27.1 图形的相似 同步练习 2025--2026学年人教版九年级数学下册

27.1图形的相似 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在比例尺为1∶100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（  ） A．100km B．2000m C．10km D．20km 2．若，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 3．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，且最短边长为6，则最长边长为（　　） A．18 B．12 C．24 D．30 4．在比例尺为的地图上，甲、乙两地图距是，它的实际长度约为（    ） A． B． C． D． 5．已知线段a＝3 cm，b＝12 cm，若线段c是a，b的比例中项，则c的值为(　　) A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．±6 cm 6．下列说法中，正确的是（    ） A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似 C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似 7．已知，则直线一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三家限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 8．已知，则分式（   ） A． B． C． D．1 9．以下列各组数据为长度的四条线段成比例的是（   ） A．1cm，2cm，20cm，30cm B．1cm，2cm，3cm，4cm C．5cm，10cm，10cm，20cm D．4cm，2cm，1cm，3cm 10．如图，，若，，则等于（    ） A． B．3 C． D．4 11．已知，那么下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D．． 12．在中，对角线与交于点O，点E在上，点F在上，连接．下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 13．如图，已知，，则 ． 14．在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是 km． 15．若，且，则 ． 16．若，则 ． 17．五边形∽五边形， 三、解答题 18．如图所示，若，分别写出相似图形中的对应角与对应边．      19．我们知道：若，且b+d≠0，那么． （1）若b+d=0，那么a、c满足什么关系？ （2）若，求t2﹣t﹣2的值． 20．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到米） 21．如图所示，△ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连接AM、AN，分别交BE于F、G，求BF：FG：CE的值． 22．已知，且x+y﹣z=6，求x、y、z的值． 23．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，若AE：EC=2：3，DB-AD=3，求AD和DB的长． 24．将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm．如果有18本这样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm？ 《27.1图形的相似》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D C C B A C C 题号 11 12 答案 C B 1．B 【分析】根据实际距离=图上距离÷比例尺列出算式，再进行计算即可． 【详解】解：2÷=200000（cm）=2（km）， 答：甲、乙两地的实际距离是2000m． 故选：B． 【点睛】此题考查了比例线段，掌握图上距离、实际距离和比例尺的关系是解题的关键，注意单位的换算． 2．D 【详解】∵， ∴==， 故选：D 3．A 【详解】根据题意找出最短边与最长边，然后根据相似多边形对应边成比例列式计算即可． 解：设这个多边形的最长边是x， 则2：6=6：x， 解得x=18. 故选A 4．D 【分析】根据变形计算即可． 【详解】∵， ∴实际距离为：， 故选D． 【点睛】本题考查了比例尺，熟练掌握比例尺的意义是解题的关键． 5．C 【详解】分析：根据线段比例中项的概念，a：c=c：b，可得c2=ab=36，故c的值可求． 详解：∵线段c是a、b的比例中项，∴a：c=c：b，∴c2=ab=36，解得：c=±6．又∵线段是正数，∴c=6．     故选C． 点睛：本题考查了比例中项的概念．注意线段不能是负数． 6．C 【分析】本题考查相似图形的判定，熟知相似图形的判定是解答的关键．根据相似图形的判定，结合相关知识的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A、相似三角形不一定是全等三角形，原说法不正确，本选项不符合题意； B、矩形的四个角都相等，但边不一定成比例，所以所有矩形不一定相似，本选项不符合题意； C、全等三角形的对应角相等，故全等三角形一定是相似三角形，本选项符合题意； D、所有的等腰直角三角形都相似，本选项不符合题意； 故选：C． 7．B 【分析】对关系式化简为，分类讨论求出的值即可找出经过的象限． 【详解】， ， 当时，， 则， 此时直线为，过二、三、四象限． 当时，， 此时直线为，过一、二、三象限． 综上所述，过二、三象限． 故选B． 【点睛】本题考查函数的象限，求出函数的表达式是解题的关键．本题的易错点在于忽略分类讨论的情况． 8．A 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据已知的比例关系设出参数，再将其代入所求式子进行计算． 【详解】解：设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9．C 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：、，故本选项错误； 、，故本选项错误； 、，故本选项正确； 、，故本选项错误． 故选：． 【点睛】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 10．C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，得到的关系，再根据可得到答案，正确运用定理找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 11．C 【分析】比例的性质为两内项之积等于两外项之积，据此可进行解答． 【详解】解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3， ∴3a=2b， A：由以上解释易知A选项错误，不符题意； B：，即，故错误，不符题意； C： ，即，故正确，符合题意； D：，即3a=4b，故错误，不符题意； 故选C． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，掌握基本性质是解题关键． 12．B 【分析】平行线分线段成比例结合平行四边形的对边相等，判断A；先证明四边形是菱形，得到，分和，两种情况，判断B，根据平行线分线段成比例的推论，判断C；先证明四边形是菱形，再证明，得到，判断D． 【详解】解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴； 若，则：， ∴；故选项A正确，不符合题意； 若，则：四边形是菱形； ， ， 如图，当与不垂直时，上还存在一点，使， 假设， 在和中， ， ， ， ， ， 而另一点也满足，但与不平行， 与不一定平行，故B选项错误，符合题意； 若，则：， ∴，故C选项正确，不符合题意； 若，则：， ∴， ∴四边形是菱形； ∵，， ∴， ∴， ， ，故选项D正确，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 13．/ 【分析】根据，可得，继而计算结果． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理． 14．2.8 【详解】设这条道路的实际长度为x， 则：， 解得x=280000cm=2.8km， 经检验，x=280000是原方程的解 ∴280000cm=2.8km ∴这条道路的实际长度为2.8km． 故答案为2.8． 【点睛】本题考查了根据比例尺列出分式方程，解题的关键是知道比例尺的意义． 15．-15 【分析】先设比例系数为k，代入3a+2b-4c=9，转化为关于k的一元一次方程解答． 【详解】解：设， 则a=3k，b=5k，c=7k， 代入3a+2b-4c=9， 得9k+10k-28k=9， 解得：k=-1， ∴a=-3，b=-5，c=-7， 于是a+b+c=-3-5-7=-15． 故答案为：-15． 【点睛】本题主要考查比例的性质，解答此类题关键是灵活运用设“k”法求解代数式的值． 16． 【分析】根据 可知：y=x，z=x，代入化简即可求出答案. 【详解】∵， ∴y=x，z=x， ∴= =， 故答案为. 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键. 17． 【详解】因为五边形∽五边形 所以 又因为五边形的内角和为所以. 18．对应角是： 与 ， 与 ， 与 ．对应边是： 与 ， 与 ， 与 ． 【分析】根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例即可得到答案. 【详解】解：∵△ABE∽△DCE ∴对应角为： 与 ， 与 ， 与 ． 对应边为： 与 ， 与 ， 与 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的对应角、对应边的概念，找准对应顶点是解题的关键. 19．（1）a+c=0；（2）t2﹣t﹣2=0． 【分析】（1）根据比例的性质即可得到结果； （2）根据比例的性质求得t的值，把t的值代入代数式即可得到结论． 【详解】解：（1）， ∴a+c=0； （2）①当a+b+c≠0时，， ∴t2﹣t﹣2=22﹣2﹣2=0， ②当a+b+c=0时，b+c=﹣a，a+c=﹣b，a+b=﹣c， ， ∴t2﹣t﹣2=0． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟记比例的性质是解题的关键． 20．7.6米 【分析】根据黄金分割得出两个距离为米，米，然后比较即可得出结果． 【详解】解：根据黄金比得：米， ∵黄金分割点有2个， ∴， 由于米 答：主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体． 【点睛】题目主要考查线段的黄金分割比，理解题意，熟记黄金分割比是解题关键． 21．BF：FG：GE=5：3：2． 【分析】作已知图形的中心对称图形,如图所示,设BF=a，FG=b，GE=c．由平行线的性质分别求出a，b与c之间的关系，即可得出其比值. 【详解】解：如答图所示． 作已知图形的中心对称图形，以E为对称中心．令BF=a，FG=b，GE=c． 因为M′C∥AM，N′C∥AN 所以a：（2b+2c）=BM：MC=1：2 所以a=b+c，而（a+b）：2c=BN：NC=2：1 所以：a+b=4c，所以a=c，b=c． 所以BF：FG：GE=5：3：2． 【点睛】本题考查了中心对称的性质，平行线分线段成比例定理，正确做出辅助线是解答本题的关键. 22．x=12，y=18，z=24． 【分析】根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入方程求出k的值，再求解即可． 【详解】解：∵， ∴设x=2k，y=3k，z=4k， ∴2k+3k﹣4k=6， 解得k=6， 所以，x=12，y=18，z=24． 23．AD和DB的长分别为6和9 【分析】首先由在△ABC中，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AE：EC=2：3=AD：BD，设AD=2k，BD=3k，再根据DB-AD=3，可得AD和DB的值． 【详解】解：∵DE∥BC ∴ AE：EC=2：3=AD：BD 设AD=2k，BD=3k，则k=3 ∴AD=6，BD=9 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用，注意线段的对应关系． 24．45cm 【分析】根据题意知道，一本书的厚度一定，书叠起的高度与书的本数成正比例，由此列比例解答． 【详解】解：设书的高度是x厘米， 25：10 = x：18 x= 45 所以，书的高度是45cm． 【点睛】解答此题的关键是，先判断出哪两种相关联的量成何比例，再列出比例解答即可． 学科网（北京）股份有限公司 $