第04讲 平面向量的数量积及数量积坐标表示（6知识清单+2题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（人教A版必修二）数学高一重难点讲义与测试

第04讲平面向量的数量积及数量积坐标表示 知识清单 知识点01：两向量的夹角 知识点02：平面向量数量积的定义 知识点03：投影向量 知识点04：向量数量积的性质 知识点05：向量数量积的运算律 知识点06：平面向量数量积的坐标表示及应用 题型讲解 （举三反三） 题型1：平面向量的数量积及投影向量 题型2：数量积的坐标表示 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1．两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向． ②当θ＝π时，向量a，b反向． ③当θ＝时，向量a，b垂直，记作a⊥b. 知识点2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. 知识点3．投影向量 设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 知识点4．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. （4）|a·b|≤|a||b|. 知识点5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 知识点6. 平面向量数量积的坐标表示及应用 1．平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2 向量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 2.向量模的公式 设a＝(x1，y1)，则|a|＝. 3．两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝. 4．向量的夹角公式 设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，则 cos θ＝＝. 题型1：平面向量的数量积及投影向量 【例1-1】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】要使取到最大值，即要求向量在向量方向上的投影向量的模最大，然后再根据图形即可求出结果． 【详解】依题意，， 因此要使取到最大值，即要求向量在向量方向上的投影向量的模最大， 由图形知，当向量时，向量在向量方向上的投影向量的模最大， 此时在向量方向上的投影向量的模为4，所以的最大值为. 故选：C 【例1-2】（2025高一·全国·专题练习）在中，，，为的外心，则 ． 【答案】 【分析】通过外心性质得到与的值，再利用向量减法运算将转化为，通过向量数量积的分配律计算. 【详解】因为，， 所以． 【例1-3】（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点. (1)若为的中点，且，求的长； (2)若平分，且，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据向量的模长公式即可求解， （2）利用等面积法即可结合面积公式求解. 【详解】（1）在中，，因为为的中点，所以， 两边平方得， 解得，所以. （2）因为平分，所以， 又， 即， 即，可得， 所以. 【变式1-1】（24-25高一下·江西南昌·月考）在三角形中，已知，，点满足，则向量在向量方向上的投影为（ ） A． B． C．- D．- 【答案】B 【分析】根据已知条件可得，点为的重心，可得，先计算在向量方向上的投影，进而可得向量在向量方向上的投影，即可求解. 【详解】由有， 所以，得，即， 如图设的中点为，则， 由，得，得， 所以， 所以， 向量在向量方向上的投影为： ， 因为，所以， 所以向量在向量方向上的投影为， 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一下·北京·期末）如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】连接，过作直线于，交圆于，过作于，利用数量积的几何意义，得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】如图，连接，过作直线于，交圆于，过作于， 因为，所以，且，则在上的投影向量为， 由数量积的几何意义知，若取到最大值，则在同侧， 且，当且仅当与重合时取等号， 又圆的半径为，则，所以， 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）已知向量满足，，且的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量； (3)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)求：先利用向量模的平方等于向量自身平方，将转化为，再用完全平方公式展开，结合向量数量积公式算出结果，最后开方. (2)求在上的投影向量：依据投影向量定义，把已知的和的值代入公式计算. (3)先根据数量积分配律展开式子，解不等式得到的初步范围；再通过设共线关系求出共线时的值，排除这些值，得到最终范围. 【详解】（1）根据向量模的平方等于向量自身平方，可得. 根据完全平方公式，则. 已知，，且，的夹角为，可得. 所以.则. （2）根据投影向量的定义，在上的投影向量为. 由前面计算可知，，所以投影向量为. （3）因为向量与向量的夹角为钝角，所以，且与不共线. 可得. 将，，代入上式，得到，即.解得. 若两向量反向共线，则存在实数，使得， 即，将代入，得到，因，解得. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 题型2：数量积的坐标表示 【例2-1】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】建立坐标系，利用向量数量积的坐标表示，再确定其最大值. 【详解】如图： 以为原点，建立平面直角坐标系，则，， 设，则，，. 所以，. 所以，因为，， 所以，当或，时取等号. 故选：D 【例2-2】已知向量，，向量在向量方向上的投影向量为 .（用坐标表示） 【答案】 【分析】由向量坐标可求出，从而可求方向相同的单位向量；由向量的数量积坐标表示求数量积，进而求出，即可求在向量方向上的投影向量. 【详解】由于，则，即与向量方向相同的单位向量为， 又，则， ∴向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为： 【例2-3】（24-25高一下·福建南平·期末）已知的三个内角，，的对边分别为，，，点是的外心． (1)当时，求； (2)对于任意的，，，，用向量方法证明不等式（当且仅当时，等号成立）； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）由三角形的外形性质，可得向量在向量上的投影向量，根据数量积的定义，可得答案； （2）根据数量积的坐标表示以及模长的坐标公式，结合向量夹角余弦值的取值范围，可得答案； （3）由图形的性质以及数量积的定义式，整理等式，利用（2）所得的不等式，可得答案. 【详解】（1）因为点是的外心，所以点在边的中垂线上．如图设点为线段的中点， 则为向量在向量上的投影向量， 设与的夹角为，所以． （2）构造向量，因为（其中为向量的夹角）， 所以， 于是， 即 当且仅当，即或时，等号成立，此时与共线，有， 即，不等式得证． （3）如图，令，由， 得，化简得． 由点是的外心可知，是三边中垂线的交点，故有， 代入上式得，所以． 又是的外接圆的半径，故， 于是有， 由（2）结论可知，，故， 从而，于是，当且仅当时，等号成立， 因此的最大值为． 【变式2-1】（2025高一·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，点是的中点，点是对角线上的动点，则的最大值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】以为坐标原点，方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，设，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，方向分别为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示： 则，，， 设，则，，所以． 所以当时，取得最大值为2． 故选：B． 【变式2-2】（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知向量，，则与的夹角是 ． 【答案】 【分析】利用数量积的坐标表示及向量的夹角公式即可求解． 【详解】设与的夹角为， 由， 则， 又，则， 所以与的夹角是． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25高一下·河北邯郸·期末）已知平面直角坐标系中，点，单位向量与向量垂直. (1)求单位向量的坐标； (2)若，且，求向量在上的投影向量. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得，设所求为，根据题目条件列方程组求解的值即可； （2）根据题目条件求得，再结合投影向量的定义即可求解. 【详解】（1）由题意，设所求为， 因为单位向量与向量垂直， 所以，解得或； 故所求为； （2）由题意， 因为，且与向量垂直，所以， 解得， 所以，而， 从而， 因为， 所以向量在上的投影向量. 一、单选题 1．（24-25高一下·福建南平·期末）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 则，故C正确. 故选：C 2．已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果. 【详解】易知 所以在上的投影向量为. 故选：D 3．（24-25高一下·湖北荆州·期中）已知向量，在上的投影向量为，则（   ） A． B．8 C．4 D． 【答案】A 【分析】由数量积的几何意义可判断选项正误. 【详解】由得，根据在上的投影向量为，可知在上的投影的数量为， 故根据数量积的几何意义，等于与在上的投影的数量的乘积， 故． 故选：A． 4．（24-25高一下·辽宁·期中）已知的内角为所在平面上一点，且满足，设，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意可知点是的外心，由向量的几何意义可得：，再代入可得，运算求解即可. 【详解】由可知点是的外心， 且，则， 因为外心是中垂线的交点，则有：， 即，可得，解得：， 所以. 故选：A． 5．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知平面向量满足 ，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】设，得，则，再由向量的模公式求解即可． 【详解】设， 因为，所以，得， 得， 则， 当时，取得最小值，为3. 故选：D 6．（24-25高一下·云南大理·月考）已知点在所在平面内，且，若，则（    ） A．7 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】利用表示，再结合投影即可得出，进而求解. 【详解】因为，所以， 所以，则， 因为，所以是的外接圆的圆心， 所以， 则. 故选：D 7．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知P是边长为2的正六边形内部一点（包含边界），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意作图，再利用数量积的几何意义求解. 【详解】由题，作图如下： 设为正六边形的中心，则，故 由正六边形的边长为2，可得， 因为P是正六边形内部一点（包含边界）， 显然，当点与点重合时，在方向上的投影最大，且两者同向共线， 又因为，所以. 故选：D. 8．（24-25高一下·山东威海·期末）已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（    ） A． B．12 C． D．18 【答案】B 【分析】若是的中点，根据已知得，则，结合向量数量积的几何意义求数量积. 【详解】设是的中点，由，则， 所以，又， 则. 故选：B    二、多选题 9．（24-25高一下·河南·期中）已知平面向量，满足，，，则（   ） A． B．与的夹角的余弦值为 C． D．在上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【分析】由向量模长公式及已知条件求出，从而判断A选项；由向量数量积求得向量夹角的余弦值，判断B选项；由向量的数量积为0判断两个向量垂直，判断C选项；利用投影向量的公式，代入对应值即可判断D选项. 【详解】∵，∴，即， ，∴，∴A选项错误； ，B选项正确； ，∴，C选项正确； 在上的投影向量：，D选项正确. 故选：BCD. 10．已知平面向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用平面向量的性质判断A，应用数量积公式计算判断B，应用向量加法计算判断C，应用数量积运算律及性质计算判断D. 【详解】因为向量不能比较大小，A选项错误； ，B选项正确； ，C选项正确； ，D选项正确； 故选：BCD. 11．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知平面向量、、满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上的投影为 C． D．的最大值为 【答案】CD 【分析】根据数量积的性质，根据已知模长可求解，在上的投影，从而判断A，B，C；设，则，根据数量积的运算法则将转化为根据数量积的定义可得，从而可得的最小值即的最大值，可判断D. 【详解】因为， 所以，则，故A不正确； 又在上的投影为，故B不正确； 则，故C正确； 由可设，则， 所以， 又因为， 所以，所以， 当且仅当与反向时，取到最小值，即取得最大值，且最大值为，故D正确. 故选：CD. 三、填空题 12．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，则 . 【答案】 【分析】由平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13．（24-25高一下·天津西青·期末）平面向量，在上的投影为，则 . 【答案】 【分析】根据投影向量的定义求解． 【详解】在上的投影为，则，所以， 故答案为：． 14．在直角坐标系中，O为坐标原点，，四边形OABC是平行四边形，点P为直线OB上的动点，则的最小值是 . 【答案】 【分析】设的中点为M， ，求出的值， 的最小值即可求解. 【详解】如图    设的中点为，则 由，得，又，所以，而的最小值为0，所以的最小值是. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一下·江西·期末）已知向量． (1)若，求的值； (2)若在上的投影数量为，求x的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的坐标，再根据向量数量积的坐标运算公式计算的值； （2）根据向量投影数量的公式列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】（1）若，则，故， 所以． （2）因为在上的投影数量是，所以， 解得． 16．（24-25高一下·河南开封·期末）已知点，，，，且. (1)求x，y之间的关系式； (2)若在上的投影向量的长度为，求x的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得向量的坐标，结合向量的数量积的坐标运算求解即可； （2）由题意可得，结合向量的模的坐标运算可求解. 【详解】（1）因为，， 又，所以； （2）因为，在上的投影向量的长度为， 根据投影的定义及（1）中解答，所以，又， 所以，解之得. 17．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知向量，向量． (1)若向量，求向量的坐标； (2)若向量在向量上的投影为1，求向量，的夹角的大小． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据向量模的坐标形式及向量垂直的坐标公式列方程计算即可； （2）根据数量积的几何意义得，进而利用数量积的夹角公式求解即可. 【详解】（1）设，由得， 因为，向量，所以， 解得或所以或． （2）设向量，的夹角为， 根据投影的定义知，在的投影为，即， 所以，又，所以，所以向量，的夹角的大小为． 18．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角为，角的角平分线为在上. (1)用表示； (2)若为边上一点，且，试确定点的位置，并说明理由. 【答案】(1) (2)为的中点，理由见解析 【分析】（1）先根据角平分线定理得出，由此推出，再利用向量加法和减法法则，将用与表示出来． （2）设，先求出关于与的表达式，再计算，得到一个含$λ$的式子．最后根据已知，建立方程求解，从而确定的位置． 【详解】（1）由角平分线定理得，所以， 所以 （2）设.因为， 所以 因为，所以，解得.故为的中点. 19．（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式，三角恒等变换求得； （2）根据正弦定理即可求解. 【详解】（1）向量，，且， 因为，，所以； （2）因为，所以，解得， 因为，， 所以， 故所求为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲平面向量的数量积及数量积坐标表示 知识清单 知识点01：两向量的夹角 知识点02：平面向量数量积的定义 知识点03：投影向量 知识点04：向量数量积的性质 知识点05：向量数量积的运算律 知识点06：平面向量数量积的坐标表示及应用 题型讲解 （举三反三） 题型1：平面向量的数量积及投影向量 题型2：数量积的坐标表示 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1．两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向． ②当θ＝π时，向量a，b反向． ③当θ＝时，向量a，b垂直，记作a⊥b. 知识点2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. 知识点3．投影向量 设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 知识点4．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. （4）|a·b|≤|a||b|. 知识点5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 知识点6. 平面向量数量积的坐标表示及应用 1．平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 数量积 a·b＝x1x2＋y1y2 向量垂直 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 2.向量模的公式 设a＝(x1，y1)，则|a|＝. 3．两点间的距离公式 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝. 4．向量的夹角公式 设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，则 cos θ＝＝. 题型1：平面向量的数量积及投影向量 【例1-1】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【例1-2】（2025高一·全国·专题练习）在中，，，为的外心，则 ． 【例1-3】（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点. (1)若为的中点，且，求的长； (2)若平分，且，求的面积. 【变式1-1】（24-25高一下·江西南昌·月考）在三角形中，已知，，点满足，则向量在向量方向上的投影为（ ） A． B． C．- D．- 【变式1-2】（24-25高一下·北京·期末）如图，是以直径的圆上的动点，已知，则的最大值是 . 【变式1-3】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）已知向量满足，，且的夹角为． (1)求； (2)求在上的投影向量； (3)若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围． 题型2：数量积的坐标表示 【例2-1】（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【例2-2】已知向量，，向量在向量方向上的投影向量为 .（用坐标表示） 【例2-3】（24-25高一下·福建南平·期末）已知的三个内角，，的对边分别为，，，点是的外心． (1)当时，求； (2)对于任意的，，，，用向量方法证明不等式（当且仅当时，等号成立）； (3)若，求的最大值． 【变式2-1】（2025高一·全国·专题练习）已知正方形的边长为2，点是的中点，点是对角线上的动点，则的最大值为（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知向量，，则与的夹角是 ． 【变式2-3】（24-25高一下·河北邯郸·期末）已知平面直角坐标系中，点，单位向量与向量垂直. (1)求单位向量的坐标； (2)若，且，求向量在上的投影向量. 一、单选题 1．（24-25高一下·福建南平·期末）已知向量，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北荆州·期中）已知向量，在上的投影向量为，则（   ） A． B．8 C．4 D． 4．（24-25高一下·辽宁·期中）已知的内角为所在平面上一点，且满足，设，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知平面向量满足 ，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 6．（24-25高一下·云南大理·月考）已知点在所在平面内，且，若，则（    ） A．7 B．9 C．10 D．11 7．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）已知P是边长为2的正六边形内部一点（包含边界），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（24-25高一下·山东威海·期末）已知P是所在平面内一点，满足，若，，则（    ） A． B．12 C． D．18 二、多选题 9．（24-25高一下·河南·期中）已知平面向量，满足，，，则（   ） A． B．与的夹角的余弦值为 C． D．在上的投影向量的坐标为 10．已知平面向量，，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）已知平面向量、、满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上的投影为 C． D．的最大值为 三、填空题 12．（24-25高一下·上海·期末）已知向量，则 . 13．（24-25高一下·天津西青·期末）平面向量，在上的投影为，则 . 14．在直角坐标系中，O为坐标原点，，四边形OABC是平行四边形，点P为直线OB上的动点，则的最小值是 . 四、解答题 15．（24-25高一下·江西·期末）已知向量． (1)若，求的值； (2)若在上的投影数量为，求x的值 16．（24-25高一下·河南开封·期末）已知点，，，，且. (1)求x，y之间的关系式； (2)若在上的投影向量的长度为，求x的值. 17．（24-25高一下·甘肃白银·期末）已知向量，向量． (1)若向量，求向量的坐标； (2)若向量在向量上的投影为1，求向量，的夹角的大小． 18．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角为，角的角平分线为在上. (1)用表示； (2)若为边上一点，且，试确定点的位置，并说明理由. 19．（24-25高一下·甘肃天水·月考）在中，向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，，求的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $