5.3.2 函数的极值与最大（小）值 同步练习题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

人教A版高二上学期数学（选择性必修2）《5.3.2 函数的极值与最大（小）值》同步练习题（含答案） 基础巩固 1.函数极值的概念：一般地，设函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小， ，且在点附近的左侧，右侧 .类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，则a叫做函数的 ，叫做函数的极小值；b叫做函数的极大值点，叫做函数的 .极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2.求函数的极值的方法：解方程，当时： （1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极 值； （2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极 值. 3.函数的最值：一般地，如果在区间 上函数的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.只要把函数的所有 连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 4.一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在区间 上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 . 回归教材 ①练习 1.函数的导函数的图象如图所示，试找出函数的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点. 2.求下列函数的极值： （1）； （2）； （3）； （4）. 3.参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 4.证明不等式： . 5.利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： . 6.如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为.为使所用材料最省，圆的直径应为多少？ ②习题 1．导函数的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处 （1）导函数有极大值？ （2）导函数有极小值？ （3）函数有极大值？ （4）函数有极小值？ 2．求下列函数的极值： （1） （2）； （3） （4） 3．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： （1） （2） （3） （4） 4．将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 5．将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒． (1)试把方盒的容积V表示为x的函数； (2)x多大时，方盒的容积V最大？ 6．用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n个数据 … ．证明：用n个数据的平均值表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小． 7．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？ 8．已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？ 9．利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数的图象，当 时，的图象如图所示，改变a，b，c，d的值，观察图象的形状： （1）你能归纳函数图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？ （2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间． 提升训练 1.若函数有小于零的极值点，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.若函数，且恒成立，则实数a的最大值为( ) A.3 B.4 C. D. 3.已知函数为定义在上的奇函数，当时，.若函数存在四个不同的零点，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.已知函数，则下列有关描述正确的是( ) A. B. C. D. 5.（多选）已知定义在R上的函数，其导函数的大致图像如图所示，则下列叙述不正确的是( ) A. B.函数在上递增，在上递减 C.函数的极值点为c，e D.函数的极大值为 6.已知函数， 若，则的取值范围是___________. 7.已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为__________. 8.若实数m的取值使函数在定义域上有两个极值点，则称函数具有“凹凸趋向性”.已知是函数的导数，且.，当函数具有“凹凸趋向性”时，实数m的取值范围为_________. 9.已知函数， 且曲线在处的切线方程为. （1）求实数m，n的值； （2）证明：. 参考答案及解析 一、基础巩固 1.0 极小值点 极大值 2.大 小 3. 连续不断 极值 4. 最大值 最小值 二、回归教材 ①练习 1.答案：是极大值点；是极小值点 解析：因为，点的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号 所以，是函数的极值点； 又因为时，时，所以是极大值点； 因为时，时，所以是极小值点. 2.答案：（1）极小值为，无极大值 （2）极小值为，极大值为 （3）极小值为，极大值为 （4）极小值为，极大值为 解析：（1）的定义域为R . 令，解得：，列表得： x - 0 + ↘ ↗ 所以函数的极小值为，无极大值. （2）的定义域为R . 令，解得：，列表得： x 3 + 0 - 0 + ↗ 54 ↘ ↗ 所以函数的极小值为，极大值为. （3）的定义域为R，. 令，解得：，列表得： x 2 - 0 + 0 - ↘ ↗ 22 ↘ 所以函数的极小值为，极大值为. （4）的定义域为R . 令，解得：，列表得： x 1 - 0 + 0 - ↘ ↗ 2 ↘ 所以函数的极小值为，极大值为. 3.答案：（1）最小值为，最大值为20 （2）最大值为54，最小值为 （3）最大值为22，最小值为 （4）最大值为，最小值为 解析：（1）， 对称轴为 可得的最小值为 即的最大值为20； （2） 的导数为 令，可得 即有的最大值为54，最小值为； （3） 的导数为 由，可得（舍去） 即有的最大值为22，最小值为； （4）的导数为 由，可得，则在单调递减 即有的最大值为，最小值为. 4.答案：证明见解析 解析：由题设，要证只需证即可 令，则，而 当时 ，单调递减；当时 ，单调递增； 故，即在上恒成立 得证. 5.答案：证明见解析 解析：等价于 可令，则，在上 在上单调递增，即 在上恒成立，则，得证. 6.答案： 解析：设圆的半径为r，则半圆的面积为 所以矩形的宽为2r，设矩形的长为h，则矩形的面积为2rh 所以，即 该图形的周长为 令，所以 令 解得：（舍负） 所以函数在上单调递减，在上单调递增 所以当即时，函数取得最小值. 即圆的直径时，所需材料最省. ②习题 1．答案：（1）；（2） ；（3）；（4）； 解析：（1）由图知，极大值点左右两侧的单调性是先增后减的点，即为极大值点； （2）由图知，极小值点左右两侧的单调性是先减后增的点，即，为极小值点； （3）由图知 ， 函数单增； 函数单减； 函数单增； 则函数在处取极大值； （4）由（3）知，函数在处取极小值； 2．答案：（1）极小值，无极大值；（2）极大值，极小值；（3）极大值，极小值；（4）极小值，极大值. 解析：（1） 则 ∴时 单调递减；时 单调递增；∴有极小值 无极大值. （2） 则有 ∴时 单调递增；时 单调递减；时 单调递增；∴极大值 极小值. （3） 则有 ∴时 单调递增；时 单调递减；时 单调递增；∴极大值 极小值. （4） 则有 ∴时 单调递减；时 单调递增；时 单调递减；∴极小值 极大值. 3．答案：（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为；（4）最大值为，最小值为. 解析：（1），则，∴时，单调递减；时，单调递增；∴在上的极小值为，而， ∴在上最大值为，最小值为. （2），则时有 ∴时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；∴在上的极大值为，极小值为，而， 综上，在上最大值为，最小值为. （3），则时有，∴时 ，单调递减；∴在上最大值为，最小值为. （4），则时有，∴时 ，单调递增；时 ，单调递减；∴在上的极大值为，而 ，∴在上最大值为，最小值为. 4．答案：两段铁丝的长度均为. 解析：设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为，∴两个正方形的面积和，则，∴时，故当时，单调递减；当时，单调递增；∴当时，的极小值也是最小值为，此时另一个正方形的边长也为.综上，当两段铁丝的长度都为时，它们的面积和最小. 5．答案：(1)；(2) 解析：（1）由题意可知：无盖方盒的棱长分别为： ，所以方盒的容积； （2），解得：，当时函数递减，当时函数递增，所以当时，盒的容积V最大. 6．解析：，则当时 ， ，函数单减；， 函数单增；方差在时，取得最小值. 7．答案：当q=84时，利润最大 解析：先求出利润L关于q的函数关系式.，显然当q=84时，利润最大 8．答案： 解析：设销售价为x，可获得的利润为y，则，求导得，令，解得，由知 当时 ，函数单增；当时 ，函数单减；因此是函数的极大值点，也是最大值点；故当销售价为元/件时，可获得最大利润. 9．解析：（1）时，有如下图所示的几种情况，其图象大致为“S”型，当图象存在驼峰，即存在极值点，则必有一个极大值，一个极小值；当不存在驼峰时，函数在定义域内为单调增或单调减，如下图所示： 题设中的函数的图象，有：在上单调递减，上单调递增，上单调递减. （2）1、当时，当时， 则，即单调递增；当时 若 则 ∴时 单调递增；时 单调递减；时 单调递增；当时 则 即单调递减；当时 若 则 ∴时 单调递减；时 单调递增；时 单调递减； 2、当时 对称轴为 当时 在上单调递减 在上单调递增； 当时 在上单调递增 在上单调递减； 3、当 时 ：当时 单调递增；当时 单调递减； 4、当 时 ：无单调性. 三、提升训练 1.答案：B 解析：由，得.由题意知有小于零的实数根，即，则.因为，所以，所以. 2.答案：C 解析：由题得.令，则.令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以实数a的最大值为. 3.答案：A 解析：当时 ，故在上单调递增.因为，所以在上单调递减，在上单调递增.因为为定义在上的奇函数，所以的大致图象如图所示. 由存在四个不同的零点知，直线与的图象有四个不同的交点，故.故选A. 4.答案：B 解析：因为， 所以， 显然在上单调递增.又， 所以在上有唯一的零点，设为，且，则为的极小值点，也是最小值点，且，即.故.设函数 ，当时 ，所以，即.故选B. 5.答案：ABD 解析：由题图知可，当时 当时 ，当时 所以在上递增 在上递减，在上递增 对A， 故A错误； 对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误； 对C，函数的极值点为c，e，故C正确； 对D，函数的极大值为，故D错误. 故选：ABD. 6.答案： 解析：令，则所以所以.令，则.当时 ，单调递增，当时 ，单调递减，故，故的取值范围是. 7.答案： 解析：当时 . 令 在上单调递减，在上单调递增，则，的最小值为. 8.答案： 解析：，若函数具有“凹凸趋向性”，则在上有2个不同的实数根.令，则，由，解得；由，解得.所以在上单调递减，在上单调递增，故的最小值是，且时 ，所以. 9.答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1）易得 所以，解得. 因为，曲线在处的切线的斜率为，所以，解得. （2）要证，即证 又当时 所以 所以只需证 即证. 令，则 所以当时 当时 所以在上单调递减，在上单调递增 所以，即 所以，所以得证. 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $