18.3分式的加法与减法 同步训练2025-2026学年人教版数学八年级上册

18.3 分式的加法与减法 同步训练 一、单选题 1．若，则的值为（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 2．若，恒成立，若“”表示运算符号，则“”是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 4．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 5．化简分式：的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在复习分式化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示，你对两位同学的解答过程的评价为（    ） 甲同学： 乙同学： A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均错 7．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．化简的结果是 ． 9．若，则 ． 10．若，则是 ． 11．一块麦田有，甲收割机单独收割完这块麦田需，让乙收割机来收割这块麦田，结果比甲收割机多用收割完．这两台收割机共同收割完这块地需要 h． 三、解答题 12．（1）计算： ① ② （2）先化简，再求值 ①．其中． ②，其中． 13．甲、乙两位采购员同去一家粮油公司购买两次大米，两次大米的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同．其中，甲每次购买千克，乙每次用去元，而不管购买多少大米．设两次购买的大米单价分别为元/千克和元/千克（m，n是正数，且）． (1)甲两次所购大米的平均单价是___________元/千克； (2)求出乙两次所购大米的平均单价？ (3)比较甲，乙两次所购大米的平均单价，哪一个较低？并说明理由． 14．下面是小东同学课堂上进行分式化简的过程．请认真阅读并完成相应问题． 化简：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 第六步 第七步 (1)填空： ①以上化简步骤中，第_____________步进行的是分式的通分； ②第_________步开始出现错误； (2)请直接写出该分式化简后的正确结果； (3)化简：，然后从0，1，2中选择一个合适的致代入求值． 15．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和雅式”，这个常数称为“和雅值”． (1)已知分式，，是不是的“和雅式”：________（填“是”或“不是”）； (2)已知分式，，是的“和雅式”，“和雅值”是，为整数，且“和雅式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了分式的值，由已知条件得，代入 求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：A． 2．A 【分析】通过代入运算符号测试，发现只有加法使等式恒成立． 本题考查了分式的四则运算，掌握同分母分式的加法法则是解题的关键． 【详解】∵ ，且 时分母不为零， ∴ 等式恒成立. 其他运算不满足恒成立条件． 故选：． 3．B 【分析】本题主要考查了分式加减法，掌握通分和同分母分式加减法法则是解题的关键； 通过观察分母和互为相反数，将第二个分式变形后合并分式，再利用因式分解约分简化即可． 【详解】解： ， ， ， . 故选：B． 4．A 【分析】本题考查分式的加减运算，需要通分和化简，选项A在计算过程中符号处理错误，导致等式不成立；选项B、C、D通过通分和化简后等式均成立． 【详解】解：A、∵ ，， ∴， 通分得 ， 又 ∵， ∴ ，但右边为，故等式不成立； B、∵ ，， ∴ 左边，与右边相等，故正确； C、∵ 分母相同， ∴，与右边相等，故正确； D、通分后公分母为， ∴，，， 左边 = ，与右边相等，故正确； 故选：A． 5．C 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了分式的减法．分式化简需通分后合并分子，并注意符号和分母保留．甲同学合并分子时符号错误，乙同学漏掉分母，两者均错误． 【详解】解：∵ 原式 = ， 甲同学在合并分子时误写为 （应为 ），导致结果错误； 乙同学在通分后直接计算分子 并忽略分母，过程错误． ∴ 两人都错． 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了分式方程的变形与求解，核心是通过逆向推导还原被撕去的表达式；解题的关键是利用等式性质，将已知部分变形为方程并求解未知项；设撕坏的部分为未知数（即 ■），根据图片信息列出方程，求解即可． 【详解】解：设撕坏的一角 ■，则原式可表示为： 故选A． 8． 【分析】本题考查了异分母分式加法运算．根据异分母分式加法运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为： 9． 2 【分析】本题考查分式的通分与等式求解，解决本题的关键是先对等式右边进行通分，然后根据等式两边分子相等来确定的值． 将右边通分后比较分子，得到关于和的方程组，解方程组求得即可． 【详解】解：∵， ∵， 即， ∴． 即， 则有，解得， 综上，的值为． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了分式的加减运算、分式的基本性质，掌握分式加减运算的运算方法是解题关键． 首先，将原式进行整理移项，接着进行分式合并同类项，最后，根据分式的基本性质化简即可． 【详解】解：∵ ， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】先分别求出甲、乙收割机的工作效率，再根据合作工作时间工作总量（甲工作效率乙工作效率）来求解． 【详解】解：根据工作效率工作总量工作时间，可得甲的工作效率为． 乙收割这块麦田比甲多用，即乙需要，所以乙的工作效率为． ∴甲、乙工作效率之和为：． ∴可得共同收割完需要的时间为：． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式以及分式的运算，解题关键是熟练掌握工作效率、工作时间和工作总量的关系，并能正确进行分式的运算． 12．（1）①；②；（2）①，；②， 【分析】本题考查分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）①根据分式的减法运算法则进行计算即可； ②先进行括号内的分式的减法运算，再计算分式的乘法，即可； （2）①先进行分式的化简，再代值计算即可； ②先进行分式的化简，再代值计算即可． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）① ， ， 当时，原式． ② ， 当时，原式． 13．(1) (2) (3)乙所购买的大米的平均单价较低 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系求出两次平均价格，接着利用分式的混合运算法则计算即可解决问题，熟练掌握分式的运算法则是关键． （1）甲每次购买x千克，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， 由此可得到甲两次用的总钱数和总大米数，接着就可以求出平均单价； （2）乙每次用去y元，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， 由此可得到乙两次用的总钱数和总大米数，接着就可以求出平均单价； （3）二者相减比较大小即可． 【详解】（1）解：∵甲每次购买x千克，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， ∴甲的平均单价为：； 故答案为：； （2）解：乙每次用去y元，两次购买大米的单价为m元/千克和n元/千克， ∴乙的平均单价为：； （3）解：乙所购买的大米的平均单价较低． 理由：， 因为是正数且， 所以，， 故， 即甲的平均单价大于乙的平均单价． 14．(1)①二；②四 (2) (3)化简结果为，当时，值为1；当时，值为 【分析】（1）①根据解题过程，找出分式的通分步骤； ②根据解答过程，找出错误步骤； （2）根据（1），写出正确解答过程； （3）先将1与通分，同时将小括号内的通分，再将它们的结果通分后化为最简，然后分式有意义的条件，确定可代入的字母的值，代入化简后的式子求值． 【详解】（1）①解：以上化简步骤中，第二步进行的是分式的通分； 故答案为：二． ②解：第四步开始出现错误； 故答案为：四． （2）解：原式 ； （3）解： ∵，， ∴，， ∴从0，1，2中选择，可选择1或2 当时，原式；当时，原式； 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，通分，异分母分式加减法，分式化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 15．(1)不是 (2)， 【分析】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键． （1）根据分式的减法运算法则，计算的值，其结果为，不满足“和雅式”的定义，即可得出结论； （2）根据是的“和雅式”，“和雅值”是，可得，进而得到，再根据的值为整数，可得的值为或，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：不是的“和雅式”，理由如下： 不是的“和雅式”； （2）由题意，得， 所以， 所以， 因为为整数，为整数， 所以的值为或， 所以的值为，，或， 故所有符合条件的的值之和为． 学科网（北京）股份有限公司 $