广东省广州市2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试题

2025-2026学年第一学期高二数学期末模拟试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．命题“，都有”的否定是（    ） A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．， 使得 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定的定义可以得到结果 【详解】命题“，都有”的否定是“， 使得” 故选：D 2．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3<0}，则（    ） A．{0，1} B．{0，1，2} C．{0，1，2，3} D．{0，1，2，3，4} 【答案】B 【分析】解出集合中元素的范围，然后和集合求交集即可. 【详解】解：， ， 故选：B. 【点睛】本题考查交集的运算，是基础题. 3．复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由化简复数，再根据复数的概念可得答案. 【详解】，所以其虚部为2 故选：B 4．将某大型出版公司所有打字员每分钟的平均打字数统计如下图所示，则可以估计该公司打字员每分钟的平均打字数的中位数为（    ） A．380 B．360 C．340 D．320 【答案】B 【分析】根据中位数的求法求得正确答案. 【详解】由图可知，前三个矩形的面积依次为0.02，0.18，0.4， ， 故所求中位数为. 故选：B 5．设正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据第一个等量关系得到关于公比的方程，解方程得到公比的值，代入第二个等量关系得到关于首项的方程，解方程得到首项，从而得到的值.注意正项等比数列的公比大于0. 【详解】设正项等比数列的公比为q（q>0）， 则由得， 即，即， 即， 解得（舍去）. 由得，即， 将代入得， 解得， 则. 故选：A. 6．甲､乙､丙三人共同收看第24届冬奥会某项目的决赛，他们了解到该项目的参赛运动员来自丹麦､瑞典､挪威､芬兰､冰岛这五个北欧国家，三人做了一个猜运动员国籍的游戏.他们选定了某位运动员，甲说：此运动员来自丹麦或挪威；乙说：此运动员一定不是瑞典和挪威的；丙说：此运动员来自芬兰或冰岛.最后证实，甲､乙､丙三人之中有且只有一人的猜测是正确的，则此运动员来自（    ） A．丹麦 B．挪威 C．芬兰 D．冰岛 【答案】B 【分析】根据题意，逐一分析此运动员来着丹麦、瑞典、挪威、芬兰、冰岛，结合题意，分析即可得答案. 【详解】①若此运动员来自丹麦，则甲､乙､丙三人中甲､乙猜测正确，与题设矛盾，故此运动员不来自丹麦； ②若此运动员来自瑞典，则甲､乙､丙三人都猜测错误，与题设矛盾，故此运动员不来自瑞典； ③若此运动员来自挪威，则甲､乙､丙三人中只有甲猜测正确，与题设相符，故此运动员来自挪威； ④若此运动员来自芬兰，则甲､乙､丙三人中乙､丙猜测是正确，与题设矛盾，故此运动员不来自芬兰； ⑤若此运动员来自冰岛，则甲､乙､丙三人中乙､丙猜测正确，与题设矛盾，故此运动员不来自冰岛. 综上可知，此运动员只能是来自挪威. 故选：B 7．已知是函数的最小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角化简函数的解析式，利用正弦型函数的最值、诱导公式化简可得的值. 【详解】因为， 其中为锐角，且，， 因为为函数的最小值，所以， 所以， 故，， 故. 故选：D. 8．若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，结合斜率关系求出离心率范围. 【详解】依题意，由，消去得，, ，解得， 设，则，则点， 由直线的斜率小于，得， 由，，得，椭圆焦点在轴上， 所以椭圆离心率， 所以椭圆的离心率的取值范围为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．圆M：，圆N：，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据已知圆的圆心、半径判断两圆位置关系及公切线条数，结合两圆特征判断公切线性质，设公切线方程，结合与圆相切及点线距离公式求参数，即可得切线方程. 【详解】由，则圆心为，半径为； 由，则圆心为，半径为； 所以，即两圆外离，故共有4条公切线， 又关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线，与平行的两条公切线，如下图示，    设过原点的公切线为，则，可得或， 所以公切线为或，A对，B错； 设与平行的公切线为，且与公切线距离都为1，则，即， 所以公切线为，C对，D错. 故选：AC 10．如图，在棱长为2的正方体中，，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．三棱锥的体积最大值为1 C．若，则点到直线的距离为 D．三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为 【答案】AC 【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系求得直线方向向量可判断A，由三棱锥体积公式可判断B，由点到线距离的向量法公式即可判断C，设，的中点分别为，，过点作平面的垂线，过点作与棱垂直的平面，判断直线与平面交于点为球心，得到点的轨迹长度与点的轨迹长度相等，即可判断D． 【详解】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．设， 则，，，，． 对于选项A：因为，， 所以， 所以，所以，A正确． 对于选项B：三棱锥的体积， 所以当时，三棱锥的体积取得最大值，B错误． 对于选项C：若，则，，， 所以，， 所以点到直线的距离，C正确． 对于选项D：设，的中点分别为，， 过点作平面的垂线，过点作与棱垂直的平面， 直线与平面交于点，则点为外接球的球心， 显然点的轨迹长度与点的轨迹长度相等． 因为，，所以． 在平面内，点的轨迹方程为，且，， 故点的轨迹长度近似为，即三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为，D错误． 故选：AC． 11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象 D．若方程在上有两个不等实数根，，则 【答案】ABD 【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项． 【详解】对于A，由图可知，，所以，于是A正确， 所以， 则，将点代入得：， 所以，，又，所以，所以， 对于B，因为，为最小值， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，将函数图象向右平移个单位，可得函数， 再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，故C错误； 对于D，由条件结合图象可知，于是，所以，故D正确． 故选：ABD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据被开根数非负及分母不为零列不等式组求解. 【详解】，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13．已知数列中，满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】利用累加法和裂项相消法求和，即可求通项公式. 【详解】由 当时，由上式可得： ， 当时，满足， 故答案为： 14．如图，平行六面体的底面是菱形，，，，若非零向量满足，，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】先确定之间的数量关系，然后证明，再给出使得的例子，即可得到答案． 【详解】根据四边形是菱形，可知，从而据已知有，及 ，. 从而可以得到， 以及. ①一方面，由于，故. 这得到，又由于，故. 所以，即. 这就得到，从而. ②另一方面，取，，则 ， . 且. 所以向量满足条件，此时. 综合①②两方面，可知的最小值为. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在四棱锥中，底面为等腰梯形，其中与相交于点H，且面. (1)求证：面面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）作交于点E，由平面几何知识证得，再由线面垂直的性质和判定证得面，根据面面垂直的判定可得证； （2）以点H为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用面面角的空间向量求解方法可求得答案. 【详解】（1）证：作交于点E， 因为为等腰梯形，，故， 在中，，故，从而， 又与相似，且，所以， 从而有，即， 因为面，故， 又，所以面， 又因为面，面面； （2）解：由题设两两垂直，故以点H为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 从而有：， 设平面的法向量为，又， ∴，取，则， 从而平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 又， ∴取，则， 从而平面的一个法向量为， 令平面与平面夹角为， 则. 由图示得平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值为. 16．如图，在中，，，，点在线段上，且． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用、表示，再根据、的长度和夹角可求出结果； （2）根据夹角公式可求出结果. 【详解】（1）设，， 则． ．故． （2）因为 ． 所以 17．已知正项数列，其前n项和，满足. (1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式； (2)数列中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析， (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）先令求出，再由，，得到，从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列，求出，进而求出的通项公式； （2）假设存在，结合第一问中结论得出，两边平方后推出，故假设不成立，不存在这样的连续三项. 【详解】（1）中令得：， 故正项数列中，，即， 当时，，即， 整理得，又， 因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 则，因为是正项数列，即，所以. 当时，，又满足此式， 即，都有； （2）不存在，理由如下： 由（1）中可得：， 假设存在满足要求的连续三项，使得构成等差数列， 则，即， 两边平方，得，即， 整理得：，即，显然不成立，因此假设是错误的， 所以数列中不存在使构成等差数列的连续三项. 18．已知为椭圆的左焦点，直线与C交于A，B两点，且的周长为，面积为2. (1)求C的标准方程； (2)若关于原点的对称点为Q，不经过点P且斜率为的直线l与C交于点D，E，直线PD与QE交于点M，证明：点M在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将代入曲线C的方程中求得，继而由三角形的面积公式得.再由椭圆的对称性和椭圆的定义得，由此可求得C的标准方程； （2）设，，直线l的方程为，，联立直线l与椭圆C的方程，并消去y得，得出直线PD的方程，直线QE的方程，联立直线PD与直线QE的方程，求得点M的坐标，继而求得，可得证. 【详解】（1）解：将代入中，解得，则， 所以的面积为，所以.① 设C的右焦点为，连接，由椭圆的对称性可知， 所以的周长为，所以，② 由①②解得，， 所以C的标准方程为. （2）解：设，，直线l的方程为，，联立直线l与椭圆C的方程，并消去y得， 则，得且，且， ，， 所以直线PD的方程为，即， 直线QE的方程为，即， 联立直线PD与直线QE的方程，得， 得，，所以 . 所以，即点M在定直线上. 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考命题的热点，解决此类问题要做好两点：一是转化，把题中的已知条件和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化；二是设而不求，即联立直线方程与圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解. 19．已知，关于x的不等式y1≤0的解集为M． (1)当M是空集且方程有解时，求实数m的取值范围； (2)设α，β是的两个正实数根，求的最小值； (3)不等式的解集记为集合P，若{x|－3＜x＜2}P，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2)22； (3). 【分析】（1）根据集合得到，根据有解，分类讨论和两种情况，列不等式求解，最后求交集即可； （2）利用韦达定理得到，及，然后代入中得到，最后利用换元法和基本不等式求最小值即可； （3）分类讨论解不等式，然后结合即可求出范围. 【详解】（1）因为不等式的解集，所以，解得； 方程有解， 当时，，满足要求， 当时，，解得， 综上所述，， 所以当是空集且方程有解时，实数的范围为. （2）因为，是的两个正实数根，所以，，所以， 设，令， 则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为22. （3）不等式整理得， 当时，不等式为，解得，所以此时，满足； 当时，或，满足； 当时，，满足； 当时，或，不满足； 当时，，若要满足，则，解得； 综上所述，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二数学期末模拟试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．命题“，都有”的否定是（    ） A．，都有 B．，都有 C．，使得 D．， 使得 2．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3<0}，则（    ） A．{0，1} B．{0，1，2} C．{0，1，2，3} D．{0，1，2，3，4} 3．复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D． 4．将某大型出版公司所有打字员每分钟的平均打字数统计如下图所示，则可以估计该公司打字员每分钟的平均打字数的中位数为（    ） A．380 B．360 C．340 D．320 5．设正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．甲､乙､丙三人共同收看第24届冬奥会某项目的决赛，他们了解到该项目的参赛运动员来自丹麦､瑞典､挪威､芬兰､冰岛这五个北欧国家，三人做了一个猜运动员国籍的游戏.他们选定了某位运动员，甲说：此运动员来自丹麦或挪威；乙说：此运动员一定不是瑞典和挪威的；丙说：此运动员来自芬兰或冰岛.最后证实，甲､乙､丙三人之中有且只有一人的猜测是正确的，则此运动员来自（    ） A．丹麦 B．挪威 C．芬兰 D．冰岛 7．已知是函数的最小值，则（    ） A． B． C． D． 8．若椭圆与直线交于点，，点为的中点，直线（为原点）的斜率小于，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．圆M：，圆N：，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在棱长为2的正方体中，，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．三棱锥的体积最大值为1 C．若，则点到直线的距离为 D．三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为 11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象 D．若方程在上有两个不等实数根，，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的定义域为 . 13．已知数列中，满足，则数列的通项公式为 . 14．如图，平行六面体的底面是菱形，，，，若非零向量满足，，则的最小值为 ．    四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在四棱锥中，底面为等腰梯形，其中与相交于点H，且面. (1)求证：面面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 16．如图，在中，，，，点在线段上，且． (1)求的长； (2)求． 17．已知正项数列，其前n项和，满足. (1)求证：数列是等差数列，并求出的表达式； (2)数列中是否存在连续三项，使得构成等差数列？请说明理由. 18．已知为椭圆的左焦点，直线与C交于A，B两点，且的周长为，面积为2. (1)求C的标准方程； (2)若关于原点的对称点为Q，不经过点P且斜率为的直线l与C交于点D，E，直线PD与QE交于点M，证明：点M在定直线上. 19．已知，关于x的不等式y1≤0的解集为M． (1)当M是空集且方程有解时，求实数m的取值范围； (2)设α，β是的两个正实数根，求的最小值； (3)不等式的解集记为集合P，若{x|－3＜x＜2}P，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $