由指对幂函数的零点求参数问题、函数新定义问题专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

由指对幂函数的零点求参数问题、函数新定义问题专项训练 由指对幂函数的零点求参数问题、函数新定义问题专项训练 考点目录 由指对幂函数的零点求参数问题 函数新定义问题 考点一 由指对幂函数的零点求参数问题 例1．（25-26高二上·贵州黔东南·期中）已知函数，若是函数的零点，且，则的值（    ） A．恒为正数 B．等于0 C．恒为负数 D．不能确定正负 【答案】A 【详解】∵函数在上单调递减， 且是函数的零点， ， ∴在上，有， ，. 故选：A. 例2．（24-25高一下·贵州黔西·期末）已知函数则有（   ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 【答案】D 【详解】对于A选项，，故，A错； 对于B选项，当时，；当时，. 因此，函数的值域为，B错； 对于C选项，因为，，则， 故函数在不是增函数，C错； 对于D选项，如下图所示： 当时，直线与函数的图象有两个交点， 此时关于的方程有两个不相等的实数根， 故实数的取值范围是，D对. 故选：D. 例3．（25-26高一上·四川达州·月考·多选）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为4 C． D． 【答案】ACD 【详解】令，如图所示， A，在同一坐标系内作出函数和的大致图象， 由图象知，要使得方程有四个不同的零点，只需，故A正确； B，因为，，， 且函数关于对称， 由图象得，且，， 所以，可得，则， 所以，其中， 令，当且仅当时，取得最小值， 而，所以，故B错误； C，由上知，，所以，故C正确； D，由，，且， ， 令，，易知在上单调递减， ，故D正确. 故选：ACD 例4．（23-24高三上·甘肃平凉·月考·多选）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】解：由函数，作出其函数图象如图所示， 由图可知，； 当时，令，或， 所以； 由，得， 即， 所以，由图可知， 故选:BCD. 例5．（25-26高一上·天津南开·月考）函数，直线与的图象的四个交点的横坐标从左到右依次为、、、，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 由图可知点与点关于直线对称，所以，且， 所以， 因为函数在上单调递减，因为，所以， 且，因为，所以， 且有，故，即， 所以， 故的取值范围为. 故答案为：. 例6．（25-26高一上·天津南开·期中）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故答案为： 变式1．（25-26高三上·陕西西安·月考）已知函数若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，作出的大致图象，如图所示， 要使得， 即函数与的图象有4个不同交点，则， 所以实数的取值范围是． 故选：A. 变式2．（25-26高一上·广东汕尾·月考）若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 作出函数的图象，如图所示： 令，则， 由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点， 从而函数有3个零点， 但对恒成立，即对恒成立， 又，则， 所以. 故选：D. 变式3．（25-26高一上·江苏南通·月考·多选）已知函数，若关于的方程有3个实数解，则（　　） A． B． C． D．关于的方程有3个实数解 【答案】AC 【详解】作出函数的图象，如图所示， 对于A，因为方程有3个实数解， 即函数与的图象有三个不同的交点， 结合图象，可得，故A正确； 对于B，当时，，可得其对称轴为，所以， 当时，由，即，解得，即， 因为，可得，则， 所以，故B错误； 对于C，当时，由，可得，所以， 当时，由，即，即， 则，故C正确； 对于D，当时，由， 可得在上为单调递减函数，且，即， 设，则， 由方程，即，其中， 当时，可得，即，解得，方程有唯一解； 当时，可得，则，解得， 因为，当，此时不满足，舍去； 当，此时满足，所以此时有唯一的解， 综上可得，方程只有两个实数解，所以D错误. 故选：AC. 变式4．（25-26高一上·河南·月考·多选）已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A：易知与在上单调递减，故在上单调递减， 又因为，， 根据零点存在定理，可知零点，故A正确； 对于B：由题可知，，， ，易知与在上单调递增， 因此在上单调递增， 又因为，故，得，即，故B正确； 对于C：由B可知，，， 故，得，故C正确； 对于D：由B可知，在上单调递增， ，，由零点存在定理可知. 由C可知，则，因此， 令，解得，与矛盾，故D错误. 故选：ABC. 变式5．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考）已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围 ． 【答案】 【详解】函数有且仅有2个零点，则与有2个交点， 当时，单调递增，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 且，最小值为， 可得函数的图象，如图所示：    利用的图象知的取值范围是． 故答案为： 变式6．（25-26高一上·广东广州·月考）已知，若互不相等，且，则的范围是 ． 【答案】 【详解】函数在，上单调递减，在上单调递增，，， 画出的图象，如图， 令，由，得，，， 由，得，即，由，得， 于是，由对勾函数性质知，在上递增，则， 所以的范围是． 故答案为： 考点二 函数新定义问题 例1．（25-26高一上·湖北·月考）函数的定义域为，若区间，函数在上的值域是，则称为函数的“跟随区间”，特别地，当时，称是函数的“保值区间”. (1)求函数 的“跟随区间”； (2)证明：函数不存在“保值区间”； (3)定义域为的函数满足：①为奇函数；②当时， 若函数在上存在“保值区间”，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【详解】（1）解：设函数的“跟随区间”为，则的值域为 因为， 所以，即， 所以函数在上单调递增， 所以，即是一元二次方程的两个实数根，解得或， 又因为，所以，. 所以函数的“跟随区间”为. （2）证明：函数的定义域为 假设函数存在“保值区间”（），则必有或， 因为在和上均为单调递减函数， 所以，两式作差得：，即 因为，所以，即， 将代入得，此方程无解， 所以函数不存在“保值区间”. （3）解：因为为奇函数， 所以函数的图象关于点对称，即 当时，， 所以当时，，， 所以， 当时，，且单调递增， 因为函数的图象关于点对称， 所以当时，，且单调递增， 所以，在与图象如图所示：        当时，函数，显然不存在“保值区间”， 若函数在存在“保值区间”（）， 当时， 若，则，所以，不合题意， 所以若在存在“保值区间”，则必有 因为函数在上单调递增， 所以，即， 所以在上有两个不同的解， 令，则，当且仅当时等号成立，且，时有两个不同的解； 所以， 当时， 若，则，所以，不合题意， 所以，若在存在“保值区间”，则必有， 由于函数在上单调递减， 所以， 两式作差得，即：， 将代入得， 即，所以， 所以，当，，时，在存在“保值区间” 综上，当实数的取值范围为 例2．（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知函数的定义域为，记，其中，且． (1)当，求函数的零点； (2)当，若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数的充要条件是“任取中两个不相同元素和，均有”． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）， ，令，解得， 函数的零点为． （2），， ， 若存在，使得成立，其中，且， 当时，，不满足，舍去； 当时，是斜率大于0的一次函数，在上单调递增，最小值为， 存在使得成立； 当时，单调递增，最小值， ，不满足； 当时，是斜率小于0的一次函数，在上单调递减， 当时，，故存在使得； 综上，实数的取值范围为． （3）必要性：任取、，不妨设，取为正有理数，则有， 在上是严格增函数，， 即，化简得， ，即． 充分性：任取中不同的元素和，不妨设，设， 其中、为整数，、、、为正整数， 取正数，则，和为整数，为正整数． 设，则， 取， 故，即． ， 同理，． ，则． 、为整数，为正整数， ，故，即， 对于任意的正有理数，函数在上是严格增函数． 例3．（25-26高一上·青海海东·期末）若存在，使得函数对其定义域内的任意，，当时，恒成立，则称为“t积轴函数”，t为轴积系数. (1)证明：既是奇函数，又是“2积轴函数”. (2)已知函数，证明：是“t积轴函数”. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 且，所以函数为奇函数. 当时，， 则，所以函数为“2积轴函数”. （2）因为. 设为“积轴函数”，则 当，，且时，， 则 又 由恒成立，得. 所以为“4积轴函数”. 例4．（25-26高一上·河南·月考）已知函数，若对于其定义域中任意的非零实数，都有，就称函数为“JC函数”. (1)已知，判断是否是“JC函数”，并说明理由； (2)已知函数是定义在上的“JC函数”，函数在上单调递增，判定并证明函数在上的单调性； (3)若函数是“JC函数”，且定义域为，已知时，，求函数的解析式，并指出方程是否有正整数解？若有整数解，请求出；若没有整数解，请说明理由. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)单调递增，证明见解析 (3)，有，9 【详解】（1）由于不恒成立， 所以不是“JC函数”. （2）函数在上单调递增. 由函数是定义在上的“JC”函数，得，即， 任取，则， 由，得，由在上单调递增，得， 则，即， 所以在上单调递增. （3）当时，，则当时，， ，当时，，解得， 所以函数的解析式为； 而，则方程有正整数解9， 又函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 因此方程有唯一正整数解， 所以方程有正整数解，且正整数解为. 变式1．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. (1)分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； (2)已知二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质，解关于的不等式； (3)已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围. 【答案】(1)具有性质；不具有性质；理由见解析 (2) (3) 【详解】（1）对任意，得，所以具有性质； 对任意，得. 易得只需取，则，所以不具有性质； （2）设二次函数满足性质. 则对任意，满足， 若，取，矛盾. 所以，此时， 满足，即为偶函数； 则不等式可化为，即， 解得不等式的解集为； （3）由于，函数的定义域为. 易得. 若函数具有性质，则对于任意实数， 有， 即，即. 由于函数在上严格递增，得，即. 当时，对任意实数恒成立. 当时，易得，由，得， 得，得， 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即. 当时，得，得. 由题意得对任意实数恒成立， 所以，即. 综上所述，的取值范围为. 变式2．（25-26高一上·上海闵行·月考）若为定义在上的单调函数，且存在（其中），使得当时，的取值范围为，则称是上的正函数，为等域区间. (1)判断是否为函数的一个等域区间（不用说明理由，直接写出答案） (2)是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. (3)设函数，且不等式的解集恰为，求的解析式，并判断是否为的等域区间. 【答案】(1)是 (2)存在； (3)答案见解析 【详解】（1）是函数的一个等域区间； 由于是定义域内的增函数，， 取值范围是， 故是函数的一个等域区间； （2）因为是上的减函数， 所以当时，，即， 两式相减得，即， 由，，得，解得， 所以， 记，在单调递增， 所以时，， 即，所以， 所以存在，使得是上的正函数． （3）由不等式的解集为， 得，且，，， 所以①，②， 将代入①，得，即， 因为， ，所以或， 解得或， 当时，，， 当时，不具有单调性，且， 所以不是的等域区间； 当时，，， 当时，不具有单调性，且， 所以不是的等域区间． 变式3．（25-26高一上·陕西渭南·期末）澄城县某中学数学兴趣小组研究一个定义在区间的函数；发现他们满足两个条件：①对于任意的，都有；②时， (1)的值为多少 (2)证明：在上是增函数 (3)设；解不等式． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）令，得，解得：； （2）任取，，而且． 由①得．，； 又因为，，所以，则．因此． 由②得． 在递增 （3），得， 当，，左边，不满足 当（且）则； 所以 当，则，不满足 综上：不等式的解集为． 变式4．（25-26高一上·上海静安·月考）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． (1)证明：不是函数的一个“翻倍区间”； (2)判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； (3)已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是，证明见解析； (2)存在，； (3)． 【详解】（1）证明：由函数在上单调增函数知函数在上的值域为， 而“翻倍区间”要求的值域为，二者不符， 故不是函数的一个“翻倍区间”； （2）假设存在一个“翻倍区间”，由函数是上的单调增函数得， 解得，，由知所有“翻倍区间”为； （3）由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数，而， 所以，解得， 由知，可得是方程的两个根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 则有或， 解得或， 综上，实数的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $由指对幂函数的零点求参数问题、函数新定义问题专项训练 由指对幂函数的零点求参数问题、函数新定义问题专项训练 考点目录 由指对幂函数的零点求参数问题 函数新定义问题 考点一 由指对幂函数的零点求参数问题 例1．（25-26高二上·贵州黔东南·期中）已知函数，若是函数的零点，且，则的值（    ） A．恒为正数 B．等于0 C．恒为负数 D．不能确定正负 例2．（24-25高一下·贵州黔西·期末）已知函数则有（   ） A． B．的值域为 C．在上单调递增 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 例3．（25-26高一上·四川达州·月考·多选）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最小值为4 C． D． 例4．（23-24高三上·甘肃平凉·月考·多选）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例5．（25-26高一上·天津南开·月考）函数，直线与的图象的四个交点的横坐标从左到右依次为、、、，则的取值范围是 . 例6．（25-26高一上·天津南开·期中）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为 ． 变式1．（25-26高三上·陕西西安·月考）已知函数若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·广东汕尾·月考）若函数，恰有3个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·江苏南通·月考·多选）已知函数，若关于的方程有3个实数解，则（　　） A． B． C． D．关于的方程有3个实数解 变式4．（25-26高一上·河南·月考·多选）已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 变式5．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·月考）已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围 ． 变式6．（25-26高一上·广东广州·月考）已知，若互不相等，且，则的范围是 ． 考点二 函数新定义问题 例1．（25-26高一上·湖北·月考）函数的定义域为，若区间，函数在上的值域是，则称为函数的“跟随区间”，特别地，当时，称是函数的“保值区间”. (1)求函数 的“跟随区间”； (2)证明：函数不存在“保值区间”； (3)定义域为的函数满足：①为奇函数；②当时， 若函数在上存在“保值区间”，求实数的取值范围. 例2．（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知函数的定义域为，记，其中，且． (1)当，求函数的零点； (2)当，若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)当，求证：“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数的充要条件是“任取中两个不相同元素和，均有”． 例3．（25-26高一上·青海海东·期末）若存在，使得函数对其定义域内的任意，，当时，恒成立，则称为“t积轴函数”，t为轴积系数. (1)证明：既是奇函数，又是“2积轴函数”. (2)已知函数，证明：是“t积轴函数”. 例4．（25-26高一上·河南·月考）已知函数，若对于其定义域中任意的非零实数，都有，就称函数为“JC函数”. (1)已知，判断是否是“JC函数”，并说明理由； (2)已知函数是定义在上的“JC函数”，函数在上单调递增，判定并证明函数在上的单调性； (3)若函数是“JC函数”，且定义域为，已知时，，求函数的解析式，并指出方程是否有正整数解？若有整数解，请求出；若没有整数解，请说明理由. 变式1．（25-26高一上·辽宁抚顺·期末）函数的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质. (1)分别判断函数与是否具有性质，并说明理由； (2)已知二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质，解关于的不等式； (3)已知为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围. 变式2．（25-26高一上·上海闵行·月考）若为定义在上的单调函数，且存在（其中），使得当时，的取值范围为，则称是上的正函数，为等域区间. (1)判断是否为函数的一个等域区间（不用说明理由，直接写出答案） (2)是否存在实数，使得函数是上的正函数？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. (3)设函数，且不等式的解集恰为，求的解析式，并判断是否为的等域区间. 变式3．（25-26高一上·陕西渭南·期末）澄城县某中学数学兴趣小组研究一个定义在区间的函数；发现他们满足两个条件：①对于任意的，都有；②时， (1)的值为多少 (2)证明：在上是增函数 (3)设；解不等式． 变式4．（25-26高一上·上海静安·月考）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． (1)证明：不是函数的一个“翻倍区间”； (2)判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； (3)已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $