第1章 直线与方程单元测试卷-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第1章　直线与方程 （时间：120分钟 总分：150分） 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.直线2x-y+1=0在x轴上的截距是(　　) A.1 B.-1 C.- D. 2.已知直线l与直线2x-3y+1=0平行,则直线l的斜率为(　　) A. B.- C.- D. 3.已知直线l1:x-3y=0,l2:x+ay-2=0.若l1⊥l2,则a=(　　) A. B.- C.3 D.-3 4.如果pr<0,qr<0,那么直线px+qy+r=0不通过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.直线2y-x+1=0关于y-x+3=0对称的直线方程是(　　) A.2x-y-8=0 B.2x-y-10=0 C.2x+y-12=0 D.2x+y-10=0 6.直线=1与直线=1在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 7.将一张坐标纸折叠一次,使得点(-3,4)与点(-4,a)重合,点(-1,2)与点(-2,)重合,则a-b=(　　) A.1 B.2 C.4 D.6 8.在平面直角坐标系xOy中,第一象限内的动点P(x0,y0),若点P在直线2x+y=2上,则x0+的最小值为(　　) A. B. C.1 D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列说法中,正确的有(　　) A.直线y=ax+2a+3必过定点 B.直线y=2x-1在y轴上的截距为1 C.直线x-y+2=0的倾斜角为60° D.点到直线y+2=0的距离为1 10.已知直线l1:x+ay+2=0,l2:ax+y-1=0,则(　　) A.若l1⊥l2,则a2=1 B.若l1∥l2,则a2= C.当a=1时,l1与l2相交,交点为 D.当0≤a≤1时,l2不经过第三象限 11.已知点A(-1,0),B(0,2),直线l:2x-2ay+3+a=0上存在点P,满足PA+PB=,则直线l的倾斜角可以是(　　) A. B. C. D. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知0<k<4,直线l1:kx-2y-2k+8=0和直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与坐标轴围成一个四边形,则使这个四边形面积最小的k的值为　　　　　.  13.已知定点P(2,3)和直线l:(2m-1)x+(m-1)y+3m-2=0(m∈R),则点P到直线l的距离的最大值为　　　　　,此时直线l的一般式方程为　　　　　.  14.在平面直角坐标系中有点A,B,定义:点A到点B的折线距离ρ(A,B)=.若已知点B(1,0),M为直线x-2y+2=0上的动点,则ρ(B,M)取最小值时点M的坐标是　　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知△ABC的顶点A(5,1),边AB上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,求: (1)顶点C的坐标; (2)△ABC的面积. 16.(15分)已知直线l经过两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点,且　　　　　,若直线m与直线l关于点(1,0)对称,求直线m的方程.  试从①与直线3x+2y+8=0垂直,②在y轴上的截距为这两个条件中任选一个补充在上面的问题中,并解答. 17.(15分)如图,某县相邻两镇在同一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2),B(4,0),一条河所在的直线方程为l:x+2y-10=0.若在河边l上建一座供水站P,使之到A,B两镇的管道最省,那么供水站P应建在什么地方? 18.(17分)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为3,宽为2,边AB,AD分别在x轴、y轴的正半轴上,点A与坐标原点重合.将矩形折叠,使点A落在线段DC上点G处,已知折痕所在直线的斜率为-. (1)求折痕所在的直线方程; (2)若点P为BC的中点,求△PEF的面积. 19.(17分)利用向量知识可以计算点到直线的距离,例如:平面直角坐标系内有一条直线y=2x+1,求点P(3,4)到该直线的距离d,可以按以下步骤计算:第一步,在直线上取两点A(0,1)和B(1,3),则向量=(1,2);第二步,写出一个与垂直的向量n=(-2,1);第三步,求出在n上的投影向量=(-);第四步,求出距离d=||=.请根据以上方法完成下面两个小题: (1)求点P(1,1)到直线y=2x+1的距离; (2)求点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离. 参考答案 1.C　2.D　3.A　4.C 5.A　解析 设所求直线上任意一点P(x,y),Q(x1,y1)是P关于直线y-x+3=0的对称点,则解得由对称性得Q在直线2y-x+1=0上, ∴2(x-3)-(y+3)+1=0,即2x-y-8=0,故选A. 6.B　解析 两直线的方程可分别化为y=x-n,y=x-m,易知两直线的斜率的符号相同. 7.A　解析 设点(-3,4)为点A,点(-4,a)为点B,所以线段AB的中点为E(). 设点(-1,2)为点C,点(-2,)为点D,所以线段CD的中点为F(), 由题意可知kAB=kCD,kEF·kAB=-1,于是有⇒⇒a-b=1. 8.B　解析 如图,过点O作点O关于直线2x+y=2的对称点C,则|PO|=|PC|. 设C(x1,y1),则有解得所以C(). 设第一象限内的点P(x0,y0),则|PO|=,所以=|PO|=|PC|, 而x0>0,y0>0,所以点P到y轴的距离为x0,所以x0+可视为线段2x+y=2上的点P(x0,y0)到y轴的距离和到C()的距离之和. 过点P作PD⊥y轴,显然有|PD|+|PC|≥|CD|,当且仅当C,P,D三点共线时,和有最小值. 过点C作CH⊥y轴,则|CH|即为最小值,CH与线段AB的交点P1,即为最小值时P的位置. 因为|CH|=,所以x0+的最小值为. 9.AC　解析 对于A,y=ax+2a+3可化为y=a(x+2)+3,故过定点(-2,3),故A正确;对于B, y=2x-1在y轴上的截距为-1,故B错误;对于C,直线x-y+2=0的斜率为,故倾斜角θ满足tan θ=,0°≤θ<180°,即θ=60°,故C正确;对于D, 因为直线y+2=0垂直于y轴,所以点(1,3)到y+2=0的距离为3-(-2)=5,故D错误. 10.BD　解析 对于A,若l1⊥l2,则a(a+1)+a(1-a)=0,得a2=0,故A错误.对于B,若l1∥l2,则得a2=,故B正确.对于C,当a=1时,直线l1:2x+y+2=0,l2:x-1=0,所以l1与l2相交,交点的坐标为(1,-4),故C错误.对于D,当a=1时,l2:x-1=0,不经过第三象限;当a=0时,l2:y-1=0,不经过第三象限;当0<a<1时,若x=0,则y=>0,若y=0,则x=>0,所以l2不经过第三象限.综上,当0≤a≤1时,l2不经过第三象限,故D正确. 11.AD　解析 将A(-1,0)代入2x-2ay+3+a=0,得a=-1,将B(0,2)代入2x-2ay+3+a=0,得a=1,所以A,B不可能同时在直线l上.又AB=,PA+PB=,所以点P在线段AB上,线段AB的方程为y=2x+2,x∈[-1,0],由得a=,直线l:2x-2ay+3+a=0,即y=x+.设直线l的倾斜角为α,则tan α==2-.因为-1≤x≤0,所以1≤2x+3≤3,则1≤≤3,所以-1≤2-≤1,即-1≤tan α≤1.因为α∈(0,π),所以α∈(0,]∪[,π). 12.　解析 直线l1,l2恒过点P(2,4),直线l1在y轴上的截距为4-k,直线l2在x轴上的截距为2k2+2, 因为0<k<4,所以4-k>0,2k2+2>0, 所以四边形的面积S=×2×(4-k)+×4×(2k2+2)=4k2-k+8,故当k=时,面积最小. 13.5　3x+4y+7=0　解析 ∵(2m-1)x+(m-1)y+3m-2=0, ∴m(2x+y+3)-x-y-2=0, 联立解得x=-1,y=-1, ∴直线l过定点M(-1,-1), 当直线PM与直线l垂直时,点P到直线l的距离取得最大值,最大值为|PM|==5,kl·kPM=-1,即=-1,解得m=,将m=代入到原直线l的方程中,可得l:3x+4y+7=0. 14.(1,)　解析 因为点M在直线x-2y+2=0上,设M(2y-2,y),y∈R. 于是得ρ(B,M)=|2y-3|+|y|=当y≤0时,ρ(B,M)≥3; 当0<y<时,<ρ(B,M)<3;当y≥时,ρ(B,M)≥. 因此,当且仅当y=时,ρ(B,M)取最小值,所以点M的坐标是(1,). 15.解 (1)设C(m,n),因为直线AC与直线BH垂直,且点C在直线2x-y-5=0上, 所以解得故C(4,3). (2)设B(a,b).由题意知M(),所以解得即B(-1,-3). kBC=,直线BC:y-3=(x-4),即6x-5y-9=0. |BC|=, 点A到直线BC的距离d=,所以S△ABC==8. 16.解 由所以交点的坐标为(-1,-2). 若选①,可设直线l的方程为2x-3y+c=0,将点(-1,-2)代入可得c=-4,即l:2x-3y-4=0. 在直线l上取两点(-1,-2)和(2,0),点(-1,-2)关于点(1,0)对称的点的坐标为(3,2),点(2,0)关于点(1,0)对称的点的坐标为(0,0),所以直线m的方程为2x-3y=0. 若选②,则点在l上,可得直线l的斜率k=,所以直线l的方程为y=x+. 在直线l上取两点(1,3)和(-1,-2),点(1,3)关于点(1,0)对称的点的坐标为(1,-3),点(-1,-2)关于点(1,0)对称的点的坐标为(3,2),所以直线m的方程为y-2=·(x-3),即5x-2y-11=0. 17.解 如图,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B交l于点P, 若P'(异于P)在直线上,则AP'+BP'=A'P'+BP'>A'B. 因此,供水站只有在点P处,才能使到A,B两镇的管道最省. 设点A'(a,b),则AA'的中点在l上,且AA'⊥l, 即 解得即点A'(3,6),所以直线A'B的方程为6x+y-24=0. 解方程组 所以点P的坐标为(). 故供水站应建在点P()处. 18.解 (1)设折痕所在的直线方程为y=-x+b,点A落在线段DC上的对称点为G(a,2), 其中0≤a≤3,则AG的中点M的坐标为(,1), ∴解得 ∴折痕所在的直线方程为y=-x+. (2)由(1)知,折痕EF所在的直线方程为y=-x+,F(,0),E(0,), ∴EF==. ∵P为BC的中点, ∴点P(3,1), ∴点P到折痕EF的距离为d=, ∴△PEF的面积S=EF·d=. 19.解 (1)第一步,在直线y=2x+1上取两点A(0,1)和B(1,3),则向量=(1,2); 第二步,设n=(x,y)且⊥n,则有x+2y=0,令y=1,则x=-2,即n=(-2,1); 第三步,=(-1,0)在n上的投影向 量·n=·n=·n=·(-2,1)=(-); 第四步,求出距离d=||=, 所以点P(1,1)到直线y=2x+1的距离为. (2)第一步,在直线y=kx+b上取两点A(0,b)和B(1,k+b),则向量=(1,k); 第二步,设n=(x,y)且⊥n,则有x+ky=0,令y=1,则x=-k,即n=(-k,1); 第三步,=(-x0,b-y0)在n上的投影向量 ·n=·n=·n=·(-k,1)=·(-k,1); 第四步,求出距离d=||=·, 所以点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为. 11 学科网（北京）股份有限公司 $