第02讲 等腰三角形（知识详解+14典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步讲义与测试

第02讲 等腰三角形（知识详解+14典例分析+习题巩固） 【知识点01】等腰三角形的性质定理 1.性质定理1 等腰三角形的两底角相等。这一定理可简述为：“等边对等角”。 2. 性质定理2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。（简述为“三线合一”） 3. 等腰三角形中特殊线段的性质 （1）等腰三角形两底角的平分线相等； （2）等腰三角形两腰上的中线相等； （3）等腰三角形两腰上的高线相等。 【知识点02】等边三角形的性质定理 1.性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 2. 等边三角形的其他性质 (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形是轴对称图形，它有 3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (3)等边三角形各边上的高、中线及各角的平分线互相重合，且长度相等 . 【知识点03】等腰三角形的判定定理 1.判定定理 判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。这一定理可以简述为：等角对等边。 2. 等腰三角形的性质定理与判定定理的异同 相同点： 使用的前提都是“在同一个三角形中” . 不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它们所对的边相等，是等腰三角形的判定。 【知识点04】反证法 1. 概念 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法. 2. 用反证法证明命题的一般步骤 （1）反设：假设命题结论不成立。 （2）归谬：从假设出发，通过演绎推理，推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果。 （3）定论：由矛盾说明假设不成立，进而得出原结论正确。 3. 运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式 结论词 是 都是 大(小)于 能 相等 至少有一个 至多有一个 负数 否定形式 不是 不都是 不大(小)于 不能 不相等 一个也没有 至少有两个 非负数 【知识点05】等边三角形的判定定理 1. 判定定理 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 . 2. 判定定理 2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形 . 证明等边三角形的思维导图： 【知识点06】含 30°角的直角三角形的性质 1. 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 几何语言：如图1.2-6，在 Rt △ ABC 中 ， ∵∠ C=90°，∠ A=30°，∴ BC= AB. 2. 作用 证线段的倍分关系和求线段的长度 . 【题型一】等边对等角 例1．（24-25八年级下·贵州毕节·月考）是等腰三角形，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形两底角相等，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D 变式1．（22-23八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，平分的外角，则 度． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质推出，根据三角形外角性质得到，根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分的外角， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·安徽宿州·月考）已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的倍少，求顶角的度数． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 设该等腰三角形的一个角为，则另一个角为，再分两种情况讨论如下：当该等腰三角形的顶角为时，则底角为，由三角形内角和定理得，由此解出，即可得出顶角度数；当该等腰三角形的顶角为时，则底角为，由三角形内角和定理得，由此解出，即可得出顶角度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在等腰三角形中，有一个角比另一个角的倍少， 设该等腰三角形的一个角为，则另一个角为， 再分两种情况讨论如下： 当该等腰三角形的顶角为时，则底角为， 由三角形内角和定理得：， 解得：； 当该等腰三角形的顶角为时，则底角为， 由三角形内角和定理得：， 解得：， ． 综上所述：该等腰三角形的顶角是或． 【题型二】三线合一 例2．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、三线合一 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，，是的角平分线，则的长为 ． 【答案】7 【知识点】三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答． 【详解】解：，是的角平分线， ， 故答案为：7． 变式2．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，点，都在边上，且．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】三线合一、等边对等角、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】解法一：过点A作交于点．根据“等腰三角形三线合一”可得，，进而可得 ； 解法二：根据等边对等角可得，，进而可得，再根据证明即可得． 本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键， 【详解】猜想：； 解法一：过点A作交于点． ，， ． ，， ， ， ． 解法二：， ， ， ， ， 即． 在和中 ， ， ． 【题型三】等边三角形的性质 例3．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由是等边三角形，则，又，所以，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：． 变式1．（24-25八年级下·湖南湘西·月考）图中的三十六个小等边三角形面积都等于2，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查等边三角形的性质，关键是想到外围的两个三角形放在一起构成一个平行四边形． 、和是全等的，其中两个三角形放在一起得到一个平行四边形，求出平行四边形的面积，得到的面积的面积的面积，即可得到的面积． 【详解】 解：由题意，可知：， ∴、和是全等的，其中两个三角形放在一起得到一个平行四边形， 这样的平行四边形的面积个小等边三角形的面积的和， 的面积的面积的面积， 的面积， 的面积， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连结并延长，交于点．求证：点是的中点要求：全等最多使用一次 【答案】见解析 【知识点】等边三角形的性质、三线合一、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及等腰三角形三线合一的性质，证明三角形全等是解题的关键．由等腰三角形，等边三角形的性质可以证明，可得，根据等腰三角形底边三线合一即可解题． 【详解】证明：， ， 和为等边三角形， ， ， 即， ． 在和中， ， ， ， 即平分， 又， ， 即为的中点． 【题型四】根据等角对等边证明等腰三角形 例4．（24-25八年级下·云南临沧·期中）下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意； B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意； C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意； D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意． 故选：D． 变式1．（22-23八年级上·山东青岛·期末）如图，已知一块四边形草地，其中，，，，则这块土地的面积为 ．    【答案】 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】分别延长交于点，证明和是等腰直角三角形，然后求出和的面积即可． 【详解】解：如图，分别延长交于点，   ，， ， ， m，m， m，m， ，， 这块土地的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过作辅助线，构造新的直角三角形，利用土地的面积来求解． 变式2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【题型五】根据等角对等边证明边相等 例5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得，，，如图，据此可求得之间的距离为（    ） A． B． C． D．30 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长度是解此题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴AB＝， 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，，把向右平移4个单位至，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，等角对等边． 根据等角对等边求出，根据平移的性质得到，，同理可得，根据图中阴影部分的面积计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵把向右平移4个单位至， ∴，， ∴， 同理可得， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，过点作，交于点，连接，若，求证：． 【答案】见解析 【知识点】根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可得，得到，由得到，即可得到结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 【题型六】根据等角对等边求边长 例6．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．先判定是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ． 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·四川成都·月考）如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边求边长 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，延长到点，使，连接，而，，可根据“”证明，得，，因为，，所以，则，于是得到问题的答案，掌握知识点的应用，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长到点，使，连接， ∵点是边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，，是高．若，，求的长． 【答案】 【知识点】根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了利用勾股定理解三角形；先证明是等腰直角三角形，求出，再在中利用勾股定理即可求出. 【详解】解：， ． 是的高， ， ． 在中，． ． ． ． 在中，． ． 【题型七】等腰三角形的性质和判定 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）若等腰三角形的顶角为，腰长为，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】先通过作辅助线将等腰三角形转化为直角三角形，利用等腰三角形性质求出底角和高的长度，再运用勾股定理计算底边一半的长度，最后得出底边长； 本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 等腰三角形顶角为，腰长， ∴ 底角． 作高，则； 在中，， ∴（角邻边为斜边的）， ∴. 故选：B． 变式1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，于点D．若的周长为20，，则的长为 ． 【答案】8 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定等知识，根据题意添加辅助线，构造等腰三角形是解题关键．在上取点E，使，分别证明，，即可求出，则﹒ 【详解】解：如图，在上取点E，使， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为20， ∴﹒ 故答案为：8 变式2．（22-23八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型八】格点图中画等腰三角形 例8．（2025·陕西渭南·一模）在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的定义在格点上分以为腰和底进行求解即可． 【详解】解：如图， ∴使得为等腰三角形的点有4个； 故选D． 变式1．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有 个． 【答案】3 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以①为底，②为腰，A为顶角顶点，③为腰，B为顶角顶点，这三种情况构造等腰三角形，即可找出点C． 【详解】解：①以为底，作的垂直平分线，可找出格点C一个，如图所示： ②为腰，以A为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： ③为腰，以B为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： 综上所述，点C的个数有3个， 故答案为：3． 变式2．（24-25八年级下·吉林松原·月考）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点．线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中，找一格点，使是面积为3的等腰三角形； (2)在图②中，找一格点，使是面积为4的等腰三角形； (3)在图③中，找一格点，使是面积为5的等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】格点图中画等腰三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识． （1）画一个底为2，高为3的等腰三角形即可； （2）画一个底和高都为的等腰三角形即可； （3）画一个底和高都为的等腰三角形即可． 【详解】（1）解：如图①所示，即为所求； （2）解：如图②所示，即为所求； （3）解：如图③所示，即为所求． 【题型九】直线上与已知两点组成等腰三角形的点 例9．（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【知识点】直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，先以A点为圆心，为半径作弧交直线l于点、，再先以B点为圆心，为半径作弧交直线l于点，最后作的垂直平分线交直线l于点． 【详解】解：如图，点为所作， 故答案为：A． 变式1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线运动，当为等腰三角形时，其底边的长为 ． 【答案】或或 【知识点】直线上与已知两点组成等腰三角形的点、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得的值，根据等腰三角形的顶点分三种情况讨论，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：由勾股定理可知：，分类讨论： ①为等腰三角形的顶点时，有， 即以点为圆心，为半径的圆，点在的延长线上，如图所示， 此时的底边； ②为等腰三角形顶点时，有， 即以点为圆心，为半径的圆，点在的延长线上，如图所示， 此时的底边为，， 在中，； ③为等腰三角形顶点时，有，如图所示， 此时点在线段的垂直平分线上，的底边为， 综上所述，当为等腰三角形时，这个三角形的底边的长为或或． 故答案为：或或． 变式2．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【答案】(1) (2) 【知识点】直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下：    当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下：    当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为： 【题型十】反证法证明中的假设 例10．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）用反证法证明“同一平面内，，则”时，第一步应先假设（   ） A．不平行于 B．不平行于 C． D． 【答案】A 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查的是反证法，解此题的关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“同一平面内，，则”时，第一步应先假设不平行于， 故选：． 变式1．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）“证明：同位角不相等，两直线不平行”，用反证法证明这个结论时，应先假设 ． 【答案】两条直线平行 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：“证明：同位角不相等，两直线不平行”，用反证法证明这个结论时，应先假设两条直线平行． 故答案为：两条直线平行． 变式2．证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于． 【答案】证明见解析 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】当条件较少，无法直接证明时，可用反证法证明；先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立． 【详解】证明：要证明在三角形中，至少有一个内角大于或等于， 那么假设在一个三角形中没有一个角大于或等于60°，即都小于； 那么，这个三角形的三个内角之和就会小于； 这与定理“三角形的三个内角之和等于”相矛盾，原命题正确． 【点睛】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【题型十一】用反证法证明命题 例11．（24-25八年级下·福建三明·期中）已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 【答案】C 【知识点】用反证法证明命题 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 先要假设每个数大于，则四个正数的和大于1，即可证明结论． 【详解】解：先要假设每个数大于， 则四个正数的和大于1， 与已知已知四个正数的和等于1矛盾， 故至少有一个数不大于， 故选：C． 变式1．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设 ． 【答案】 【知识点】用反证法证明命题 【分析】根据反证法的特点，假设结论的相反意义成立即可． 【详解】在中，若，则，则应假设， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反证法，正确理解反证法的证明思想是解题的关键． 变式2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）用反证法证明：已知中，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】用反证法证明命题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了反证法，三角形内角和定理，根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可，掌握反证法的步骤是解题的关键． 【详解】证明：假设 ∵ ∴ ∵ 又因为：在一个三角形中，三个内角和为180度， ∴不可能有两个内角和大于或等于180度 ∴假设矛盾 ∴假设不成立 ． 【题型十二】等边三角形的判定 例12．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 变式1．（24-25八年级下·山西太原·期中）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 使等腰成为等边三角形． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】等边三角形的判定 【分析】本题考查的是等边三角形的判定，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得答案. 【详解】解：∵为等腰三角形，， ∴为等边三角形； 故答案为：（答案不唯一） 变式2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，与交于点M，，，，若，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【知识点】等边三角形的判定、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定．先证明，得到，进而有，进而由即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【题型十三】等边三角形的判定和性质 例13．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，与交于点，且，，一个微型机器人由点按的顺序循环移动，当微型机器人移动了时，它停在了（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，规律探究，先证明，是等边三角形，可得，结合微型机器人每移动循环一次，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∵一个微型机器人由点按…的顺序循环移动， ∴每移动循环一次， 而， ∴当微型机器人移动了时，它停在了点处． 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·福建宁德·月考）在中，，，，则 ． 【答案】3 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质．掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 由和，可判定是等边三角形，从而． 【详解】解：∵在中，，， ∴（等边对等角）， ， 是等边三角形（三个角都是的三角形是等边三角形）， ． 故答案为：3． 变式2．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，，，已知四边形的周长为30． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)8 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用等边三角形的性质以及勾股定理，本题属于中等题型． （1）连接，先求出，设，则，利用勾股定理可求出的长度，从而可求出答案． （2）过点D作于点E，根据等边三角形的性质可求出，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接, ∵，， ∴是等边三角形. ∴， ∵， ∴， ∵四边形的周长为30， ∴，即， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得 ∴； （2）解：如图，过点D作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴ ． 【题型十四】含30度角的直角三角形 例14．（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，则的中线的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三线合一、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了含的直角三角形的性质．熟知“三线合一”，“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键． 根据三线合一得，由含角的直角三角形的性质即可得到解答． 【详解】解：∵中，， ∴． ∵是的中线， ∴． ∴． ∴． 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）在中，若，，，则的面积为 ． 【答案】 或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理及三角形的面积公式，过点B作AC边上的高构造直角三角形是解决本题的关键．过点作，在中先求出、，再在中求出，最后求出的面积． 【详解】解：①如图所示： 当为钝角时，过点作，垂足为． 在中，，， ，． 在中，，， ． ． ②如图所示： 当为钝角时，过点作，交的延长线于点． 在中，， ，． 在中，，， ． ． 故答案为：或． 变式2．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 一、单选题 1．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC= (　 　) A．6 B．6 C．6 D．12 【答案】A 【分析】根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°， ∴BC=AB=6， 故选：A． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 2．用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设． 故选：A． 3．在一个等腰三角形中，其中一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分度数为的角为底角和顶角两种情况，结合等腰三角形的两底角相等，三角形内角和为分类讨论求解即可． 【详解】解：当度数为的角为底角时，则顶角的度数为， 当度数为的角为顶角时，则顶角的度数为， 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为或， 故选：D． 4．如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 证明和全等得，进而根据等腰三角形“三线合一”性质得，，据此可对选项A，进行判断；再根据，得，据此可对选项D行判断；由于根据已知条件无法判定，由此即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， ， 是等腰三角形， 又是等腰的顶角的平分线， ，， 故选项A，B正确，不符合题意； ， 是等腰三角形， 又， ， 故选项D正确，不符合题意； 根据已知条件无法判定， 选项C错误，符合题意． 故选：C． 5．如图，在中，，，，垂足为，的平分线交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，根据等腰直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∴, ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求得是解题的关键． 6．在平面直角坐标系xOy中，已知点，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】如果为等腰三角形的腰，有两种可能，以为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，以为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点；如果为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点；符合条件的点一共4个． 【详解】解：分情况进行讨论： 当为等腰三角形的腰时，以为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，以为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 符合条件的点一共4个． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与轴的交点，比较形象易懂． 7．如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（   ） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】先证明，得到，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在等边三角形中，是边上的中线， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得： , ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 8．如图，在三角形中，，的平分线交于点D，垂直的延长线于点E．若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】延长，两线交于点F，证明，再证明，利用等腰三角形的性质解答即可． 本题考查了直角三角形的全等判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：延长，两线交于点F， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 解得， 故选：B． 9．如图，点是内一点，连接、、，其中，平分，若，，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交于点，由三角形角平分线的定义可得，利用可证得，于是可得，，，由三角形外角的性质可得，则，进而可得，由等角对等边可得，再根据即可求出的长． 【详解】解：如图，延长，交于点，    ， ， 平分， ， 又， ， ，，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等角对等边，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中有两条直线：：，：，对点作如下操作．第1步，作点关于的对称点；第2步，作关于的对称点；第3步，再作关于的对称点；第4步，再作关于的对称点以此类推，问：点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点，得出，进而推出，，证明和是等边三角形，于是得出，，根据轴对称变换，分析、、、、，和坐标轴的夹角，得出，利用含度角的直角三角形的性质，得出，然后根据勾股定理得出，据此即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点， ∴轴，轴，， ， ， ， ， ∴， ， 和是等边三角形， ∴，， ∴第1步，作点关于的对称点落在轴上， 第2步，作关于的对称点落在轴上， 第3步，作关于的对称点，和轴的夹角， 第4步，作关于的对称点，和轴的夹角， 继续作关于的对称点，和轴的夹角，即， ∴， ， ∴点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——轴对称是解题的关键． 二、填空题 11．如图，在中，，，．则 ． 【答案】 【分析】直接根据含的直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质，熟知所对的直角边等于斜边的一半是解本题的关键． 12．如图，，均为等边三角形，连接，交于点，与交于点，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，由等边三角形的性质可得，，，再证明得出，结合即可得出． 【详解】解：∵，均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，中，，，为中一点，，，则线段的长是 . 【答案】6 【分析】作的平分线，交的延长线于点D，连接，由等边对等角得到，再推出，得到，然后可证，最后证，即可得． 【详解】解：如图，作的平分线，交的延长线于点D，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ∴， ∴， ∴， 在与中， ∴ ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用，作辅助线构造全等三角形是解决本题的关键． 14．如图，两直线m与n相交于点A，它们相交所成的锐角等于15°，若点B是直线n上一定点满足AB＝18，点D、C分别是直线m、n上的动点，则DB＋DC的最小值＝ . 【答案】9 【分析】先利用轴对称作出点B关于直线m的对称点，再利用垂线段最短得到它的最小值等于线段的长，最后利用直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：如图，作B点关于直线m的对称点E，作直线， ∴，， 过点E作，垂足为点F，交直线m于点H， 则当C点位于点F，D点位于点H时，的值最小，等于， ∵， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短、含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是牢记并灵活运用相关概念． 15．如图，已知直线交轴负半轴于点A，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、含30度角的直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．分类讨论思想的运用是解题的关键． 令，可得，令，可得，利用勾股定理求出，可得，分两种情况考虑：①C点在x轴正半轴；②C点在x轴负半轴．分别计算出、度数，两个角的和差即为所求度数． 【详解】解：直线交轴负半轴于点A，交轴于点， 令，则，解得， ， 令，则， ， ， ， ， 取斜边的中点D，连接， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴． ，， ， ， 如图，分两种情况考虑： ①当点C在x轴正半轴上时，， ； ②当点C在x轴负半轴上时，， ． 故答案为：或. 16．如图，在平行四边形中，，的平分线分别交AD于点E，F．若，，则BE的长为 ．（用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】过点E作，，得到，，根据平行四边形的性质得到，推出四边形与四边形都是平行四边形，推出，，根据角平分线的定义得到，，推出，得到，推出，根据，推出，推出，得到，根据勾股定理得到． 【详解】过点E作，， 则，， ∵中， ， ∴四边形与四边形都是平行四边形， ∴，， ∵BE平分，CF平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形，角平分线，等腰三角形，勾股定理等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握平行四边形性质和判定，角平分线定义，等角对等边，勾股定理解直角三角形． 17．如图，等边的边长为6，点是边上一点，，、是边上两个动点且，连接、，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质，如图，过点作于点，作且，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，当在上时，四边形的周长最小．证明，过点作交的延长线于点．设交于点．求出即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，作且，作点关于的对称点T，连接交于点P，连接，，，，， ∵作且， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵作点关于的对称点T， ∴， ∴， ∴四边形的周长， ∴当在上时，四边形的周长为，此时周长最小， 是等边三角形， ， ，， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 过点作交的延长线于点，设交于点，则，， ，， ， ， ∴四边形的周长的最小值， 故答案为：12． 三、解答题 18．已知：如图，在中，D，E分别是上的点，，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】利用平行线的性质和，得到，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定．熟练掌握两直线平行，同位角相等，以及等角对等边，是解题的关键． 19．如图，已知D是△ABC的边BC上一点，AB＝AC＝BD，AD＝CD，求∠B的度数． 【答案】36° 【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B． 【详解】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵CD＝DA， ∴∠C＝∠DAC， ∵BA＝BD， ∴∠BDA＝∠BAD， ∵∠ADB=∠C+∠CAD， ∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B， 又∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°， ∴5∠B＝180°， ∴∠B＝36°． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用． 20．如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定． （1）由平行证明，由等量代换得到，利用平行线的判定“内错角相等，两直线平行”证明，即可证明； （2）利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，据此即可得到是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰直角三角形． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 21．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，且CE＝BD，连接DE交BC于点F． (1)求证：EF＝DF； (2)如图2，过点D作DG⊥BC，垂足为G，求证：BC＝2FG． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）过点D作DM∥AC，则∠ACB=∠DMB，∠DMF=∠ECF，进而可得：CE=MD，可证得∆DMF≅ ∆ECF，即可得到结论； （2）过点D作DM∥AC，由（1）得∆DMF≅ ∆ECF，可得到MF=CF，根据等腰三角形三线合一，可得：BG=MG，进而可得到结论． 【详解】（1）证明：过点D作DM∥AC，如图， ∴∠ACB=∠DMB，∠DMF=∠ECF， ∵AB＝AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B=∠DMB， ∴BD=MD， ∵CE＝BD， ∴CE=MD， 在∆DMF和∆ECF中， ∵， ∴∆DMF≅ ∆ECF（AAS）， ∴EF＝DF； （2）证明：过点D作DM∥AC，如图， 由第（1）题得：BD=MD，∆DMF≅ ∆ECF， ∴MF=CF， ∵DG⊥BC， ∴BG=MG（等腰三角形三线合一）， ∴BC=BM+CM=2(GM+FM)=2FG， 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理以及等腰三角形的性质定理，添加合适的辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． 22．【综合运用】如图，在中，，点在内，连接，，是等边三角形，点在外，，． (1)求的度数； (2)证明：． (3)连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，得出，，利用证明，得出，结合周角为，计算角度即可； （2）根据等边三角形的性质，得出，，结合，推出，利用证明即可； （3）根据等边三角形的性质，得出，计算得出是直角，，根据“度角所对的直角边等于斜边的一半”，求出的长，根据（2）得，则，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，由（1）得， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由（2）得， ∴． 23．（1）如图①．已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段、与之间的数量关系是______；      （2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，根据“”证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形得到； （2）根据，得到，由定理证明，根据全等三角形的性质得到，，得出结论； （3）根据，得到，，证明，得到，，求出，根据等边三角形的判定定理得到答案． 【详解】解：（1）．理由：如图1， 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）（1）中结论成立， 理由如下：如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）结论：是等边三角形． 理由：如图3，由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24．【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围． 小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE． 在△ABD与△ECD中 ∴△ABD≅△ECD（SAS） ∴AB＝　 　． 又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5， ∴　 　＜AE＜　 　． 又∵AE＝2AD． ∴　 　＜AD＜　 　． 【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为 　 　．（直接写答案） 【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP． 【答案】观察发现：EC，2，12，1，6；探索应用：17；应用拓展：见解析 【分析】观察发现：由“SAS”可证△ABD≌△ECD，可得AB=EC，由三角形的三边关系可求解； 探索应用：由“SAS”可证△ABE≌△HCE，可得AB=CH=25，即可求解； 应用拓展：由“SAS”可证△BPA≌△EPF，可得AB=FE，∠PBA=∠PEF，由“SAS”可证△ACD≌△FED，可得AD=FD，由等腰三角形的性质可得结论． 【详解】观察发现 解：如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE， 在△ABD与△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴AB=EC， 在△AEC中，EC-AC＜AE＜EC+AC，而AB=EC=7，AC=5， ∴2＜AE＜12． 又∵AE=2AD， ∴1＜AD＜6， 故答案为：EC，2，12，1，6； 探索应用 解：如图2，延长AE，CD交于H， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， ∵CD∥AB， ∴∠ABE=∠ECH，∠H=∠BAE， ∴△ABE≌△HCE（AAS）， ∴AB=CH=25， ∴DH=CH-CD=17， ∵∠DFE=∠BAE， ∴∠H=∠DFE， ∴DF=DH=17， 故答案为：17； 应用拓展 证明：如图2，延长AP到点F，使PF=AP，连接DF，EF，AD， 在△BPA与△EPF中， ， ∴△BPA≌△EPF（SAS）， ∴AB=FE，∠PBA=∠PEF， ∵AC=BC， ∴AC=FE， 在四边形BADE中，∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°， ∵∠BAC=60°，∠CDE=120°， ∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°． ∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°， ∴∠ACD=∠DEB+∠EBA， ∴∠ACD=∠FED， 在△ACD与△FED中， ， ∴△ACD≌△FED（SAS）， ∴AD=FD， ∵AP=FP， ∴AP⊥DP． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，作出恰当的辅助线，证得三角形全等是解答此题的关键． 25．已知和都是等腰直角三角形，． 【初步探索】如图，点、、在同一条直线上，点在上，连结、，线段与的数量关系是____________，位置关系是______． 【拓展延伸】如图，点、、不在同一条直线上，点在内，点在外，连结、，中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【知识应用】如图，和两块等腰直角三角尺，．连结、．若有，则的度数为____________． 【答案】【初步探索】，； 【拓展延伸】见解析； 【知识应用】或． 【分析】【初步探索】根据等腰直角三角形的性质可得，，，从而可证，根据全等三角形的性质可证，，根据三角形内角和定理可得，从而可证； 【拓展延伸】由【初步探索】可知，根据全等三角形的性质可证，，根据三角形内角和定理可得，从而可得中结论仍然成立； 【知识应用】连接由【拓展延伸】可知，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得，利用勾股定理的逆定理可知，然后再根据点和的位置分两种情况讨论即可． 【详解】【初步探索】解：如下图所示，延长交于点， 和都是等腰直角三角形，， ，，， 在和中， ， ，， 在中， ， ， ， ， 故答案为：，； 【拓展延伸】解：中的结论仍然成立， 理由如下： 如下图所示，延长交于点，交于点 ， 由【初步探索】可知， ，， 在中， ， ， ， ； 【知识应用】解:如下图所示，连接， 由【拓展延伸】可知， 是等腰直角三角形，， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ； 如下图所示，当点在内，点在外时，连接， 由【拓展延伸】可知， 是等腰直角三角形，， ， 又， ， ， 又， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 等腰三角形（知识详解+14典例分析+习题巩固） 【知识点01】等腰三角形的性质定理 1.性质定理1 等腰三角形的两底角相等。这一定理可简述为：“等边对等角”。 2. 性质定理2 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合。（简述为“三线合一”） 3. 等腰三角形中特殊线段的性质 （1）等腰三角形两底角的平分线相等； （2）等腰三角形两腰上的中线相等； （3）等腰三角形两腰上的高线相等。 【知识点02】等边三角形的性质定理 1.性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 2. 等边三角形的其他性质 (1)等边三角形的三条边都相等； (2)等边三角形是轴对称图形，它有 3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线； (3)等边三角形各边上的高、中线及各角的平分线互相重合，且长度相等 . 【知识点03】等腰三角形的判定定理 1.判定定理 判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形。这一定理可以简述为：等角对等边。 2. 等腰三角形的性质定理与判定定理的异同 相同点： 使用的前提都是“在同一个三角形中” . 不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它们所对的边相等，是等腰三角形的判定。 【知识点04】反证法 1. 概念 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法. 2. 用反证法证明命题的一般步骤 （1）反设：假设命题结论不成立。 （2）归谬：从假设出发，通过演绎推理，推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果。 （3）定论：由矛盾说明假设不成立，进而得出原结论正确。 3. 运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式 结论词 是 都是 大(小)于 能 相等 至少有一个 至多有一个 负数 否定形式 不是 不都是 不大(小)于 不能 不相等 一个也没有 至少有两个 非负数 【知识点05】等边三角形的判定定理 1. 判定定理 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 . 2. 判定定理 2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形 . 证明等边三角形的思维导图： 【知识点06】含 30°角的直角三角形的性质 1. 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 几何语言：如图1.2-6，在 Rt △ ABC 中 ， ∵∠ C=90°，∠ A=30°，∴ BC= AB. 2. 作用 证线段的倍分关系和求线段的长度 . 【题型一】等边对等角 例1．（24-25八年级下·贵州毕节·月考）是等腰三角形，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，平分的外角，则 度． 变式2．（24-25八年级下·安徽宿州·月考）已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的倍少，求顶角的度数． 【题型二】三线合一 例2．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，，是的角平分线，则的长为 ． 变式2．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，点，都在边上，且．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【题型三】等边三角形的性质 例3．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·湖南湘西·月考）图中的三十六个小等边三角形面积都等于2，则的面积为 ． 变式2．（24-25八年级下·江西上饶·期中）如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连结并延长，交于点．求证：点是的中点要求：全等最多使用一次 【题型四】根据等角对等边证明等腰三角形 例4．（24-25八年级下·云南临沧·期中）下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 变式1．（22-23八年级上·山东青岛·期末）如图，已知一块四边形草地，其中，，，，则这块土地的面积为 ．    变式2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【题型五】根据等角对等边证明边相等 例5．（24-25八年级下·山东临沂·期中）数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得，，，如图，据此可求得之间的距离为（    ） A． B． C． D．30 变式1．（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图，在中，，，，把向右平移4个单位至，则图中阴影部分的面积为 ． 变式2．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分，过点作，交于点，连接，若，求证：． 【题型六】根据等角对等边求边长 例6．（24-25八年级下·福建龙岩·月考）如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用测量仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·四川成都·月考）如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ． 变式2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，，是高．若，，求的长． 【题型七】等腰三角形的性质和判定 例7．（25-26八年级下·全国·课后作业）若等腰三角形的顶角为，腰长为，则这个等腰三角形的底边长为（   ） A． B． C． D． 变式1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，于点D．若的周长为20，，则的长为 ． 变式2．（22-23八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，求． 【题型八】格点图中画等腰三角形 例8．（2025·陕西渭南·一模）在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有 个． 变式2．（24-25八年级下·吉林松原·月考）图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点．线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中，找一格点，使是面积为3的等腰三角形； (2)在图②中，找一格点，使是面积为4的等腰三角形； (3)在图③中，找一格点，使是面积为5的等腰三角形． 【题型九】直线上与已知两点组成等腰三角形的点 例9．（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且是等腰三角形，则这样的点C最多有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 变式1．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线运动，当为等腰三角形时，其底边的长为 ． 变式2．如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【题型十】反证法证明中的假设 例10．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）用反证法证明“同一平面内，，则”时，第一步应先假设（   ） A．不平行于 B．不平行于 C． D． 变式1．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）“证明：同位角不相等，两直线不平行”，用反证法证明这个结论时，应先假设 ． 变式2．证明：在三角形中，至少有一个内角大于或等于． 【题型十一】用反证法证明命题 例11．（24-25八年级下·福建三明·期中）已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 变式1．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设 ． 变式2．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）用反证法证明：已知中，，求证：． 【题型十二】等边三角形的判定 例12．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·山西太原·期中）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 使等腰成为等边三角形． 变式2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知点A、F、E、B在同一条直线上，与交于点M，，，，若，求证：是等边三角形． 【题型十三】等边三角形的判定和性质 例13．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，与交于点，且，，一个微型机器人由点按的顺序循环移动，当微型机器人移动了时，它停在了（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式1．（24-25八年级下·福建宁德·月考）在中，，，，则 ． 变式2．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在四边形中，，，，已知四边形的周长为30． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【题型十四】含30度角的直角三角形 例14．（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，则的中线的长为（    ）    A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）在中，若，，，则的面积为 ． 变式2．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 一、单选题 1．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC= (　 　) A．6 B．6 C．6 D．12 2．用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（   ） A． B． C． D． 3．在一个等腰三角形中，其中一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图，在中，，，的延长线交于点，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，垂足为，的平分线交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系xOy中，已知点，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 7．如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（   ） A． B．6 C．8 D． 8．如图，在三角形中，，的平分线交于点D，垂直的延长线于点E．若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，点是内一点，连接、、，其中，平分，若，，，则（　　）    A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中有两条直线：：，：，对点作如下操作．第1步，作点关于的对称点；第2步，作关于的对称点；第3步，再作关于的对称点；第4步，再作关于的对称点以此类推，问：点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在中，，，．则 ． 12．如图，，均为等边三角形，连接，交于点，与交于点，则的度数是 ． 13．如图，中，，，为中一点，，，则线段的长是 . 14．如图，两直线m与n相交于点A，它们相交所成的锐角等于15°，若点B是直线n上一定点满足AB＝18，点D、C分别是直线m、n上的动点，则DB＋DC的最小值＝ . 15．如图，已知直线交轴负半轴于点A，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为 ． 16．如图，在平行四边形中，，的平分线分别交AD于点E，F．若，，则BE的长为 ．（用含a，b的代数式表示）． 17．如图，等边的边长为6，点是边上一点，，、是边上两个动点且，连接、，则四边形周长的最小值为 ． 三、解答题 18．已知：如图，在中，D，E分别是上的点，，．求证：是等腰三角形． 19．如图，已知D是△ABC的边BC上一点，AB＝AC＝BD，AD＝CD，求∠B的度数． 20．如图，在中，，． (1)求证：； (2)若，平分，请直接写出的形状． 21．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC的延长线上，且CE＝BD，连接DE交BC于点F． (1)求证：EF＝DF； (2)如图2，过点D作DG⊥BC，垂足为G，求证：BC＝2FG． 22．【综合运用】如图，在中，，点在内，连接，，是等边三角形，点在外，，． (1)求的度数； (2)证明：． (3)连接，若，，求的长． 23．（1）如图①．已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．则线段、与之间的数量关系是______；      （2）如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问：（1）中的结论是还否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、．若，试判断的形状，并说明理由． 24．【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围． 小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE． 在△ABD与△ECD中 ∴△ABD≅△ECD（SAS） ∴AB＝　 　． 又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5， ∴　 　＜AE＜　 　． 又∵AE＝2AD． ∴　 　＜AD＜　 　． 【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为 　 　．（直接写答案） 【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP． 25．已知和都是等腰直角三角形，． 【初步探索】如图，点、、在同一条直线上，点在上，连结、，线段与的数量关系是____________，位置关系是______． 【拓展延伸】如图，点、、不在同一条直线上，点在内，点在外，连结、，中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【知识应用】如图，和两块等腰直角三角尺，．连结、．若有，则的度数为____________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $