不等式ex≥x+1与ln x≤x−1在利用导数比较大小中的应用讲义-2026届高三数学一轮复习

经典不等式与在利用导数比较大小中的应用（学生版） 知识背景： 【1】如图可得：,, 【2】经典不等式的证明 （1） 证明不等式. 【证明】 设,则,令,得, 所以当 时，;当 时，, 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以,即, 所以（当 时等号成立）. （2）证明不等式. 【证明】 由题意知,令, 所以,，所以当 时，; 当 时，,故 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 有最小值, 故有,即 成立. 【3】经典不等式的拓展应用 ①证明可以移项构造函数，转化为最值证明. ②不等式中换成其他表达式，可对进行变形，如;;等. ③与 有关的常用不等式 （,当且仅当时，等号成立）； （,当且仅当时，等号成立）； （,当且仅当时，等号成立）； （，当且仅当时，等号成立）. ④如下图：二者本质关系是指对缩放之间的转换 精选考题： 一、单选题 1．若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．设，则（   ） A． B． C． D． 5．设，则（    ） A． B． C． D． 6.已知，则（    ） A． B． C． D． 7.已知，则（   ） A． B． C． D． 8.已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2、 多选题 9.已知实数,满足,,，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 10.已知函数，若对恒成立，则实数a的取值可能为（   ） A．e B．e-1 C． D． 11.若，，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，，，则则的大小关系为 .（从小到大） 13.设，，，则 >   > (填a，b，c)． 14.已知，则的大小关系为 .（从小到大） 4、 解答题 15．已知，试比较的大小关系. 16.设，则那么的大小关系是什么？ 17.（1） 求证不等式. （2） 若,求证：. 18.（1） 证明不等式. （2） 已知,求证：. 19.已知函数.证明：对任意的,. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 经典不等式与在利用导数比较大小中的应用（详解版） 知识背景： 【1】如图可得：,, 【2】经典不等式的证明 （1） 证明不等式. 【证明】 设,则,令,得, 所以当 时，;当 时，, 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以,即, 所以（当 时等号成立）. （2）证明不等式. 【证明】 由题意知,令, 所以,，所以当 时，; 当 时，,故 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 有最小值, 故有,即 成立. 【3】经典不等式的拓展应用 ①证明可以移项构造函数，转化为最值证明. ②不等式中换成其他表达式，可对进行变形，如;;等. ③与 有关的常用不等式 （,当且仅当时，等号成立）； （,当且仅当时，等号成立）； （,当且仅当时，等号成立）； （，当且仅当时，等号成立）. ④如下图：二者本质关系是指对缩放之间的转换 精选考题： 一、单选题 1．若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、比较函数值的大小关系 【分析】分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可. 【详解】依题意得，则， 令，则. 因为，求导得， 易得在上递减，在上递增， 当，时，，即，B错误，D正确. 当，时，，即，A和C错误. 故选：D. 2．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，再利用导数可得函数单调性，利用函数单调性即可得解. 【详解】令，则， 故在上单调递增，故， 则，故， ，故， 故有，即. 故选：D. 3．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】构造函数结合导数单调性最值，对原式进行合理放缩，结合放缩不等式比较大小 【详解】设则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以的最小值，即在上恒成立， 所以 设函数的定义域为，则 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以的最大值，即在上恒成立， 所以 从而 故选：C. 4．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小 【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性比较大小. 【详解】令函数，求导得，函数在上单调递增， 因此，即，则， 令函数，求导得，函数在上单调递减， 因此，即，则， 所以. 故选：B 5．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性并比较大小. 【详解】令，求导得，函数在上单调递增， 则，即，； 令函数，求导得，函数在上单调递减， 则，即， 所以. 故选：A 6.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】构造，证明. 【详解】设，求导得，则在单调递减． 当时，令，则， 所以单调递增，所以， 所以，所以， 即，故． 故选：C. 7.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】设，利用导数法得，从而有；设，利用导数法得，从而有，即可得解. 【详解】设，则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以，即； 设，则，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即，所以，即； 所以. 故选：B 8.已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】构造函数，利用导数证明，令，求解判断. 【详解】设，则， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以，即， 所以，即， 所以，∴， 又， 而，∴， 故. 故选：D. 2、 多选题 9.74．已知实数,满足,,，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】构造函数法证明不等式、由已知条件判断所给不等式是否正确、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】通过对已知不等式进行变形，构造函数，利用函数的单调性得出，进而推导各选项的正确性. 【详解】对不等式进行变形化简得：， 设. 求导得：. 所以函数在上单调递增. 由，且函数单调递增，可得，即. 对于选项A： 因为，所以平方可得即.A正确. 对于选项B： 取反例，当时，，满足题意. 而，所以B错误. 对于选项C： 取反例，当时， 计算选项C的左边为，右边， 此时，C错误. 对于选项D： 令，求导得，可以看出该导数在上小于0. 所以在上单调递减，所以. 因为，所以，所以. 由前面可知，所以，所以选项D正确. 故选：AD. 10.已知函数，若对恒成立，则实数a的取值可能为（   ） A．e B．e-1 C． D． 【答案】ABD 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】对不等式进行合理变形同构得，构造函数利用函数的单调性计算，再结合选项的大小判断即可. 【详解】易知，故由 可得， 即，两边同时加，则有. 设，则，所以在上单调递增. 因为，， ， 故. 又因为在上单调递增，故恒成立，即恒成立，即. 设，则. 当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增， 故，则有，解得， 因为均在区间内，不在区间内，故ABD正确，C错误. 故选：ABD. 11.若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、作差法比较代数式的大小、基本（均值）不等式的应用 【分析】利用导数求得，结合且，，再由导数研究的区间单调性，进而，即可得. 【详解】令且，则恒成立， 所以在上单调递减，则，即， 因为且，， 而， 所以， 设且，则，所以在单调递减， 由，得，则，所以. 故选：BC 三、填空题 12．已知，，，则则的大小关系为 .（从小到大） 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】本题可通过构造函数，利用函数单调性比较、与的大小关系. 【详解】设，则，由可得， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，故的极小值为， 故（当且仅当时取等号），故，即； 由可得（当且仅当时取等号），故，即， 故． 13.设，，，则 >   > (填a，b，c)． 【答案】 c a b 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】由，，故考虑构造函数，利用导数判断该函数的单调性，由此比较的大小，利用对数函数的单调性，结合，证明，由，根据幂函数的性质证明，由此比较大小，由此可得结论. 【详解】因为，， 设，则，当且仅当时取等号， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以，所以， 故， 因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，故， 又，因为函数在上单调递增， 所以， 所以， 所以， 所以， 故答案为：；；. 14.已知，则的大小关系为 .（从小到大） 【答案】 【知识点】比较函数值的大小关系、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】构造函数，求得单调递减，得出，再令，求得单调递增，得到，结合，即可求解. 【详解】由， 令，可得，所以单调递减， 所以，即， 令，可得，所以单调递增， 所以，即， 又由，所以，即，所以， 所以. 故答案为：. 4、 解答题 15．已知，试比较的大小关系. 【答案】 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】先证明、，然后利用这两个不等式可比较三者的大小. 【详解】现在证明一个不等式：， 设,则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故当时，，即. 令，由可得， 而， 故. 16.设，则那么的大小关系是什么？ 【答案】 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】构造函数，，，利用导数求解函数的单调性，即可由单调性求解． 【详解】设函数，则， 当时，，所以在上单调递增， 故，即， 所以，即， 设函数，则， 所以在上单调递减，当时，， 故当时，， 即，所以， 设函数（令）， ， 当时，，故在上单调递增， 所以， 而， 所以， 综上所述，可得． 17.（1） 求证不等式. （2） 若,求证：. 【答案】 （1） 证明：方法一：令, 则.令，得. 若,则,则 在 上单调递减； 若,则,则 在 上单调递增. 所以, 所以， 所以（当 时等号成立）. 方法二：因为,. 令,则, 因为, 所以（当 时等号成立）. （2） 证明：方法一：要证, 即证. 构造,, 则, 故 在 上单调递增，, 所以,即. 方法二：因为（证明略）， 只需证,即. 记,, 则, 所以 在 上单调递增，, 所以当 时，, 所以,从而. 18.（1） 证明不等式. （2） 已知,求证：. 【答案】 （1） 证明：由题意知,令,所以,, 所以当 时，; 当 时，,故 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 有最大值, 故有, 即 成立. （2） 证明：方法一：构造函数, 则. 当 时，. 即当 时，函数 单调递增，即. 故, 即. 方法二：因为,当 时等号成立（证明略）. 所以, 即, 所以. 19.已知函数.证明：对任意的,. 【证明】 要证, 即证,要先证 时，， 令，则,当 时，,在 上单调递增，所以,即, 所以. 所以要证明，令,则, 易知 在 上单调递减，在 上单调递增，所以,即,所以, 即对任意的,成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $