函数的周期性与对称性、抽象函数的性质期末培优复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的周期性与对称性、抽象函数的性质期末培优复习讲义 函数的周期性与对称性、抽象函数的性质期末培优复习讲义 考点目录 函数的周期性与对称性 抽象函数的性质 考点一 函数的周期性与对称性 【知识点解析】 1.函数的对称性 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. ③若函数满足，则函数关于对称. ④若函数满足，则函数关于对称. ⑤若函数满足，则函数关于对称. 2.函数的周期性 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 由周期函数的定义可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小正周期. ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 3. 奇偶性、周期性、对称性的定义 性质 核心定义 关键特征 奇偶性 奇函数： 偶函数： 对称性的特殊情况 周期性 存在非零常数，使， 最小的正称为“最小正周期” 函数图像沿轴平移后重合 对称性 轴对称：存在直线，使得 中心对称：存在点，使得 图像的 “翻折不变性”（轴对称）或 “旋转不变性”（中心对称） 4.核心关系推导 （1）已知函数为偶函数，关于直线对称，则周期. （2）已知函数为奇函数，关于直线对称，则周期. （3）已知函数为偶函数，关于点对称，则周期. （4）已知函数为奇函数，关于点对称，则周期. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知函数的定义域为，，是奇函数.且当时，，则函数的零点个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】因为是定义在上的函数且满足，则关于对称， 又是奇函数，则，关于对称， 且当时，，可以画出的图形， 则的零点个数转化为与的交点个数， 如图，当时，， 故两个图像交点的个数为10，即的零点个数为10. 故选：D 例2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）设是定义域为的奇函数，且．若，则（　　） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，， 所以4是的周期，故 故选：D 例3．（2026·吉林长春·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】D 【详解】由可得， 用替换，则， 即， 所以函数是以为周期的周期函数， 由，令，则， 且是定义在上的奇函数，则，所以， 令，则，且，则， 令，则，因为，所以， 所以， 则 . 故选：D 例4．（25-26高一上·上海·月考）已知定义在上的偶函数满足，则的值为 . 【答案】0 【详解】因为，所以，即， 又为偶函数，所以，所以， 所以，即， 综上，，即，故是以4为周期的周期函数. 由，令，得，即，所以. 由，令，得. 所以. 故答案为：0. 例5．（25-26高一上·山西吕梁·月考）函数是定义在上的奇函数，且满足，若，则 ． 【答案】4 【详解】，则，又是奇函数， ，则， 所以是周期为4的周期函数， 又是定义在上的奇函数，所以，， 又由，得到，所以，， 所以，又， 则． 故答案为：． 例6．（2025·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，若，，则 . 【答案】3 【详解】，则，故， 所以的一个周期为4，所以， 又中，令得， 故，则. 故答案为：3 例7．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知是定义在上的函数，对、都有，且满足. (1)判断函数的奇偶性，并证明之； (2)证明：； (3)求的值. 【答案】(1)是定义在的偶函数；证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为是定义在上的函数， 对、都有 令得，可得， 再令得，所以是定义在的偶函数. （2）令得， 再令得， 两式相加得，这里不恒为零， 故，即， 又因为函数为偶函数，则， 所以，所以函数是周期为的周期函数. （3）由（2）知，，，，， 所以，， 令得； 令，得，又， 得到； 令得， 所以 . 例8．（25-26高一上·甘肃张掖·期末）定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中点为函数图象的对称中心．已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心． (1)求函数的定义域； (2)求函数图象的对称中心； (3)若当时，函数的值域恰为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 根据对数函数的性质可知，解得或， 所以函数的定义域为． （2）设函数图象的对称中心为，则 所以 ， 对成立，则可知， 则可知上式的分子分母成比例，则可得，解之可得， 代入，故， 所以函数图象的对称中心是点． （3）由（1）知，的定义域为， 因为或， ①若，则，可知函数单调递增， 任取，且，则，即． 则即， 所以当，复合函数在上单调递减， 又当时，的取值范围恰为，所以必有且， 解得（舍去），所以， ②若，则， 又因，所以， 同上可证复合函数在上单调递增， 则在上的取值范围应为，而为常数， 所以函数在上的值域不可能恰为，故在这种情况下，无解， 综上，． 【变式训练】 变式1．（2025·新疆·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】，故， 两式相减得，故的一个周期为6， ， 中，令得， 又，故，所以 故选：C 变式2．（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数的对称中心为， 则函数为奇函数， 则， 得， 整理得， 所以，解得， 所以函数图象的对称中心是. 故选：A. 变式3．（25-26高一上·重庆·月考）已知是定义在上周期为2的函数，且的图象关于对称．当时，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的图象关于对称，所以； 令，得到 又因为是定义在上周期为的函数， 所以，所以. 故选：D. 变式4．（25-26高一上·上海奉贤·月考）设在区间上的奇函数，对任意，都有，， ． 【答案】 【详解】对，都有， 可知函数是周期函数，且周期为4，， 且函数是定义在上的奇函数，， 则，则. 故答案为： 变式5．（25-26高一上·江苏南通·月考）若函数是奇函数，则函数图象可以关于点 对称. 【答案】 【详解】因为是奇函数，可得，即， 所以函数图象关于点对称. 故答案为：. 变式6．（25-26高一上·重庆·月考）已知的定义域为，满足，若，则 . 【答案】2028 【详解】由，得是奇函数，即，且， 由，令，则， 所以的图象关于直线对称， ， ，因此的周期为8， 因为，所以， ， ， ， 综上 故答案为：2028 变式7．（25-26高一上·上海·月考）设是定义在R上的奇函数，且对于任意的实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数，并指出其最小正周期； (2)求方程在区间上解的个数． 【答案】(1)证明过程见解析，最小正周期为6； (2)8 【详解】（1）因为，所以， 故是一个周期为6的周期函数， 又时，， 故当时，，则， 是定义在R上的奇函数，故， 显然在上，的图象无周期性， 综上，的最小正周期为6； （2）当时，， 令，则有2个根，故在上有2个解， 结合函数的周期性和奇偶性，可知在，，上，各有2个解， 画出函数在上的图象如下： 由于与有8个交点，故在上共有8个解. 变式8．（25-26高一上·河南·月考）函数的图象关于点中心对称的充要条件是 . 已知函数 (1)求证：的图象关于点中心对称； (2)若函数 在区间上的最小值为 11，求实数 的值； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)答案见解析. 【详解】（1）的定义域为 ， 因为， 所以， 即的图象关于点中心对称. （2）因为，所以， 令，则 ， 设函数， 因为的图象为开口向上的抛物线，对称轴为 ， 所以当，即 时，，解得 ； 当，即时， ，无解. 综上所述，实数的值为 . （3）由(1)可知， 则， 所以原不等式可化为， 即. 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以，即. 当时，不等式 即 ，解得. 当时，不等式 可化为 ， 当时，则，故不等式可化为 ，解得或； 当时，不等式可化为 ， 当 时，，解得 ， 当 时，，不等式 的解集为， 当 时， ，解得. 综上所述， 当 时，解集为 或； 当 时，解集为； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 . 考点二 抽象函数的性质 【知识点解析】 1.常见的抽象函数的关系 (1) (2) (3) (4) 2.抽象函数求值 通过给所给关系式的自变量赋值，可以求出一些特殊的函数值 3.抽象函数的奇偶性（以为例） 函数的奇偶性是探究与的关系，而，所以需要探究、与的关系. (1)令，求出. (2)令，代入得，即，所以函数为奇函数. (3)核心：将题目所给自变量构造为“”与“”，再结合特殊值证明奇偶性 4.抽象函数的单调性（以为例） 函数的单调性核心是在已知两个自变量大小的关系下探究函数值的关系. (1)记，且、定义域 (2)令，联立解得 (3)将上式代入，得，探究的正负得函数的单调性. (3)核心：将题目所给自变量构造为“”与“”，再证明的正负性或与1的大小关系. 【例题分析】 例1．（24-25高三上·福建厦门·月考）定义域为的函数，对任意x，，，且不恒为0，下列说法中正确的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】B 【详解】对于A选项，令，则， 所以，所以或， 若，令，则原式变为， 所以，与“不恒为0”矛盾，所以，故A错误； 对于B选项，令，则原式变为， 所以，所以为偶函数，故B正确； 对于C选项，假设，满足， 此时，所以不成立，故C错误； 对于D选项，因为，所以， 令，，则，所以， 令，，则，所以， 令，，则，所以， 令，，则，所以， 令，，则，所以， 由此可知的周期为，一个周期内的函数值为，，，， 所以一个周期内的函数值的和为， 所以，故D错误. 故选：B. 例2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 【答案】D 【详解】对于A：令，可得，所以A错误； 对于B：令，不妨令，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最小值，所以B错误； 对于C：令，可得，即， 所以，， ，， 各式相加得，所以，所以C错误； 对于D：令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，所以D正确； 故选：D. 例3．（25-26高一上·江西赣州·月考·多选）已知函数的定义域为，对任意，都有，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．为减函数 C． D．为奇函数 【答案】ACD 【详解】选项A：解法一：令，，则由题意得， 将代入解得，A说法正确； 解法二：令，则由题意得，即，解得， 若，令，，则，得，与矛盾，故，A说法正确； 选项B：令，则由题意得， 将代入得，故不是减函数，B说法错误； （另解：也可以根据，直接判断不是减函数） 选项C：由B可知， 所以，C说法正确； 选项D：令，，则由题意可得， 将，代入解得， 令，则①， 由B可知，所以， 代入①式可得，即， 所以为奇函数，D说法正确； 故选：ACD 例4．（24-25高一上·河南焦作·期末·多选）已知定义域为的函数满足对于，则下列说法正确的是（   ） A． B．若对于，则函数是奇函数 C． D．若当时，，则在区间上单调递增 【答案】BD 【详解】对于A项，令，则，则或0，故A错误； 对于B项，因为，所以， 由，且，所以， 令，则，所以， 所以，故是奇函数，故B正确； 对于C项，若，令可得，故C错误； 对于D项，若当时，，则不满足，所以， 设0，则，所以， 所以，即对任意的，都有， 所以在上单调递增．又，所以在，上单调递增，故D正确． 故选：BD． 例5．（25-26高一上·河北邢台·月考）已知不恒等于零的函数的定义域为，满足，且，则函数是 函数（选奇、偶填空）， . 【答案】 偶 /0.5 【详解】分别令，得，又，则， 令，则，即， 所以为偶函数； 令，则，用替换得，所以， 在中用替换，得，所以，所以是周期为6的周期函数， 所以. 故答案为：偶；. 例6．（24-25高一上·河南南阳·月考）已知函数的定义域为，，且对于任意实数，，有，当时，. (1)求的值； (2)求证：在定义域上是单调递增函数； (3)求证：为奇函数. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）令，则，得， 令，，则 即； （2）设，， 所以， 即， 因为，所以， 则， 所以函数在上单调递增； （3）令，， 则，得， 即， 所以函数是奇函数. 例7．（25-26高一上·河北保定·月考）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) (3)在上单调递增，证明见解析 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 因为，令，得到， 令，得到，即，所以是奇函数. （2）令，得到，由（1）知是奇函数， 所以. （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则， 又因为，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 【变式训练】 变式1．（2025·上海嘉定·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，令，可得， 因为，所以，所以A不正确； 对于B，由函数的定义域为，且，显然函数的图象不过坐标原点，所以函数不是奇函数，所以B不正确； 对于C，令，得，即， 解得或，显然函数没有零点，所以C不正确； 对于D，令，可得，即， 所以，所以D正确. 故选：D. 变式2．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误； 对于B，取，满足及， 因为，所以的图象不关于点对称. 令，得.所以函数的图象不关于点对称，故B错误； 对于C，令，，代入已知等式得， 可得，结合得，， 再令，代入已知等式得， 将，代入上式，得，所以函数为奇函数. 令，，代入已知等式，得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为，所以，故C错误； 对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，， 两式相加易得，所以有， 即：， 有：， 即：，所以为周期函数，且最小正周期为3， 因为，所以，所以，， 所以， 所以，故D正确. 故选：D. 变式3．（25-26高一上·吉林长春·期末·多选）若函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】AB 【详解】由题意，， 对于A，令，得，则，正确； 对于B，令，得， 得对任意成立，所以是偶函数，故B正确； 对于C，令，得，则， 所以，即，， 所以， 由奇偶性可得，又函数不恒为零，故C错误； 对于D，由上知，所以函数以6为周期， 所以 所以， 因为，，令，则，得， 又，是以6为周期的周期函数， 所以，故D错误． 故选：AB. 变式4．（25-26高一上·云南·期中·多选）已知函数的定义域为，满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】AC 【详解】由题意知，函数的定义域为，满足， 对于A，令，可得， 因为，所以，所以A正确； 对于B，因为，所以一定不是奇函数，所以B不正确； 对于C，令，可得，所以； 令，可得，所以； 令，可得，所以； 令，可得，所以， ， 由此可得，函数的周期为2，则，所以C正确； 对于D，由，，可得， 所以，所以D不正确. 故选：AC. 变式5．（25-26高一上·北京石景山·期中）已知函数对任意，都有成立，且当时，.有以下结论： ①； ②是上的偶函数， ③若，则； ④函数在上是减函数. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【详解】对于①，令，则，当时，，所以，所以，故①正确； 对于②，令，则，， 由当时，，所以，所以，得， 故②错误； 对于③，令，则，得， 令，则，得， 故③正确 对于④，设，则， 当时，，所以， 由已知得， 所以，故④正确. 故答案为：①③④ 变式6．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 变式7．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1)，函数为偶函数，理由见解析； (2)函数在上单调递减，证明见解析； (3)或 【详解】（1）由题意知，函数满足：， 令，则，解得， 令，则，解得， 函数为偶函数，理由如下： 由题意，函数的定义域为， 令，则，即， 所以函数为偶函数. （2）函数在上单调递减，证明如下： 任取，令，， 则，即， 因为，则，由题意知， 所以，即， 所以函数在上单调递减. （3）由，得； 令，则，所以， 因为函数为偶函数，所以， 当时，因为函数在上单调递减， 所以由，得，即，解得； 因为函数为偶函数，且函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 当时，由，得， 所以，解得； 综上所述，不等式的解集为或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数的周期性与对称性、抽象函数的性质期末培优复习讲义 函数的周期性与对称性、抽象函数的性质期末培优复习讲义 考点目录 函数的周期性与对称性 抽象函数的性质 考点一 函数的周期性与对称性 【知识点解析】 1.函数的对称性 ①若函数满足，则函数关于对称. ②若函数满足，则函数关于对称. ③若函数满足，则函数关于对称. ④若函数满足，则函数关于对称. ⑤若函数满足，则函数关于对称. 2.函数的周期性 一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数称为周期函数，非零常数叫做这个函数的周期. 由周期函数的定义可知，周期并不唯一.若所有的周期中存在一个最小的正数，我们便称它为函数的最小正周期. ①若函数满足，则函数的周期. ②若函数满足，则函数的周期. ③若函数满足，则函数的周期. ④若函数满足，则函数的周期. ⑤若函数满足，则函数的周期. 3. 奇偶性、周期性、对称性的定义 性质 核心定义 关键特征 奇偶性 奇函数： 偶函数： 对称性的特殊情况 周期性 存在非零常数，使， 最小的正称为“最小正周期” 函数图像沿轴平移后重合 对称性 轴对称：存在直线，使得 中心对称：存在点，使得 图像的 “翻折不变性”（轴对称）或 “旋转不变性”（中心对称） 4.核心关系推导 （1）已知函数为偶函数，关于直线对称，则周期. （2）已知函数为奇函数，关于直线对称，则周期. （3）已知函数为偶函数，关于点对称，则周期. （4）已知函数为奇函数，关于点对称，则周期. 【例题分析】 例1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）已知函数的定义域为，，是奇函数.且当时，，则函数的零点个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 例2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）设是定义域为的奇函数，且．若，则（　　） A．0 B． C． D． 例3．（2026·吉林长春·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A．4 B．2 C．0 D． 例4．（25-26高一上·上海·月考）已知定义在上的偶函数满足，则的值为 . 例5．（25-26高一上·山西吕梁·月考）函数是定义在上的奇函数，且满足，若，则 ． 例6．（2025·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，若，，则 . 例7．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知是定义在上的函数，对、都有，且满足. (1)判断函数的奇偶性，并证明之； (2)证明：； (3)求的值. 例8．（25-26高一上·甘肃张掖·期末）定义中心对称函数：设函数的定义域为，若对，都有，则称函数为中心对称函数，其中点为函数图象的对称中心．已知函数为中心对称函数，有唯一的对称中心． (1)求函数的定义域； (2)求函数图象的对称中心； (3)若当时，函数的值域恰为，求的值． 【变式训练】 变式1．（2025·新疆·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式2．（25-26高一上·湖北武汉·期中）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·重庆·月考）已知是定义在上周期为2的函数，且的图象关于对称．当时，，则（　　） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·上海奉贤·月考）设在区间上的奇函数，对任意，都有，， ． 变式5．（25-26高一上·江苏南通·月考）若函数是奇函数，则函数图象可以关于点 对称. 变式6．（25-26高一上·重庆·月考）已知的定义域为，满足，若，则 . 变式7．（25-26高一上·上海·月考）设是定义在R上的奇函数，且对于任意的实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数，并指出其最小正周期； (2)求方程在区间上解的个数． 变式8．（25-26高一上·河南·月考）函数的图象关于点中心对称的充要条件是 . 已知函数 (1)求证：的图象关于点中心对称； (2)若函数 在区间上的最小值为 11，求实数 的值； (3)求关于的不等式的解集. 考点二 抽象函数的性质 【知识点解析】 1.常见的抽象函数的关系 (1) (2) (3) (4) 2.抽象函数求值 通过给所给关系式的自变量赋值，可以求出一些特殊的函数值 3.抽象函数的奇偶性（以为例） 函数的奇偶性是探究与的关系，而，所以需要探究、与的关系. (1)令，求出. (2)令，代入得，即，所以函数为奇函数. (3)核心：将题目所给自变量构造为“”与“”，再结合特殊值证明奇偶性 4.抽象函数的单调性（以为例） 函数的单调性核心是在已知两个自变量大小的关系下探究函数值的关系. (1)记，且、定义域 (2)令，联立解得 (3)将上式代入，得，探究的正负得函数的单调性. (3)核心：将题目所给自变量构造为“”与“”，再证明的正负性或与1的大小关系. 【例题分析】 例1．（24-25高三上·福建厦门·月考）定义域为的函数，对任意x，，，且不恒为0，下列说法中正确的是（   ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 例2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）已知函数的定义域为，且，，则（　　） A． B．有最小值 C． D．是奇函数 例3．（25-26高一上·江西赣州·月考·多选）已知函数的定义域为，对任意，都有，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．为减函数 C． D．为奇函数 例4．（24-25高一上·河南焦作·期末·多选）已知定义域为的函数满足对于，则下列说法正确的是（   ） A． B．若对于，则函数是奇函数 C． D．若当时，，则在区间上单调递增 例5．（25-26高一上·河北邢台·月考）已知不恒等于零的函数的定义域为，满足，且，则函数是 函数（选奇、偶填空）， . 例6．（24-25高一上·河南南阳·月考）已知函数的定义域为，，且对于任意实数，，有，当时，. (1)求的值； (2)求证：在定义域上是单调递增函数； (3)求证：为奇函数. 例7．（25-26高一上·河北保定·月考）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【变式训练】 变式1．（2025·上海嘉定·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 变式2．（25-26高一上·广东深圳·月考）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ） A． B．函数的图象关于点对称 C． D．若，则 变式3．（25-26高一上·吉林长春·期末·多选）若函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D． 变式4．（25-26高一上·云南·期中·多选）已知函数的定义域为，满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C． D． 变式5．（25-26高一上·北京石景山·期中）已知函数对任意，都有成立，且当时，.有以下结论： ①； ②是上的偶函数， ③若，则； ④函数在上是减函数. 其中所有正确结论的序号是 . 变式6．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 变式7．（24-25高一上·山东德州·期中）定义在上的函数满足：，当时，. (1)求的值，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)若，解关于的不等式. 2 学科网（北京）股份有限公司 $