排列与组合问题中的一题多解讲义-2026届高三数学二轮专题复习

排列与组合经典问题中的一题多解 排列组合问题是中学教学的重要内容之一，也是高考经常考查的题型.由于排列组合应用题的内容比较抽象,其概念性强，灵活性大，思维方法新颖，且灵活多变，但解题时一般有两种不同的思路:一是正向思维,二是逆向思维，解决的途径也千差万别,各不一样.但我们只要善于观察,概括总结,就会找出一些规律性的有效解题途径.下面列举几例帮助同学们在解题时作为参考与借鉴. 一 、排列问题中的一题多解 例1.(1)有个不同的球要装入编号为的六个盒子中，每个盒子只能装入一个球，且其中甲球不能装入号两个盒子中，问有几种不同的装入方法？ (2)用这六个数字，可以组成多少个无重复数字且不在个位上的六位数？ 【解析】(1)法1(特殊元素优先直接法)第一步，将甲球装入编号为的某一个盒子中有种方法；第二步，将其余个球装入剩下的个盒子中，每个盒子装入一个球有种方法.由分步计数原理知共有种装入方法. 法2(特殊位置优先直接法)第一步，从非甲的个球中任选两个球分别装入编号为的两个盒子中有种方法；第二步，将其余个球装入剩下的个盒子中，每个盒子装入一个球有种方法.由分步计数原理知共有种装入方法. 法3(元素分析间接法)先不考虑限制条件，将个不同的球装入六个编号不同的盒子中，每个盒子装入一个球有种方法；其中甲球装入号或号盒子中有种方法是不合题意的.故共有种装入方法. 法4(位置分析间接法)先不考虑限制条件，将个不同的球装入六个编号不同的盒子中，每个盒子装入一个球有种方法；其中包含从非甲的个球中任选个装入编号为的盒子内，再将剩余两球(含甲)放入号盒子中，可得有种方法是不合题意的.故共有种装入方法. 法5(借用概率思想法)将个不同的盒子每盒装入一个不同的球有种方法，其中甲装入每个盒子的机会是均等的，都占总数的.故符合条件的装法共有种. (2)依题意，这样的数是首位不能排且个位不能排的六位数. 法1(特殊元素优先直接法)按特殊元素数字分类:将数字排在首位，其它个数字全排的六位数有个；将数字排在中间四个位置之一，且首位排非的其它个数字之一,剩下个数字全排的六位数有个.故满足题意的六位数共有个. 法2(特殊位置优先直接法)按特殊位置首位分类:将首位排数字之一，个位排非数字的其它个数字之一，剩余个数字全排的六位数有个；首位排数字，其它个数字全排的六位数有个.故满足题意的六位数共有个. 法3(元素分析间接法)若不考虑限制条件有种排法，其中数字排在首位与数字排在个位各有种排法都不合题意，但数字排在首位时包含数字排在个位，同时数字排在个位时也包含数字排在首位.故满足题意的六位数共有个. 法4(位置分析间接法)首位排非的个数字之一，剩余其它个数字全排有个，其中首位排数字之一且数字排在个位有个是不合题意.故满足题意的六位数共有个. 【点评】对于这类涉及有限制条件的排列问题，往往思路和解法较多，解题时可以用直接法:按特殊元素优先法或按特殊位置优先法去操作；也可以用间接法:元素分析法或位置分析法去解，但无论用什么方法解题都要注意避免遗漏和重复. 【跟踪练习1】(1)某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、政治、体育共节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？ (2) 某学校元旦联欢晚会原定的个节目已排成节目单，开演前又增加了个新节目，如果将这个新节目插入原节目单中，那么有多少种不同的插法? 二 、组合问题中的一题多解 例2.有名外语翻译人员，其中名是英语译员，名是日语译员，另外名英、日语都精通，从中选出人，使他们可以组成两个翻译小组，要人翻译英语，另人翻译日语，且这两个小组能同时开展工作，问选出这样的人共有多少种方法? 【解析】法1:按两名英、日语都精通的“多面手”分为三类.第一类，多面手都参加英语翻译，有种选法；第二类，多面手只选一人参加英语翻译，有种选法；第三类，多面手全不参加英语翻译，有种选法.由分类加法计数原理得，选出这样的人共有种选法. 法2:按仅会英语翻译的人分为三类.第一类，名英语翻译选出人，有种选法；第二类，名英语翻译选出人，有种选法；第三类，名英语翻译选出人，有种选法.由加法原理得共有种选法. 法3:按仅会日语翻译的人分为三类.第一类，名日语翻译全选上，有种选法；第二类，名日语翻译选出人，有种选法；第三类，名日语翻译选出人，有种选法.由加法原理得共有种选法. 【点评】这类题条件复杂，稍有不慎就会出现重复或遗漏而致错,要特别注意:当多面手没有参加英语翻译时，可以参加日语翻译；或者当多面手有一部分参加英语翻译时，另一部分也可以参加日语翻译，反之亦然.本题由于多面手人数不是很多，但当多面手人数较多时，应选择按某一种单面手分类比较简单，否则会使问题变得更加复杂且易出错. 【跟踪练习2】(1)平面内有个点，其中有个点共线，此外再无个点共线，以这些点为三角形的顶点，可得多少个不同的三角形？ (2)从名女生、名男生中选人作为代表参加学校学代会，求至少有一名男生的选法有多少种? 三 、排列与组合综合问题中的一题多解 例3.从名男同学和名女同学中，选出名男同学和名女同学分别承担五项工作，一人承担一项不同工作,共有多少种不同的承担方法？ 【解析】法1:分三步完成，先选人后安排工作.第一步选名男同学有种选法；第二步选名女同学有种选法；第三步对选出的人安排种不同的工作承担有种方法.由分步乘法计数原理得共有种不同的承担方法. 法2:分二步完成，把工作当作元素，同学看作位置.第一步从项工作中任选项(组合问题)分配给个男同学中的人(排列问题)有种方法；第二步将余下的项工作分配给个女同学中的人有种方法.由乘法原理知共有种不同的承担方法. 法3:类同法2，先安排工作给女同学，再安排工作给男同学，则共有种不同的承担方法. 【点评】在解决排列组合综合问题时，要注意思考问题的顺序，始终要先选后排，即要先选出元素(无序)是组合，后考虑安排元素位置(有序)是排列；同时要充分发挥两个计数原理在解题中的功效，做到复杂问题分类处理，每类操作注意顺序要分步解决. 【跟踪练习3】(1)从这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，能组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)从6个女同学，8个男同学中选出5人担任学生会5个不同的职务，每人担任不同职务,且女同学甲与男同学A都不能当选担任，问有多少种不同的安排方法？  跟踪练习答案与详细解析： 1.解:(1)法1:按数学分类:将数学排在第一节，其它节全排有种排法；将数学排在中间五个位置之一，且第一节排非体育的其它个学科之一,剩下个学科全排有排法.故共有排法. 法2:如果不考虑限制条件有种排法，其中第一节排体育与最后一节排数学各有种排法都不合题意，但第一节排体育时包含最后一节排数学，同时最后一节排数学时也包含第一节排体育.故满足题意排法共有种. 法3:第一节排非体育的个学科之一，剩余其它个学科全排有种排法，其中第一节排非体育非数学的个学科之一且数学排在最后一节有种排法是不合题意.故满足题意排法共有种. (2)法1:原定个节目排好后有个空档可插入第一个新节目,即有种不同插法，再插第二个新节目时有个空档,即有种不同插法.故由乘法原理得共有种不同的插法． 法2:原定个节目与新增个节目共占个位置，由于原定个节目已排好顺序，新增的个节目就相当于从个位置中选个位置的排列.故共有种不同的插法． 法3:因个节目的全排列为，而原个节目顺序已定，故两个新节目插入原节目单中共有种插法. 法4:原定个节目排好后有个空档,增加的两个新节目可相邻插入有种插法，增加的两个新节目可不相邻插入有种插法.故共有种插法. 2.解:(1)法1，直接法:从共线个点中取点的多少作为分类标准,分为三类.第一类，共线的个点中取两个点作为三角形的顶点有种取法；第二类，共线的个点中取一个点作为三角形的顶点有种取法；第三类，共线的个点中不取点作为三角形的顶点有种取法.由加法原理可得有个不同的三角形. 法2，间接法:若个点没有限制，则有种取法，其中包含从个共线点中取个点有种取法是不合题意的.故可得有个不同的三角形. (2)法1，直接法:分三类完成，第一类选名男生有种选法；第二类选名男生有种选法；第三类选名男生有种选法.故至少有一名男生的选法有种. 法2，间接法：依题意易得至少有一名男生的选法有种. 3.解:(1)法1，直接法：按是否含有数字分为两类，不含数字的四位数有个；含数字的四位数有个.故能组成个没有重复数字的四位数. 法2，间接法:若数字没有限制有，但其中包含数字排在首位的四位数有个.故满足条件的四位数共有个. (2)法1，直接法:先选后排，除去女甲与男A有12人，故有种不同的安排方法. 法2，间接法：依题意有种不同的安排方法. 学科网（北京）股份有限公司 $