第01讲 三角形内角和定理（知识详解+6典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步讲义与测试

第01讲 三角形内角和定理（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】三角形内角和定理及其证明 类别 内容 图形 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°，即在△ ABC 中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180° 基本思路 构造平行线，利用平行线的性质说明三角形的内角和是180° 思路1 如图， 过点A 作EF ∥ BC，∴∠ B = ∠ 1，∠ C= ∠ 2， ∴∠ BAC+ ∠ B+ ∠ C=∠ BAC+ ∠ 1+ ∠ 2=180° 思路2 如图，过点C 作CE ∥ AB，延长BC 到D， ∴∠ A= ∠ 1，∠ B= ∠ 2，∴∠ A+ ∠ B+ ∠ ACB=∠ 1+ ∠ 2+ ∠ ACB=180° 思路3 如图，在BC 上取一点D，过点D 作ED ∥ AC，DF ∥ AB， 分别与AB，AC 交于点E，F， ∴∠ C= ∠ 1，∠ B = ∠ 3，易知∠ A= ∠ 2， ∴∠ A+ ∠ B+ ∠ C=∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 1=180° 【知识点02】全等三角形的判定与性质 1. 判定定理“AAS” 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） 2. 判定三角形全等的一般思路 已知两边 找夹角→ SAS        找第三边→ SSS 已知一边一角 边为角的对边→找任意一角→ AAS 边为角的邻边 找角的另一邻边→ SAS 找边的另一邻角→ ASA 找边的对角→ AAS 已知两角 找夹边→ ASA     找角的对边→ AAS 【知识点03】三角形的外角 定义: △ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ ABC 的外角。如图，∠1 是△ ABC 的一个外角 图示: 实质: 三角形外角的实质是三角形一个内角的邻补角 特征: （1）顶点是三角形的顶点； （2）一条边是三角形内角的一边； （3）另一条边是该内角另一边的反向延长线 【知识点04】三角形内角和定理的推论 推论： 由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫作这个基本事实或定理的推论 推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 如图，∠ 1=∠ 2+ ∠ 3 推论2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 如图，∠ 1 ＞∠ 2，∠ 1 ＞∠ 3 【题型一】三角形内角和定理的证明 例1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    【答案】三角形内角和定理 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 例2．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）写出下列命题的求证，并完成证明过程． 命题：三角形三个内角的和等于． 已知：如图，． 求证： ． 证明： 【答案】，证明过程见解析 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】先写出求证，然后证明．过点A作，利用，可得，，由平角的定义可得，利用等量代换可证． 【详解】解：求证：， 证明：过点A作， ∵， ∴，， ∵， ∴． 即知三角形三个内角的和等于． 【点睛】本题考查证明三角形内角和定理，解题的关键是做平行线，利用平行线的性质进行证明． 变式1．（2023·山西吕梁·二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可． 【详解】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的 即，作后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和． 变式2．（22-23八年级下·全国·课前预习）小学阶段，通过度量或剪拼的方法，得出任意一个三角形的内角和等于 度． 【答案】180 【知识点】三角形内角和定理的证明 【解析】略 变式3．（24-25八年级上·北京·期中）通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】见解析 【知识点】三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义，三角形内角和定理的证明；过点A作直线，利用平行线的性质，可得出，结合平角等于，即可证出． 【详解】证明：如图所示， 过点A作直线， ∴，(两直线平行，内错角相等)． ∵(平角的定义)， ∴． 【题型二】与平行线有关的三角形内角和问题 例3．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 例4．已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 【答案】． 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，由，可知与互补，由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理可得，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵的平分线与的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 变式1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查与平行线有关的三角形内角和问题，先根据平行线得到，再根据是三角形内角和求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 变式2．如图，已知，直线EF分别交，于点F，点E，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查平行线的性质和三角形内角和定理，根据平行线的性质“两直线平行，内错角想到”，再利用角平分线的性质推出，这样就可根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题 例5．（25-26八年级上·山东威海·月考）如图，在中，与的角平分线交于点O，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据分别是与的角平分线，用的代数式表示出与的和，再根据三角形的内角和定理求出的度数．本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义等知识． 【详解】解：， ， 分别是与的角平分线， ， ． 故选： 例6．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误； （1）先求，再由角平分线和高的性质推导； （2）先求，再由三角形内角和求． 【详解】（1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， （2）， ， 、是角平分线， ， ． 变式1．（2024八年级上·河北衡水·期中）如图，都是的角平分线，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键． 根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可． 【详解】解：∵都是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 变式2．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则 ． 【答案】/度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出，再得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分交于F，平分交于G， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）平面内，四条线段、、、首尾顺次相连，与相交于点O． (1)如图1，若，，和的角平分线交于点M，求的度数； (2)如图2，若，，，，求的度数； (3)如图3，若，，，，试用含n、x、y的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，同理可得，由可得，代入计算即可得解； （2）由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，，同理可得，由可得，代入计算即可得解； （3）由三角形内角和定理结合对顶角相等得出，，同理可得，由可得，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵和的角平分线交于点M， ∴，， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得：， 由可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【题型四】三角形内角和定理的应用 例7．（22-23八年级上·山东日照·月考）在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及三角形的形状判定，根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①因为，又，所以，解得，能确定是直角三角形； ②设，因为，所以，即，解得，则，能确定是直角三角形； ③由，可得，那么，能确定是直角三角形； ④因为，所以，则，所以是直角三角形； ⑤设，因为，所以， 由，可得，即，解得，则，不能确定是直角三角形． 综上，能确定是直角三角形的条件有①②③④，共4个， 故选：C． 例8．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）在中，，则= ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键． 由三角形的内角和为，再根据三角形三个角度数的关系，求出的度数． 【详解】解：设，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 例9．（25-26八年级上·云南昆明·月考）求出下列各三角形中的值． 【答案】图（1）中；图（2）中 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形三个内角的度数之和为180度建立方程求解即可． 【详解】解：图（1）中，， 解得，即； 图（2）中，， 解得，即． 变式1．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）如图，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用三角形内角和为来进行计算． 根据三角形内角和定理，三角形的内角和为，已知其中一个角为，可求出的度数． 【详解】解：因为三角形内角和为，在图中的三角形里，已知一个角是，所以． 移项可得． 故选：B． 变式2．（24-25八年级下·江西赣州·月考）如图，在中，，，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和性质，根据，得，再结合三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式3．（25-26八年级上·全国·课后作业）求出下列各图形中x的值： 【答案】图（1）中；图（2）中；图（3）中；图（4）中 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：图（1）中：，即； 图（2）中：，解得：，即； 图（3）中：，解得：，即； 图（4）中：，解得：，即． 【题型五】三角形折叠中的角度问题 例10．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了三角形与折叠问题、三角形内角和定理，由折叠的性质可得，，进而可得， 再利用三角形内角和定理即可求解，熟练掌握折叠的性质及三角形内角和为是解题的关键． 【详解】解：是由沿折叠得到， ，， ，， ， ，即：， ， 故选C． 例11．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质，分类讨论的数学思想，解题的关键是熟练掌握翻折的性质． 分类讨论，当时和当时，分别利用翻折的性质即可求解． 【详解】解：当时，则， 根据翻折的性质得，； 当时，， ， 根据翻折的性质得，； 故答案为：或． 例12．（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 变式1．（24-25八年级上·福建三明·期末）在中，，M，N分别是AC，BC边上的动点，将沿折叠得到，若与的边平行，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，平行线的性质；分类讨论：①当时， ②当时；能根据与的不同的边平行进行分类讨论是解题的关键. 【详解】如图1中，①当    由折叠得， ②当时，如图2 ， 由折叠得， ∴的度数为或； 故选：B． 变式2．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ． 【答案】 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，图形的折叠问题，平角的定义等知识点，根据三角形的内角和定理可得，再由折叠的性质可得,,从而得到,进而即可得解，熟练掌握三角形的内角和定理，图形的折叠的性质并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：, 由折叠的性质得：, , ， 故答案为：． 变式3．（23-24八年级下·湖南郴州·月考）如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点落在四边形的内部点的位置（如图1），且，请直接写出的度数； (2)若点落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），则与有怎样的关系？请说明你的理由； 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形折叠中的角度问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平角的定义： （1）由折叠的定义得到，再由平角的定义求出，的度数，即可根据三角形内角和定理求出的度数； （2）先由折叠的性质得到，，再由平角的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则，进而得到，即． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：，理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【题型六】三角形的外角的定义及性质 例13．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，直线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、平行线的性质等知识点，掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角的和是解题的关键． 如图：先根据三角形外角的性质求得，再根据平行线的性质求得的度数即可． 【详解】解：如图：∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 故选A． 例14．（2024·广东清远·一模）如图，直线被所截，， 度． 【答案】80 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出的度数和得出． 根据平行线的性质求出，根据三角形外角性质求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：80． 例15．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在中，D是上一点，．求的度数．    【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角定理，解得的关键是设未知数，构建方程求解． 根据题意，设，则，，再利用求解即可． 【详解】解：设，则（三角形外角定理）， 则， ， 解得， ． 变式1．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，已知，点D在的延长线上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可作答． 【详解】解：∵是的外角，， ∴． 故选：B 变式2．（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）如图，，那么 度． 【答案】75 【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，正确运用三角形外角的性质成为解题的关键． 根据三角形内角和定理，三角形外角和内角的关系以及等腰三角形的性质，逐步推出∠GEF的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：75 ． 变式3．（24-25八年级下·福建宁德·月考）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，例如：在中，，若存在过点的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，如图所示，当，时，是满足条件的一种情况，此时．求满足以上条件的其他情况时的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和性质，三角形外角性质，能够正确分类讨论是解决本题的关键． 分类当，时，，时，，时，，时，结合等腰三角形的性质与三角形外角的性质计算求解． 【详解】解：当，时，如图所示， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 即此时， ； 当，时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 即此时， ； 综上所述，的度数为或或或． 故答案为：或或． 变式4．（24-25八年级上·安徽安庆·月考）【问题背景】 活动课上，小明利用笔记本的平行格线画平行线进行角的探究，他先在笔记本上画了一条直线分别交两条粗一点的格线，于点，，点在格线上且在点的右侧，动点（不与点，重合）在直线上．直线与格线的一个夹角为，． 【小试牛刀】 （1）如图1，当点在线段上时，若，，求的度数． 【初露锋芒】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，求证：． 【尽显才华】 （3）如图3，分别作和的平分线，并相交于点，若，求的度数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）； 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，平行线的性质； （1）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）证明，再利用三角形的内角和定理可得答案； （3）证明，求解，结合角平分线与三角形的外角的性质可得答案； 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵，， ∴ （3）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴, ∵, ∴． 一、单选题 1．若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的分类，根据三角形内角和为度求出这个三角形最大的内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵一个三角形的三个内角度数的比为， ∴这个三角形最大的内角度数为， ∴这个三角形是锐角三角形， 故选：A． 2．在中，，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 3．抖空竹是我国的传统体育项目，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．延长交于点．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质求解． 【详解】解：如图，延长交于点． ，， ， ． 故选：C． 4．如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠可知，，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和分别表示出和，进而得出，最终得出答案． 【详解】解：如图， 如图，设直线与分别交于点，点， 令与的交点为，且， 沿直线翻折，点落在点上， ， 在中，， 在中，， ， ， 即 故选：C． 【点睛】本题主要考查了翻折变换与三角形外角性质得综合应用，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键． 5．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答． 【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90° ∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴140°-90°=50° 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 6．如图，点在线段上，，且，连接、、、，与交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明，，得出，，再结合，利用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 同理：， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，若，且，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，三角形内角和定理，由三角形内角和定理得出，结合已知条件得出，再根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角的性质对选项逐个判断即可． 【详解】∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，故①正确； ∵ ∴， ∵平分， ∴，②正确； ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，③正确； ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴，⑤正确； ∵ ∴ ∵， ∴即，④正确； 正确的个数为5 故选：D 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，主要考查了学生的推理能力，有一定难度． 二、填空题 9．根据图中的数据，可得的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了三角形外角的性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和；据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 10．如图，和关于所在直线成轴对称，，则的度数为 °. 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出，再根据轴对称的性质可得即可得到答案． 【详解】解： ， ∴ 和关于成轴对称， ， 故答案为：． 11．如图，在直线l1∥l2，把三角板的直角顶点放在直线l2上，三角板中60°的角在直线l1与l2之间，如果∠1=35°，那么∠2= 度． 【答案】65 【分析】根据三角形外角性质即可求得∠3的度数，再依据平行线的性质，可求得∠3=∠2． 【详解】解：∵∠3是△ABC的外角，∠1=∠ABC=35°， ∴∠3=∠C+∠ABC=30°+35°=65°， ∵直线l1∥l2， ∴∠2=∠3=65°， 故答案为：65． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行． 12．将一个含角的三角尺和直尺按如图所示的方式放置．若，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，三角板的角度计算等知识点，熟练掌握对顶角相等是解决此题的关键．由对顶角的性质得到，，再求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图：    ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 故答案是：． 14．如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为 ． 【答案】/68度 【分析】本题考查了三角形的外角性质、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．延长，交于点，先根据角平分线的定义可得，，再设，，则，，根据三角形的外角性质可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， 由三角形的外角性质得：， 即， 由①②得：，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 15．如图，在四边形纸片中，将纸片折叠，点A、D分别落在E、F处，折痕为与交于点P．若，则的度数为 °．    【答案】40 【分析】延长与的延长线交于点G，如图，利用平行线的性质证明，，结合已知可得，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】延长与的延长线交于点G，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：40．    【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质、正确进行角的代换是解题的关键． 16．在中，，与的平分线交于点O，则 度． 【答案】130 【分析】利用三角形的内角和定理，求出，角平分求出，即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵与的平分线交于点O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：130． 【点睛】本题考查含角平分线的三角形的内角和的计算．熟练掌握角平分线平分角，三角形的内角和为，是解题的关键． 17．如图，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、垂直的定义，解题的关键是熟知三角形的内角和定理．先由得到，再结合求得，最后结合求得的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为： 三、解答题 18．如图，是的角平分线，是的高，已知，，求下列角的大小：    (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得的度数； （2）根据角平分线的定义求得角，然后在直角中，求得的度数，则即可求解． 【详解】（1）∵， ∴． （2）∵是的角平分线， ∴； ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，正确理解定理和定义是解题的关键． 19．如图，点D在的边的延长线上，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形外角的性质可得，则，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴． 20．如图，在中，，，分别是边上的点（不与端点重合），与相交于点，连接．若，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定及性质． 根据，推出，得到，由此可得结论． 【详解】证明：是的一个外角（已知）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）. （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 21．如图， 的两条内角平分线 ， 交于点 ， 是 边上的高，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到，由得到，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ． 22．如图，，是的两条高，且相交于点O． (1)求证：； (2)若，，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、三角形的高的定义及外角的性质等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． （1）由，是的两条高得出，即可得出，，从而得出结论； （2）先求出，利用外角即可求出，根据即可求出． 【详解】（1）证明：，是的两条高， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ． 23．如下图，在中，，BD平分，于点E，，BD，CE相交于点F．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，还涉及三角形的内角和定理以及角平分线的定义． 根据三角形外角的性质得到．利用角平分线的定义得到，利用三角形的内角和得出；根据三角形外角的性质得到． 【详解】解：，， ． 平分， ， ． ， ． 又， ． 24．如图，四边形中，E是边上一点，连接，平分交于点F，G是是一点，连接，已知 (1)试判断与是否平行，并说明理由． (2)寻找，，三者之间的等量关系，并说明理由． (3)若，且（a，b为常数，且为正数），求的值． 【答案】(1)与平行，理由见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）由角平分线的定义求得，利用平角的性质结合已知求得，推出，利用内错角相等两直线平行即可得到结论； （2）由，推出，由三角形的外角性质推出，据此求解即可； （3）设，则，由已知求得，在和中，利用三角形内角和定理以及三角形的外角性质得到，，再利用，列式计算即可求解. 【详解】（1）解：与平行，理由如下， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：；理由如下， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∵， ∴， 在中， ， 在中， ， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，解题的关键是学会利用参数构建等量关系解决问题． 25．如图，与的角平分线交于点，与相交于点，交于点、交于． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的等量关系，直接写出结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出①．根据三角形外角的性质得出②．③，进而得出； （2）由（1）同理可知：，即可求解． 【详解】（1）解：设，， 根据和的角平分线相交于点可知： ，， 三角形的内角和等于，，， ，即①． 是与的外角， ，即②． 同理，是与的外角， ，即③， ①②得，④， ①③得，⑤， ④代入⑤得，， ， 解得； （2），理由如下： 由（1）同理可知： ， 解得：． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 26．已知：在中，平分，平分，、交于点． (1)如图1：若，求的度数； (2)如图2：点是延长线上一点，连接、，，求证：； (3)如图3：在（2）的条件下，过点作，交于点，点在线段的延长线上，连接，若，，，求的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)64° 【分析】（1）先证明，，再求解，再利用三角形的内角和定理可得答案； （2）利用三角形的外角的性质证明，从而可得结论； （3）先证明，设，，求解，，证明，再列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵、分别平分与 ∴，， 在中，， ∴ ∴ ∴ （2）证明：∵是得一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：  ， ， ∵平分，平分， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵，， 而 ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的角平分线的定义，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理的应用，方程思想的应用，熟练的运算三角形的内角和定理与外角的性质建立角与角之间的关系是解本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 三角形内角和定理（知识详解+6典例分析+习题巩固） 【知识点01】三角形内角和定理及其证明 类别 内容 图形 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°，即在△ ABC 中，∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180° 基本思路 构造平行线，利用平行线的性质说明三角形的内角和是180° 思路1 如图， 过点A 作EF ∥ BC，∴∠ B = ∠ 1，∠ C= ∠ 2， ∴∠ BAC+ ∠ B+ ∠ C=∠ BAC+ ∠ 1+ ∠ 2=180° 思路2 如图，过点C 作CE ∥ AB，延长BC 到D， ∴∠ A= ∠ 1，∠ B= ∠ 2，∴∠ A+ ∠ B+ ∠ ACB=∠ 1+ ∠ 2+ ∠ ACB=180° 思路3 如图，在BC 上取一点D，过点D 作ED ∥ AC，DF ∥ AB， 分别与AB，AC 交于点E，F， ∴∠ C= ∠ 1，∠ B = ∠ 3，易知∠ A= ∠ 2， ∴∠ A+ ∠ B+ ∠ C=∠ 2+ ∠ 3+ ∠ 1=180° 【知识点02】全等三角形的判定与性质 1. 判定定理“AAS” 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） 2. 判定三角形全等的一般思路 已知两边 找夹角→ SAS        找第三边→ SSS 已知一边一角 边为角的对边→找任意一角→ AAS 边为角的邻边 找角的另一邻边→ SAS 找边的另一邻角→ ASA 找边的对角→ AAS 已知两角 找夹边→ ASA     找角的对边→ AAS 【知识点03】三角形的外角 定义: △ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ ABC 的外角。如图，∠1 是△ ABC 的一个外角 图示: 实质: 三角形外角的实质是三角形一个内角的邻补角 特征: （1）顶点是三角形的顶点； （2）一条边是三角形内角的一边； （3）另一条边是该内角另一边的反向延长线 【知识点04】三角形内角和定理的推论 推论： 由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫作这个基本事实或定理的推论 推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 如图，∠ 1=∠ 2+ ∠ 3 推论2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 如图，∠ 1 ＞∠ 2，∠ 1 ＞∠ 3 【题型一】三角形内角和定理的证明 例1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    例2．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）写出下列命题的求证，并完成证明过程． 命题：三角形三个内角的和等于． 已知：如图，． 求证： ． 证明： 变式1．（2023·山西吕梁·二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（22-23八年级下·全国·课前预习）小学阶段，通过度量或剪拼的方法，得出任意一个三角形的内角和等于 度． 变式3．（24-25八年级上·北京·期中）通过学习知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性，实验的方法能给我们证明提供思路． 例如：在证明“三角形的内角和是”的结论时，如图，有两种实验方法．小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知，求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证：． 证明：延长，过点作． ∴，． ∵． ∴． 请你参考小明同学解决问题的方法1的思路，写出实验方法2的证明过程． 【题型二】与平行线有关的三角形内角和问题 例3．（24-25八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例4．已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 变式1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式2．如图，已知，直线EF分别交，于点F，点E，平分，若，则的度数为 ． 【题型三】与角平分线有关的三角形内角和问题 例5．（25-26八年级上·山东威海·月考）如图，在中，与的角平分线交于点O，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例6．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 变式1．（2024八年级上·河北衡水·期中）如图，都是的角平分线，且，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·河南信阳·月考）如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则 ． 变式3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）平面内，四条线段、、、首尾顺次相连，与相交于点O． (1)如图1，若，，和的角平分线交于点M，求的度数； (2)如图2，若，，，，求的度数； (3)如图3，若，，，，试用含n、x、y的代数式表示的度数． 【题型四】三角形内角和定理的应用 例7．（22-23八年级上·山东日照·月考）在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例8．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）在中，，则= ． 例9．（25-26八年级上·云南昆明·月考）求出下列各三角形中的值． 变式1．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）如图，（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·江西赣州·月考）如图，在中，，，，则的度数为 ． 变式3．（25-26八年级上·全国·课后作业）求出下列各图形中x的值： 【题型五】三角形折叠中的角度问题 例10．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D．以上都不对 例11．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕与边、分别交于点、．若是直角三角形，则的度数为 ． 例12．（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 变式1．（24-25八年级上·福建三明·期末）在中，，M，N分别是AC，BC边上的动点，将沿折叠得到，若与的边平行，则的度数为（   ） A． B．或 C．或 D．或 变式2．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ． 变式3．（23-24八年级下·湖南郴州·月考）如图，把的纸片沿着折叠． (1)若点落在四边形的内部点的位置（如图1），且，请直接写出的度数； (2)若点落在四边形的外部的上方点的位置（如图2），则与有怎样的关系？请说明你的理由； 【题型六】三角形的外角的定义及性质 例13．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，直线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例14．（2024·广东清远·一模）如图，直线被所截，， 度． 例15．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在中，D是上一点，．求的度数．    变式1．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，已知，点D在的延长线上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·江苏南京·开学考试）如图，，那么 度． 变式3．（24-25八年级下·福建宁德·月考）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，例如：在中，，若存在过点的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，如图所示，当，时，是满足条件的一种情况，此时．求满足以上条件的其他情况时的度数为 ． 变式4．（24-25八年级上·安徽安庆·月考）【问题背景】 活动课上，小明利用笔记本的平行格线画平行线进行角的探究，他先在笔记本上画了一条直线分别交两条粗一点的格线，于点，，点在格线上且在点的右侧，动点（不与点，重合）在直线上．直线与格线的一个夹角为，． 【小试牛刀】 （1）如图1，当点在线段上时，若，，求的度数． 【初露锋芒】 （2）如图2，当点在线段的延长线上时，求证：． 【尽显才华】 （3）如图3，分别作和的平分线，并相交于点，若，求的度数． 一、单选题 1．若一个三角形的三个内角度数的比为，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．在中，，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 3．抖空竹是我国的传统体育项目，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 6．如图，点在线段上，，且，连接、、、，与交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，若，且，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 8．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 9．根据图中的数据，可得的度数为 ． 10．如图，和关于所在直线成轴对称，，则的度数为 °. 11．如图，在直线l1∥l2，把三角板的直角顶点放在直线l2上，三角板中60°的角在直线l1与l2之间，如果∠1=35°，那么∠2= 度． 12．将一个含角的三角尺和直尺按如图所示的方式放置．若，则的度数是 ． 13．如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为 ．    14．如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为 ． 15．如图，在四边形纸片中，将纸片折叠，点A、D分别落在E、F处，折痕为与交于点P．若，则的度数为 °．    16．在中，，与的平分线交于点O，则 度． 17．如图，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的度数为 ． 三、解答题 18．如图，是的角平分线，是的高，已知，，求下列角的大小：    (1)； (2)． 19．如图，点D在的边的延长线上，．求的度数． 20．如图，在中，，，分别是边上的点（不与端点重合），与相交于点，连接．若，．求证：． 21．如图， 的两条内角平分线 ， 交于点 ， 是 边上的高，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 22．如图，，是的两条高，且相交于点O． (1)求证：； (2)若，，求和的度数． 23．如下图，在中，，BD平分，于点E，，BD，CE相交于点F．求和的度数． 24．如图，四边形中，E是边上一点，连接，平分交于点F，G是是一点，连接，已知 (1)试判断与是否平行，并说明理由． (2)寻找，，三者之间的等量关系，并说明理由． (3)若，且（a，b为常数，且为正数），求的值． 25．如图，与的角平分线交于点，与相交于点，交于点、交于． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的等量关系，直接写出结果． 26．已知：在中，平分，平分，、交于点． (1)如图1：若，求的度数； (2)如图2：点是延长线上一点，连接、，，求证：； (3)如图3：在（2）的条件下，过点作，交于点，点在线段的延长线上，连接，若，，，求的度数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $