19.3二次根式的加法与减法（第1课时 二次根式的加减）课件-【满分全攻略备课系列】2025-2026学年人教版数学八年级下册

八年级人教版数学下册 第十九章 二次根式 19.3二次根式的加法与减法 第一课时 二次根式的加减 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.能准确判断二次根式能否合并,并掌握合并被开方数相同的最简二次根式的方法. 2.了解二次根式的加、减运算法则.（重点） 3.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.（难点） 问题1 满足什么条件的根式是最简二次根式? （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式. 问题2 化简下列两组二次根式，每组化简后你发现了什么？ (1) (2) 化简后被开方数相同 复习引入 接下来研究怎样进行二次根式的加法与减法运算. 思考 如何计算 + ？ 与 的被开方数不同，无法直接相加.如果与能化成被开方数相同的形式，那么就可以类比整式运算中的合并同类项进行运算。因此，先把， 分别化成最简二次根式， ，然后利用分配律将和合并，即 + + （化成最简二次根式） （利用分配律合并） 一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并. 教材P13-14 例题 典例1 计算： 解：(1) = = ； (2) = 3+5 = 8； (3) = 4 = 14. (1); (2); (3). 　　 比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？ 整式的加减 字母及指数相同的项 核心：“合并同类二次根式” 化成最简后，被开方数相同的二次根式 核心：“合并同类项” 二次根式的加减 两者的本质都是合并“同类项”，只是“同类项”的定义不同 方法技巧 1.可以合并的二次根式必须同时满足：最简二次根式和被开方数相同这两个条件，它与根号前面的因数(式) 无关. 2. 化成最简二次根式后被开方数不相同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分. 3. 整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用. 1.若最简二次根式与3可以合并，求的值. 解：由题意可知解得 故＝＝3. 变式训练 由最简二次根式与3可以合并，可知这两个二次根式的被开方数相同，根指数相同，列出方程组，求出方程组的解，得到m与n 的值，代入原式计算即可. 典例2 计算： 解：(1) 2(- = . (1)(-)； (2) . (2) = = . 教材P13-14 例题 2.计算：(1)－；(2)－＋； (2)＋－－；(3)－(2x－6). 解：(1)－＝5－4＝2 ； (2)－＋＝2－4＋＝－. (3)＋－－＝3＋－－＝＋. (4)－(2x－6)＝2－2＋3＝3. 变式训练 先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 若有括号，则先利用去括号法则去掉括号再运算. 典例3 有一块长7.5 dm、宽5 dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？ 分析：由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板. 7.5dm 5dm 8dm2 18dm2 解：大正方形木板的边长为 dm.因为<5， 所以这块木板够宽. 两个正方形木板的边长的和为() dm， 而 = 2+3 = (2+3) = 5.由 可知 <7.5， 即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长， 因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板. 教材P13-14 例题 教材P14 练习 课内练习 1. 下列计算是否正确？为什么？ (1) ;(2) ;(3) . 解: (1)不正确.理由： = 2 + 3 = 5， = ，5 ≠ . (2)不正确.理由：= ， ，. (3)正确. = (3-1)= . 2. 计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 解： (1) = = . (2) = = = . (3) = = . (4) () - () = . 3. 如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是62.8和141.3. 求圆环的宽度d（π取3.14）. d 解：设大圆的半径为 R，小圆的半径为 r， 则 d = R – r. 因为 R = ≈ =， r = ≈ = ， 所以 d = R - r ≈ = . 答：圆环的宽度d约为. 基础巩固题 知识点1 可以合并的二次根式 1.【2024河南南阳期末】已知最简二次根式与可以合并，则 的值是 ( ) B A.16 B.0 C.2 D.任意实数 【解析】，而最简二次根式与可以合并， ，解 得 .故选B. 2. 开放性试题【2025河北张家口期末】将式子为正整数 化为最 简二次根式后，可以与合并．写出一个符合条件的 的值：__________________． 17（答案不唯一） 【解析】有意义，，， ,而 化为最简二次根式后，可以与合并，的值可以等于18， 的 值可以为17，故答案为17（答案不唯一）． 19 知识点2 二次根式的加减运算 3.【2024广西贵港期末】计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 【解析】原式 .故选B. 4.已知，则 ____. 15 【解析】，，， ，故答案 为15. 20 能力提升题 7.淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入如图①所示的四个小球，每个小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数；若摸取到灰色球，就减去球上的数． (1)若淇淇摸取到如图②所示的两个小球，请计算出结果． 8.[教材P14例3变式][2025杭州月考现有两块同样大小的长方形纸片，小星采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为18 cm2和32 cm2的正方形纸片A，B． (1)求原长方形纸片的周长(结果化为最简二次根式)； (2)小红想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为25 cm2的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 返回 二次根式的加法与减法 将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式（也叫同类二次根式）可以合并 一化：将非最简二次根式化成最简二次根式 二找：找出被开方数相同的二次根式 三合：将被开方数相同的二次根式合并 可以合并的 二次根式 二次根式的加减 课堂小结 教科书第14页练习 第1,2,3题 布置作业 5.我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b，其他运算符号的意义不变，计算：(△)－(2 △3 )＝__________． 4 － 6.计算： (1)－15 ＋ ； (2)－． 解：原式＝3 －15×＋×4 ＝3 －5 ＋＝－. 原式＝2 －＋2×－＋＝－. 解：－ ＝2 －＝. (2)若淇淇摸取出全部的四个球，计算结果为x，嘉嘉说x的值与属于同类二次根式，你认为嘉嘉的说法对吗？请说明理由． 解：嘉嘉的说法对，理由如下： － ＋－2 ＝＋－＝，即x＝. ∵＝4 ，与是同类二次根式，∴嘉嘉的说法对． 解：不能裁出，理由如下： ∵面积为25 cm2的正方形纸片的边长为＝5(cm)， 5＋5＝10＝>＝7 ， ∴不能在长方形纸片上裁出面积为25 cm2的两块正方形纸片． 解：由题意可知正方形纸片A的边长为＝3 (cm)， 正方形纸片B的边长为＝4 (cm)， ∴原长方形纸片的长为3 ＋4 ＝7 (cm)， 宽为4 cm，∴原长方形纸片的周长为(4 ＋7 )×2＝22 (cm)． $