专题7.2平行线题型突破讲义(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题7.2平行线题型突破讲义 一、 重点 1.平行线的定义同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，强调 “同一平面内” 和 “不相交” 两个核心条件。 2.平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 3.平行线的判定方法 同位角相等，两直线平行。 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。 平行公理推论（平行传递性）。 4.平行线的性质 两直线平行，同位角相等。 两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。 二、 难点 1.平行线判定与性质的区分 判定是由角的数量关系推导出线的位置关系（由角定线）；性质是由线的位置关系推导出角的数量关系（由线定角），二者逻辑关系易混淆。 2.复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角 图形中出现多条直线相交、线段重叠时，难以快速剥离 “三线八角” 的基本模型，准确判断角的类型。 3.几何推理的规范书写 七年级首次接触严谨的几何说理，需掌握 “∵（因为）”“∴（所以）” 的对应关系，做到每一步推理都有依据（如 “同位角相等，两直线平行”），避免逻辑断层。 4.平行线判定与性质的综合应用 需结合已知条件，灵活切换判定和性质解题，例如先由角相等证平行，再由平行推导出其他角的关系。 基础 过关题 1.平面内两直线位置关系 2.平行公理的应用 3.平行公理推论的应用 4.同位角相等.两直线平行 5.垂直同线.两线平行 6.两直线平行.同位角相等 7.两直线平行.内错角相等 8.两直线平行.同旁内角互补 能力 提升题 9.由平行线性质探究角的关系 10.由平行线的性质求角的度数 11.平行线性质生活中的应用 拓展 拔高题 12.由平行线的判定与性质求角度 13.由平行线的判定与性质证明 【题型1.平面内零执行位置关系】 1．在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 2．如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 3．下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 4．有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2.平行公理的应用】 5．如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ． 6．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 7．下面各语句中，正确的有（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 解答题 9．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【题型3.平行公理推论的应用】 10．如果，那么．这个结论的依据是（   ） A．等量代换 B．平行线的定义 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 11．如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 12．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【题型4.同位角相等.两直线平行】 13．如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有 （填写序号） 14．如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 16．为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动 度． 解答题 17．如图，已知，，，试说明：．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式： 解：（已知）， （ ）． （ ） （已知）， （ ）． （ ）． ∴（ ） 即：， ∵（已知） ∴（ ） 即：， ∴（ ） 【题型5.垂直同线.两线平行】 18．已知，，是同一平面内的三条不同直线，且，，则，的位置关系是（   ） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．不能确定 19．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 20．学习了平行线后，王玲同学想出了过直线外一点P画直线a的平行线的新方法．他先按照图2动手实验，得到过点P的折线b，此时点A恰好落在直线a上；再按照图3动手实验，得到过点Ｐ的折线c，此时点B恰好落在折线b上．王玲同学发现：此时得到的过点P的折线c恰好与直线a平行，他的根据是 ．    21．在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ． 【题型6.两直线平行.同位角相等】 22．如图，直线，交于，，则的度数是 ． 23．如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 24．将一个含角的三角板按照如图所示的方式放置在直尺上，此时，直尺边正好是三角板的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 25．空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 【题型7.两直线平行.内错角相等】 26．关于下列说法，正确的是（    ） A．如果两条直线被第三条直线所截，那么所得的内错角相等 B．垂线段最短 C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 27．如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 28．如图，，，垂足为B，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 29．如图，，，用和表示， ． 【题型8.两直线平行.同旁内角互补】 30．如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 31．如图，工人师傅在施工时，需在同一平面内弯制一根变形管道ABCD，使其拐，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．AB与CD相交 32．如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是 ． 33．如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是 ． 【题型9.由平行线性质探究角的关系】 34．如图，已知，，则图中与互补的角有 个． 35．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 36．如图，直线，平分，平分，点，，在同一直线上，若，则 ． 37．如图，已知直线被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线上），设，．下列各式：①；②；③；④，的度数可能是（  ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 38．如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为 ．    【题型10.由平行线性质求角的度数】 39．如图，，，则的度数为 ． 40．如图，，垂直于于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 41．图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意图．若与的夹角为，，则的度数为 ． 42．如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点，是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点．设．下列四个式子：①；②；③；④．一定成立的是（   ） A．①② B．①④ C．③④ D．②④ 解答题 43．已知：如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【题型11.平行线性质生活中的应用】 44．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原来相反的方向上行驶，那么两个拐弯的角（    ） A．先向左转，再向左转 B．先向左转，再向右转 C．先向左转，再向右转 D．先向左转，再向左转 45．如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按 方向开工，才能使隧道准确接通． 46．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则 ． 47．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【题型12.由平行线判定与性质求角度】 48．如图，直线AB，CD被直线EF所截，FG平分．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 49．将直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 50．将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 51．如图，在三角形中，，垂足为点D，直线过点C，且，点G为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点M、N，若，则 ° 解答题 52．如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【题型13.由平行线判定与性质证明】 53．如图，下列结论中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 54．如图，给出下列条件：①；②；③，且；④；其中能推出的条件有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 55．将一副直角三角板如图摆放，已知，，．下列四个结论①；②；③；④．其中正确的是 （填序号） 56．如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.2平行线题型突破讲义 一、 重点 1.平行线的定义同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，强调 “同一平面内” 和 “不相交” 两个核心条件。 2.平行公理及推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 3.平行线的判定方法 同位角相等，两直线平行。 内错角相等，两直线平行。 同旁内角互补，两直线平行。 平行公理推论（平行传递性）。 4.平行线的性质 两直线平行，同位角相等。 两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。 二、 难点 1.平行线判定与性质的区分 判定是由角的数量关系推导出线的位置关系（由角定线）；性质是由线的位置关系推导出角的数量关系（由线定角），二者逻辑关系易混淆。 2.复杂图形中识别同位角、内错角、同旁内角 图形中出现多条直线相交、线段重叠时，难以快速剥离 “三线八角” 的基本模型，准确判断角的类型。 3.几何推理的规范书写 七年级首次接触严谨的几何说理，需掌握 “∵（因为）”“∴（所以）” 的对应关系，做到每一步推理都有依据（如 “同位角相等，两直线平行”），避免逻辑断层。 4.平行线判定与性质的综合应用 需结合已知条件，灵活切换判定和性质解题，例如先由角相等证平行，再由平行推导出其他角的关系。 基础 过关题 1.平面内两直线位置关系 2.平行公理的应用 3.平行公理推论的应用 4.同位角相等.两直线平行 5.垂直同线.两线平行 6.两直线平行.同位角相等 7.两直线平行.内错角相等 8.两直线平行.同旁内角互补 能力 提升题 9.由平行线性质探究角的关系 10.由平行线的性质求角的度数 11.平行线性质生活中的应用 拓展 拔高题 12.由平行线的判定与性质求角度 13.由平行线的判定与性质证明 【题型1.平面内零执行位置关系】 1．在同一平面内有2026条互不重合的直线，，…，，如果，，，，…，以此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据平行线的传递性，如果两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行. 由于所有相邻直线均平行，因此与平行. 【详解】解：∵，，，，…，， ∴由平行线的传递性，. 故选：B 2．如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【答案】 相交 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 根据不平行于，来判定与的关系． 【详解】解：∵不平行于，， ∴不平行于（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行） 即所在的直线与地面相交． 故答案为：相交；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 3．下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线和相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 4．有下列说法：①相等的角叫对顶角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两点之间的距离是两点间的线段；⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行或垂直两种．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查对顶角、平行线、垂线、距离和直线位置关系等概念的正确理解． 对照对顶角、平行线、垂线、两点间距离、直线位置关系的概念，逐一判断每个说法的正确性，统计正确说法的个数． 【详解】解：①相等的角不一定是对顶角，错误，不符合题意； ②过一点不一定有平行线，正确表述需指定过直线外一点，错误，不符合题意； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意； ④两点之间的距离是两点间线段的长度，不是线段本身，错误，不符合题意； ⑤在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有平行和相交，错误，不符合题意． ∴只有③正确，共1个． 故选：A． 【题型2.平行公理的应用】 5．如图，取一张长方形的硬纸板，将硬纸板对折使与重合，为折痕．把长方形平放在桌面上，另一个面无论怎么改变位置，总有存在，理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行公理推论，根据平行于同一条直线的两条直线平行即可求解，正确理解平行公理推论是解题的关键， 【详解】解：∵，， ∴， 理由：平行于同一条直线的两条直线平行， 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行． 6．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 【答案】过直线外点有且只有条直线与这条直线平行 【分析】本题考查的是平行公理．根据平行公理可得． 【详解】解：∵，，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点M，C，N在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 7．下面各语句中，正确的有（    ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平行线的有关内容，掌握平行公理即推论是解题关键． 根据平行线的定义及平行公理，对选项逐一分析即可． 【详解】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原说法错误； ②在同一平面内，两条直线的位置关系为相交，平行，故原说法正确； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行，说法错误； ④如果，，那么，说法正确； ⑤过一点有且只有一条直线平行于已知直线，说法错误． 综上所述，正确的有②④，共个 故选：B． 8．已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 【答案】B 【分析】本题考查直线与直线的位置关系，利用直线平行或垂直的性质逐项判断即可． 【详解】A：，但反推回去不一定成立（如图1）； B：正确（如图2） C：，但反推回去不一定成立（如图3）； D：分别与相交或平行（如图4，除去均与平行及均与相交的直线恰好相互平行的情形）． 解答题 9．如下图，已知三角形，点P在边上． (1)过点P画的平行线交于点T； (2)过点C画； (3)直线_______（填位置关系）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要是考查的尺规作图及平行公理的运用，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）按照作平行线的方法画图即可； （2）按照作平行线的方法画图即可； （3）根据平行于同一条直线的两直线平行，即可解题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，直线即为所求． （3）解：，， ， 故答案为：． 【题型3.平行公理推论的应用】 10．如果，那么．这个结论的依据是（   ） A．等量代换 B．平行线的定义 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理及推论，由，利用“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，即可得出． 【详解】解：∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故选：D． 11．如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，根据平行线的定义和平行公理的推论，进行判断即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故模型中与平行的棱共有3条； 故选C． 12．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点N，P，M在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【题型4.同位角相等.两直线平行】 13．如图，下列条件中：①；②；③；④，其中能判定的条件有 （填写序号） 【答案】③④ 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练应用平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意． 故答案为：③④． 14．如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同旁内角互补、内错角相等、同位角相等时，对应的两直线平行是解题的关键． 逐个分析每个条件，结合平行线的判定规则，判断能否推出． 【详解】解：①，（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ②，（内错角相等，两直线平行），无法判定，不符合题意； ③，（内错角相等，两直线平行），符合题意； ④，（同位角相等，两直线平行），符合题意． 综上所述，能判定的条件有3个， 故选：C． 15．如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角相等，根据平行线的判定定理逐项判断即可得出结果． 【详解】解：A、，内错角相等两直线平行，可以判定，不符合题意； B、同位角相等两直线平行，可以判定，不符合题意； C、如图， ，， ，同旁内角互补两直线平行，可以判定，不符合题意； D、，同旁内角相等，但不一定互补，所以不能判定． 故选：D． 16．为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动 度． 【答案】20 【分析】本题考查垂直的定义，以及平行线判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据垂直的定义得到电池板与水平线夹角，再结合平行线判定求解，即可解题． 【详解】解：太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直， 电池板与水平线夹角为， 电池板与水平线夹角为， 要使， 电池板至少转动， 故答案为：20． 解答题 17．如图，已知，，，试说明：．完善下面的解答过程，并填写理由或数学式： 解：（已知）， （ ）． （ ） （已知）， （ ）． （ ）． ∴（ ） 即：， ∵（已知） ∴（ ） 即：， ∴（ ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理，完善证明过程即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 即， ∵（已知）， ∴（等量代换）， 即， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 【题型5.垂直同线.两线平行】 18．已知，，是同一平面内的三条不同直线，且，，则，的位置关系是（   ） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理即可确定答案． 【详解】解：在同一平面内，若两条直线分别垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行． ∵直线和直线均垂直于直线，如图： ∴ ∴ 即与的位置关系为互相平行． 故选：A． 19．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质及垂直的性质，逐项进行分析，用排除法即可找到答案．熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：A．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； B．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； C．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； D．若，，则，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 20．学习了平行线后，王玲同学想出了过直线外一点P画直线a的平行线的新方法．他先按照图2动手实验，得到过点P的折线b，此时点A恰好落在直线a上；再按照图3动手实验，得到过点Ｐ的折线c，此时点B恰好落在折线b上．王玲同学发现：此时得到的过点P的折线c恰好与直线a平行，他的根据是 ．    【答案】在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 【分析】在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．据此即可解答． 【详解】解：由图2可知：,由图3可知：, ∴（在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）． 故答案为：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行是解答本题的关键． 21．在同一平面内有2023条直线，，…，，如果，，，，……，以此类推，那么与的位置关系是 ． 【答案】（或垂直） 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：（或垂直）． 【点睛】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． 【题型6.两直线平行.同位角相等】 22．如图，直线，交于，，则的度数是 ． 【答案】/132度 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角互补，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等，得，结合邻补角互补，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 23．如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等，解题的关键在于准确识别图中熟练掌握平行线的性质，准确识别同位角，利用平行线的性质算出，用补角、余角、对顶角推算出的度数． 【详解】如下图 ∵ ∴ ∴ ∵直线 ∴ ∴ 故选：B． 24．将一个含角的三角板按照如图所示的方式放置在直尺上，此时，直尺边正好是三角板的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和、对顶角、角平分线与平行线的性质．准确识图，熟练利用角平分线和三角形内角和，平行线的性质是解题的关键． 根据三角板的特性及角平分线与三角形的内角和求出的大小，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：在含角的三角板中，， ∵为平分线， ∴， 由三角形的内角和可得，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 25．空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练运用平行线的判定及性质是解题的关键． 过E作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：过E作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 【题型7.两直线平行.内错角相等】 26．关于下列说法，正确的是（    ） A．如果两条直线被第三条直线所截，那么所得的内错角相等 B．垂线段最短 C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线段最短、平行公理、垂直，熟练掌握相关知识是解题关键．根据平行线的性质、垂线段最短、垂直、平行公理逐项判断即可得． 【详解】解：A、如果两条平行线被第三条直线所截，那么所得的内错角相等；则原说法错误，此项不符合题意； B、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，则原说法正确，此项符合题意； C、在同一平面内，经过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，则原说法错误，此项不符合题意； D、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，则原说法错误，此项不符合题意； 故选：B． 27．如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，关键是相关性质和定义的熟练掌握． 由两直线平行，内错角相等可得到，再根据角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 28．如图，，，垂足为B，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，余角． 由，可得和互余，由平行线的性质，可得，从而可得的度数． 【详解】解：∵，垂足为B， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 29．如图，，，用和表示， ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，作，，则，由平行线的性质可得，，，再结合几何图形分析即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型8.两直线平行.同旁内角互补】 30．如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，如图，由，得，从而求出，最后由对顶角相等即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 31．如图，工人师傅在施工时，需在同一平面内弯制一根变形管道ABCD，使其拐，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．AB与CD相交 【答案】A 【分析】利用平行线的判定定理来判断与是否平行，再分析其他选项． 【详解】解：∵， ∴． A、根据“同旁内角互补，两直线平行”，∴，A选项符合题意； B、题中没有任何条件能表明，B选项不符合题意； C、题中没有任何条件能表明，C选项不符合题意； D、由前面得出，∴与不相交，D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题关键是“同旁内角互补，两直线平行”来判断直线是否平行． 32．如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G．若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，由此可求解与的度数，再根据由此可求解． 【详解】解：，， ，． ，， ，， ． 故答案为：． 33．如图，如果，那么x、y、z之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补，解题关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 依据平行线的性质得出，，进而得到，，据此可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【题型9.由平行线性质探究角的关系】 34．如图，已知，，则图中与互补的角有 个． 【答案】3/三 【分析】本题考查了平行线的性质，互余的定义，掌握平行线的性质是解题关键．根据平行线的性质可得，，，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， 图中与互补的角有、、，共3个， 故答案为：3． 35．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，对于下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角等于，邻补角的定义，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．根据平行线的性质，平角等于对各小题进行验证即可得解． 【详解】解：∵纸条的两边互相平行， ∴，，．故①②④正确： ∵三角板是直角三角板， ∴．故③正确； 综上所述，正确的个数是4． 故选：D． 36．如图，直线，平分，平分，点，，在同一直线上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．作，，根据平行公理的推论，平行线的性质，对顶角的性质和角平分线的性质表示出和，再结合即可求出． 【详解】如图，作，， 则， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， 设， ∵， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 37．如图，已知直线被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线上），设，．下列各式：①；②；③；④，的度数可能是（  ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．由题意根据点有种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形内角和定理进行计算求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，由，可得， ∵， ∴； 第二种情况：如图，过作平行线，则由， 可得， ∴； 第三种情况：如图，由，可得， ∵， ∴； 第四种情况：如图，由，可得， ∴； 第五、六种情况：当点在的下方时，同理可得或； 综上所述，的度数可能为，即①②③④． 故选：D． 38．如图，，点位于两平行线之间且在点、的右侧，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点设的度数是，则的度数用表示为 ．    【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、角平分线定义、平行线性质，熟练掌握以上知识点是关键．过点作，利用平行线性质得到，进而得到，同理可得，…依此类推得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴同理可得， ∴， ∵， ∴， 同理，， …… 依此类推，． ∴的度数用表示为． 故答案为：． 【题型10.由平行线性质求角的度数】 39．如图，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及邻补角的定义，掌握两直线平行，内错角相等、邻补角之和为是解题的关键． 由，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，再根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解： 与是邻补角 故答案为：． 40．如图，，垂直于于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质、垂线，根据平行线的性质，可以求得，然后根据的度数和，即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 41．图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意图．若与的夹角为，，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键．过点B作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，过点B作， ∵，， ， ∴，， ∴， ∵与的夹角为， ∴， ∴． 故答案为：． 42．如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点，是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点．设．下列四个式子：①；②；③；④．一定成立的是（   ） A．①② B．①④ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，画出图形分类讨论是解题的关键． 分点在点右侧，点在和之间，根据平行线的性质和角平分线的定义，分别求出结论即可． 【详解】解：当点在点右侧时，如图示： 平分，平分， ，， ， ． ， ， 当点在和之间时，如图： 平分，平分， ，， ， ． ， ，则； 综上：①④正确，②③错误； 故选：B． 解答题 43．已知：如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，等量代换可得，根据平行线的判定定理即可得证； （2）过点作，根据平行线的性质与判定可得，，根据即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， ， ， ∴，， ． 【题型11.平行线性质生活中的应用】 44．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，在与原来相反的方向上行驶，那么两个拐弯的角（    ） A．先向左转，再向左转 B．先向左转，再向右转 C．先向左转，再向右转 D．先向左转，再向左转 【答案】A 【分析】本题重点考查方向角的理解与应用，理解“在与原来相反的方向上行驶”意味着方向改变180度，并正确计算两次拐弯的角度和或差是解题的关键． 汽车两次拐弯后方向与原方向相反，说明两次拐弯的总方向改变量为180度，根据这个判断即可． 【详解】汽车两次拐弯后方向与原方向相反，说明两次拐弯的总方向改变量为180度， 选项A，先向左转，再向左转，总改变量为，满足条件； 选项B，先向左转，再向右转，总改变量为，方向不变，不符合； 选项C，先向左转，再向右转，总改变量为，不符合； 选项D，先向左转，再向左转，总改变量为，不符合． 故选：A． 45．如图所示，修高速公路需开凿隧道，为节省时间，现从山的两侧、处同时开工．如果在处测得隧道的走向是北偏东，那么在处应按 方向开工，才能使隧道准确接通． 【答案】南偏西 【分析】本题考查平行线的性质和方向角在实际生活中的运用，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，利用平行线的性质解答． 如图，根据根据平行线的性质得出，再根据方位角的概念，表示出方位角，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴按南偏西的方向开工． 故答案为：南偏西． 46．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，反之亦然．如图，若水面和杯底是互相平行的，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，先由得出的度数，根据即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 47．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．如图是某品牌共享单车在水平地面上的示意图，其中，都与地面平行，，，与平行，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据平行线的性质定理求解即可． 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ，， ， 故选：B． 【题型12.由平行线判定与性质求角度】 48．如图，直线AB，CD被直线EF所截，FG平分．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，掌握同位角相等判定两直线平行，两直线平行内错角相等是解题的关键． 先通过判定AB与CD平行，再利用角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的内错角相等性质，得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵，FG平分， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 49．将直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，与三角板有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点W作，先得，得，结合对顶角相等把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：如下图，过点W作 依题意得：，， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 50．将一块含角的直角三角板如图放置，已知直线，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，能正确作出辅助线是解此题的关键． 过C作，求出，根据平行线的性质得出，，即可求出答案． 【详解】解：如图，过C作直线， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 51．如图，在三角形中，，垂足为点D，直线过点C，且，点G为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点M、N，若，则 ° 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定以及角平分线的定义的综合运用，解题时注意平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．依据，，可得，进而判定，即可得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵与的角平分线、分别交于点M、N， ∴，， ∴， 故答案为：． 解答题 52．如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的度数为． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）由得，进而得；结合，得，即可证得结论； （2）由得，由平分，可得，由，可得；由且，可得，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴由得． ∵于点F，， ∴，即， ∴， ∴． ∴的度数为． 【题型13.由平行线判定与性质证明】 53．如图，下列结论中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的综合判定，熟练掌握平行线判定方法是解题的关键； 根据平行线的判定定理逐项分析即可． 【详解】解：A、利用“内错角相等，两直线平行”即可判定原结论正确，不符合题意； B、当时，无法判定，原结论不一定正确，符合题意； C、利用“同位角相等，两直线平行”即可判定原结论正确，不符合题意； D、利用“两直线平行，同旁内角互补”即可判定原结论正确，不符合题意； 故选： B． 54．如图，给出下列条件：①；②；③，且；④；其中能推出的条件有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：①能推出，故①不符合题意； ②能推出，故②符合题意； ③由得出，结合可得，故能推出，故③符合题意； ④能推出，故④符合题意； 综上所述，能推出的条件有②③④， 故选：D． 55．将一副直角三角板如图摆放，已知，，．下列四个结论①；②；③；④．其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据三角板的特点可得，则由平角的定义可判断①；可证明，据此可判断②；如图所示，延长交于点，由平行线的性质得到，再求出的度数即可判断③④． 【详解】解：根据题意，，， ∴，，， ∵， ∴，故结论①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故结论②正确； 如图所示，延长交于点，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故结论③正确； ∵， ∴，故结论④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 56．如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线定义． （1）由平行线的性质得，从而得，从而； （2）由邻补角的性质得到，由角平分线定义求出，于是得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $