专题8.2菱形题型突破讲义（2）(常考题型精析+强化题型+寒假预习)2025-2026学年苏科版数学八年级下册

专题8.2菱形题型突破讲义（2） 一、 核心重点：吃透这 4 点，菱形知识稳拿分 1.菱形的 “身份密码”—— 定义:它是平行四边形的 **“升级版”**！一组邻边相等的平行四边形就是菱形，抓住 “平行四边形 + 邻边相等” 两个关键词，就能精准识别菱形。 2.菱形的 “超能力”—— 性质 边：四条边齐刷刷相等，对边还保持平行（平行四边形的老本领没丢）； 角：对角相等、邻角互补（和平行四边形 “同款”）； 对角线：互相垂直还平分，更绝的是每条对角线都能平分一组对角； 对称性：既是中心对称图形，又是有 2 条对称轴的轴对称图形（对称轴就是对角线所在直线）。 3.菱形的 “判定通关秘籍” 定义法（最直接）：平行四边形 + 一组邻边相等 → 菱形； 边判定法（简单粗暴）：四边形四条边都相等 → 菱形； 对角线判定法（暗藏玄机）：平行四边形 + 对角线互相垂直 → 菱形。 4.菱形的 “面积双算法” 通用款：S=底高（和平行四边形一样用）； 专属款：S=对角线1对角线2（对角线垂直是关键，把菱形拆成 4 个直角三角形就能推导）。 二、 难点攻坚：突破这 4 个卡点，菱形题型不丢分 1.性质与判定的 “混搭应用” 这是考试的高频陷阱！菱形常和平行四边形、直角三角形、等腰三角形 “组队” 出题，比如用对角线垂直求边长，或先证平行四边形再证菱形。关键是先找图形关系，再套对应定理。 2.菱形、平行四边形、矩形的 “区别与联系”三者都是特殊四边形，学生超容易记混！记住核心差异：平行四边形是 “基础款”，菱形靠 “邻边相等” 升级，矩形靠 “一个直角” 升级；菱形对角线垂直，矩形对角线相等，别搞反了！ 3.面积专属公式的 “推导与活用” 很多同学会忘专属公式，或用错条件！一定要理解：只有对角线垂直的四边形才能用 “对角线乘积的一半” 算面积。已知面积和一条对角线，求另一条时，别忘乘 2 再除哦。 4.判定定理的 “前提陷阱” 最易错的坑：把 “对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，记成 “对角线互相垂直的四边形是菱形”！少了 “平行四边形” 这个前提，结论直接作废，做题时一定要先看前提条件。 基础 过关题 1.求平行间的距离 2.由菱形的性质求角度 3.由菱形的性质求线段长 4.由菱形的性质求面积 能力 提升题 5.利用平行线间距离解决问题 6.利用菱形性质进行几何证明 7.四边形为菱形的判定证明 8..由菱形的性质与判定求角度 9.由菱形的性质与判定求线段长 10.由菱形的性质与判定求面积 拓展 拔高题 11.添加条件,判定四边形为菱形 【题型1.求两条平行线间的距离】. 1．铁道工人把铁轨下面的每根枕木做成一模一样的依据是（   ） A．平行线间的距离处处相等 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 2．如图，直线，直线与，分别交于，两点，若，，则直线，之间的距离为 ． 3．已知直线，，在同一平面内，且，与的距离为，与的距离为，则与的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 4．如图，，的平分线与的平分线相交于点，过点作于点．若，则两平行线与间的距离为 ． 【题型2.由菱形的性质求角度】 5．如图，菱形的两条对角线相交于点O，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为 ． 7．如图，在菱形中，与交于点，点在上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，展开这个角得到一个锐角为的菱形，则剪痕与折痕所成的角的度数应为 ． 【题型3.由菱形的性质求线段长】 9．菱形的周长为，那么菱形的边长是（    ） A． B． C． D． 10.．小强在参观土家民居建筑时，被其中的菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图）．若的长度为2，则菱形的周长为 ． 11．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的面积为16，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 12．数学实验课上，小聪将菱形纸片沿折叠，其中点E、F分别在边、上．当点B落在上的点处且时，恰有，则 ，此时 ． 解答题 13．如下图，在菱形ABCD中，，对角线．求菱形ABCD的面积．    【题型4.由菱形的性质求面积】. 14．如图，在菱形中，与交于点O．若，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 15．如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则等于 ． 16．图，在菱形中，，交于点，于点，连接，若，，则菱形的面积为 ． 17．如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是 ． 18．如图，菱形中，，，于，则等于（    ）． A． B． C． D． 【题型5.平行线间距离的应用问题】. 19．如图，已知，则 ．（比较两个三角形面积的大小，填“>”、“<”或“=”） 20．如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为 ． 21．如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 22．如图，已知正方形和正方形，点E在边上，连接交于点H，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（    ） A．正方形的面积 B．三角形的面积 C．正方形的面积 D．三角形的面积 23．如图，点是第二象限内直线（为大于2的常数）上一个动点，点、，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积的变化情况为（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．不确定 【题型6.利用菱形性质进行进行几何证明】. 24．下列性质中菱形有而矩形没有的是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．邻角互补 D．对角线相等 25．如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是   （只需写一个）    26．如图，在菱形中，O为对角线的中点，E是对角线上一点，且，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．如图，菱形，矩形，，，，则 ． 28．如图，在菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，且满足，将绕点逆时针旋转至，连接、，则的最小值为 ． 【题型7.四边形为菱形的判定证明】. 29．如图，等宽的丝带重叠部分一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能 30．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 31．如图，四边形是平行四边形，点，分别在，上，且，，，，点，分别在，上，与相交于点，则图中的菱形共有 个． 32．如图，在四边形中，，平分，，为的中点，连接．若，，则的面积为 ． 解答题 33．在中，，为的中点．将以点为中心顺时针方向旋转，点，的对应点分别为点，，与的交点为． (1)如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，当点恰好落在边上时， ①猜想线段，的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度． 【题型8.由菱形的性质与判定求角度】 34．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 35．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画2个单位长度的线段；②以点A、C为圆心，2个单位长为半径画弧，分别于点B，D；③连接，则的大小是 ． 36．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 37．如图，将菱形绕点沿逆时针方向旋转，得到菱形，连接，，若，，则 °． 解答题 38．如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【题型9.由菱形的性质与判定求线段长】 39．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得、之间的距离为，、之间的距离为3，则线段的长为（    ）． A． B．3 C． D．4 40．如图，，，，分别为，上的两点，，若点关于的对称点在上，则 ． 41．如图，等边三角形边长为 点D在边上，且， 点E在边上， 连接，交于点F， 若， 在线段上截取， 连接， 则线段的最小值是 ． 42．如图，在中，将绕点顺时针旋转至，将绕点逆时针旋转至得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．下列结论正确的有（ ） ①与面积相同； ②； ③若，连接和，则； ④若，，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型10.由菱形的性质与判定求面积】 43．某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 44．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是 ． 45．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，且，则四边形的面积为（   ） A．8 B．16 C． D． 解答题 46．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是，两条对角线的和是，求四边形的面积． 【题型11.添加条件,判定四边形为菱形】 47．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 48．已知平行四边形，请从①；②，③，④的四个条件中，任选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形，可以是 49．如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件 能使四边形是菱形． 50．如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2菱形题型突破讲义（2） 一、 核心重点：吃透这 4 点，菱形知识稳拿分 1.菱形的 “身份密码”—— 定义:它是平行四边形的 **“升级版”**！一组邻边相等的平行四边形就是菱形，抓住 “平行四边形 + 邻边相等” 两个关键词，就能精准识别菱形。 2.菱形的 “超能力”—— 性质 边：四条边齐刷刷相等，对边还保持平行（平行四边形的老本领没丢）； 角：对角相等、邻角互补（和平行四边形 “同款”）； 对角线：互相垂直还平分，更绝的是每条对角线都能平分一组对角； 对称性：既是中心对称图形，又是有 2 条对称轴的轴对称图形（对称轴就是对角线所在直线）。 3.菱形的 “判定通关秘籍” 定义法（最直接）：平行四边形 + 一组邻边相等 → 菱形； 边判定法（简单粗暴）：四边形四条边都相等 → 菱形； 对角线判定法（暗藏玄机）：平行四边形 + 对角线互相垂直 → 菱形。 4.菱形的 “面积双算法” 通用款：S=底高（和平行四边形一样用）； 专属款：S=对角线1对角线2（对角线垂直是关键，把菱形拆成 4 个直角三角形就能推导）。 二、 难点攻坚：突破这 4 个卡点，菱形题型不丢分 1.性质与判定的 “混搭应用” 这是考试的高频陷阱！菱形常和平行四边形、直角三角形、等腰三角形 “组队” 出题，比如用对角线垂直求边长，或先证平行四边形再证菱形。关键是先找图形关系，再套对应定理。 2.菱形、平行四边形、矩形的 “区别与联系”三者都是特殊四边形，学生超容易记混！记住核心差异：平行四边形是 “基础款”，菱形靠 “邻边相等” 升级，矩形靠 “一个直角” 升级；菱形对角线垂直，矩形对角线相等，别搞反了！ 3.面积专属公式的 “推导与活用” 很多同学会忘专属公式，或用错条件！一定要理解：只有对角线垂直的四边形才能用 “对角线乘积的一半” 算面积。已知面积和一条对角线，求另一条时，别忘乘 2 再除哦。 4.判定定理的 “前提陷阱” 最易错的坑：把 “对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，记成 “对角线互相垂直的四边形是菱形”！少了 “平行四边形” 这个前提，结论直接作废，做题时一定要先看前提条件。 基础 过关题 1.求平行间的距离 2.由菱形的性质求角度 3.由菱形的性质求线段长 4.由菱形的性质求面积 能力 提升题 5.利用平行线间距离解决问题 6.利用菱形性质进行几何证明 7.四边形为菱形的判定证明 8..由菱形的性质与判定求角度 9.由菱形的性质与判定求线段长 10.由菱形的性质与判定求面积 拓展 拔高题 11.添加条件,判定四边形为菱形 【题型1.求两条平行线间的距离】. 1．铁道工人把铁轨下面的每根枕木做成一模一样的依据是（   ） A．平行线间的距离处处相等 B．两点之间，线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了平行线之间的距离，解题的关键在于理解铁轨枕木的设计与平行线间距离的关系．依据铁轨双轨道平行进行分析即可得出结论． 【详解】解：A、铁轨是平行的两条直线，枕木位于两轨之间，若枕木形状相同，则无论放置在哪个位置，都能保证与两轨的距离一致，符合平行线间距离处处相等，故A正确； B、此选项强调两点间最短路径，与枕木形状无关，故B不合题意； C、垂线段最短是点到直线的垂直距离，与枕木横向支撑无关，故C不合题意； D、此选项用于解释直线方向的确定，与枕木形状的统一性无关，故D不合题意． 故选：A． 2．如图，直线，直线与，分别交于，两点，若，，则直线，之间的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平行线间的距离，含的直角三角形的性质等知识，过A作于G，利用含的直角三角形的性质求出，然后利用平行线的距离求解即可． 【详解】解：过A作于G， ∵，， ∴， ∵， ∴直线，之间的距离为2， 故答案为：2． 3．已知直线，，在同一平面内，且，与的距离为，与的距离为，则与的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了平行线之间的距离，分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【详解】解：如图1，直线c在a、b外时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 如图2，直线c在直线a、b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 综上所述，a与c的距离为或， 故选：C． 4．如图，，的平分线与的平分线相交于点，过点作于点．若，则两平行线与间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，角平分线的性质，求平行线间的距离等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作，交于点，交于点，根据平行线的性质可证得，由角平分线的性质可得，，进而可求得两平行线与间的距离． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ， ， ，即， 由此可知，即为两平行线与间的距离， 是的平分线， 且，， ， 是的平分线， 且，， ， ， 两平行线与间的距离是， 故答案为：． 【题型2.由菱形的性质求角度】 5．如图，菱形的两条对角线相交于点O，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得，，则，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为 ． 【答案】65 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握菱形的对角线平分一组对角是解题的关键． 由菱形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65． 7．如图，在菱形中，与交于点，点在上，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．由可知，设，则，根据菱形的性质可得，即，求出x的值，进一步即可求出答案． 【详解】解：， ， 设，则， 四边形是菱形， ，， 即， ， 解得， 即，， ， 故选：D． 8．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，展开这个角得到一个锐角为的菱形，则剪痕与折痕所成的角的度数应为 ． 【答案】40°或50° 【分析】本题考查了菱形的性质和折叠问题的应用，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，理解题意是解此题的关键． 根据题意知折痕是和，只要求出和即可，根据菱形的每一条对角线平分一组对角求出即可． 【详解】解：如图，四边形是菱形， ，，． ， ， ，， 即剪痕与折痕所成的角的度数应为或． 故答案为：或． 【题型3.由菱形的性质求线段长】 9．菱形的周长为，那么菱形的边长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形四边相等求解即可． 【详解】解：∵菱形的四边相等，周长为， ∴边长， 故选：C． 10.．小强在参观土家民居建筑时，被其中的菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形（如图）．若的长度为2，则菱形的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，由菱形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，据此根据菱形的周长计算公式可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：8． 11．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，菱形的面积为16，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握菱形的性质及直角三角形斜边中线定理是解题的关键；由题意易得，然后根据菱形的面积可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵菱形的面积为16， ∴， ∴， ∵点O为的中点，， ∴； 故选：A． 12．数学实验课上，小聪将菱形纸片沿折叠，其中点E、F分别在边、上．当点B落在上的点处且时，恰有，则 ，此时 ． 【答案】 【分析】第一空，根据等腰直角三角形的性质求解即可； 第二空，延长，相交于点P，设，根据菱形的性质及等腰直角三角形的判定与性质，可逐步求得，进而可求得和的长，即得答案． 【详解】解： ，，由折叠可知， ∴， ． 故答案为：． 延长，相交于点P， 设， ， ， 将菱形纸片沿折叠，点B落在上的点处， ， ， 四边形是菱形， ，， ，，， ， ， ， 同时可得， ， ， 将菱形纸片沿折叠， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． 解答题 13．如下图，在菱形ABCD中，，对角线．求菱形ABCD的面积．    【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 如图，连接交于点，通过菱形的性质可得到是等边三角形，结合勾股定理可得到，，最后通过菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求出菱形的面积． 【详解】解：如图，连接交于点． ∵在菱形中，， ，，， 是等边三角形， ， ，， ， ∴菱形的面积．    【题型4.由菱形的性质求面积】. 14．如图，在菱形中，与交于点O．若，则该菱形的面积是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， 故选：B． 15．如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线，的垂线段，，则等于 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了菱形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用菱形的性质得出，，进而利用三角形等面积法列方程求出答案． 【详解】解：菱形的周长为20，面积为， ，， ∴， 分别作点到直线、的垂线段、， ， ， ． 故答案为：6． 16．图，在菱形中，，交于点，于点，连接，若，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 由菱形的性质可知是的中点，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可求出菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ∴是的中点， 在中，， ， 菱形的面积为． 故答案为：． 17．如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据菱形的性质，得到，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据菱形的面积公式对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，， ∴， ∴， ∵， ∴菱形的面积； 故答案为：． 18．如图，菱形中，，，于，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出是解此题的关键． 根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：设线段和线段相交于点， ∵菱形，，， ∴，，． ∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∵， ∴， ， ． 故选：D． 【题型5.平行线间距离的应用问题】. 19．如图，已知，则 ．（比较两个三角形面积的大小，填“>”、“<”或“=”） 【答案】= 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线间的距离等知识点，掌握平行线间的距离相等成为解题的关键． 根据图形可知，再说明和同底等高，所以和面积相等从而得到和的关系． 【详解】解：由图易有：， ∵， ∴和同底等高， ∴， ∴． 故答案为：=． 20．如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质以及三角形的面积．先判断四边形为平行四边形得到，则，再利用得到点和点到的距离相等，设点到的距离为，利用的面积为可计算出，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】解：， 四边形为平行四边形， ， ， ， 点和点到直线的距离相等， 设点到的距离为， 的面积为， ， 解得， 四边形的面积． 故答案为：8． 21．如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了两平行线间的公垂线段相等，等底等高的三角形面积相等等知识；根据这些知识逐一判断即可． 【详解】解：、为定点， 则为定值， 随着点的运动，的长度是变化的，即的周长变化的； 故①错误； 由于两平行线间的距离相等，即点到底边的距离不变， 即的面积不变； 故②正确； 随着点的运动，的度数是变化的； 故③错误； 两平行线间的距离相等， 即点到直线的距离不变； 故④正确； 综上，正确的有②④； 故选：C． 22．如图，已知正方形和正方形，点E在边上，连接交于点H，连接，，．若要求出图中阴影部分的面积，只需知道（    ） A．正方形的面积 B．三角形的面积 C．正方形的面积 D．三角形的面积 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，单项式乘以多项式在几何图形中的应用，连接，由平行线的性质可得，则，设正方形和正方形的边长分别为，则，根据可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 设正方形和正方形的边长分别为，则， ∴ ， ∴只需要知道正方形的面积就可以知道阴影部分的面积， 故选：A． 23．如图，点是第二象限内直线（为大于2的常数）上一个动点，点、，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积的变化情况为（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．不确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行的关系以及三角形面积求法等知识，根据一次函数的平移得出已知两直线平行是解题关键．连接先求出直线的解析式得出直线与点所在直线平行，从而得到在点移动过程中，三角形的面积不变，即可求解． 【详解】解：连接， 设直线的解析式为， ∵直线过点、， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点是第二象限内直线（为大于2的常数）上一个动点， ∴直线与点所在直线平行． ∴在点移动过程中，三角形的面积不变，三角形的面积不变， ∴四边形的面积不变． 故选：C 【题型6.利用菱形性质进行进行几何证明】. 24．下列性质中菱形有而矩形没有的是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．邻角互补 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了菱形和矩形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形和矩形的性质． 根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形、以及矩形对角线相等、菱形对角线互相垂直判断即可． 【详解】解：A、菱形和矩形都是特殊的平行四边形，故对角相等，不符合题意； B、菱形对角线垂直，矩形对角线相等，但不一定垂直，符合题意； C、菱形和矩形都是特殊的平行四边形，故邻角互补，不符合题意； D、矩形对角线相等，菱形对角线互相垂直，但不一定相等，不符合题意， 故选：B． 25．如图，在菱形中，对角线，相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是   （只需写一个）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了菱形的性质、正方形的判定等知识点，熟练掌握菱形的性质及正方形的判定是解题的关键．根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可解答． 【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．即满足或等条件． 故答案为：（答案不唯一）． 26．如图，在菱形中，O为对角线的中点，E是对角线上一点，且，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键． 由菱形的性质可得、，即，再根据等腰三角形的性质可得、，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵菱形， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴． 故选：D． 27．如图，菱形，矩形，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形和菱形的性质等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．先利用面积比得出，然后设，，利用勾股定理得出，最后再利用面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵，四边形是菱形，四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴可设，， ∴， ∴， ∵，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴（负值已舍）， ∴， ∴，化简得， 故答案为：． 28．如图，在菱形中，，，点、分别为线段、上的动点，且满足，将绕点逆时针旋转至，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，线段和的最小值问题，勾股定理等，熟练掌握相关知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键； 连接，延长至E，使得，利用菱形的性质和题中条件证明，推出，接着证明，推出，进而说明的最小值为的长，最后利用勾股定理求出的长． 【详解】连接，延长至E，使得，如图所示： 由题知，， 四边形是菱形，，， ，， 又， ，即， ， ， ， 又，， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 当A，P，E三点共线时，有最小值，为的长． 连接，过点A作交延长线于F， 则，，， ，， ， 由勾股定理得， 的最小值为． 故答案为：． 【题型7.四边形为菱形的判定证明】. 29．如图，等宽的丝带重叠部分一定是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和菱形的判定，正确掌握平行四边形的判定和菱形的判定是解题的关键． 过点A作于点E，于点F，先证明四边形是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F， 两条丝带宽度相同， ， 根据题意得：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 是菱形， 即等宽的丝带重叠部分一定是菱形． 故选：C． 30．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键． 根据对角线互相垂直或邻边相等的平行四边形是菱形，逐项判断是否能使得对角线垂直或邻边相等即可． 【详解】解：A：由等角对等边，可知邻边相等，可以说明是菱形； B：，故由图中数据可知对角线垂直，可以说明是菱形； C：根据图中数据，只能说明对边平行，不能说明是菱形； D：通过平行四边形的性质，可以推出所给角的内错角也为，即由对角线分成的两个三.角形为等边三角形，故邻边相等，可以说明是菱形， 故选：C． 31．如图，四边形是平行四边形，点，分别在，上，且，，，，点，分别在，上，与相交于点，则图中的菱形共有 个． 【答案】3 【分析】易证明四边形是菱形，再根据菱形的判定方法证明平行四边形是菱形和平行四边形是菱形即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理可得四边形是平行四边形，． ∵，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴， ∴四边形是菱形． 综上所示，图中共有个菱形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及菱形的判定和性质，解题的关键是熟记各种特殊四边形的判定和性质． 32．如图，在四边形中，，平分，，为的中点，连接．若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形、菱形的判定与性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质及面积计算，掌握平行四边形与菱形的判定方法、等边三角形的判定条件，及直角三角形的面积公式是解题的关键． 先根据与的长度关系、为中点，结合，证出四边形是平行四边形；再利用平分及平行线的性质，推出，得到四边形是菱形；结合的度数，推出相关角的度数，得到为等边三角形，进而得出是直角三角形，最后用勾股定理和三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：，为的中点， ． ， 四边形为平行四边形． ，平分， ，， ， ， 四边形为菱形， ，． ， ， ． ， 为等边三角形， ，， ． ， ， ． 故答案为：． 解答题 33．在中，，为的中点．将以点为中心顺时针方向旋转，点，的对应点分别为点，，与的交点为． (1)如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，当点恰好落在边上时， ①猜想线段，的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）根据，得到，根据旋转性质得，，继而得到，即可证明，再根据，可得四边形为菱形； （2）①连接，先证明，再证明即可； ②过点作于点，利用等腰三角形的性质，勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下： ， ， 根据旋转的性质可得，， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， 为的中点， ， ∴平行四边形为菱形； （2）解：①，理由如下： 如图，连接， 根据旋转可得，， ，为的中点， ， ，即 根据（1）中可得， ， ，， ，为的中点， ， ，即， ， ， ； ②如图，过点作于点， ， ， 根据三角形面积公式可得， ， 根据勾股定理可得， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【题型8.由菱形的性质与判定求角度】 34．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 判定出四边形为菱形，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 35．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画2个单位长度的线段；②以点A、C为圆心，2个单位长为半径画弧，分别于点B，D；③连接，则的大小是 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，菱形的判定性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，和是等边三角形， ∴平分，， ∴， 故答案为：． 36．如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，即可判断A，C和D，没有条件得出B选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故A正确， ∴，，故C，D正确， 没有条件得出B选项． 故选：B． 37．如图，将菱形绕点沿逆时针方向旋转，得到菱形，连接，，若，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质与旋转的性质，灵活运用菱形的对边平行、同旁内角互补及旋转角相等的性质是解题的关键．根据菱形性质得到，进而求出旋转角，再由旋转性质得，从而得到答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 由旋转的性质得，． 故答案为：． 解答题 38．如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解； （2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则（负值舍去）， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴． 【题型9.由菱形的性质与判定求线段长】 39．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得、之间的距离为，、之间的距离为3，则线段的长为（    ）． A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理与性质是解题关键． 连接与，交于点，作，垂足为，作，垂足为，由题意可判断出四边形是平行四边形．由于两张纸条等宽，可以推断出，则平行四边形是菱形．根据菱形的性质和勾股定理，计算出线段的长即可． 【详解】解：如图，连接与，交于点，作，垂足为，作，垂足为， 由题意可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∵两张纸条等宽， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在直角中，． 故选：A． 40．如图，，，，分别为，上的两点，，若点关于的对称点在上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质．先证明四边形是菱形，推出，求得是等腰直角三角形，求得，据此求解即可． 【详解】解：如图， 由对称的性质得，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 41．如图，等边三角形边长为 点D在边上，且， 点E在边上， 连接，交于点F， 若， 在线段上截取， 连接， 则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】先根据等边三角形的性质证明，得出，进而得到，从而得到点G在以AC为弦、所对圆周角为的一段弧上运动，然后作辅助线图如图，得到（当且仅当三点共线时取=），得出的最小值即为，再求出即得答案． 【详解】解：∵等边三角形， ∴， ∵， 又∵, ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点G在以为弦、所对圆周角为的一段弧上运动， 设这段弧所在的圆心为O，连接，如图， 则（当且仅当三点共线时取）， ∴的最小值即为， 设交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为；． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及圆的相关知识，得出点G取最小值的位置是解题的关键． 42．如图，在中，将绕点顺时针旋转至，将绕点逆时针旋转至得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．下列结论正确的有（ ） ①与面积相同； ②； ③若，连接和，则； ④若，，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由“”可证，可得，，可求，，故正确；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求；故正确；通过证明平行四边形是菱形，可得，，由勾股定理可求的长，即可判断，即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接，， 是中线， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 将绕点顺时针旋转至，将绕点逆时针旋转至， ，， 在和中， ， ， ，， ，故正确； ， ，故正确； ， ， ，，，， ， ，， ， ；故正确； ， ， ， 平行四边形是菱形， ，， ， ，故错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【题型10.由菱形的性质与判定求面积】 43．某同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了尺规作图作线段，菱形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．连接，交于点，由作图过程可知四边形为菱形，得出，，，勾股定理求出，得出，即可求解． 【详解】解：连接，交于点， 由作图过程可知，， ∴四边形为菱形， ∴，，， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：D． 44．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得，则四边形是平行四边形，根据蓝丝带宽为得，再根据等腰直角三角形勾股定理，进而得平行四边形是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 蓝丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：， 故答案为：． 45．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，且，则四边形的面积为（   ） A．8 B．16 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角 三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先判定四边形是菱形，根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出是等边三角形，可求出的长，再根据直角三角形的性质和勾股定理求出的长，从而求面积． 【详解】解：∵在四边形ABCD中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形是菱形， 在菱形中，对角线与相交于点，，， 又∵， ， 则是等边三角形， ，， ∴，， ∴四边形ABCD的面积为． 故选：C． 解答题 46．如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是，两条对角线的和是，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； (2)根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 是的垂直平分线， ，， 在和中，， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， 四边形的周长是， ， 设、， 则有，，， ， 在中，， ， ， ， 整理可得：， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式． 【题型11.添加条件,判定四边形为菱形】 47．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合． 故选：D． 48．已知平行四边形，请从①；②，③，④的四个条件中，任选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形，可以是 【答案】②③/③② 【分析】此题考查了矩形和菱形的判定，根据矩形和菱形的判定逐项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 故①不满足题意； ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②满足题意； ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故③满足题意； ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 故④不满足题意； 故答案为：②③ 49．如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件 能使四边形是菱形． 【答案】②③/③② 【分析】此题考查了平行四边形和菱形的判定定理，平行线的性质，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由，得到四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理求解即可． 【详解】∵， ∴四边形是平行四边形 若添加条件①，可以证明四边形是矩形，不能证明是菱形，故①不符合题意； 若添加条件②平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形，故②符合题意； 若添加条件③， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形，故③符合题意； 综上所述，选择条件②③能使四边形是菱形． 故答案为：②③． 50．如图，，是的对角线，过点作，交的延长线于点，则添加下列条件，不能使为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据各选项条件，结合菱形判定依据，逐一分析能否判定平行四边形为菱形． 【详解】解：A、∵是平行四边形， ∴，． ∵， ∴，是平行四边形． ∴． ∵， ∴是菱形，不符合题意． B、∵， ∴． ∵， ∴只能说明是的角平分线，无法推出的邻边相等或对角线垂直，不能判定其为菱形，符合题意． C、，直接根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定是菱形，不符合题意． D、由三角形外角性质，， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴是菱形，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定定理、三角形外角性质，解题关键是准确区分 “能判定菱形的条件” 和 “不能判定菱形的条件”，熟练将角的关系转化为边的关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $