第02讲 二次根式的乘法与除法（知识详解+6典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版八年级数学下册同步讲义与测试

第02讲 二次根式的乘法与除法（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】二次根式的乘法法则 符号语言  ·＝(a≥0，b≥0)此法则成立的条件 文字语言 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 续表 拓展 (1)二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式相乘的情况，即 ··＝(a≥0,b≥0,c≥0) ； (2)乘法交换律、结合律在二次根式的乘法中仍然适. 类比单项式乘单项式，可得 a·c＝ac (b≥0,d≥0)； 【知识点02】二次根式乘法法则的逆用 1. 二次根式乘法法则的逆用：＝·(a ≥ 0， b ≥ 0) 语言叙述：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积. 2. 逆用二次根式乘法法则化简的步骤 (1)将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简时，先化成的形式； (2)利用＝·(a ≥ 0，b ≥ 0)和＝a(a ≥ 0)，将能开得尽方的因数或因式开到根号外，如＝＝3. 拓展：＝··(a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0). 【知识点03】二次根式的除法法则 符号语言 ＝(a≥0，b>0)此法则成立的条件，注意此处b的取值范围与乘法法则中b的取值范围不同 文字语言 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 续表 拓展 (1)二次根式的除法法则可推广到多个二次根式相除的情况，如÷÷＝ (a≥0,b>0,c>0)； (2)类比单项式除以单项式可得a÷c＝(a÷c)(b≥0,d >0,c≠0) 【知识点04】二次根式除法法则的逆用 二次根式除法法则的逆用：＝(a≥0，b>0)必须为正 必须非负 语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 【知识点05】最简二次根式 1. 最简二次根式：满足下面两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 ＝＝2；＝＝a(a ≥ 0,b ≥ 0) 续表 方法 举例 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 若被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形式 (a ≥ 0,b>0,c>0) 被开方数是多项式的要进行因式分解 == 解题通法 将二次根式化成最简二次根式的一般步骤： 3. 分母有理化(拓展) (1)分母有理化：当分母中含有根式时，可根据分式(数)的基本性质化去分母中的根号，这种化去分母中根号的变形叫作分母有理化. (2)分母有理化的方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式)，化去分母中的根号. 分母的有理化因式不唯一，以运算简便为宜. 【题型一】二次根式的乘法 例1．（23-24八年级下·辽宁鞍山·月考）设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 例2．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）计算的结果为 ． 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 变式1．（24-25八年级下·河北沧州·月考）若，，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·福建三明·期中）若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 变式3．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，，．求乙容器的体积； (2)若，，求甲盒子的侧面积 【题型二】二次根式的除法 例4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（   ） A． B． C． D． 例5．（23-24八年级下·河南濮阳·期中） ． 例6．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）小甲同学计算时，想起分配律，于是他按分配律完成了下列计算： 解：原式 ． 小甲同学的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 变式1．（23-24八年级下·山东·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 【题型三】二次根式的乘除混合运算 例7．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 例8．（22-23八年级下·全国·单元测试）计算： ． 例9．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简：． 变式1．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）计算： （其中）． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【题型四】最简二次根式的判断 例10．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 例11．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）请写出一个被开方数不大于5的最简二次根式是 ． 变式3．（24-25八年级下·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【题型五】化为最简二次根式 例12．（24-25八年级下·广东阳江·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 例13．（24-25八年级下·四川自贡·月考）化简的结果是 ． 变式1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）下面所给的二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将化为最简二次根式为 ． 变式3．（24-25八年级下·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)（）； (2)； (3)． 【题型六】已知最简二次根式求参数 例14．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是正整数，是最简二次根式，则可以是 （写出一种情况即可）． 变式1．（23-24八年级下·河南漯河·月考）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 变式2．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 一、单选题 1．计算×﹣5的结果为（    ） A．3﹣5 B．2﹣5 C．6 D．1 2．若某矩形的长为、宽为，则这个矩形面积的值在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 3．若正三角形的边长为，则这个正三角形的周长是（　　） A． B． C． D． 4．墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 5．下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 6．下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若与互为相反数，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 10．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算： ． 12．计算 ． 13．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ． 14．将化为最简二次根式为 ． 15．若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 16．化简 ． 17．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 三、解答题 18．计算 (1)（3﹣）（3+）+（2﹣） (2) 19．计算： (1)； (2)． 20．请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 21．小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解下面的方程： (1)解方程； (2)解方程． 22．小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 二次根式的乘法与除法（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】二次根式的乘法法则 符号语言  ·＝(a≥0，b≥0)此法则成立的条件 文字语言 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 续表 拓展 (1)二次根式的乘法法则可推广到多个二次根式相乘的情况，即 ··＝(a≥0,b≥0,c≥0) ； (2)乘法交换律、结合律在二次根式的乘法中仍然适. 类比单项式乘单项式，可得 a·c＝ac (b≥0,d≥0)； 【知识点02】二次根式乘法法则的逆用 1. 二次根式乘法法则的逆用：＝·(a ≥ 0， b ≥ 0) 语言叙述：积的算术平方根等于积中各个因数或因式的算术平方根的积. 2. 逆用二次根式乘法法则化简的步骤 (1)将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简时，先化成的形式； (2)利用＝·(a ≥ 0，b ≥ 0)和＝a(a ≥ 0)，将能开得尽方的因数或因式开到根号外，如＝＝3. 拓展：＝··(a ≥ 0，b ≥ 0，c ≥ 0). 【知识点03】二次根式的除法法则 符号语言 ＝(a≥0，b>0)此法则成立的条件，注意此处b的取值范围与乘法法则中b的取值范围不同 文字语言 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 续表 拓展 (1)二次根式的除法法则可推广到多个二次根式相除的情况，如÷÷＝ (a≥0,b>0,c>0)； (2)类比单项式除以单项式可得a÷c＝(a÷c)(b≥0,d >0,c≠0) 【知识点04】二次根式除法法则的逆用 二次根式除法法则的逆用：＝(a≥0，b>0)必须为正 必须非负 语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 【知识点05】最简二次根式 1. 最简二次根式：满足下面两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 ＝＝2；＝＝a(a ≥ 0,b ≥ 0) 续表 方法 举例 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 若被开方数是分式，应先将分式的分母化成平方的形式 (a ≥ 0,b>0,c>0) 被开方数是多项式的要进行因式分解 == 解题通法 将二次根式化成最简二次根式的一般步骤： 3. 分母有理化(拓展) (1)分母有理化：当分母中含有根式时，可根据分式(数)的基本性质化去分母中的根号，这种化去分母中根号的变形叫作分母有理化. (2)分母有理化的方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式)，化去分母中的根号. 分母的有理化因式不唯一，以运算简便为宜. 【题型一】二次根式的乘法 例1．（23-24八年级下·辽宁鞍山·月考）设，，则可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 例2．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）计算的结果为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，根据二次根式的乘法法则，，直接计算即可． 【详解】解：，其中已是最简二次根式， 故答案为：． 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算下列各题： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算，解题步骤为：先确定系数的乘积及符号，再将被开方数相乘，最后化简二次根式并计算结果，正确的计算是解题的关键． （1）（2）（3）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 变式1．（24-25八年级下·河北沧州·月考）若，，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘法法则即可求得答案． 【详解】解得：， 故选：B． 变式2．（24-25八年级下·福建三明·期中）若一个无理数a与的积是一个有理数，则a的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算．需要找到一个无理数，使得与的乘积为有理数．由于可化简为，因此应包含的因子，以便与相乘后得到有理数． 【详解】解：取，则，是有理数，满足条件． 故答案为． 变式3．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，，．求乙容器的体积； (2)若，，求甲盒子的侧面积 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式乘法运算的应用，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）利用长方体的体积公式计算即可求解； （2）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得乙容器的体积； （2）解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴， ∴， ∴甲盒子的侧面积为：． 【题型二】二次根式的除法 例4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个长方形的面积为18，其中一条边长为，则相邻边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了长方形面积公式和二次根式的乘法运算，解题关键是利用长方形面积公式建立等式，通过二次根式运算验证选项． 根据长方形面积公式，面积等于长乘以宽，已知面积和一条边长，可求相邻边长． 【详解】解：长方形面积长宽，已知面积为，一条边长为，则相邻边长面积已知边长，即计算： ． 故选：C． 例5．（23-24八年级下·河南濮阳·期中） ． 【答案】3 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：3． 例6．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）小甲同学计算时，想起分配律，于是他按分配律完成了下列计算： 解：原式 ． 小甲同学的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程． 【答案】不正确；见解析 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，掌握其运算法则是关键，根据二次根式的除法运算法则，先算出括号里的式子，再算乘除，由此即可求解． 【详解】解：不正确，正确解答过程为： ． 变式1．（23-24八年级下·山东·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的除法 【分析】本题考查二次根式的运算规则，运用定义判断法，解题关键是准确掌握二次根式的运算性质，易错点是混淆同类二次根式及运算公式，解题思路是依据二次根式的加减、乘除及化简规则逐一分析选项． 【详解】解：选项A：和不是同类二次根式，不能直接相加， ，不符合题意； 选项B：，，不符合题意；    选项C：，，不符合题意； 选项D：， 符合题意； 故选：D． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】先利用完全平方公式计算平方项，再化简根式并计算除法项，最后合并同类项． 此题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握，即可解题． 【详解】解：． 故答案为：． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 【答案】(1) (2)0.27m． 【知识点】二次根式的除法 【分析】（1）已知摆长，直接代入周期公式​​计算即可； （2）已知周期，通过公式变形求解摆长． 【详解】（1）解：已知，，，代入公式： ． （2）解：已知，对公式变形得： 代入、、： ． 【点睛】本题考查了二次根式的实际应用，解题关键是熟练代入公式计算，并根据已知量对公式进行合理变形，同时注意近似值的计算精度． 【题型三】二次根式的乘除混合运算 例7．（24-25八年级下·河北廊坊·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 例8．（22-23八年级下·全国·单元测试）计算： ． 【答案】1 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，按照乘除法混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 例9．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简：． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算与分母有理化，解题关键是通过完全平方公式、分母有理化简化式子，逐步计算得出结果． 先将除法转化为乘法，再通过分母有理化化简式子，逐步计算得出结果． 【详解】解：原式 ． 变式1．（24-25八年级下·全国·课后作业）若，则化简所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式， 故选：C． 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）计算： （其中）． 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题可根据二次根式的乘除运算法则，先将系数部分和根式部分分别进行运算，再结合幂的运算化简结果． 【详解】解：按照二次根式乘除法则，先处理系数部分，再处理根式部分： 系数部分运算：； 根式部分运算：； 化简被开方数：； 因此根式部分结果为：； 将系数与根式部分结合：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练运用二次根式乘除法则，并结合幂的运算化简被开方数． 变式3．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型四】最简二次根式的判断 例10．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列式子是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项． 【详解】解： A、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、，含能开方的因数，不是最简，不符合题意； C、被开方数为质数，不含分母和能开方的因数，是最简二次根式，符合题意； D、 ，含能开方的因数，不是最简，不符合题意； 故选：C． 例11．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）若为最简二次根式，则两位数中的数字可以为 ． 【答案】0或1或3或4或5或7或9 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】解：∵都是最简二次根式，而，，， ∴均不是最简二次根式， 故答案为：0或1或3或4或5或7或9． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐一判断每个二次根式是否为最简二次根式． 【详解】解：根据最简二次根式的定义分析各根式： ①：​，被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意； ②：被开方数不含分母，且和都不能开得尽方，符合最简二次根式的条件，符合题意； ③：被开方数不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的条件，符合题意； ④：被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意． 综上，是最简二次根式的有②③，共个． 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个核心条件，逐一分析被开方数的形式． 变式2．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）请写出一个被开方数不大于5的最简二次根式是 ． 【答案】答案不唯一，如 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的性质，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据二次根式的性质和最简二次根式的概念进行解答即可． 【详解】解：被开方数不大于5的最简二次根式， 可取，答案不唯一． 故答案为：． 变式3．（24-25八年级下·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】最简二次根式的判断、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，理解最简二次根式并正确求解是关键． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 【题型五】化为最简二次根式 例12．（24-25八年级下·广东阳江·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】化为最简二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是最简二次根式，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：A． 例13．（24-25八年级下·四川自贡·月考）化简的结果是 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键． 【详解】解：． 故答案为： 变式1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）下面所给的二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断、化为最简二次根式 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，考查了对最简二次根式“被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”这两个条件的运用． 根据最简二次根式的定义：被开方数的因数不含能开得尽方的数；分母不含根号．逐一分析各选项即可． 【详解】选项A：，被开方数含分母，需分母有理化为，不符合最简条件． 选项B：，被开方数含分母，需有理化为，不符合最简条件． 选项C：，被开方数，不含可开方因数，符合最简条件． 选项D：，含可开方因数，可化简，不符合最简条件． 故选：C． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将化为最简二次根式为 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不含能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式． 【详解】解：先把化为分数：，则． 根据二次根式的性质，将分母有理化： ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了最简二次根式的化简，解题关键是先将小数化为分数，再通过分母有理化，把被开方数化为不含分母的形式，得到最简二次根式． 变式3．（24-25八年级下·上海·假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式： (1)（）； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴． 【题型六】已知最简二次根式求参数 例15．（25-26八年级下·全国·课后作业）若是正整数，是最简二次根式，则可以是 （写出一种情况即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，， 是最简二次根式，符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 变式1．（23-24八年级下·河南漯河·月考）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 变式2．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【详解】解：依题意，， 解得：， 且，符合题意， 故答案为：． 一、单选题 1．计算×﹣5的结果为（    ） A．3﹣5 B．2﹣5 C．6 D．1 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法法则即可得． 【详解】解：原式， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键． 2．若某矩形的长为、宽为，则这个矩形面积的值在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小．先利用二次根式的乘法法则求矩形的面积，然后利用夹逼法估算无理数的大小，即可得出矩形面积的取值范围． 【详解】解：矩形的面积， ， ， 矩形面积的值在3与4之间， 故选：B． 3．若正三角形的边长为，则这个正三角形的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正三角形的性质，二次根式的乘法，正三角形的周长等于其边长的3倍．题目中给出边长为，因此周长可直接通过边长乘以3计算得出． 【详解】解：正三角形的三条边长度相等，因此周长为：． 故选：A． 4．墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】D 【分析】根据二次根式的除法运算法则即可得出答案． 【详解】∵， ∴墨迹覆盖的运算符号是“”， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握和运用二次根式的除法法则是解决本题的关键． 5．下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的定义（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A. 不属于最简二次根式，本选项不符合题意；     B. 不属于最简二次根式，本选项不符合题意；     C. 不属于最简二次根式，本选项不符合题意；     D. 属于最简二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 6．下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质，逐一分析各式的成立条件解答即可． 本题考查了二次根式的公式计算的使用条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：① ：当且时成立， 故①错误； ② ：当且时成立， 故②错误； ③ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立；故③正确； ④ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立， 故④正确． 综上，正确的有③和④，共2个． 故选：B． 7．下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、二次根式的性质、二次根式的乘法，根据求一个数的算术平方根、二次根式的性质、二次根式的乘法的运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、没有算术平方根，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 8．若与互为相反数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用相反数的含义可得，再利用非负数的性质求解、 从而可得答案. 【详解】解： 与互为相反数， 且 解得：，， 故选：A 【点睛】本题考查的是非负数的性质，算术平方根的含义，二次根式的除法运算，利用非负数的性质求解，，是解本题的关键. 9．小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的乘除法法则，逐一验证每个等式的正确性． 【详解】解：对于①： ∵ ，∴ ①正确； 对于②：∵ 当时， ，∴ ②正确； 对于③：∵ 当时，， ∴ ③正确； 对于④：∵ = ，∴ ④错误； 因此，做错的是④． 故选：D． 10．下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式各项利用二次根式的乘除法则计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：∵ 在实数范围内，平方根的被开方数必须大于等于0. A、，成立，符合题意； B、，但右边无意义，不成立，不符合题意； C、和无意义，不成立，不符合题意； D、，不成立，不符合题意； 故选：A. 二、填空题 11．计算： ． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的除法运算法则即可求解． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的除法运算．分母有理化是解题的关键． 12．计算 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的乘法运算．利用平方差公式计算二次根式的乘法即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：2． 13．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“整数”进行求解． 先将化简为10，可得n最小为3，即可求解． 【详解】解：∵10，且为整数， ∴n最小为3. 故答案为：3． 14．将化为最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】先将小数化为分数，再根据二次根式的性质，把被开方数化为不含分母且不含能开得尽方的因数的形式，得到最简二次根式． 【详解】解：先把化为分数：，则． 根据二次根式的性质，将分母有理化： ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了最简二次根式的化简，解题关键是先将小数化为分数，再通过分母有理化，把被开方数化为不含分母的形式，得到最简二次根式． 15．若最简二次根式和可以合并，则的值为 ． 【答案】2 【分析】能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 所以， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握被开方数相同的最简二次根式称是同类二次根式成为解答本题的关键． 16．化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 将除法运算转化为乘法运算，利用平方根的性质进行简化． 【详解】解：原式 = 由于除以一个数等于乘以它的倒数， ∴原式 = 又∵ ， ∴ ∴原式 = 而 ， ∴原式 = 故答案为：． 17．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有 个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 三、解答题 18．计算 (1)（3﹣）（3+）+（2﹣） (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）首先运用运用平方差公式、乘法分配律、根式乘法法则进行计算，再进行加减运算； （2）首先对二次根式进行化简、合并同类项、然后进行二次根式的除法运算． 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查了实数的混合运算、平方差公式、二次根式化简、二次根式的乘除法，解答本题的关键是熟练掌握以上运算法则进行计算即可． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先运算乘法，然后化简二次根式即可； （2）先运算二次根式的乘除法，然后化为最简二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． 【详解】（1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 21．小明在解方程时采用了下面的方法： 由，又有可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解下面的方程： (1)解方程； (2)解方程． 【答案】(1) (2)x=3 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意求解即可． 【详解】（1）解： =- = =32 ∵， ∴-=32÷16=2， ∴， ∴ ∵=92=81， ∴， 经检验都是原方程的解， ∴方程的解是：； （2）解： = = =8x， ∵+=4x， ∴-=8x÷4x=2， ∴ ∴， ∵， ∴4x2+6x﹣5=4x2+4x+1， ∴2x=6， 解得x=3， 经检验x=3是原方程的解， ∴方程+=4x的解是：x=3． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，求平方根的方法解方程，解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的运算及乘法公式是解题的关键． 22．小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 【答案】(1)9；1；． (2) 【分析】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）依据题意，由、，则，，又，则可求出m，n，进而完成解答； （2）解法一：依据题意，由，从而， 则，故，然后整理后求解即可． 解法二：设，由题意得，，计算可得，进而可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 联立，解得： ∴． ∴． 故答案为：9；1． （2）解法一：∵， ∴， ∴， ∴． ∴，解得：． 经检验：是原方程的解． 解法二：设， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得：． 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $