三次函数的图像与性质 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

三次函数的图像和性质 【学习目标】 1. 借助三次函数的图象，了解三次函数在某点处取得极值时的必要条件和充分条件，能利用导数求三次函数的极大值、极小值以及闭区间上的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系. 2. 掌握求一元三次函数的单调性、极值、最值的方法，掌握求切线方程的方法. 3. 感受一元三次函数与其导数之间的关系，领悟数形结合、转换与化归的思想. 【学习重难点】 重点：导数研究三次函数的图像 难点：三次函数性质的应用 【典例分析】 例1、已知函数，且当时，函数取得极值． （1）求实数的值； （2）若方程有个不同的根，求实数的取值范围． 例2、已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）设，若函数在区间内有极值，求的取值范围. 例3、已知函数在点处取得极小值，使其导数的解集为，求：（1）的解析式； （2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. 拓展、已知所有的三次函数的图象都有对称中心.若函数，则（   ） A． B． C． D． ★性质：三次函数的图象关于点对称，其中是的二阶导数的零点，即. 【当堂训练】 1.函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 2.已知函数恰有两个零点，则实数的值为_________. 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 三次函数的图像和性质 【学习目标】1. 借助三次函数的图象，了解三次函数在某点处取得极值时的必要条件和充分条件，能利用导数求三次函数的极大值、极小值以及闭区间上的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系. 2. 掌握求一元三次函数的单调性、极值、最值的方法，掌握求切线方程的方法. 3. 感受一元三次函数与其导数之间的关系，领悟数形结合、转换与化归的思想. 【学习重难点】 重点：导数研究三次函数的图像 难点：三次函数性质的应用 【典例分析】 例1、已知函数，且当时，函数取得极值． （1）求实数的值； （2）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围． 【解】 （1）由，得.因为在时，取得极值，所以，解得.当时，. 当时；当时，，所以当时，函数取得极小值，时满足条件．所以. （2） 由（1）得,.则.由，解得或.，解得或；所以，解得.所以图象如图所示： 又，因为方程有3个不同的根，所以， 解得. 例2、已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）设，若函数在区间内有极值，求的取值范围. 【解析】 （1）当时，， 所以．令，得，．当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以当时，取得极大值；当时，取得极小值． （2）因为，问题转化为方程在区间内有变号解，所以或，解得或， 故的取值范围是． 例3、已知函数在点处取得极小值，使其导数的解集为，求： （1）的解析式 （2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. 拓展、已知所有的三次函数的图象都有对称中心.若函数，则（        ） A．8090 B．-8090 C．8092 D．-8092 A 【解析】，则，即函数的图象的对称中心为，则， 故 .故选A. 性质：三次函数的图象关于点对称，其中是的二阶导数的零点，即. 【当堂训练】 1.函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ） A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0 C．a＜0，b＜0，c＞0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0 2. 已知函数恰有两个零点，则实数的值为_________ 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $