第24章 平面直角坐标系 章节梳理 培优讲义 2025--2026学年沪教版八年级数学下册

本讲义系统梳理平面直角坐标系核心知识点，从有序数对与坐标系建立入手，涵盖坐标平面划分、点与有序实数对的对应关系，延伸至特殊位置点的坐标特征（象限、坐标轴、角平分线），坐标与图形性质（点到坐标轴距离、面积计算），对称（x轴、y轴、原点、直线对称）、平移的坐标变化规律，以及两点间距离公式和中点公式，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料亮点在于真题精讲结合生活实例，如象棋棋子位置、昆虫爬行路程等，引导学生用数学眼光观察现实世界。通过坐标特征推理、距离公式应用等问题，培养数学思维中的推理能力与运算能力。课中例题类型多样（选择、填空、解答）助力教师分层教学，课后巩固题覆盖不同难度，帮助学生用数学语言表达位置关系，有效查漏补缺，强化知识应用。

第1讲 平面直角坐标系(复习讲义) 知识清单 知识点1．点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 知识点2．坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 知识点3．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 知识点4．关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 知识点5．坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 知识点6．两点间的距离公式 知识点7．中点坐标公式 知识点8．坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2） 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应 的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） *拓展： 知识点9．关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1） 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是 P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 知识点10．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 一．平面直角坐标系的引入（共5小题） 1．（2024春•黄浦区期末）下列说法不正确的是（　　） A．点A（﹣2，3）在第二象限 B．点P（﹣2，3）到y轴的距离为2 C．若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴上 D．若P（x，y）在x轴上，则y＝0 【分析】根据各象限的点的坐标特征，以及坐标轴上点的坐标特征，点到坐标轴的距离，逐项分析判断，即可求解． 【解答】解：A．点A（﹣2，3）在第二象限，故该选项正确，不符合题意； B．点P（﹣2，3）到y轴的距离为2，故该选项正确，不符合题意； C．若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴或y轴上，故该选项不正确，符合题意； D．若P（x，y）在x轴上，则y＝0，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了点到坐标，熟练掌握点的坐标特征进行求解是解决本题的关键． 2．（2021春•奉贤区期末）在平面直角坐标系中，点P（6﹣a，4）到两坐标轴的距离相等，那么a的值是 　2或10　 ． 【分析】根据点到两坐标轴的距离相等列出方程求解即可． 【解答】解：∵点P（6﹣a，4）到两坐标轴的距离相等， ∴|6﹣a|＝4， 即6﹣a＝4或6﹣a＝﹣4， 解得a＝2或a＝10． 故答案为：2或10． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，根据到两坐标轴的距离相等列出方程是解题的关键． 3．（2025春•金山区校级月考）点P在y轴上，且点P到点Q（﹣4，3）的距离是它到点R（2，3）距离的2倍，则点P的坐标是　（0，3）　 ． 【分析】设点P的坐标为（0，y），根据坐标系中两点之间的距离公式分别计算PQ、PR，再根据题意列出方程求解即可． 【解答】解：∵点P在y轴上， ∴设点P的坐标为（0，y）， ∵点Q（﹣4，3）， ∴PQ， ∵点R（2，3）， ∴PR， ∵点P到点Q（﹣4，3）的距离是它到点R（2，3）距离的2倍， ∴PQ＝2PR， ∴2， ∴y＝3， ∴点P的坐标为（0，3）， 故答案为：（0，3）． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标系中两点之间的距离公式是解题的关键． 4．（2024秋•静安区校级期末）如果点P在y轴上，点A坐标是（2，﹣1），且，那么点P的坐标是 　（0，1）或（0，﹣3）　 ． 【分析】根据题意可设点P的坐标为（0，a），然后利用两点间距离公式进行计算即可解答． 【解答】解：∵点P在y轴上， ∴设点P的坐标为（0，a）， ∵，点A坐标是（2，﹣1）， ∴（2﹣0）2+（a+1）2＝（2）2， 解得：a＝1或a＝﹣3， ∴点P的坐标是（0，1）或（0，﹣3）， 故答案为：（0，1）或（0，﹣3）． 【点评】本题考查了点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键． 5．（2024春•长宁区期末）已知a为实数，那么在平面直角坐标系中，下列各点中一定位于第四象限的点是（　　） A．（4，﹣a2） B．（a+1，﹣4） C．（a2+1，﹣4） D．（a2，﹣4） 【分析】A．先判断a2的大小，从而判断﹣a2的大小，最后根据点的坐标判断其所在位置即可； B．先根据a的大小，从而判断a+1的大小，最后根据点的坐标判断其所在位置即可； C．先判断a2的大小，从而判断a2+1 大小，后根据点的坐标判断其所在位置即可； D．先判断a2的大小，然后根据点的坐标判断其所在位置即可． 【解答】解：A．∵a2≥0，∴﹣a2≤0，∴（4，﹣a2）在第四象限或x轴的正半轴上，故此选项不符合题意； B．∵a为实数，∴a+1＞0或a+1≤0，∴（a+1，﹣4）可能在第四象限，也可能在第三象限，也可能在y轴的负半轴上，故此选项不符合题意； C．∵a2≥0，∴a2+1＞0，∴（a2+1，﹣4）一定在第四象限．故此选项符合题意； D．a2≥0，∴（a2，﹣4）在第四象限或y轴的负半轴上，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点评】本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握各个象限和坐标轴上点的坐标特征． 二．简单图形的坐标表达（共8小题） 6．（2023春•虹口区期末）在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（﹣6，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有（　　）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】分别讨论当BC＝AB、AC＝AB和AC＝BC时三种情况下，坐标轴上有几个这样的C点即可． 【解答】解：当BC＝AB时，以点B为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C1、C2、C3（不包括点A）． 当AC＝AB时，以点A为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C4、C5、C6（不包括点B）． 当AC＝BC时，点C应该在AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB， ∴点O在AB的垂直平分线上． 综上，这样的C点共有7个，分别是点C1、C2、C3、C4、C5、C6、O． 故答案为：C． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，一定要考虑到所有情况． 7．（2025春•虹口区期末）我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如图，在5×7的网格中，四边形ABCD是“等邻边四边形”，顶点A、B、C在网格格点上，如果点D也在网格格点上，那么点D的位置有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据“等邻边四边形”的定义，找出符合要求的点D的位置即可． 【解答】解：如图所示， 当AB＝AD时， 当CD＝CB时， 所以符合要求的点D的位置有3个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意找出符合要求的点D的位置是解题的关键． 8．（2025春•闵行区校级月考）已知点P在x轴上，点A（3，1）、点B（0，2），且，则点P的坐标　（1，0）或（）　 ． 【分析】设点P的坐标为（m，0），再结合进行计算即可． 【解答】解：设点P的坐标为（m，0）， 因为点A（3，1）、点B（0，2），且， 所以， 解得， 所以点P的坐标为（1，0）或（）． 故答案为：（1，0）或（）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意建立方程是解题的关键． 9．（2024春•松江区校级月考）平面直角坐标系中，点A与点B纵坐标相同，横坐标不同，那么直线AB与y轴的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合 【分析】根据点A与点B纵坐标相同，横坐标不同，可得AB∥x轴，则AB⊥y轴． 【解答】解：∵点A与点B纵坐标相同，横坐标不同， ∴AB∥x轴， ∴AB⊥y轴， 故选：B． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，正确记忆相关知识点是解题关键． 10．（2024春•黄浦区期末）在平面直角坐标系中，AB∥x轴，AB＝2，若点A（1，﹣3），则点B的坐标是 　（﹣1，﹣3）或（3，﹣3）　 ． 【分析】根据AB∥x轴得出点B的纵坐标与点A的纵坐标相同，为﹣3，再由AB＝2得出点B的横坐标即可得解． 【解答】解：∵AB∥x轴， ∴点B的纵坐标与点A的纵坐标相同，为﹣3， ∵AB＝2， ∴点B的横坐标为：1﹣2＝﹣1或1+2＝3， ∴点B的坐标为（﹣1，﹣3）或（3，﹣3）， 故答案为：（﹣1，﹣3）或（3，﹣3）． 【点评】本题考查了点的坐标特征，掌握图形的性质是解题的关键． 11．（2023春•普陀区期末）经过点Q （2，﹣3）且平行y轴的直线可以表示为直线x＝2　 ． 【分析】过点（2，﹣3）且平行于y轴的直线上的点的横坐标与点的横坐标2相同． 【解答】解：经过点Q （2，﹣3）且平行y轴的直线可以表示为直线x＝2， 故答案为：x＝2． 【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质，本题涉及到的知识点为：平行于y轴的直线上的点的横坐标相同． 12．（2022秋•普陀区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知∠AOB＝90°，∠A＝60°，点A的坐标为（，1），则点B的坐标为 　（，3）　 ． 【分析】作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，通过证明△AOC≌△OBD求解． 【解答】解：作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D． ∴∠ACO＝∠BDO＝90°，∠AOC+∠CAO＝90°． ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOC+∠BOD＝90°， ∴∠CAO＝∠BOD， ∴△AOC∽△OBD（AA）． ∵A（，1）， ∴， ∵∠OAB＝60°， ∴， ∴， ∴BD＝3，OD， ∴B（，3）． 故答案为：（，3）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，能够正确作出辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 13．（2023春•静安区校级期末）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为A、B．若|PA|+|PB|＝6，则点P称为“好点”．例如：点M（﹣2，4），因为|﹣2|+|4|＝6，所以点M是“好点”． （1）在点A（3，﹣3），，C（﹣1，5）中，“好点”是 A和C ； （2）若D（2a，﹣3a）是“好点”，求a的值． 【分析】（1）根据“好点”的定义逐一判断即可得答案； （2）根据“好点”的定义列出方程，根据绝对值的性质求出a值即可得答案． 【解答】解：（1）∵|3|+|﹣3|＝6， ∴A是“好点”， ∵， ∴B不是“好点”， ∵|﹣1|+|5|＝6， ∴C是“好点”． ∴A和C是好点． 故答案为：A和C； （2）∵D（2a，﹣3a）是“好点” ∴|2a|+|﹣3a|＝6， ①当a＞0时，5a＝6， 解得； ②当a＜0时，﹣5a＝6， 解得． ∴． 【点评】本题考查点的坐标、绝对值的性质及解一元一次方程，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；正确理解“好点”的定义，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 三．物体位置的坐标表示（共6小题） 14．（2024春•闵行区期末）如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），那么棋子“炮”的坐标为（　　） A．（3，0） B．（3，1） C．（3，2） D．（2，2） 【分析】根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可． 【解答】解：根据棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3） 可得： 棋子“炮”的坐标为（3，2）． 故选：C． 【点评】本题考查坐标确定位置，本题解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向． 15．（2024秋•浦东新区校级月考）一只昆虫在方格纸上爬行，起始位置是A（4，2），先爬行到（2，4）再爬行到（5，7），则昆虫爬行的路程是　10或5　 个单位长度． 【分析】根据平面直角坐标系内点的位置的变化求解即可． 【解答】解：①从A（4，2）爬行到（2，4），故沿横坐标爬行了4﹣2＝2个单位长度，沿纵坐标爬行了4﹣2＝2个单位长度，共爬行了2+2＝4个单位长度， 再爬行到（5，7），故沿横坐标爬行了5﹣2＝3个单位长度，沿纵坐标爬行了7﹣4＝3个单位长度，共爬行了3+3＝6个单位长度， 所以小虫一共爬行了4+6＝10， ②2（个单位长度）， 故答案为：10或5． 【点评】本题考查了平面直角坐标系内点的位置的变化，解题关键在于分析小虫的爬行路线，注意小虫是沿横坐标爬行还是沿纵坐标爬行． 16．（2025•宝山区校级二模）如图1，太原古县城始建于明洪武八年（1375年），城内历史建筑遗存众多，十字街格局清晰，沿袭了晋阳古城“城池凤翔余”的古老建筑格局，犹如一只头北尾南的凤凰，自古就有“凤凰城”的美誉．如图2，现将古县城的三个景点放在平面直角坐标系中，若县衙和城隍庙两个景点的坐标分别为（﹣3，2），（﹣1，﹣3），则魁星楼的坐标为 　（2，1）　 ． 【分析】根据县衙和城隍庙的坐标可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系即可得到答案． 【解答】解：建立如图坐标系，则魁星楼的坐标为（2，1）， 故答案为：（2，1）． 【点评】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，熟练掌握该知识点是关键． 17．（2016春•闵行区期末）象棋在中国有着三千多年的历史，是趣味性很强的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为（﹣2，﹣1）和（3，1），那么表示棋子“将”的点的坐标为（　　） A．（1，2） B．（1，0） C．（0，1） D．（2，2） 【分析】直接利用已知点的坐标确定原点的位置，进而得出棋子“将”的点的坐标． 【解答】解：如图所示：由题意可得，“帅”的位置为原点位置， 则棋子“将”的点的坐标为：（1，0）． 故选：B． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 18．（2023秋•水城区期中）如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（﹣40，﹣30）表示，那么（10，20）表示的位置是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】根据题意可得：小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（﹣40，﹣30）表示，即向西走为x轴负方向，向南走为y轴负方向；则（10，20）表示的位置是向东10，北20；即点B所在位置． 【解答】解：根据如图所建的坐标系，易知（10，20）表示的位置是点B， 故选：B． 【点评】本题考查了学生利用类比点坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置，或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标． 19．（2006•宝山区二模）某学校的平面示意图如图所示，为了管理的方便，在该平面图上建立了一个直角坐标系．如果实验楼所在位置的坐标为（2，﹣3），教学楼所在位置的坐标为（3，2），那么图书馆所在位置的坐标为　（0，3）　 ． 【分析】根据实验楼所在位置的坐标为（2，﹣3），教学楼所在位置的坐标为（3，2）可以确定校门所在的位置是坐标原点，便不难写出图书馆的坐标． 【解答】解：根据题意，∵实验楼所在位置的坐标为（2，﹣3），教学楼所在位置的坐标为（3，2）， ∴校门时坐标原点， ∴图书馆所在的位置坐标为（0，3）． 故答案为：（0，3）． 【点评】本题主要考查了坐标位置的确定，找出坐标原点是解题的关键． 四．两点间的距离公式（共4小题） 20．（2025春•上海月考）平面直角坐标系内有点A（5，1）、B（﹣1，3），点P在y轴上，且△PAB是以AB为底边的等腰三角形，求点P的坐标． 【分析】设P（0，p），根据两点之间距离公式得出PA2＝52+（p﹣1）2，PB2＝（﹣1）2+（p﹣3）2，根据等腰三角形的性质，列出方程求解即可． 【解答】解：由条件可知点P的横坐标为0， 设P（0，p），PA＝PB， ∵PA2＝52+（p﹣1）2，PB2＝（﹣1）2+（p﹣3）2， ∴52+（p﹣1）2＝（﹣1）2+（p﹣3）2， 解得：p＝﹣4， ∴P（0，﹣4）． 【点评】本题考查了两点间的距离公式，等腰三角形的定义．熟练掌握以上知识点是关键． 21．（2024秋•浦东新区校级月考）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）到原点的距离为（　　） A．1 B．2 C． D．3 【分析】根据点到原点的距离公式，即可求解； 【解答】解：点P的坐标为P（1，﹣2）， ∴； 故选：C． 【点评】此题考查了平面直角坐标系中点到原点的距离公式，熟练掌握点到原点的距离公式是解题的关键． 22．（2023秋•杨浦区期末）若点P在x轴上，点A坐标是（2，﹣1），且PA，则点P的坐标是 　（3，0）或（1，0）　 ． 【分析】设出P的坐标，利用两点距离公式，求出P的坐标． 【解答】解：由题意设P（x，0），因为PA， ， 解得：x＝3或x＝1， 所以点P的坐标是（3，0）或（1，0）， 故答案为：（3，0）或（1，0）， 【点评】此题考查点的坐标问题，关键是两点间距离公式的应用，考查计算能力． 23．（2008秋•徐汇区期末）如图，已知直线a与坐标轴分别交于A、B两点，其中点B的坐标为（3，0），线段AB的垂直平分线b交y轴于点C（0，1），则AC的长为　　 ． 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段上两端点的距离相等知AC＝CB；然后根据两点间距离公式求得BC，即AC． 【解答】解：∵线段AB的垂直平分线是b， ∴AC＝CB； 又∵CB； ∴AC． 故答案为：． 【点评】本题考查了两点间的距离公式、线段垂直平分线的性质．解答该题需要熟记两点间的距离公式． 五．平移（共7小题） 24．（2024春•松江区校级月考）在平面直角坐标系中，规定一个点先向上平移2个单位，再向右平移1个单位为1次运动．点P（﹣2，﹣3）经过 　9　 次这样的运动后到达点P′（7，15）． 【分析】根据题意，点P′和P的纵坐标的差为18，结合平移方式，即可获得答案． 【解答】解：∵， ∴点P（﹣2，﹣3）经过9次这样的运动后到达点P′（7，15）． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握平移的性质是解题关键． 25．（2022春•上海期末）线段CD是由线段AB平移得到的，若点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（　　） A．（1，2） B．（5，3） C．（2，9） D．（﹣9，﹣4） 【分析】由于线段CD是由线段AB平移得到的，而点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），比较它们的坐标发现横坐标增加5，纵坐标增加3，利用此规律即可求出点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标． 【解答】解：∵线段CD是由线段AB平移得到的， 而点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7）， ∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3， 则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（1，2）． 故选：A． 【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 26．（2025春•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到了线段CD，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点A（﹣6，0），B（﹣4，3），D（3，1），则点C的坐标为 　（1，﹣2）　 ． 【分析】由B、D连点坐标可知，线段AB的平移方式为先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度，据此即可得到点C的坐标． 【解答】解：由B（﹣4，3），D（3，1）可知，线段AB的平移方式为先向右平移7个单位长度，再向下平移2个单位长度， ∵A（﹣6，0）， ∴对应点C的坐标为（﹣6+7，0﹣2）即（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）． 【点评】本题考查了平移的性质，根据对应点得出平移方式是解题关键． 27．（2024春•普陀区期末）在直角坐标平面内，点向 　下　 平移m（m＞0）个单位后，落在第三象限．（填“上”，“下”，“左”，“右”） 【分析】根据点P的位置判断即可． 【解答】解：∵P（，0）在x轴的负半轴上， ∴点P向下平移落在第三象限， 故答案为：下． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 28．（2023春•嘉定区期末）在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，2）向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后点的坐标是　（﹣1，﹣1）　 ． 【分析】根据平移的方法结合平移中点的坐标变换规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可以直接算出平移后点的坐标． 【解答】解：将点A（﹣3，2）向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后点的坐标是（﹣3+2，2﹣3），即（﹣1，﹣1）， 故答案为：（﹣1，﹣1）． 【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 29．（2018春•浦东新区期末）线段AB经过平移得到线段CD，其中点A、B的对应点分别为点C、D，这四个点都在如图所示的格点上，那么线段AB上的一点P（a，b）经过平移后，在线段CD上的对应点Q的坐标是（　　） A．（a﹣1，b+3） B．（a﹣1，b﹣3） C．（a+1，b+3） D．（a+1，b﹣3） 【分析】依据B（1，3），D（2，0），可得线段AB向右平移1个单位，向下平移3个单位得到线段CD，再根据P（a，b），即可得到对应点Q（a+1，b﹣3）． 【解答】解：由图可得，点A、B的对应点分别为点C、D，而B（1，3），D（2，0）， ∴线段AB向右平移1个单位，向下平移3个单位得到线段CD， 又∵P（a，b）， ∴Q（a+1，b﹣3）， 故选：D． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度． 30．（2021春•静安区期末）平面直角坐标系中，点A（x，y），如果x的两个平方根分别是2y﹣3与1﹣y． （1）求点A（x，y）的坐标； （2）点A（x，y）沿x轴的方向向右平移多少个单位后落在第一和第三象限的平分线上？ 【分析】（1）根据平方根的概念得出y的方程，进而解答即可； （2）根据平移的性质解答即可． 【解答】解：（1）根据题意得：（2y﹣3）+（1﹣y）＝0， 解得：y＝2， 可得：x＝（2y﹣3）2＝1， 所求的点A的坐标为A（1，2）； （2）根据题意得：（1，2）→（2，2）， 点A（1，2）沿x轴的方向向右平移1个单位后落在第一和第三象限的平分线上． 【点评】此题考查坐标与图形变化，关键是根据平方根的概念得出A的坐标解答． 六．轴对称（共6小题） 31．（2014秋•上海期末）将平面直角坐标系内的△ABC的三个顶点坐标的横坐标乘以﹣1，纵坐标不变，则所得的三角形与原三角形（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．无任何对称关系 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可知所得的三角形与原三角形关于y轴对称． 【解答】解：∵横坐标乘以﹣1，∴横坐标相反，又纵坐标不变，∴关于y轴对称．故选B． 【点评】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 32．（2024春•浦东新区期末）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于x轴的对称点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标，进而判断所在的象限． 【解答】解：点P（3，﹣2）满足点在第四象限的条件． 关于x轴的对称点的横坐标与P点的横坐标相同，是3；纵坐标互为相反数，是2， 则P关于x轴的对称点是（3，2）在第一象限． 故选：A． 【点评】本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，以及关于x轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数． 33．（2020春•浦东新区期末）在平面直角坐标系中，点A（2，1）关于x轴对称的点的坐标是　（2，﹣1）　 ． 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数． 【解答】解：点（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）． 【点评】本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容． 34．（2023秋•青秀区校级期中）下列判断正确的是（　　） A．点（﹣3，4）与（3，4）关于x轴对称 B．点（3，﹣4）与点（﹣3，4）关于y轴对称 C．点（3，4）与点（3，﹣4）关于x轴对称 D．点（4，﹣3）与点（4，3）关于y轴对称 【分析】根据平面直角坐标系中对称点的规律就可以得到． 【解答】解：A、点（﹣3，4）与（3，4）关于y轴对称； B、点（3，﹣4）与点（﹣3，4）关于原点对称； C、点（3，4）与点（3，﹣4）关于x轴对称； D、点（4，﹣3）与点（4，3）关于x轴对称． 故选：C． 【点评】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 35．（2024秋•高坪区校级期中）已知点P（﹣2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即求关于y轴的对称点时：纵坐标不变，横坐标变成相反数，根据这一关系，就可以求出a＝﹣（﹣2）＝2，b＝3． 【解答】解：根据两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变，得 a＝﹣（﹣2）＝2，b＝3． ∴a+b＝5 故选：C． 【点评】本题比较容易，考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容． 36．（2023春•浦东新区校级期末）在直角坐标系平面内，已知点A的坐标为（﹣1，4），点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到x轴的距离是3，到y轴的距离是4． （1）写出图中点B的坐标：　（﹣3，﹣2）　 ；在图中描出点C，并写出C的坐标：　（4，3）　 ； （2）画出△ABO关于y轴的对称图形△A'B'O，并连接A'B，BB'，B'C，A'C，那么四边形A'BB'C的面积等于 　26　 ． 【分析】（1）根据B、C的位置写出坐标即可； （2）作出A、B关于y轴的对称点A′、B′即可，即可计算四边形A'BB'C的面积． 【解答】解：（1）B（﹣3，﹣2），C（4，3）， 故答案为：（﹣3，﹣2），（4，3）； （2）△A′B′O如图所示，S四边形A′BB′C（3+7）×61×31×5＝26． 故答案为：26． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分割法求四边形面积． 1．（2024春•嘉定区期末）如果点P（x﹣4，y+1）在第一象限，那么点Q（3﹣x，y+2）在第 　二　 象限． 【分析】根据第一象限内的点横坐标大于零、纵坐标大于零，可得x、y的取值范围，根据不等式的性质，可得（2﹣x），（y+2）的范围，再根据点的横坐标的取值范围、纵坐标的取值范围，可得答案． 【解答】解：因为点P（x﹣4，y+1）在第一象限， 所以， 解得x＞4，y＞﹣1， 所以3﹣x＜0，y+2＞0， 所以点Q（3﹣x，y+2）在第二象限． 故答案为：二． 【点评】本题考查了点的坐标，利用第一象限内的点横坐标大于零、纵坐标大于零，得出x、y的取值范围，再利用不等式的性质得出Q点的横坐标的取值范围，纵坐标的取值范围． 2．（2021秋•宝山区校级期中）阅读材料： 两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2． 例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB， 根据上面材料完成下列各题： （1）若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 　3　 ． （2）若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标． （3）若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值． 【分析】（1）直接利用两点间的距离公式计算AB的长； （2）当B点在x轴上，设B（t，0），利用两点间的距离公式得到（﹣2﹣t）2+（0﹣3）2＝52，解方程求出t得到此时B点坐标；当B点在y轴上，设B（0，m），利用两点间的距离公式得到（0+2）2+（m﹣3）2＝52，解方程求出m得到此时B点坐标； （3）利用两点间的距离公式列方程（x﹣3）2+（3﹣x﹣1）2＝52，然后解方程即可． 【解答】解：（1）∵点A（﹣2，3），B（1，﹣3）， ∴AB3； 故答案为3； （2）当B点在x轴上，设B（t，0）， 而点A（﹣2，3），A、B两点间的距离是5， ∴（﹣2﹣t）2+（0﹣3）2＝52，解得t＝2或﹣6， 此时B点坐标为（2，0）或（﹣6，0）； 当B点在y轴上，设B（0，m）， 而点A（﹣2，3），A、B两点间的距离是5， ∴（0+2）2+（m﹣3）2＝52，解得m＝3或3， 此时B点坐标为（0，3）或（0，3）； 综上所述，B点坐标为（2，0）或（﹣6，0）或（0，3）或（0，3）； （3）∵点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5， ∴（x﹣3）2+（3﹣x﹣1）2＝52， 整理得x2﹣5x﹣6＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝6， 即x的值为﹣1或6． 【点评】本题考查两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB． 3．（2022春•嘉定区校级期末）如图，卡通形象“大白”深受大家喜爱，将“大白”放在平面直角坐标系xOy中，每格一个长度单位，如果右眼B的坐标是（﹣3，3），那么这只“大白”的左眼A的坐标是（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣3，4） C．（﹣4，3） D．（﹣3，2） 【分析】根据右眼B的坐标是（﹣3，3），向左平移一格即可得出点A的坐标． 【解答】解：B的坐标是（﹣3，3），左移1个单位得到点A坐标， ∴A（﹣4，3）， 故选：C． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的确定，从平移角度考虑点的坐标更简便． 4．（2024秋•日照期末）若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为（　　） A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3） 【分析】点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），则点P的坐标是（2a+b，a﹣1），点P关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则的P的坐标是（b﹣4，b+2），因而就得到关于a，b的方程组，从而求出a，b，得出点P的坐标． 【解答】解：根据题意得： 解得： ∴P点的坐标为（﹣9，﹣3）． 故选：D． 【点评】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，根据这种关系转化为方程组的问题． 5．（2014春•普陀区期末）在直角坐标系中，要将图形向左平移3个单位时，只需（　　） A．将图形上的每个点的横坐标减3，纵坐标不变 B．将图形上的每个点的横坐标加3，纵坐标不变 C．将图形上的每个点的横坐标不变，纵坐标减3 D．将图形上的每个点的横坐标不变，纵坐标加3 【分析】根据平移规律可得横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【解答】解：要将图形向左平移3个单位时，只需将图形上的每个点的横坐标减3，纵坐标不变， 故选：A． 【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，关键是掌握平移规律． 1．（2024春•浦东新区期末）在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（﹣4，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有几个（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【分析】分别讨论当BC＝AB、AC＝AB和AC＝BC时三种情况下，坐标轴上有几个这样的C点即可． 【解答】解：当BC＝AB时，以点B为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C1、C2、C3（不包括点A）． 当AC＝AB时，以点A为圆心、AB为半径画圆，与坐标轴分别交于点C4、C5、C6（不包括点B）． 当AC＝BC时，点C应该在AB的垂直平分线上． ∵OA＝OB， ∴点O在AB的垂直平分线上． 综上，这样的C点共有7个，分别是点C1、C2、C3、C4、C5、C6、O． 故答案为：C． 【点评】本题考查坐标与图形的性质，一定要考虑到所有情况． 2．（2024秋•浦东新区校级月考）把点绕原点顺时针应转90°后，得到的点的坐标是 　（，﹣2）　 ． 【分析】由于A的坐标为（2，），绕原点顺时针旋转90°得到的点B，根据坐标系即可确定B的坐标． 【解答】解：如图，∵A的坐标为（2，），绕原点顺时针旋转90°得到的点B， ∴根据旋转过程知道B的坐标为（，﹣2）． 故答案为：（，﹣2）． 【点评】此题主要考查了坐标与图形的旋转的关系，解题的关键是把握旋转方向和旋转的性质． 3．（2024秋•闵行区校级月考）点A表示﹣4，B表示是8，P从A点出发，速度每秒2个单位，Q从B点出发，速度每秒1个单位，都同时沿着x轴正方向运动，运动 　8或16　 秒，PQ＝4． 【分析】根据题意，分别表示出运动后点P和点Q对应的数，再建立方程即可解决问题． 【解答】解：由题知， 设运动t秒，PQ＝4， 则t秒后点P表示的数为：﹣4+2t，点Q表示的数为：8+t， 又因为PQ＝4， 则8+t﹣（﹣4+2t）＝4或﹣4+2t﹣（8+t）＝4， 解得t＝8或16． 故答案为：8或16． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 4．（2024春•金山区校级期末）如果将点A（﹣3，4）先向上平移3个单位，再向右平移1个单位后，得到点B，那么点B的坐标是 　（﹣2，7）　 ． 【分析】根据向上平移时，点的横坐标不变，纵坐标增大；向右平移时，纵坐标不变，横坐标增大，据此可解决问题． 【解答】解：因为点A坐标为（﹣3，4）， 所以向上平移3个单位后，所得点的坐标为（﹣3，7）， 再向右平移1个单位后，所得点的坐标为（﹣2，7）． 故答案为：（﹣2，7）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 5．（2024•青浦区三模）五子连珠棋和象棋、围棋一样，深受同学们喜爱，其规则是：在15×15的正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图所示，是两个五子棋爱好者甲和乙对弈图（甲执黑子先行，乙执白子后行），若白棋①的位置是（﹣1，﹣2），白棋②的位置是（2，1）． （1）请在图中建立平面直角坐标系，并写出黑棋M的位置是 　（6，1）　 ； （2）甲必须在何处落子，才不会让乙在短时间内获胜，直接写出对应的点的位置． 【分析】（1）利用直角坐标系写出黑棋M的位置的坐标即可； 根据五子连棋的规则，乙已把（2，6）（3，5）（4，4）三点凑成在一条直线，甲只有在此三点两端任加一点即可保证不会让乙在短时间内获胜，据此即可确定点的坐标． 【解答】解：（1）黑棋M的位置如图所示： 黑棋M的坐标为（6，1）， 故答案为：（6，1）； （2）根据题意得，乙执的白棋已有三点（0，3）（1，2）（2，1）在一条直线上， 甲只有在此直线上距离（﹣1，4）（3，0）最近的地方占取一点才能保证不会让乙在短时间内获胜， 即为点（﹣1，4）或（3，0）． 【点评】本题考查了点的坐标的确定及生活中的棋类常识，正确理解题意和识图是解题的关键． 6．（2024秋•浦东新区期中）如图，在5×5的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（+1，+4），从B到A的爬行路线为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． （1）图中B→D（ 　+3　 ，　﹣2　 ），C→B （﹣2，　+1　 ）； （2）若甲虫的爬行路线为A→B→C→D，计算甲虫爬行的路程． （3）若甲虫从点A出发，爬行路线依次为（+2，+3），（﹣2，+1），（+3，﹣5），（﹣4，+2），最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 【分析】（1）B到D向右走3个格，向下走2个格；C到D向左走2个格，向上走1个格； （2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可； （3）根据题意，画出路线图即可． 【解答】解：（1）根据题意，B到D的路线为（+3，﹣2），C到B的路线（﹣2，+1）， 故答案为：+3，﹣2，B，+1； （2）由A到B路线为（+1，+4），由B到C路线为（+2，﹣1），由C到D路线为（+1，﹣1）， ∴路程为1+2+1+4+1+1＝10； （3）如图： 【点评】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键． 7．（2015秋•长宁区期末）如果式子表示点P（a，b）和点Q的距离，那么Q点坐标是　（﹣1，2）　 ． 【分析】由平面内两点间的距离公式：MN．（其中点M的坐标（a，b），点N的坐标（c，d），要求解． 【解答】解：由平面内两点间距离公式 ∵PQ ∴所以Q点的坐标为（﹣1，2）． 故填：（﹣1，2） 【点评】本题考查平面内任意两点间距离公式，掌握平行于坐标轴的两点间距离公式是解题的关键． 8．（2015秋•奉贤区期末）已知直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（1，2），那么A、B两点间的距离等于　　 ． 【分析】根据两点间的距离公式，可以得到问题的答案． 【解答】解：∵直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（1，2）， ∴A、B两点间的距离为：． 故答案为． 【点评】本题考查两点间的距离，解题的关键是掌握两点间的距离公式． 9．（2021春•闵行区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3）向左移动3个单位后得到点B，那么点B的坐标是 　（1，3）　 ． 【分析】利用横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案． 【解答】解：将点A（4，3）向左平移3个单位得到点B（4﹣3，3） 即（1，3）， 故答案为：（1，3）． 【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握平移变换与坐标变化规律． 10．（2019春•静安区期末）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向右平移3个单位所对应的点的坐标是 　（4，﹣2）　 ． 【分析】根据平移的性质得出所对应的点的横坐标是1+3，纵坐标不变，求出即可． 【解答】解：∵在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向右平移3个单位， ∴所对应的点的横坐标是1+3＝4，纵坐标不变， ∴所对应的点的坐标是（4，﹣2）， 故答案为：（4，﹣2）． 【点评】本题主要考查对坐标﹣图形变化﹣平移的理解和掌握，能根据平移性质进行计算是解此题的关键． 11．（2019春•崇明区期末）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向左平移2个单位后，所得的对应点的坐标是　（﹣1，﹣2）　 ． 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减即可解决问题． 【解答】解：1﹣2＝﹣1， ∴平移后的对应点是（﹣1，﹣2）． 故答案为（﹣1，﹣2）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 12．（2015春•长宁区期末）将点A（2，3）向左平移5个单位，再向下平移5个单位所得到的点B的坐标为　（﹣3，﹣2）　 ． 【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求解即可． 【解答】解：∵点A（2，3）向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到点B， ∴点B的横坐标为2﹣5＝﹣3， 纵坐标为3﹣5＝﹣2， ∴点B的坐标为（﹣3，﹣2）． 故答案为：（﹣3，﹣2）． 【点评】本题考查了坐标与图形性质﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 13．（2012春•金山区校级期末）已知点A（m，n），把它向左平移3个单位后与点B（4，﹣3）关于y轴对称，求m，n的值． 【分析】先根据平移规律求出求出点A的坐标，再由关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变即可求出m，n的值． 【解答】解：∵把点A（m，n）向左平移3个单位后得到点（m﹣3，n）， 又∵点（m﹣3，n）与点B（4，﹣3）关于y轴对称， ∴m﹣3＝﹣4，n＝﹣3， ∴m＝﹣1，n＝﹣3． 【点评】本题考查了平移变换，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．同时考查了y轴对称的点的坐标特点． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面直角坐标系(复习讲义) 知识清单 知识点1．点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 知识点2．坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 知识点3．坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号． 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 知识点4．关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 知识点5．坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 知识点6．两点间的距离公式 知识点7．中点坐标公式 知识点8．坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y） ①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b） ①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b） （2） 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应 的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） *拓展： 知识点9．关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点 （1） 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是 P′（﹣x，﹣y）． （2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质．但它主要是用坐标变化确定图形． 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 知识点10．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 一．平面直角坐标系的引入 1．（2024春•黄浦区期末）下列说法不正确的是（　　） A．点A（﹣2，3）在第二象限 B．点P（﹣2，3）到y轴的距离为2 C．若P（x，y）中xy＝0，则P点在x轴上 D．若P（x，y）在x轴上，则y＝0 2．（2021春•奉贤区期末）在平面直角坐标系中，点P（6﹣a，4）到两坐标轴的距离相等，那么a的值是 　 　 ． 3．（2025春•金山区校级月考）点P在y轴上，且点P到点Q（﹣4，3）的距离是它到点R（2，3）距离的2倍，则点P的坐标是　 　 ． 4．（2024秋•静安区校级期末）如果点P在y轴上，点A坐标是（2，﹣1），且，那么点P的坐标是 　 　 ． 5．（2024春•长宁区期末）已知a为实数，那么在平面直角坐标系中，下列各点中一定位于第四象限的点是（　　） A．（4，﹣a2） B．（a+1，﹣4） C．（a2+1，﹣4） D．（a2，﹣4） 二．简单图形的坐标表达（共8小题） 6．（2023春•虹口区期末）在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B（﹣6，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有（　　）个 A．5 B．6 C．7 D．8 7．（2025春•虹口区期末）我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如图，在5×7的网格中，四边形ABCD是“等邻边四边形”，顶点A、B、C在网格格点上，如果点D也在网格格点上，那么点D的位置有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2025春•闵行区校级月考）已知点P在x轴上，点A（3，1）、点B（0，2），且，则点P的坐标　 　 ． 9．（2024春•松江区校级月考）平面直角坐标系中，点A与点B纵坐标相同，横坐标不同，那么直线AB与y轴的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合 10．（2024春•黄浦区期末）在平面直角坐标系中，AB∥x轴，AB＝2，若点A（1，﹣3），则点B的坐标是 　 　 ． 11．（2023春•普陀区期末）经过点Q （2，﹣3）且平行y轴的直线可以表示为直线　 　 ． 12．（2022秋•普陀区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知∠AOB＝90°，∠A＝60°，点A的坐标为（，1），则点B的坐标为 　 　 ． 13．（2023春•静安区校级期末）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为A、B．若|PA|+|PB|＝6，则点P称为“好点”．例如：点M（﹣2，4），因为|﹣2|+|4|＝6，所以点M是“好点”． （1）在点A（3，﹣3），，C（﹣1，5）中，“好点”是 　 　 ； （2）若D（2a，﹣3a）是“好点”，求a的值． 三．物体位置的坐标表示（共6小题） 14．（2024春•闵行区期末）如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），那么棋子“炮”的坐标为（　　） A．（3，0） B．（3，1） C．（3，2） D．（2，2） 15．（2024秋•浦东新区校级月考）一只昆虫在方格纸上爬行，起始位置是A（4，2），先爬行到（2，4）再爬行到（5，7），则昆虫爬行的路程是　 　 个单位长度． 16．（2025•宝山区校级二模）如图1，太原古县城始建于明洪武八年（1375年），城内历史建筑遗存众多，十字街格局清晰，沿袭了晋阳古城“城池凤翔余”的古老建筑格局，犹如一只头北尾南的凤凰，自古就有“凤凰城”的美誉．如图2，现将古县城的三个景点放在平面直角坐标系中，若县衙和城隍庙两个景点的坐标分别为（﹣3，2），（﹣1，﹣3），则魁星楼的坐标为 　 　 ． 17．（2016春•闵行区期末）象棋在中国有着三千多年的历史，是趣味性很强的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为（﹣2，﹣1）和（3，1），那么表示棋子“将”的点的坐标为（　　） A．（1，2） B．（1，0） C．（0，1） D．（2，2） 18．（2023秋•水城区期中）如图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（﹣40，﹣30）表示，那么（10，20）表示的位置是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 19．（2006•宝山区二模）某学校的平面示意图如图所示，为了管理的方便，在该平面图上建立了一个直角坐标系．如果实验楼所在位置的坐标为（2，﹣3），教学楼所在位置的坐标为（3，2），那么图书馆所在位置的坐标为　 　 ． 四．两点间的距离公式（共4小题） 20．（2025春•上海月考）平面直角坐标系内有点A（5，1）、B（﹣1，3），点P在y轴上，且△PAB是以AB为底边的等腰三角形，求点P的坐标． 21．（2024秋•浦东新区校级月考）在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）到原点的距离为（　　） A．1 B．2 C． D．3 22．（2023秋•杨浦区期末）若点P在x轴上，点A坐标是（2，﹣1），且PA，则点P的坐标是 　 　 ． 23．（2008秋•徐汇区期末）如图，已知直线a与坐标轴分别交于A、B两点，其中点B的坐标为（3，0），线段AB的垂直平分线b交y轴于点C（0，1），则AC的长为　 　 ． 五．平移（共7小题） 24．（2024春•松江区校级月考）在平面直角坐标系中，规定一个点先向上平移2个单位，再向右平移1个单位为1次运动．点P（﹣2，﹣3）经过 　 　 次这样的运动后到达点P′（7，15）． 25．（2022春•上海期末）线段CD是由线段AB平移得到的，若点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（　　） A．（1，2） B．（5，3） C．（2，9） D．（﹣9，﹣4） 26．（2025春•浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到了线段CD，点A、B的对应点分别是点C、D，已知点A（﹣6，0），B（﹣4，3），D（3，1），则点C的坐标为 　 　 ． 27．（2024春•普陀区期末）在直角坐标平面内，点向 　 　 平移m（m＞0）个单位后，落在第三象限．（填“上”，“下”，“左”，“右”） 28．（2023春•嘉定区期末）在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，2）向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后点的坐标是　 　 ． 29．（2018春•浦东新区期末）线段AB经过平移得到线段CD，其中点A、B的对应点分别为点C、D，这四个点都在如图所示的格点上，那么线段AB上的一点P（a，b）经过平移后，在线段CD上的对应点Q的坐标是（　　） A．（a﹣1，b+3） B．（a﹣1，b﹣3） C．（a+1，b+3） D．（a+1，b﹣3） 30．（2021春•静安区期末）平面直角坐标系中，点A（x，y），如果x的两个平方根分别是2y﹣3与1﹣y． （1）求点A（x，y）的坐标； （2）点A（x，y）沿x轴的方向向右平移多少个单位后落在第一和第三象限的平分线上？ 六．轴对称（共6小题） 31．（2014秋•上海期末）将平面直角坐标系内的△ABC的三个顶点坐标的横坐标乘以﹣1，纵坐标不变，则所得的三角形与原三角形（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．无任何对称关系 32．（2024春•浦东新区期末）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于x轴的对称点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 33．（2020春•浦东新区期末）在平面直角坐标系中，点A（2，1）关于x轴对称的点的坐标是　 　 ． 34．（2023秋•青秀区校级期中）下列判断正确的是（　　） A．点（﹣3，4）与（3，4）关于x轴对称 B．点（3，﹣4）与点（﹣3，4）关于y轴对称 C．点（3，4）与点（3，﹣4）关于x轴对称 D．点（4，﹣3）与点（4，3）关于y轴对称 35．（2024秋•高坪区校级期中）已知点P（﹣2，3）关于y轴的对称点为Q（a，b），则a+b的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 36．（2023春•浦东新区校级期末）在直角坐标系平面内，已知点A的坐标为（﹣1，4），点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到x轴的距离是3，到y轴的距离是4． （1）写出图中点B的坐标：　 　 ；在图中描出点C，并写出C的坐标：　 　 ； （2）画出△ABO关于y轴的对称图形△A'B'O，并连接A'B，BB'，B'C，A'C，那么四边形A'BB'C的面积等于 　 　 ． 1．（2024春•嘉定区期末）如果点P（x﹣4，y+1）在第一象限，那么点Q（3﹣x，y+2）在第 　 　 象限． 2．（2021秋•宝山区校级期中）阅读材料： 两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2． 例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB， 根据上面材料完成下列各题： （1）若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是 　 　 ． （2）若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标． （3）若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值． 3．（2022春•嘉定区校级期末）如图，卡通形象“大白”深受大家喜爱，将“大白”放在平面直角坐标系xOy中，每格一个长度单位，如果右眼B的坐标是（﹣3，3），那么这只“大白”的左眼A的坐标是（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣3，4） C．（﹣4，3） D．（﹣3，2） 4．（2024秋•日照期末）若点P关于x轴的对称点为P1（2a+b，﹣a+1），关于y轴的对称点为P2（4﹣b，b+2），则P点的坐标为（　　） A．（9，3） B．（﹣9，3） C．（9，﹣3） D．（﹣9，﹣3） 5．（2014春•普陀区期末）在直角坐标系中，要将图形向左平移3个单位时，只需（　　） A．将图形上的每个点的横坐标减3，纵坐标不变 B．将图形上的每个点的横坐标加3，纵坐标不变 C．将图形上的每个点的横坐标不变，纵坐标减3 D．将图形上的每个点的横坐标不变，纵坐标加3 1．（2024春•浦东新区期末）在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（﹣4，0），坐标轴上有一点C，使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C一共有几个（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（2024秋•浦东新区校级月考）把点绕原点顺时针应转90°后，得到的点的坐标是 　 　 ． 3．（2024秋•闵行区校级月考）点A表示﹣4，B表示是8，P从A点出发，速度每秒2个单位，Q从B点出发，速度每秒1个单位，都同时沿着x轴正方向运动，运动 　 　 秒，PQ＝4． 4．（2024春•金山区校级期末）如果将点A（﹣3，4）先向上平移3个单位，再向右平移1个单位后，得到点B，那么点B的坐标是 　 　 ． 5．（2024•青浦区三模）五子连珠棋和象棋、围棋一样，深受同学们喜爱，其规则是：在15×15的正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图所示，是两个五子棋爱好者甲和乙对弈图（甲执黑子先行，乙执白子后行），若白棋①的位置是（﹣1，﹣2），白棋②的位置是（2，1）． （1）请在图中建立平面直角坐标系，并写出黑棋M的位置是 　 　 ； （2）甲必须在何处落子，才不会让乙在短时间内获胜，直接写出对应的点的位置． 6．（2024秋•浦东新区期中）如图，在5×5的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：A→B（+1，+4），从B到A的爬行路线为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息． （1）图中B→D（ 　 　 ，　 　 ），C→　 　 （﹣2，　 　 ）； （2）若甲虫的爬行路线为A→B→C→D，计算甲虫爬行的路程． （3）若甲虫从点A出发，爬行路线依次为（+2，+3），（﹣2，+1），（+3，﹣5），（﹣4，+2），最终到达点P处，请在图中标出点P的位置． 7．（2015秋•长宁区期末）如果式子表示点P（a，b）和点Q的距离，那么Q点坐标是　 　 ． 8．（2015秋•奉贤区期末）已知直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（1，2），那么A、B两点间的距离等于　 　 ． 9．（2021春•闵行区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3）向左移动3个单位后得到点B，那么点B的坐标是 　 　 ． 10．（2019春•静安区期末）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向右平移3个单位所对应的点的坐标是 　 　 ． 11．（2019春•崇明区期末）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向左平移2个单位后，所得的对应点的坐标是　 　 ． 12．（2015春•长宁区期末）将点A（2，3）向左平移5个单位，再向下平移5个单位所得到的点B的坐标为　 　 ． 13．（2012春•金山区校级期末）已知点A（m，n），把它向左平移3个单位后与点B（4，﹣3）关于y轴对称，求m，n的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $