5.1.1变化率问题 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学导学案围绕变化率问题展开，核心知识点包括平均变化率、瞬时变化率的含义，极限思想及抛物线切线斜率的求法。通过从具体实例（如汽车速度、运动路程）入手，搭建从平均变化率到瞬时变化率的学习支架，帮助学生理清概念脉络。 资料亮点在于结合现实情境引导学生用数学眼光观察变化规律，通过概念辨析和典例分析培养数学思维，注重“无限逼近”思想的渗透。习题设计层次分明，从基础辨析到变式训练，帮助学生用数学语言表达抽象概念，提升分析解决问题的能力。

5.1.1变化率问题 【学习目标】 1.理解平均变化率与瞬时变化率的含义； 2.理解极限的含义并体会“无限逼近”的思想； 3.会求抛物线在某点处的切线斜率. 【学习重难点】 重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法. 难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念. 【知识梳理】 1.平均变化率 (1)表示：函数在区间上的平均变化率为__________． (2)意义：平均变化率是曲线陡峭程度的“_______”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“_______”． 说明：(1)函数在区间上有意义． (2)在式子中，，而的值可正、可负、可为. (3)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (4)作用：刻画函数值在区间上变化的快慢． 2.瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在________的速度称为瞬时速度． (2)函数在处的瞬时变化率是函数从到的平均变化率在时的极限，即＝ _________________. 3.抛物线的切线的斜率 当点无限趋近于时，割线无限趋近于________，这个确定位置的直线称为抛物线一个确定的位置在点处的______，我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率. 【概念辨析】 1.函数在区间上的平均变化率=(　　) A． B． C． D． 2.汽车在笔直公路上行驶，如果表示时刻的速度，那么当无限趋近于的时候，的意义是 (　　) A．表示当时汽车的加速度 B．表示当时汽车的瞬时速度 C．表示当时汽车的路程变化率 D．表示当时汽车与起点的距离 3.已知抛物线则抛物线在点处切线的斜率为 . 【典例分析】 例1、（1）计算函数从到的平均变化率，其中的值分别为： ① ；② ；③；④ . （2）思考：当越来越小时，函数在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？　 变式、（多选题）下列说法正确的有( ) A. 平均变化率只能是正数 B. 在平均变化率的定义中，自变量在处的变化量可取任意实数 C. 利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是“粗糙不精确的” D. 平均变化率的绝对值越大，曲线在相应区间上越“陡峭”，反之亦然 例2、某物体的运动路程(单位：)与时间(单位：)的关系可用函数表示，求物体在时的瞬时速度． 变式、若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为? 例3、已知曲线在点处的切线的斜率为，则点坐标为________． 【当堂训练】 1.一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在内速度(单位: )与时间(单位：)的关系可近似地表示为，则汽车在时刻时的加速度为(　　) A． B． C． D． 2.已知曲线上一点，则在点处的切线的倾斜角为 . 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.1变化率问题 【学习目标】 1.理解平均变化率与瞬时变化率的含义； 2.理解极限的含义并体会“无限逼近”的思想； 3.会求抛物线在某点处的切线斜率. 【学习重难点】 重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法. 难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念. 【知识梳理】 1.平均变化率 (1)表示：函数在区间上的平均变化率为__________． (2)意义：平均变化率是曲线陡峭程度的“_______”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“_______”． 数量化 视觉化 说明：(1)函数在区间上有意义． (2)在式子中，，而的值可正、可负、可为0. (3)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (4)作用：刻画函数值在区间上变化的快慢． 2.瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在________的速度称为瞬时速度． (2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 ＝ _________________ . 某一时刻； 3.抛物线的切线的斜率 当点无限趋近于时，割线无限趋近于________，这个确定位置的直线称为抛物线一个确定的位置在点处的______，我们可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率. 一个确定的位置 切线 【概念辨析】 1.函数在区间上的平均变化率=(　　) A．4 B． C． D． 【解析】 因为，则在区间上的函数增量，于是，所以所求平均变化率.故选B. 2.汽车在笔直公路上行驶，如果表示时刻的速度，那么当无限趋近于0的时候，的意义是 (　　) A．表示当时汽车的加速度 B．表示当时汽车的瞬时速度 C．表示当时汽车的路程变化率 D．表示当时汽车与起点的距离 A 【解析】 由于表示时刻的速度，由题意可知，则当无限趋近于0的时候，表示当时汽车的加速度．故选A. 3.已知抛物线则抛物线在点（2.5）处切线的斜率为 . 4 【解析】 【典例分析】 例1、（1）计算函数从到的平均变化率，其中的值分别为：① 2；② 1；③ 0.1；④ 0.01. （2） 思考：当越来越小时，函数在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？　 【解】 (1) 因为，所以 ①当时，平均变化率为，即函数在区间上的平均变化率为4； ②当时，平均变化率为，即函数在区间上的平均变化率为3； ③当时，平均变化率为，即函数在区间上的平均变化率为2.1； ④当时，平均变化率为，即函数在区间上的平均变化率为2.01. (2)当越来越小时，函数在区间上的平均变化率逐渐变小，并接近于2. 变式、（多选题）下列说法正确的有( ) A. 平均变化率只能是正数 B. 在平均变化率的定义中，自变量在处的变化量可取任意实数 C. 利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是“粗糙不精确的” D. 平均变化率的绝对值越大，曲线在相应区间上越“陡峭”，反之亦然 CD 【解析】 因为平均变化率可正、可负、可以为0，所以A不正确；在平均变化率的定义中，自变量在处的变化量可以是正数，也可以是负数，但不能为0，所以B不正确.故选CD. 例2、某物体的运动路程s(单位：m)与时间(单位：s)的关系可用函数表示，求物体在s时的瞬时速度． 【解】 在1到的时间内， 物体的平均速度， 当无限趋近于0时，无限趋近于3，所以在时的瞬时变化率为3， 即物体在时的瞬时速度为3m/s. 【感悟与思考】 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量和位移改变量． (2)求平均速度. (3)求瞬时速度，当无限趋近于0时，无限趋近于的常数即为瞬时速度． 变式、若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s ? 【解】 设物体在时刻的瞬时速度为9m/s. ， 所以当无限趋近于0时，无限趋近于.则，所以，则物体在4s时的瞬时速度为9. 例3、已知曲线在点处的切线的斜率为16，则点坐标为________． 【解析】 设点坐标为， 则 当无限趋近于0时，无限趋近于，因此，即.即点坐标为． 【当堂训练】 1.一辆汽车从停止时开始加速行驶，并且在5s内速度(单位:m/s)与时间(单位：s)的关系可近似地表示为，则汽车在时刻时的加速度为(　　) A．9 m/s B．9 m/s2 C．8 m/s2 D．7 m/s2 C 【解析】 由题意，得，当无限趋近于0时，汽车在时刻s时的加速度为8.故选C. 2.已知曲线y＝x2－2上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为 . 45° 【解析】曲线y＝x2－2在点P处的切线斜率为 k＝ ＝ 所以在点P处的切线的倾斜角为45°. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $