5.2.3简单复合函数的导数课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及应用 5.2.3 简单复合函数的导数 一 二 三 学习目标 理解复合函数的概念 掌握复合函数的求导法则 能利用复合函数的求导法则与四则运算法则解决综合的求导问题 复习回顾 基本初等函数的导数公式： 导数的四则运算法则 复习回顾 新知探究一：复合函数 探究1 如何求函数 y＝ln(2x-1) 的导数？ 现有方法无法求出它的导数： （1）用定义不能求出极限； （2）不是基本初等函数，没有求导公式； （3）不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题. 追问1：这个函数用我们学过的方法能不能求出它的导数?为什么？ 追问2: 函数 y＝ln(2x-1) 的结构特点是什么？它与哪些基本初等函数有关？ 新知探究一：复合函数 若设 u=2x-1 , 则 y=lnu. 如果把 y 与 u 的关系记作 y=f (u) 和，u 与 x 的关系记作 u=g(x)，那么这个“复合”的过程可表示为 y=f (u)=f (g(x))= ln(2x-1). 从而，y＝ln(2x-1)可以看成是由 y＝lnu 及u＝2x-1 经过“复合”得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数. 概念生成 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g (x)的复合函数. 记作：y=f (g(x)). 复合函数 例如，函数y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成. 以下函数是由哪些函数复合而成的？ （1）y＝log2(x＋1) （2）y＝(3x+5)3 （3）y＝e－0.05x＋1 y=log2u和u=x+1 y=u3和u=3x+5 y=eu和u=－0.05x+3 小试牛刀 新知探究二：复合函数的导数 探究2 如何求复合函数的导数呢？ 以函数 y=sin2x 为例，研究其导数.（分两步进行） (1)猜想y=sin2x 的导数与函数y=sinu，u=2x 的导数有关. 以 y′x 表示 y 对 x 的导数, 以 y′u 表示 y 对 u 的导数,以 u′x 表示 u 对 x 的导数 可以先得到函数y=sinu，u=2x 的导数 y′u=cosu, u′x =2 (2)可以换个角度来求 y′x ： y′x =(sin2x)′=(2sinxcosx)′=2[cos2x-sin2x]=2cos2x 可以发现，y′x =2cos2x=cosu·2= y′u · u′x 概念生成 复合函数的导数法则 一般地，对于由y=f (u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f (g(x))，它的导数与函数y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为 结构特点 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积，简单的理解就是复合函数的导数等于内外函数的导数之积. 典例分析 例6 求下列函数的导数: 解： 探究3 你能总结求复合函数y＝f (g(x))的导数的一般步骤吗？ 方法归纳 (1)观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数； (2)引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导法则运算； (3)用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数. 分解 求导 回代 巩固练习 1. 求下列函数的导数: 课本P81 巩固练习 1. 求下列函数的导数: 课本P81 典例分析 例2 某个弹簧震子在震动过程中的位移y(单位:mm) ,关于时间t(单位:s)的函数满足关系式 .求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义. 解：函数 是y=18sinu 与 的复合函数 则 当t=3时， 它表示当t=3时，弹簧震子的瞬时速度为0mm/s. 巩固练习 课本P81 2. 求下列函数在给定点处的导数: 解： 巩固练习 课本P81 解： 课堂小结 1.复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数， 记作y＝f (g(x)). 2.复合函数的求导法则 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系 为y′x＝yu'×ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 3.