5.3.2函数的极值导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

函数的极值 【学习目标】1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件． 【学习重难点】重点：求函数极值 难点：函数极值与导数的关系 【知识梳理】 1.函数极值的概念 （1）极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的 ，f(a)叫做函数y＝f(x)的 ． 极小值点 极小值 （2）极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的 ，f(b)叫做函数y＝f(x)的 ． 极大值点 极大值 （3）极大值点、极小值点统称为 ，极大值和极小值统称为 ． 极值点 极值 说明： （1） 极值点不是点； （2） 极值是函数的局部性质；（3）函数的极值不唯一； （4） 极大值与极小值两者的大小不确定； （5） 极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点； （6）若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 【概念辨析】 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)导数值为0的点一定是函数的极值点. (　 ) (2)函数的极小值一定小于它的极大值. (　 ) (3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值. (　 ) (4)如果f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不具有单调性. (　 ) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.如图所示为函数的导数的图象，有下列说法： ①函数在区间上递减；    ②； ③函数在处取极大值；      ④函数在区间内有两个极小值点． 其中，正确的是______（填序号）． ②④ 【解析】 由导数的图象可知：函数在上单调递增，在上单调递减，故，故①错误，②正确； 由导数的图象可知：在上均单调递增，故不是函数的极大值点，③错误； 由导数图象可得：在区间内有，且在与上导函数小于0，在和上导数大于0，故和为函数的两个极小值点，故在区间内有两个极小值点，④正确.故答案为：②④ 【典例分析】 例1、求下列函数的极值： （1）f(x)＝x3－3x2－9x＋5； （2）f(x)=x2e-x （3）f(x)＝x－alnx(a∈R)． 【解】(1)函数f(x)的定义域为R.f(x)＝3x2－6x－9， 令f(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10； 当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22. （2）解：f'(x)=2xe-x-x2e-x, 令f'(x)=0,得x=0或x=2, 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表. x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 极小值 单调 递增 极大值 单调递减 所以f(x)的极小值是f(0)=0,极大值是f(2)=. (3)f(x)＝x－aln x的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝1－＝，x>0，知： ①当a≤0时，f(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f(x)＝0，解得x＝a. 又当x∈(0，a)时，f(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f(x)>0， 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值． 例2、（1）已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是 (　 ) A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞) C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) 解析:选B　函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1,所以f'(x)=3x2+2ax+a+6,函数f(x)有极大值和极小值,所以其导函数f'(x)=0有两个不同的解,Δ=4a2-4×3(a+6)>0,所以a<-3或a>6. （2）[多选]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则下列说法正确的是 (　 ) A.a+b=0 B.a+b=-7 C.f(x)一定有两个极值点 D.f(x)一定存在单调递减区间 解析:选BCD　函数f(x)=x3+ax2+bx+a2定义域为R,求导得f'(x)=3x2+2ax+b,依题意,即解得或当时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,函数f(x)在R上单调递增,无极值不符合题意,当时,f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),当x<-或x>1时,f'(x)>0,当-<x<1时,f'(x)<0,因此函数f(x)在,(1,+∞)上单调递增,在内单调递减,f(x)在x=1处取得极小值,符合题意,则a+b=-7,A不正确,B正确;函数f(x)在x=-处取得极大值,f(x)一定有两个极值点,C正确;f(x)一定存在单调递减区间,D正确. 例3、已知函数．若函数在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．（利用草图处理） 【解】 因为)在处取得极值，，所以，所以.所以，. 由解得，.当时，；当时，； 当时，.由的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值.当x→-∞，f(x)→+∞;当x→+∞,f(x)→-∞.要使得直线与函数的图象有三个不同的交点，结合的单调性可知，的取值范围是． 【当堂训练】 1.函数的导数为，函数的图象如图所示.下列说法正确的是（   ） A．是的零点 B．是的极大值点 C．是的极大值点 D．是的极大值点 D 【解析】 对于A，是的零点，不一定为的零点，故A错误； 对于B，因为，在左侧，，故，在右侧，，故，故两侧，故不是的极大值点，故B错误； 对于C，因为，在左侧，，故，在右侧，，故，故是的极小值点，故C错误； 对于D，因为，在左侧，，故，在右侧，，故，故是的极大值点，故D正确； 故选D. 2.已知函数.若函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是______． 【解析】 由题意，得. 若函数在区间上存在极值，则在上有变号零点， 或，解得. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的极值 【学习目标】 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件． 【学习重难点】 重点：求函数极值 难点：函数极值与导数的关系 【知识梳理】 1.函数极值的概念 （1）极小值点与极小值 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点的左侧，右侧，则把叫做函数的 ，叫做函数的 ． （2）极大值点与极大值 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点的左侧，右侧，则把叫做函数的 ，叫做函数的 ． （3）极大值点、极小值点统称为 ，极大值和极小值统称为 ． 说明： （1）极值点不是点；（2）极值是函数的局部性质；（3）函数的极值不唯一； （4）极大值与极小值两者的大小不确定；（5）极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点； （6）若，则不一定是极值点，即是在处取到极值的必要不充分条件，函数的变号零点，才是函数的极值点． 【概念辨析】 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)导数值为的点一定是函数的极值点. (　 ) (2)函数的极小值一定小于它的极大值. (　 ) (3)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值. (　 ) (4)如果在内有极值,那么在内不具有单调性. (　 ) 2.如图所示为函数的导数的图象，有下列说法： ①函数在区间上递减；   ②； ③函数在处取极大值；    ④函数在区间内有两个极小值点．其中，正确的是______（填序号）． 【典例分析】 例1、求下列函数的极值： （1）； （2）； （3）． 例2、（1）已知函数有极大值和极小值,则的取值范围是 . （2）[多选]已知函数在处取得极值,则下列说法正确的是(　 ) A. B. C. 一定有两个极值点 D. 一定存在单调递减区间 例3、已知函数．若函数在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．（利用草图处理） 【当堂训练】 1.函数的导数为，函数的图象如图所示.下列说法正确的是（ ） A．是的零点 B．是的极大值点 C．是的极大值点 D．是的极大值点 2.已知函数.若函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是______． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $