＝； (6)(＋)÷(－)＝＝＝. 【题型一】同类二次根式 例1．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）若与最简二次根式可以合并，则m的值为（   ） A． B． C． D． 例2．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知与最简二次根式是同类二次根式，求a的值． 变式1．（24-25八年级下·云南红河·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值为 ． 变式2．（24-25八年级下·上海·假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)和； (2)和． 【题型二】二次根式的加减运算 例3．（23-24八年级下·全国·期中）计算 的结果是（      ） A． B． C． D． 例4．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算 变式1．（24-25八年级下·广东阳江·月考）计算的正确结果是（　　） A．3 B． C．3 D．4 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【题型三】二次根式的混合运算 例5．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）下列计算正确的是( ) A． B． C． D． 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 变式1．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【题型四】分母有理化 例7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知则a与b的关系为（   ） A． B． C． D． 例8．（24-25八年级下·四川泸州·期中）的倒数是 ． 变式1．（24-25八年级下·山东济宁·期中）在二次根式的运算中，一般要求分母中不含二次根式，如果含有二次根式，我们往往可以按照下面的过程进行计算：，这个过程叫做分母有理化．据此判断，下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： (1)计算：______________； (2)计算：______________； (3)计算：． 【题型五】已知字母的值，化简求值 例9．（24-25八年级下·广西玉林·期中）若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 例10．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，求的值． 变式1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，，则代数式的值为 ． 变式2．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【题型六】已知条件式，化简求值 例11．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 例12．（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 变式1．（22-23八年级下·江苏·期末）已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求式子的值． 【题型七】比较二次根式的大小 例13．（24-25八年级下·福建厦门·月考）已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 例14．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 变式1．（24-25八年级下·西藏昌都·期末）比较大小： ．（选填“>”“<”或“=”） 变式2．（24-25八年级下·青海海东·月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【题型八】二次根式的应用 例15．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 例16．（24-25八年级下·四川南充·期末）已知长方形的周长，长和宽分别为a，b，已知，则a的值为 ． 变式1．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·云南临沧·期末）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 【题型九】复合二次根式的化简 例17．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 例18．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为 ． 变式1．（22-23八年级下·河北石家庄·月考）下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 变式2．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 一、单选题 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若，则代数式的值是（       ） A．0 B．1 C． D． 3．若，，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 4．下列根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．如果最简二次根式和能合并，则x的值为（    ） A． B． C．2 D．5 6．若，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 7．估计的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 8．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 9．已知，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 二、填空题 10．化简：= ． 11．若最简二次根式与是同类根式，则= ． 12．若最简二次根式能与合并，则使有意义的条件为 ． 13．的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 ． 14．已知，则 ． 15．若，则的值为 ． 16．观察下列各式：，……，那么如果用字母n（的整数）表示上面的规律应该是 ． 17．当时，多项式的值为 三、解答题 18．计算：． 19．计算：． 20．计算： (1)； (2)． 21．先计算的结果，再确定其结果在哪两个整数之间． 22．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 23．小明计算时，想起分配律，解答的过程如下： 解：原式． 他的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 24．阅读下面计算过程： ； ． 请解决下列问题 (1)______． (2)利用上面的解法，请化简：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二次根式的加法与减法（知识详解+9典例分析+习题巩固） 【知识点01】可以合并的二次根式 1.可以合并的二次根式：将二次根式化成最简二次根式 后，如果被开方数相同，那么这样的二次根式称为可以合并. 如和，化成最简二次根式是2，所以 和 可以合并.也称为同类二次根式 2. 合并的方法：合并二次根式的方法与合并同类项类似，将根号外的因数或因式相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是分配律，如a＋b ＝(a＋b)·(m≥0).可看作二次根式的“系数” 【知识点02】二次根式的加减实质是合并被开方数相同的最简二次根式 1. 二次根式的加减法法则 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 2. 二次根式加减运算的步骤 化—将二次根式化成最简二次根式 找—找出被开方数相同的二次根式 并—合并被开方数相同的二次根式：“系数”相加(减)，作为和(差)的“系数”. 3. 二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别 二次根式的乘除法 二次根式的加减法 根号外的因数(式) 根号外的因数(式)相乘除 根号外的因数(式)相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化为最简二次根式或整式 先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式 【知识点03】二次根式的混合运算 1. 二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、 除、乘方(或开方)的混合运算. 2. 二次根式的混合运算顺序：先算乘方、开方，再算乘 除，最后算加减，如果有括号就先算括号里面的，与整式的混合运算顺序相同. 3. 二次根式混合运算中的运算依据：实数的运算律(交换律、结合律、分配律)、整式的乘法法则和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用. 4. 二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法 (1)(＋)＝＋； (2)(＋)(＋)＝＋＋＋； (3)(＋)(－)＝()²－()²＝a－b； (4)(±)²＝()²±2＋()²＝a±2＋b； (5)(＋)÷＝＝； (6)(＋)÷(－)＝＝＝. 【题型一】同类二次根式 例1．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）若与最简二次根式可以合并，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二根式的定义是解题的关键，根据同类二次根式的定义解题即可． 【详解】解：∵ 与 可以合并， ∴， 解得：． 故选：A． 例2．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知与最简二次根式是同类二次根式，求a的值． 【答案】 【知识点】同类二次根式 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式与最简二次根式的定义，列出方程解答即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得． 变式1．（24-25八年级下·云南红河·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值为 ． 【答案】 1 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，被开方数相同，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得 ． 故答案为：1． 变式2．（24-25八年级下·上海·假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)和； (2)和． 【答案】(1)不是； (2)不是． 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题主要考查二次根式的性质及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键． （1）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案． （2）根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：； ． ∴和不是同类二次根式； （2）解：； ． ∴和不是同类二次根式． 【题型二】二次根式的加减运算 例3．（23-24八年级下·全国·期中）计算 的结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简方法以及二次根式的加减混合运算法则． 先根据绝对值的性质，二次根式的性质化简，再计算加减即可． 【详解】解： 故选：B 例4．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，通过合并同类项即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·广东阳江·月考）计算的正确结果是（　　） A．3 B． C．3 D．4 【答案】C 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的运算即可． 根据二次根式的运算，进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故选：C ． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先去括号，再将二次根式化为最简形式，最后合并同类二次根式； （3）把每个二次根式化简后，合并同类二次根式； （4）先化简各二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解：原式= ． （2）解：原式= ． （3）解：原式= ． （4）解：原式= ． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先将二次根式化为最简形式，再准确合并同类二次根式． 【题型三】二次根式的混合运算 例5．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）下列计算正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加减、乘除和化简．需要根据二次根式的运算法则逐一验证每个选项是否正确．二次根式的运算需遵循运算法则：加减法需合并同类二次根式；乘法为根号内相乘再化简；除法为根号内相除再化简．注意区分有理数和无理数的运算． 【详解】∵对于选项A：，∴A错误． 对于选项B：是有理数与无理数的和，不能直接合并为，且数值不相等，∴B错误． 对于选项C：，∴C正确． 对于选项D：，∴D错误． 故选：C． 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】3 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是灵活运用乘法分配律简化计算，同时熟练掌握二次根式的乘除运算法则． 先利用乘法分配律进行计算，再计算二次根式的除法，最后合并同类项． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ． 故选：B． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则计算，然后合并同类二次根式即可； （2）分别根据二次根式的除法法则和乘法法则计算第一项和第二项，然后进行减法运算即可； （3）先化简，根据乘法分配律计算，计算负整数次幂，然后合并同类二次根式即可； （4）先根据二次根式的除法法则，乘法分配律计算，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【题型四】分母有理化 例7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知则a与b的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分母有理化 【分析】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键．将进行分母有理化，即可判断． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 例8．（24-25八年级下·四川泸州·期中）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数、分母有理化 【分析】本题考查了倒数的定义和分母有理化，要将中的根号去掉，要用． 先写出倒数，再直接分母有理化即可． 【详解】解：的倒数是． 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·山东济宁·期中）在二次根式的运算中，一般要求分母中不含二次根式，如果含有二次根式，我们往往可以按照下面的过程进行计算：，这个过程叫做分母有理化．据此判断，下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查平方差公式，分母有理化，能找出分母的有理化因式是解题的关键． 根据分母有理化计算法则解答即可． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项错误，符合题意； 故选：D 变式2．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）数学课上，邱老师在黑板上给出了如下等式． 第1个等式： ； 第2个等式： ；… 请你根据上述方法完成下列题目： (1)计算：______________； (2)计算：______________； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)2024 【知识点】分母有理化 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化． （1）分母有理化即可； （2）分母有理化即可； （3）利用（2）中的规律将原式变形为，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： 故答案为：； （3）解： ． 【题型五】已知字母的值，化简求值 例9．（24-25八年级下·广西玉林·期中）若，则代数式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键． 由完全平方公式可得，再代入计算即可． 【详解】解：当时 ． 故选C． 例10．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据已知求出和的值，然后利用因式分解进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， ． 变式1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】8 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值．由题意得出，，再将式子变形为，代入计算即可得出答案． 【详解】解：由已知，，， 则， ， ． 故答案为：8． 变式2．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据，将的值代入计算即可得； （2）根据，将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 【题型六】已知条件式，化简求值 例11．（23-24八年级下·全国·假期作业）若，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】已知条件式，化简求值 【解析】略 例12．（23-24八年级下·浙江温州·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】4 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】把代入二次根式求值即可得结果．本题主要考查代数式求值，算术平方根，解答本题的关键要注意二次根式的符号． 【详解】解：根据题意，把代入得： ． 故答案为：4． 变式1．（22-23八年级下·江苏·期末）已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】将化为，将，代入值进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查求代数式的值，将式子进行配方以及采用整体代入法是解题的关键． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求式子的值． 【答案】 【知识点】已知条件式，化简求值 【分析】由非负性可得，，再将二次根式进行化简代入求值即可． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， 原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键． 【题型七】比较二次根式的大小 例13．（24-25八年级下·福建厦门·月考）已知，则下列数中比m大的是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】此题主要考查了二次根式的大小比较．熟练掌握平方法比较二次根式的大小，是解题的关键． 把m平方，四个选项的数分别平方与m平方比较大小，即可得解． 【详解】∵， ∴． A. ，∵，∴； B. 4，∵，∴； C. ，∵，∴； D. ，∵，∴． 故选：D． 例14．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1），， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 变式1．（24-25八年级下·西藏昌都·期末）比较大小： ．（选填“>”“<”或“=”） 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查比较二次根式的大小．通过平方将无理数比较转化为有理数比较，根据平方后的结果判断原数大小即可． 【详解】解：∵，，又， ∴． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·青海海东·月考）综合实践活动课上，老师给出一个结论：对于任意两个正数a，b，若，则．随后讲解了一道例题：试比较与的大小． 解：∵，， 而， ∴． 参考上面例题的解法，回答下列问题： (1)试比较与的大小； (2)试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练的利用平方的方法比大小是解题的关键， （1）先分别求出两个数的平方，再根据平方的大小进行比较即可； （2）先分别求出两个数的平方，然后根据平方的大小进行比较，再利用不等式两边同时加上一个数，不等号方向不变，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型八】二次根式的应用 例15．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用．先根据矩形面积和长求出宽，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，即可作答． 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的宽为， ∵， ，且 ∴， ∴正方形的最大边长为， ∴正方形的最大面积为， 故选：D 例16．（24-25八年级下·四川南充·期末）已知长方形的周长，长和宽分别为a，b，已知，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，长方形的周长等于其长与宽的和的2倍，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是 ，进而求解． 【详解】解：∵第n个二次根式为， ∴当时，， ∴第6个二次根式为； 故选：D． 变式2．（24-25八年级下·云南临沧·期末）根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，在太空中的宇宙飞船内的时间经过秒（千米/秒，v是宇宙飞船在太空中的飞行速度）．若一艘宇宙飞船在太空中的飞行速度是千米/秒，则地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了几分钟？ 【答案】6分钟 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键． 先求出当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内经过的时间，即可求解地面上的时间经过了10分钟时，该宇宙飞船内经过的时间． 【详解】解：依题意，当地面时间经过10分钟即600秒时，， 飞船内经过的时间为秒，即6分钟 答：当地面经过10分钟时，该宇宙飞船内的时间经过了6分钟． 【题型九】复合二次根式的化简 例17．（2024八年级下·全国·专题练习）已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 例18．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）化简的结果为 ． 【答案】5 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确应用完全平方公式是解题关键． 直接利用完全平方公式将根号内部分变形开平方得出答案． 【详解】解： 故答案为：5． 变式1．（22-23八年级下·河北石家庄·月考）下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】根据算术平方根的非负性即可判断． 【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等， ∴第②步推导错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键． 变式2．（24-25八年级下·四川绵阳·月考）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据，比较对应项系数即可． （2）根据，得；根据得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，本题得以解决． 【详解】解： ，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．若，则代数式的值是（       ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】将代入计算求解即可 【详解】当时， 故选：C 【点睛】此题考查了求代数式的值的能力，关键是能准确代入并熟练掌握二次根式的相关计算． 3．若，，则的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式运算、代数式求值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 4．下列根式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先把每个二次根式进行化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可． 【详解】解：A. ，与不是同类二次根式，不符合题意； B. ，与不是同类二次根式，不符合题意； C. ，与是同类二次根式，符合题意； D. ，与不是同类二次根式，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简以及同类二次根式的知识，熟练掌握二次根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键． 5．如果最简二次根式和能合并，则x的值为（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】C 【分析】根据最简根式能合并，那么被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解一元一次方程，熟知同类二次根式的定义是解题的关键． 6．若，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简求值和十字相乘法分解因式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．根据十字相乘法得出，再代入求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 7．估计的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简和计算，无理数的估值，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简和计算法则． 先对二次根式进行化简计算，再对无理数进行估值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴在5和6之间， 故选：B． 8．已知，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键． 先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可． 【详解】解：； 同理，，． ∵， ∴． 故选：A． 9．已知，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简与同类二次根式的合并，掌握将二次根式化为最简形式并合并同类二次根式，结合二次根式有意义的条件求解方程是解题的关键． 本题通过简化方程，将各项转化为的倍数，然后求解． 【详解】解：∵， ，， ∴原方程化为， ∴， 两边平方得， ∴ 故选：C． 二、填空题 10．化简：= ． 【答案】 【分析】进行分母有理化运算即可． 【详解】原式=． 故答案为：+1 【点睛】此题考查分母有理化运算，平方差公式，确定分母与分子的分母有理化因式是解题的关键． 11．若最简二次根式与是同类根式，则= ． 【答案】0 【分析】结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类根式， ∴， 解得：，． ∴． 故答案为：0． 【点睛】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 12．若最简二次根式能与合并，则使有意义的条件为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，合并同类二次根式，算出的值，代入式子，再结合分式的性质，即可求解． 【详解】解：∵，且最简二次根式能与合并， ∴，解得，，把代入得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式，分式有意义的综合，掌握二次根式的性质，分式有意义的条件是解题的关键． 13．的整数部分为a，小数部分为b，则的值为 ． 【答案】 【分析】现将原式计算后进行估算即可． 【详解】解：原式， ∵， ∴， ∴， ∴， 那么， 故答案为： 【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键． 14．已知，则 ． 【答案】8 【分析】此题考查二次根式的性质，已知字母的值求式子的值，根据已知等式及，得到，，由此求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为8． 15．若，则的值为 ． 【答案】11 【分析】此题考查了二次根式的加减运算能力，关键是能正确运用二次根式的性质进行化简、计算．通过对该算式进行化简、计算进行求解． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：11． 16．观察下列各式：，……，那么如果用字母n（的整数）表示上面的规律应该是 ． 【答案】． 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类．分析前面几个等式对应数据之间的内在联系，再归纳总结即可得到规律． 【详解】解：，……， 则规律为， 故答案为：． 17．当时，多项式的值为 【答案】 【分析】本题考查已知字母的值，求代数式的值，根据已知条件，得到，进而得到，将多项式转化为，再代值计算即可，本题的难度较大，关键是将已知式子进行变形，转化． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：. 三、解答题 18．计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键； 先化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算；先将二次根式逐一化简，再根据二次根式加减法则计算即可 【详解】解： 20．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，选择恰当的解题方法，是解答本题的关键． （1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，得到答案． （2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式，得到答案． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 21．先计算的结果，再确定其结果在哪两个整数之间． 【答案】，介于整数6和7之间． 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，无理数的估算，先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求出对应式子的结果，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴其结果在整数6和7之间 22．古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 【答案】能， 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，解题的关键是正确代入公式并计算． 将题目中的已知量代入到公式中计算即可． 【详解】解：，，， ， 故这块菜地的面积约为． 23．小明计算时，想起分配律，解答的过程如下： 解：原式． 他的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确，正确的解答见解析 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 除法没有分配律，所以小明的解法错误；把分母有理化，再把括号内合并同类二次根式，然后根据除法法则运算． 【详解】解：他的解法不正确，正确解答过程为： 原式 ． 24．阅读下面计算过程： ； ． 请解决下列问题 (1)______． (2)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照例题解题过程即可得到结果； （2）利用例题的规律化简各个式子即可得到结果． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，弄清阅读材料中的解题方法是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $