4.3 一元一次方程的应用 期末练习2025-2026学年苏科版数学七年级上册

4.3 一元一次方程的应用 期末分题型练习 2025-2026学年苏科版七年级数学上册 一．销售问题 二．工程问题 三．行程问题 四．分段问题 五．积分问题 六．方案问题 七．日历问题 八．数轴问题 一．销售问题 1．（1）【情境导入】某服装成本为100元，售价为120元，则利润为　 　 元． （2）【课本再现】 一商店以60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ （3）【解决问题】七年级实践小组去商场调查，了解到某款衣服以每件80元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的衣服在原售价的基础上每件降价40%销售，并全部销售完毕．已知这批衣服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 2．某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为100元．每盒坚果礼盒的成本为80元，每个水果篮的售价比每盒坚果礼盒的售价多60元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多． （1）求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价； （2）该水果店第一批购进了200个水果篮和100盒坚果礼盒．为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售．售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有5个没办法售出，最终水果店共盈利8570元，按此计划每个水果篮应打几折出售？ 3．综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． （1）若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ （2）在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为20%，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价＝商品总进价×（1+利润率） 二．工程问题 4．为提高游客出行体验，某市决定在火车站到旅游度假村之间修建一条公路．已知这项工程甲工程队单独完成需要30天，乙工程队单独完成需要20天． （1）甲、乙两个工程队合作完成此项工程需要多少天？ （2）若两队合作10天完成此项工程，甲工程队将效率提高了20%，那么乙工程队的效率应提高多少？ 三．行程问题 5．列一元一次方程解应用题： 在一条南北向的公路上有相距135km的甲、乙两地．吉普车从甲地开出，每小时行驶54km，小轿车从乙地开出，每小时行驶81km．两车相向而行且同时开出，经过多少小时两车的距离为27km？ 6．甲，乙两船从A港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是45km/h，水流速度是akm/h． （1）2h后甲，乙两船相距多远？ （2）若甲船从A港口顺水航行3.5h到达B港口，从B港口返回A港口逆水而行，用了4h，求水流速度． 7．2025年粤港澳大湾区跨境交通升级，深港两条跨境专线巴士分别从深圳龙岗候机楼和香港尖沙咀同时出发、相向而行，两地相距90公里．已知深圳出发的巴士速度比香港出发的巴士快10千米/时，经过1.5小时两车在莲塘口岸相遇．求香港出发的巴士和深圳出发的巴士的速度各是多少？ 8．甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发．甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2km；乙队从距大本营3km的二号营地出发，每小时行进0.8km．甲队在途中追上乙队需要多少小时？ 四．分段问题 9．为鼓励居民节约用电，电力公司实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量/（千瓦时） 执行电价/[元/（千瓦时）] 第一档 小于或等于240 0.5 第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6 第三档 大于400时，超出400的部分 0.8 （1）若某户居民8月用电180千瓦时，求该户居民应缴纳电费多少元？ （2）某户居民11月、12月共用电460千瓦时，共缴电费为232元．已知该用户12月的用电量大于11月的用电量，且12月的用电量未超过400千瓦时，那么该用户11月、12月的用电量分别是多少千瓦时？ 10．某超市在双十一期间推出优惠活动，优惠的具体方案如下表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过400元 超过200元的部分给予9折优惠 超过400元 超过200元但不超过400元的部分给予9折优惠，超过400元的部分给予8折优惠 （1）若小亮一次购买原价300元的商品，他实际付款　 　 元； 若一次购买原价600元的商品，他实际付款　 　 元； （2）如果小亮一次购物实际付款524元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 11．师大一中一年一度的“与青春同行，为祖国喝彩”歌咏比赛排练已经拉开序幕．1班在成都实体店购买表演服装，在活动期间店家对顾客实行如下优惠，规定如下： 消费金额a元 优惠办法 0≤a≤1000 不予优惠 1000＜a≤2000 高于1000元且不高于2000元的部分八折优惠 a＞2000 不高于1000元的部分不予优惠 高于1000元且不高于2000元的部分八折优惠 高于2000元的部分六折优惠 （1）若1班在实体店的消费金额是1500元，那么1班实际付款　 　 元；若1班在实体店付款1860元，那么1班在这家实体店消费金额是　 　 元； （2）若1班在该实体店消费金额为a元； 当1000＜a≤2000时，他实际付款　 　 元；（用含a的代数式表示并化简） 当a＞2000时，他实际付款　 　 元．（用含a的代数式表示并化简） （3）1班家委会又找到了一家淘宝店，该淘宝店家承诺无论消费金额是多少钱，都给予所有消费金额的七折优惠，最后1班在该淘宝店购买比在实体店购买优惠了320元．聪明的你知道这个班级购买服装的原价是多少吗？请计算说明． 12．为鼓励市民节约用水，增强节水意识，某市决定对居民用水实行“阶梯收费”办法．规定如下表： 阶梯 每月的用水量（m） 单价/（元/m） 第一阶梯 不超过10m3 2.2 第二阶梯 超过10m3但不超过15m3的部分 2.9 第三阶梯 超过15m3的部分 5 （1）小明家3月份的用水量8m3，则他家的水费是多少元； （2）小明家5月份用水量为am3，缴纳水费27.8元．求出a的值； （3）小明家在8月份的水费是41.5元，直接写出小明家该月的用水量． 五．积分问题 13．浙江省城市篮球联赛（“浙BA”）A组部分球队积分如表： 球队 胜场 负场 积分 温州队 16 0 32 杭州队 15 1 31 诸暨队 12 5 29 … … … … （1）由表可知，胜一场可得　 　 分，负一场可得　 　 分； （2）台州队共比赛16场，积分为26分，求台州队胜场数与负场数各是多少． 14．为响应“足球从娃娃抓起，从基层抓起，从基础抓起”的号召，某校开展了“校长杯足球联赛”，鼓励同学们在课余时间参与足球竞技．学校运动场的宣传栏中的部分比赛成绩信息如表： 球队名称 场次/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 七年一班 6 5 1 0 16 七年二班 6 6 0 0 18 七年三班 6 3 2 1 11 … … … … … … （1）本次比赛中，胜一场积　 　 分，平一场积　 　 分，负一场积　 　 分； （2）参加此次比赛的七年四班，完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求七年四班的获胜场数． 六．方案问题 15．某图书馆计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20个），现从A，B两家商场了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每个70元，A商场的优惠政策为每买一张书柜赠送一个书架，B商场的优惠政策为所有商品八折． （1）若规定只能到其中一个商场购买所有物品，则购买多少个书架时到A，B两家商场一样合算？ （2）在（1）的条件下，请直接写出什么情况下到B商场购买合算？ （3）若图书馆想购买20张书柜和80个书架，且可到两家商场自由选购．请你为该图书馆设计一种最省钱的购买方案，并求出最低付款额． 16．中国雪乡位于黑龙江省牡丹江市海林市双峰林场，是国家4A级旅游风景区，其中马拉爬犁项目的收费标准是每人150元．由于旅行团游客较多，景区提供了两种优惠方案．方案一：所有游客一律九折，方案二：人数超过10人，超出部分打八折．（旅行团人数为x人，其中x＞10） （1）若该旅行团按方案一购票，需付　 　 元，按方案二购票，需付　 　 元．（用含x的代数式表示） （2）旅行团该如何选择方案更划算？ （3）已知游客人数多于20人少于30人，旅行团对比了两种方案的费用，将节省下来的钱用于购买中国雪乡明信片送给游客留作纪念，每人恰好一个，已知明信片单价为a元（a为正整数），请直接写出每张明信片的价格和旅行团的人数． 17．新学年，学校为了更新体育器材，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动：甲店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折 （1）若学校购买乒乓球x盒（x＞10），则在甲店购买球拍和球的总费用为 　 　 元，在乙店购买球拍和球的总费用为 　 　 元（结果用含x的式子表示）； （2）学校经过测算，求出去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ （3）若学校打算选择在甲、乙两家体育用品商店中选择其中一家购买30盒乒乓球，请你设计一种最省钱的购买方案． 18．某校七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票，如图是1班班长与售票员咨询的对话： （1）1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ （2）2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ 19．2025年11月9日第15届全运会在广州举行，以中华白海豚为原型设计的全运会吉祥物“粤粤”和“豚豚”，因其乖萌的外表被广大市民所喜爱，更带动其相关产品的热销．某商店售卖“粤粤”和“豚豚”的吉祥物挂件，每个挂件的标价均为30元，并推出两种购买方案，具体如下： 方案一：按标价直接购买吉祥物挂件； 方案二：缴纳45元会员费后，每个吉祥物挂件可享受九折优惠，会员费不额外抵扣． 请回答以下问题： （1）购买多少个吉祥物挂件时，两种方案所需要的费用相同？（列一元一次方程求解） （2）若计划购买吉祥物挂件18个，选择哪种方案更省钱？说明理由． 七．日历问题 20．如图1是2025年12月日历，在该日历中任意取5个数或者取7个数可以组成“+”形或者“H”形． （1）①如图2，该日历中所得到的“+”形中，a＝　 　 ，b＝　 　 ． ②如图3，该日历中所得到的“H”形中c＝　 　 ，d＝　 　 ． （用含n的代数式表示c和d） （2）该日历中所得到的“+”形中，5个数的和为45，求正中间的数． （3）在该日历中，任意取9个数得到方形框． ①所得到的方形框中，若正中间数为m，则方形框中，9个数的和为　 　 ．（用含m的代数式表示） ②所得到的方形框中，把9个数的位置适当的调整，使每一行，每一列，两个对角线上的3个数的和都相等，若调整后部分的数为如图4所示，则n＝　 　 ． 21．图1是2026年1月的月历． 【规律感知】景怡在月历中用“工”形框框出7个数，移动“工”形，若框出的7个数如图2所示，直接写出a＝　 　 ，b＝　 　 ； 【规律整合】嘉轩在月历中用“H”形框也框出7个数，移动“H”形，若框出的7个数如图3所示，请用含x的代数式表示c＝　 　 ，d＝　 　 ；两人框出的7个数字之和分别为M，N；当“工”形框与“H”形框的中间数字相等时，M　 　 N（填“＞”“＜”或“＝”）； 【迁移延伸】将上面“工”形，“H”形两个框的中心重合后，形成一个框出9个数的方框，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．如图4所示，是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则x的值为　 　 ． 八．数轴问题 22．如图，数轴上点A，B，C，D所表示的数分别为﹣4，﹣2，3，10，O为坐标原点．老师启发同学们根据所学知识先独立思考，再合作交流，探索并发现数学结论，解决问题． 【独立思考】 （1）线段AB＝　 　 ，CD＝　 　 ，若线段AB中点表示的数是m，线段CD中点表示的数是n，则m＝　 　 ，n＝　 　 ． （2）若数轴上一条线段两个端点表示的数分别为a和b，则这条线段中点表示的数为　 　 ．（用含a，b的代数式表示） 【合作交流】 某学习小组经过探索给出如下新定义：在同一条直线上，两条线段中点之间的距离称为这两条线段的“平均距离”．例如：线段AB和CD的“平均距离”为：|n﹣m|． 【探索解题】 （3）求线段AB和线段OD的“平均距离”． （4）若线段AB以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒v个单位长度的速度向左运动，点O和点D静止不动，设运动时间为t（t＞0）．若线段AB和线段CD的“平均距离”保持不变，求v的值． 23．定义：已知点M、N是数轴上两点．点P是数轴上一点（点P不与点M、N重合），若点P到点M或点N的距离的最大值等于距离的最小值的k倍，我们就称点P是线段MN的k关联点． （1）若点M、N表示的数分别为﹣1，2，若点P表示的数为正整数，且k为正整数，则点P表示的数为　 　 ． （2）若点M表示的数为m，点N在点M的右侧，MN＝3，点P表示的数是m的3倍，点P是线段MN的5关联点，求m的值． 24．新定义：在数轴上，对于任意两点A，B，若点M满足MA＝2MB，则称点M是“A对B的2分距点”；若点N满足NB＝2NA，则称点N是“B对A的2分距点”，并称线段MN的长度为A，B两点的“双2分距离”． （1）在数轴上，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为4，则“A对B的2分距点”对，表示的数为　 　 ； （2）在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为b（2＜b），当A，B两点的“双2分距离”MN的长度为5时，求出b的值； （3）在数轴上，点C表示的数为9，点P从原点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，当点P，Q相遇时停止运动．设运动时间为t秒，当P，Q两点的“双2分距离”等于OQ时，直接写出t的值． 25．如图所示把两段线段AB和CD放置在数轴上． （I）线段AB的长度为　 　 ，线段CD的长度为　 　 ； （Ⅱ）若点P在数轴上，且PA+PB＝12，则点P在数轴上表示的数为　 　 ； （Ⅲ）若线段AB和线段CD分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度沿数轴的正方向移动：设两个线段重叠部分的线段长度为L，移动的时间为t秒． ①整个运动过程中，重叠部分的线段长度L的最大值是多少，L保持最大值持续的时间为多少秒？ ②当重叠部分的线段长度L是线段CD长度的一半时，求t的值？ 参考答案与试题解析 一．销售问题（共3小题） 1．（1）【情境导入】某服装成本为100元，售价为120元，则利润为　20　 元． （2）【课本再现】 一商店以60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？ （3）【解决问题】七年级实践小组去商场调查，了解到某款衣服以每件80元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的衣服在原售价的基础上每件降价40%销售，并全部销售完毕．已知这批衣服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 【解答】解：（1）某服装成本为100元，售价为120元， 利润为120﹣100＝20（元）； 故答案为：20； （2）设盈利的衣服的进价为x元，亏损的衣服的进价为y元， 根据题意得：x+0.25x＝60，y﹣0.25y＝60， 解得：x＝48，y＝80， ∴两件衣服的总进价是48+80＝128（元）， ∵两件衣服的总售价是60+60＝120（元），总售价小于总进价， ∴商店卖出这两件衣服亏损了； （3）设降价前共售出m件， 由题意得，（120﹣80）m+[120×（1﹣40%）﹣80]（200﹣m）＝5600， 解得m＝150， 答：降价前共售出150件． 2．某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为100元．每盒坚果礼盒的成本为80元，每个水果篮的售价比每盒坚果礼盒的售价多60元，售卖1个水果篮获得的利润和售卖2盒坚果礼盒获得的利润一样多． （1）求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价； （2）该水果店第一批购进了200个水果篮和100盒坚果礼盒．为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售．售卖结束时，坚果礼盒全部售卖完，售卖过程中由于部分水果变质导致水果篮有5个没办法售出，最终水果店共盈利8570元，按此计划每个水果篮应打几折出售？ 【解答】解：（1）设每盒坚果礼盒的售价为x元，则每个水果篮的售价为（x+60）元， 根据题意，得x+60﹣100＝2（x﹣80）， 解得x＝120， 则每个水果篮的售价为120+60＝180元． 答：每盒坚果礼盒的售价为120元，每个水果篮的售价为180元． （2）该水果店第一批购进了200个水果篮和100盒坚果礼盒． 设每个水果篮应打y折出售， ， 解得y＝7， 答：每个水果篮应打7折出售． 3．综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． （1）若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ （2）在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为20%，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价＝商品总进价×（1+利润率） 【解答】解：（1）设甲商品x件， （80﹣50）x+（110﹣70）（100﹣x）＝3600， 30x+4000﹣40x＝3600， x＝40， 则乙商品数量为100﹣40＝60（件）， 答：甲商品40件，乙商品60件； （2）总进价＝40×50+60×70＝6200（元）， 总售价＝6200×（1+20%）＝7440（元）， 甲总售价＝40×60＝2400（元）， 乙每件售价＝（7440﹣2400）÷60＝84（元）， 答：乙种商品每件售价84元． 二．工程问题（共1小题） 4．为提高游客出行体验，某市决定在火车站到旅游度假村之间修建一条公路．已知这项工程甲工程队单独完成需要30天，乙工程队单独完成需要20天． （1）甲、乙两个工程队合作完成此项工程需要多少天？ （2）若两队合作10天完成此项工程，甲工程队将效率提高了20%，那么乙工程队的效率应提高多少？ 【解答】解：（1）已知这项工程甲工程队单独完成需要30天，乙工程队单独完成需要20天． 设工程总量为1，则甲的工作效率：，乙的工作效率：， 合作效率：， ∴合作时间：（天）， 答：甲、乙两个工程队合作完成此项工程需要12天； （2）设乙工程队的效率应提高x， ， 解得x＝0.2＝20%， 答：乙工程队的效率应提高20%． 三．行程问题（共4小题） 5．列一元一次方程解应用题： 在一条南北向的公路上有相距135km的甲、乙两地．吉普车从甲地开出，每小时行驶54km，小轿车从乙地开出，每小时行驶81km．两车相向而行且同时开出，经过多少小时两车的距离为27km？ 【解答】解：设经过x小时两车距离为27千米， ①相遇前，相距27千米， 则可得：81x+27+54x＝135， 解得：x， ②相遇后，两车相距27千米， 则可得：81x﹣27+54x＝135， 解得：x． 答：经过小时或小时，两车相距27千米． 6．甲，乙两船从A港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是45km/h，水流速度是akm/h． （1）2h后甲，乙两船相距多远？ （2）若甲船从A港口顺水航行3.5h到达B港口，从B港口返回A港口逆水而行，用了4h，求水流速度． 【解答】解：（1）（1）2h后两船间的距离为：2（45+a）+2（45﹣a）＝180千米； 答：2h后甲，乙两船相距180km； （2）根据往返路程相等，列得方程，3.5（45+a）＝4（45﹣a）， 去括号，得3.5×45+3.5a＝4×45﹣4a， 移项及合并同类项，得 7.5a＝0.5×45， 系数化为1，得 a＝3， 答：水流的速度为3km/h． 7．2025年粤港澳大湾区跨境交通升级，深港两条跨境专线巴士分别从深圳龙岗候机楼和香港尖沙咀同时出发、相向而行，两地相距90公里．已知深圳出发的巴士速度比香港出发的巴士快10千米/时，经过1.5小时两车在莲塘口岸相遇．求香港出发的巴士和深圳出发的巴士的速度各是多少？ 【解答】解：设香港出发的巴士速度为x千米/时，则深圳出发的巴士速度为（x+10）千米/时， 根据题意得，1.5x+（x+10）×1.5＝90， 解得：x＝25， ∴x+10＝25+10＝35， 答：香港出发的巴士速度为25千米/时，深圳出发的巴士速度为35千米/时． 8．甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发．甲队从距大本营1km的一号营地出发，每小时行进1.2km；乙队从距大本营3km的二号营地出发，每小时行进0.8km．甲队在途中追上乙队需要多少小时？ 【解答】解：设x小时后，甲队在途中追上乙队， 根据题意得：1.2x﹣0.8x＝3﹣1， 解得：x＝5． 答：5小时后，甲队在途中追上乙队． 四．分段问题（共4小题） 9．为鼓励居民节约用电，电力公司实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量/（千瓦时） 执行电价/[元/（千瓦时）] 第一档 小于或等于240 0.5 第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6 第三档 大于400时，超出400的部分 0.8 （1）若某户居民8月用电180千瓦时，求该户居民应缴纳电费多少元？ （2）某户居民11月、12月共用电460千瓦时，共缴电费为232元．已知该用户12月的用电量大于11月的用电量，且12月的用电量未超过400千瓦时，那么该用户11月、12月的用电量分别是多少千瓦时？ 【解答】解：（1）180×0.5＝90（元）， 答：应缴电费90元． （2）设11月份用电量为x千瓦时，则12月份用电量为（460﹣x）千瓦时． 因为460÷2＝230＜240，所以11月份用电量应属于第一档； 12月份用电量为应该大于230千瓦时，需分情况讨论： 12月份用电量大于240，且小于或等于400时， 则12月份的电费为：120+0.6（460﹣x﹣240）， 故0.5x+120+0.6（460﹣x﹣240）＝232， 解得x＝200， 460﹣x＝460﹣200＝260， 符合题意， 12月份用电量小于或等于240千瓦时，则12月份也属于第一档，总电费为： 0.5x+0.5（460﹣x）＝232， 0.5x+276﹣0.5x＝232， ∴230＝232，矛盾， 所以，12月份不属于第一档； 答：11月份用电量为200千瓦时，12月份用电量为260千瓦时． 10．某超市在双十一期间推出优惠活动，优惠的具体方案如下表： 一次性购物金额 优惠办法 不超过200元 不予优惠 超过200元但不超过400元 超过200元的部分给予9折优惠 超过400元 超过200元但不超过400元的部分给予9折优惠，超过400元的部分给予8折优惠 （1）若小亮一次购买原价300元的商品，他实际付款　290　 元； 若一次购买原价600元的商品，他实际付款　540　 元； （2）如果小亮一次购物实际付款524元，试求他这次购买商品的原价是多少元？ 【解答】解：（1）若小亮一次购买原价300元的商品，他实际付款200+（300﹣200）×0.9＝200+100×0.9＝200+90＝290（元）； 若一次购买原价600元的商品，他实际付款200+200×0.9+（600﹣400）×0.8＝200+180+160＝540（元）； （2）当原价为400元时，实际付款为200+200×0.9＝200+180＝380（元）， ∵524＞380， ∴他购买的商品原价超过400元， 设原价为x元， 由题意可得200+200×0.9+（x﹣400）×0.8＝524， 解得x＝580， ∴他这次购买商品的原价是580元． 11．师大一中一年一度的“与青春同行，为祖国喝彩”歌咏比赛排练已经拉开序幕．1班在成都实体店购买表演服装，在活动期间店家对顾客实行如下优惠，规定如下： 消费金额a元 优惠办法 0≤a≤1000 不予优惠 1000＜a≤2000 高于1000元且不高于2000元的部分八折优惠 a＞2000 不高于1000元的部分不予优惠 高于1000元且不高于2000元的部分八折优惠 高于2000元的部分六折优惠 （1）若1班在实体店的消费金额是1500元，那么1班实际付款　1400　 元；若1班在实体店付款1860元，那么1班在这家实体店消费金额是　2100　 元； （2）若1班在该实体店消费金额为a元； 当1000＜a≤2000时，他实际付款　（0.8a+200）　 元；（用含a的代数式表示并化简） 当a＞2000时，他实际付款　（0.6a+600）　 元．（用含a的代数式表示并化简） （3）1班家委会又找到了一家淘宝店，该淘宝店家承诺无论消费金额是多少钱，都给予所有消费金额的七折优惠，最后1班在该淘宝店购买比在实体店购买优惠了320元．聪明的你知道这个班级购买服装的原价是多少吗？请计算说明． 【解答】解：（1）1班实际付款1000+（1500﹣1000）×0.8＝1400（元）； ∵当消费金额是2000元时，付款1000+2000×0.8＝1600元， 若1班在实体店付款1860元，那么消费金额大于2000元， 消费金额是1000+800÷0.8+（1860﹣1000﹣800）÷0.6＝2100（元）． 故答案为：1400，2100； （2）根据题意得：当1000＜a≤2000时，他实际付款1000+0.8（a﹣1000）＝（0.8a+200）元； 当a＞2000时，他实际付款1000+（2000﹣1000）×0.8+0.6（a﹣2000）＝（0.6a+600）元． 故答案为：（0.8a+200），（0.6a+600）； （3）该淘宝店家承诺无论消费金额是多少钱，都给予所有消费金额的七折优惠， 设这个班级购买服装的原价是x元， 当0＜x≤1000时，x﹣0.7x＝320， ∴（舍去）； 当1000＜x≤2000时，0.8x+200﹣0.7x＝320， ∴x＝1200； 当x＞2000时，0.6x+600﹣0.7x＝320， ∴x＝2800． 答：这个班级购买服装的原价是1200或2800元． 12．为鼓励市民节约用水，增强节水意识，某市决定对居民用水实行“阶梯收费”办法．规定如下表： 阶梯 每月的用水量（m） 单价/（元/m） 第一阶梯 不超过10m3 2.2 第二阶梯 超过10m3但不超过15m3的部分 2.9 第三阶梯 超过15m3的部分 5 （1）小明家3月份的用水量8m3，则他家的水费是多少元； （2）小明家5月份用水量为am3，缴纳水费27.8元．求出a的值； （3）小明家在8月份的水费是41.5元，直接写出小明家该月的用水量． 【解答】解：（1）增强节水意识，某市决定对居民用水实行“阶梯收费”办法． 根据题意得：2.2×8＝17.6（元）． 答：他家的水费是17.6元； （2）∵2.2×10＝22，2.2×10+2.9×（15﹣10）＝36.5， 22＜27.8＜36.5， ∴10＜a＜15， ∴2.2×10+2.9（a﹣10）＝27.8， 解得：a＝12； （3）∵41.5＞36.5， ∴小明家在8月份用水量超过15m3， 设小明家在8月份用水量是xm3， ∴x＞15． 根据题意得2.2×10+2.9×（15﹣10）+5（x﹣15）＝41.5， 解得x＝16． 答：小明家该月的用水量是16m3． 五．积分问题（共2小题） 13．浙江省城市篮球联赛（“浙BA”）A组部分球队积分如表： 球队 胜场 负场 积分 温州队 16 0 32 杭州队 15 1 31 诸暨队 12 5 29 … … … … （1）由表可知，胜一场可得　2　 分，负一场可得　1　 分； （2）台州队共比赛16场，积分为26分，求台州队胜场数与负场数各是多少． 【解答】解：（1）设胜一场可得x分，负一场可得y分， 则， 解得：， 即胜一场可得2分，负一场可得1分； 故答案为：2，1； （2）设台州队胜场数为a， 则2a+（16﹣a）＝26， ∴a＝10， 则16﹣a＝16﹣10＝6（场）， 答：台州队胜场数为10，负场数为6． 14．为响应“足球从娃娃抓起，从基层抓起，从基础抓起”的号召，某校开展了“校长杯足球联赛”，鼓励同学们在课余时间参与足球竞技．学校运动场的宣传栏中的部分比赛成绩信息如表： 球队名称 场次/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 七年一班 6 5 1 0 16 七年二班 6 6 0 0 18 七年三班 6 3 2 1 11 … … … … … … （1）本次比赛中，胜一场积　3　 分，平一场积　1　 分，负一场积　0　 分； （2）参加此次比赛的七年四班，完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求七年四班的获胜场数． 【解答】解：（1）∵七年二班胜了6场，积分为18分， ∴胜1场的积分为18÷6＝3分 ∵七年一班胜5场，平1场，积分为16分， ∴平1场的积分为16﹣5×3＝1分， ∵七年三班胜3场，平2场，负1场，积分为11分， ∴负1场的积分为11﹣3×3﹣2×1＝0分． 故答案为：3，1，0． （2）参加此次比赛的七年四班，完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分． 设七年四班胜x场，则平了（10﹣x﹣1）场． 由（1）知，胜1场积分为3分，平1场积分为1分，负1场积分为0分， ∴3x+1×（10﹣x﹣1）+0×1＝23， 解得x＝7． 答：七年四班胜7场． 六．方案问题（共5小题） 15．某图书馆计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20个），现从A，B两家商场了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每个70元，A商场的优惠政策为每买一张书柜赠送一个书架，B商场的优惠政策为所有商品八折． （1）若规定只能到其中一个商场购买所有物品，则购买多少个书架时到A，B两家商场一样合算？ （2）在（1）的条件下，请直接写出什么情况下到B商场购买合算？ （3）若图书馆想购买20张书柜和80个书架，且可到两家商场自由选购．请你为该图书馆设计一种最省钱的购买方案，并求出最低付款额． 【解答】解：（1）若规定只能到其中一个商场购买所有物品， 设购买x个书架时，到A，B商场一样合算， 20×210+70（x﹣20）＝0.8（20×210+70x）， 解得x＝40． 答：购买40个书架时，到A，B商场一样合算． （2）由（1）可知：在A商场购买的费用为20×210+70（x﹣20）＝70x+2800（元），在B商场购买的费用为0.8（20×210+70x）＝56x+3360（元）， ∴70x+2800﹣（56x+3360）＝14x﹣560， ∴当x＞40时，14x﹣560＞0， ∴当购买书架的数量超过40个时到B商场合算． （3）若图书馆想购买20张书柜和80个书架，且可到两家商场自由选购． ∵， ∴买一个书柜赠一个书架相当于打7.5折，小于8折． ∴方案是：到A商场购买20张书柜（获赠20个书架），到B商场购买60个书架． 所需费用为20×210+60×70×0.8＝7560（元）； ∴最低付款额为7560元． 16．中国雪乡位于黑龙江省牡丹江市海林市双峰林场，是国家4A级旅游风景区，其中马拉爬犁项目的收费标准是每人150元．由于旅行团游客较多，景区提供了两种优惠方案．方案一：所有游客一律九折，方案二：人数超过10人，超出部分打八折．（旅行团人数为x人，其中x＞10） （1）若该旅行团按方案一购票，需付　135x 元，按方案二购票，需付　120x+300　 元．（用含x的代数式表示） （2）旅行团该如何选择方案更划算？ （3）已知游客人数多于20人少于30人，旅行团对比了两种方案的费用，将节省下来的钱用于购买中国雪乡明信片送给游客留作纪念，每人恰好一个，已知明信片单价为a元（a为正整数），请直接写出每张明信片的价格和旅行团的人数． 【解答】解：（1）方案一：所有游客一律九折，方案二：人数超过10人，超出部分打八折．（旅行团人数为x人，其中x＞10） 方案一：需付150x×0.9＝135x（元）， 方案二：需付150×10+150×0.8（x﹣10）＝1500+120（x﹣10）＝120x+300（元）， 故答案为：135x，120x+300； （2）①当方案一费用＝方案二费用时：135x＝120x+300， 解得x＝20， ∴当x＝20时，两种方案费用相同； ②当方案一费用＞方案二费用时：135x＞120x+300， 解x＞20， ∴当x＞20时，选择方案二更划算； ③当方案一费用＜方案二费用时： 135x＜120x+300 15x＜300 x＜20， ∴当10＜x＜20时，选择方案一更划算； （3）20＜x＜30时方案二更划算，费用差为：135x﹣（120x+300）＝ax， 15x﹣300＝ax， （15﹣a）x＝300， ∵a为正整数， ∴15﹣a为整数， ∵20＜x＜30且x为整数， ∴x＝25， ∴， 解得a＝3． 答：每张明信片的价格为3元，旅行团的人数为25人． 17．新学年，学校为了更新体育器材，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现了解到两家体育用品商店都在做促销活动：甲店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均打八折 （1）若学校购买乒乓球x盒（x＞10），则在甲店购买球拍和球的总费用为 　（20x+400）　 元，在乙店购买球拍和球的总费用为 　（16x+480）　 元（结果用含x的式子表示）； （2）学校经过测算，求出去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？ （3）若学校打算选择在甲、乙两家体育用品商店中选择其中一家购买30盒乒乓球，请你设计一种最省钱的购买方案． 【解答】解：（1）在甲店购买球拍和球的总费用为：60×10+（x﹣10）×20＝（20x+400）（元）， 在乙店购买球拍和球的总费用为：（20x+60×10）×0.8＝（16x+480）（元）， 故答案为：（20x+400），（16x+480）； （2）学校购买乒乓球x盒（x＞10）， 由题意得：20x+400＝16x+480， 解得：x＝20， 答：学校计划购买乒乓球20盒； （3）当x＝30时，在甲店购买球拍和球的总费用为：20×30+400＝1000（元）， 在乙店购买球拍和球的总费用为：16×30+480＝960（元）， ∵1000＞960， ∴最省钱的购买方案是在乙店购买． 18．某校七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票，如图是1班班长与售票员咨询的对话： （1）1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？ （2）2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？ 【解答】解：（1）七年级准备组织学生观看一部电影，已知票价为每张20元，由各班班长负责买票， 44×20×0.8＝704（元）． 答：1班购票需要704元． （2）设2班有x人， 由题意，得20（x﹣5）×0.9＝702， 解得：x＝44． 答：2班有44人． 19．2025年11月9日第15届全运会在广州举行，以中华白海豚为原型设计的全运会吉祥物“粤粤”和“豚豚”，因其乖萌的外表被广大市民所喜爱，更带动其相关产品的热销．某商店售卖“粤粤”和“豚豚”的吉祥物挂件，每个挂件的标价均为30元，并推出两种购买方案，具体如下： 方案一：按标价直接购买吉祥物挂件； 方案二：缴纳45元会员费后，每个吉祥物挂件可享受九折优惠，会员费不额外抵扣． 请回答以下问题： （1）购买多少个吉祥物挂件时，两种方案所需要的费用相同？（列一元一次方程求解） （2）若计划购买吉祥物挂件18个，选择哪种方案更省钱？说明理由． 【解答】解：（1）∵方案一：按标价直接购买吉祥物挂件； 方案二：缴纳45元会员费后，每个吉祥物挂件可享受九折优惠，会员费不额外抵扣． 设购买x个吉祥物挂件时，两种方案所需要的费用相同， ∴30x＝45+30×0.9×x， x＝15， 答：购买15个吉祥物挂件时，两种方案所需要的费用相同； （2）当购买吉祥物挂件18个时， 方案一所需费用为：30×18＝540（元）， 方案二所需费用为：45+30×0.9×18＝531（元）， ∵531＜540， ∴方案二更省钱， 答：购买吉祥物挂件18个时，方案二更省钱． 七．日历问题（共2小题） 20．如图1是2025年12月日历，在该日历中任意取5个数或者取7个数可以组成“+”形或者“H”形． （1）①如图2，该日历中所得到的“+”形中，a＝　25　 ，b＝　17　 ． ②如图3，该日历中所得到的“H”形中c＝n+7　 ，d＝n+2　 ． （用含n的代数式表示c和d） （2）该日历中所得到的“+”形中，5个数的和为45，求正中间的数． （3）在该日历中，任意取9个数得到方形框． ①所得到的方形框中，若正中间数为m，则方形框中，9个数的和为　9m ．（用含m的代数式表示） ②所得到的方形框中，把9个数的位置适当的调整，使每一行，每一列，两个对角线上的3个数的和都相等，若调整后部分的数为如图4所示，则n＝　2　 ． 【解答】解：（1）①根据日历及“+”形可知，24的右方数字是25，24的上方的数字是17； 故答案为：25，17； ②根据“H”形可知，d＝n+2，c＝n+7； 故答案为：n+7；n+2； （2）设中间数为x，则中间数上方的数字为x﹣7，中间数下方的数字为x+7，中间数左方的数字为x﹣1，中间数右方的数字为x+1， ∵5个数的和为45， ∴x+x﹣7+x+7+x﹣1+x+1＝45， 即5x＝45， 解得x＝9， ∴中间数为9； （3）①若正中间数为m，则正中间数上排的数字分别为m﹣8，m﹣7，m﹣6，正中间数这一排的数字分别为m﹣1，m，m+1，正中间数下排的数字分别为m+6，m+7，m+8， ∴9个数的和为m﹣8+m﹣7+m﹣6+m﹣1+m+m+1+m+6+m+7+m+8＝9m； 故答案为：9m； ②∵方形框中，9个数的和为9（3n+4）， ∴， 即5n+20＝3（3n+4）， 则有5n+20＝9n+12， 解得n＝2， 故答案为：2． 21．图1是2026年1月的月历． 【规律感知】景怡在月历中用“工”形框框出7个数，移动“工”形，若框出的7个数如图2所示，直接写出a＝　16　 ，b＝　23　 ； 【规律整合】嘉轩在月历中用“H”形框也框出7个数，移动“H”形，若框出的7个数如图3所示，请用含x的代数式表示c＝x﹣6　 ，d＝x+6　 ；两人框出的7个数字之和分别为M，N；当“工”形框与“H”形框的中间数字相等时，M　＝　 N（填“＞”“＜”或“＝”）； 【迁移延伸】将上面“工”形，“H”形两个框的中心重合后，形成一个框出9个数的方框，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．如图4所示，是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则x的值为　1　 ． 【解答】解：【规律感知】由题意可得：b＝a+7＝16+7＝23，a＝8+1+7＝16， 若框出的7个数，a＝16，b＝23， 故答案为：16，23； 【规律整合】由题意可得：d＝x+6，c＝x﹣6， 设“工”形框出的7个数中间的一个记为m， 则其余六个数为：m﹣6，m﹣7，m﹣8，m+6，m+7，m+8， ∴M＝m﹣6+m﹣7+m﹣8+m+m+6+m+7+m+8＝7m； 设“H”形框出的7个数中间的一个记为m， 则其余六个数为：m﹣1，m+1，m﹣8，m+8，m﹣6，m+6， ∴N＝m﹣1+m+1+m﹣8+m+8+m﹣6+m+6+m＝7m， ∴7m＝7m，即：M＝N， 故答案为：x﹣6，x+6，＝； 【迁移延伸】设右上的数字为a， 则x﹣3+a＝﹣4+2+a， 解得：x＝1， ∴则x的值为1． 故答案为：1． 八．数轴问题（共4小题） 22．如图，数轴上点A，B，C，D所表示的数分别为﹣4，﹣2，3，10，O为坐标原点．老师启发同学们根据所学知识先独立思考，再合作交流，探索并发现数学结论，解决问题． 【独立思考】 （1）线段AB＝　2　 ，CD＝　7　 ，若线段AB中点表示的数是m，线段CD中点表示的数是n，则m＝　﹣3　 ，n＝　6.5　 ． （2）若数轴上一条线段两个端点表示的数分别为a和b，则这条线段中点表示的数为　　 ．（用含a，b的代数式表示） 【合作交流】 某学习小组经过探索给出如下新定义：在同一条直线上，两条线段中点之间的距离称为这两条线段的“平均距离”．例如：线段AB和CD的“平均距离”为：|n﹣m|． 【探索解题】 （3）求线段AB和线段OD的“平均距离”． （4）若线段AB以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒v个单位长度的速度向左运动，点O和点D静止不动，设运动时间为t（t＞0）．若线段AB和线段CD的“平均距离”保持不变，求v的值． 【解答】解：（1）数轴上点A，B，C，D所表示的数分别为﹣4，﹣2，3，10， ∴， 故答案为：2，7，﹣3，6.5； （2）∵线段两个端点表示的数分别为a和b， ∴这条线段中点表示的数为， 故答案为：； （3）∵线段AB中点表示的数是，线段OD中点表示的数是， ∴线段AB和线段OD的“平均距离”为|5﹣（﹣3）|＝8， （4）若线段AB以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒v个单位长度的速度向左运动，点O和点D静止不动， 由题意，得点A表示的数为﹣4﹣t，点B表示的数为﹣2﹣t，点C表示的数为3﹣vt， ∴线段AB的中点所表示的数是，线段CD的中点所表示的数是， ∴线段AB和线段CD的“平均距离”为． ∵线段AB和线段CD的“平均距离”保持不变， ∴2﹣v＝0， 解得v＝2． 23．定义：已知点M、N是数轴上两点．点P是数轴上一点（点P不与点M、N重合），若点P到点M或点N的距离的最大值等于距离的最小值的k倍，我们就称点P是线段MN的k关联点． （1）若点M、N表示的数分别为﹣1，2，若点P表示的数为正整数，且k为正整数，则点P表示的数为　1或3或5　 ． （2）若点M表示的数为m，点N在点M的右侧，MN＝3，点P表示的数是m的3倍，点P是线段MN的5关联点，求m的值． 【解答】解：（1）设点P表示的正整数为x，则PM＝|x+1|＝x+1，PN＝|x﹣2|， 当x≥2时，PM＝x+1，PN＝x﹣2，此时PM＞PN， ∴x+1＝k（x﹣2）， ∴， ∵k为正整数， ∴x﹣2＝1或x﹣2＝3， ∴x＝3 或x＝5； 当﹣1＜x＜2时，由于x为正整数， ∴x＝1， 此时PM＝1+1＝2，PN＝|1﹣2|＝1， 则，符合题意， 综上：P表示的数为1或3或5； 故答案为：1或3或5； （2）∵点M表示的数为m，点N在点M的右侧，MN＝3， ∴点N表示的数为m+3， ∵点P表示的数是m的3倍， ∴点P表示的数为3m， ∴共四种情况： ① （m+3）﹣3m＝5（3m﹣m）， 解得：； ② 3m﹣m＝5[（m+3）﹣3m]， 解得：； ③ 3m﹣m＝5[3m﹣（m+3）]， 解得：； ④ （m+3）﹣3m＝5（m﹣3m）， 解得：； ∴综上：m的值为或或或． 24．新定义：在数轴上，对于任意两点A，B，若点M满足MA＝2MB，则称点M是“A对B的2分距点”；若点N满足NB＝2NA，则称点N是“B对A的2分距点”，并称线段MN的长度为A，B两点的“双2分距离”． （1）在数轴上，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为4，则“A对B的2分距点”对，表示的数为　2或10　 ； （2）在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为b（2＜b），当A，B两点的“双2分距离”MN的长度为5时，求出b的值； （3）在数轴上，点C表示的数为9，点P从原点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，当点P，Q相遇时停止运动．设运动时间为t秒，当P，Q两点的“双2分距离”等于OQ时，直接写出t的值． 【解答】解：（1）设该点为M，表示的数为x．由定义MA＝2MB，得：|x﹣（﹣2）|＝2|x﹣4|即|x+2|＝2|x﹣4|，分三种情况讨论：1．x≥4：x+2＝2（x﹣4），x＝10；2．﹣2＜x＜4：x+2＝2（4﹣x），x＝2；3．x≤﹣2：﹣x﹣2＝2（4﹣x），x＝10（舍去）． 故答案为：2或10； （2）先求M点的坐标， 由MA＝2MB，列距离方程：|x﹣2|＝ 2|x﹣b|因2＜b，仅取在A、B之间的解：x，再求N的坐标，由NB＝2NA，列距离方程：|x﹣b|＝2|x﹣2|同理取A、B之间的解：x．结合MN＝5列方程求解，||＝5， 解得b＝17； （3）t秒后，P的坐标为5t，Q的坐标为9﹣t，相遇时5t＝9﹣t，t＝1.5，故t∈（0，1.5]． OQ＝|9﹣t|＝9﹣t（因t≤1.5）． 设M是“P对Q的2分距点”（MP＝2MQ），N是“Q对P的2分距点”（NQ＝2NP）； 求M：|x﹣5t|＝ 2|x﹣（9﹣t）|，解得x＝6+t或x＝18﹣7t； 求N：|x﹣（9﹣t）|＝2|x﹣5t|，解得x＝3t+3或x＝t﹣9（舍去）． 分情况计算MN并令MN＝9﹣t： 当x＝6+t，x＝3t+3时：|（6+t）﹣（3t+3）|＝9﹣t，|3﹣2t|＝9﹣t， 解得t＝﹣6（舍去）或t＝1； 当x＝18﹣7t，x＝3t+3时：|（18﹣7t）﹣（3t+3）|＝9﹣t，|15﹣10t|＝9﹣t， 解得t（舍去）或t， 综上，t的值为． 25．如图所示把两段线段AB和CD放置在数轴上． （I）线段AB的长度为　6　 ，线段CD的长度为　8　 ； （Ⅱ）若点P在数轴上，且PA+PB＝12，则点P在数轴上表示的数为　﹣1或﹣13　 ； （Ⅲ）若线段AB和线段CD分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度沿数轴的正方向移动：设两个线段重叠部分的线段长度为L，移动的时间为t秒． ①整个运动过程中，重叠部分的线段长度L的最大值是多少，L保持最大值持续的时间为多少秒？ ②当重叠部分的线段长度L是线段CD长度的一半时，求t的值？ 【解答】（1）解：AB＝6，CD＝8； （2）解：﹣1或﹣13； （3）①解：当A与C重合时L开始出现最大值，L最大值为6， 点A：﹣10+3t，点C：2+2t， 令﹣10+3t＝2+2t， 解得t＝12， 当B与D重合时，长度L结束最大值， 点B：﹣4+3t，点D：10+2t， 令﹣4+3t＝10+2t， 解得t＝14， ∴持续时间是14﹣12＝2（秒）； ②点B恰好运动到CD中点时，重合部分线段L长度是CD的一半， ， 解得t＝10， 点A恰好运动到CD中点时，重合部分线段L长度也是CD的一半， ， 解得t＝16， ∴t的值为10秒或16秒． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $