专题14 同角三角函数的基本关系及诱导公式（竞赛培优专项训练）高一数学人教A版全国通用

专题14 同角三角函数基本关系及诱导公式 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 已知一个三角函数值求同角的其他三角函数值 2 考点二 “弦化切”问题 2 考点三 关于“知一求二”问题 3 考点四 利用同角三角函数关系式化简 4 考点五 利用同角三角函数关系式证明 4 考点六 利用诱导公式求值 4 考点七 利用诱导公式化简或证明 5 考点八 同角三角函数关系式与诱导公式的综合 6 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题10道） 【归纳重点知识】 知识点01 同角三角函数的基本关系 1.平方关系：sin2α＋cos2α＝1. 2.商数关系：tan α＝. 知识点02 诱导公式 角 正弦 余弦 正切 α＋2kπ (k∈Z) sin α cos α tan α －α －sin α cos α －tan α α＋π －sin α －cos α tan α α－π －sin α －cos α tan α π－α sin α －cos α －tan α α＋ cos α －sin α － －α cos α sin α 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【熟记重要结论（二级结论）】 同角三角函数关系式的常见变形 (1)sin α＝tan α·cos α. (2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α). (3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α). (4)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (5)， 考点一 已知一个三角函数值求同角的其他三角函数值 1．若，则＝（   ） A．3 B． C． D．－3 2．已知，则“”是“”的（　　） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知角的终边与单位圆交于第二象限的点，则 . 4．已知是第三象限的角，则 ． 考点二 “弦化切”问题 5．已知，则 ． 6．已知，则 . 7．若，则= . 8．设，则 9．已知角为第二象限角，且， (1)求和的值； (2)求的值； (3)化简并求值． 考点三 关于“知一求二”问题 10．已知，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 11．设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 12．如果角满足，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．2 13．若，且，则（   ） A． B． C． D． 14.（多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 15．已知． (1)若的始边为x轴的非负半轴，终边过点，求的值； (2)若，且，求的值． 考点四 利用同角三角函数关系式化简 16．若 ，则 的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 17．已知 ，且 ，则 . 18．若为第二象限角，且，则 ． 考点五 利用同角三角函数关系式证明 19．求证： (1)； (2)； (3). 20．求证： (1)； (2)． 考点六 利用诱导公式求值 21．已知，则的值是（   ） A．k B． C． D． 22．若为第二象限角，且，则＝（   ） A． B． C． D． 23．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（　　） A． B． C． D． 24．设，其中，若，则（    ） A．-5 B．7 C．-1 D．1 25．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 考点七 利用诱导公式化简或证明 26．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 27．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 28．“” 是 “” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 29．三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．现有如下两个恒等式： （1）；（2）． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． 30．已知圆是单位圆，锐角的终边与圆相交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点. (1)求的值； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值. . 考点八 同角三角函数关系式与诱导公式的综合 31．已知，则＝（   ） A． B． C．－2 D．2 32．若角的终边经过点，则＝（   ） A． B． C． D．－1 33．已知，则（   ） A．-6 B． C．8 D．-8 34．化简得（    ） A． B． C． D． 35．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 36．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 37．已知 (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 38．已知，且为第三象限角. (1)求和的值； (2)已知，求的值. (3)若，求的值. 39．已知函数，其中，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 1．(2024·湖南株州“同济大学杯”数学竞赛)利用诱导公式可将任意角的三角函数值转化为之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则的值约为（    ） 0.1736 0.3420 0.5000 0.6427 0.7660 0.8660 0.9397 0.9848 A． B． C．0.14 D．0.18 【答案】A 【解析】 ， 故选：A 2．（2024·山东滨州学科素养数学竞赛）湖南株州“同济大学已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 且，， 所以. 故选：B. 3．(北京大学博雅计划)已知，则的最大值为（    ） A．0 B． C． D．前三个答案都不对 【答案】A 【解析】由题意可得,的取值范围均是， 所以， 解法一： 记，，则，， 于是等式可化为，即， 整理得，解得或或． 若，则，不符合题意； 因此或，此时． 解法二： 令，， 则，， 于是等式可化为， 故或，进而有． 故选：A. 4．（多选）（2024·河北保定数学竞赛）下列正确的命题是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A项，，故A项正确； 对于B项，因为，所以，故B项错误； 对于C项，因为，所以， 所以，故C项正确； 对于D项，因为， 所以，故D项正确. 故选：ACD. 5．（2024·海南海口实验中学学科竞赛）已知点，过点P的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O点为坐标原点，则的周长的最小值为 【答案】20 【解析】设三角形三个顶点坐标分别为，其中， 设， 则，， 的周长 ， 令，则， 当且仅当，即时，周长取最小值20. 6．（2024·四川宜宾高中数学联赛初赛）已知函数，若，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】对于，，定义域关于原点对称， 因为 ，所以的图象关于对称， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，可得在上单调递增， 因为， 所以， 因为在上单调递增，所以， 即使成立， 令，， 即求在上的最小值， 令， 当时，，所以， 可得，所以，即， 令，， 所以在上的最小值为2， 所以，即的取值范围是. 7．(2024·湖南邵阳数学竞赛)已知，且满足． (1)求的值； (2)若角的终边与角的终边关于y轴对称，求的值． 【解析】（1）因为，则， 联立，解得， 则， 所以． （2）法1：由于角的终边与角的终边关于y轴对称，则， 则， ， 从而有， 所以． 法2：由于角的终边与角的终边关于y轴对称，则． 则， 所以． 8．化简 (1)； (2)已知是第三象限角，化简 【解析】（1）解：由. （2）解：因为是第三象限角，可得，， 则. 9．(2024·湖南岳阳高二数学竞赛)已知，计算 (1)； (2)； 【解析】（1）解：由， 则. （2）解：由， 则. 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14同角三角函数基本关系及诱导公式 目泉概览 A考点精研·竞赛考点专项攻坚 考点一己知一个三角函数值求同角的其他三角函数值…2 考点二弦化切”问题…3 考点三关于Sina士c0Sa,Sin以c0S以“知一求二”问题5 考点四利用同角三角函数关系式化简9 考点五利用同角三角函数关系式证明…10 考点六利用诱导公式求值…11 考点七利用诱导公式化简或证明… .12 考点八同角三角函数关系式与诱导公式的综合… .15 B实战进阶·竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题10道） 积累运用 【归纳重点知识】 知识点01同角三角函数的基本关系 1.平方关系：sin2a+cos2a=1. 2.商数关系：tana=器(a≠罗+kT,keZ) 知识点02诱导公式 角 正弦 余弦 正切 a+2kn sin a cos a tan a (k∈Z) -a -sin a cos a -tan a a十元 -sin a -cos a tan a a一元 -sin a -cos a tan a 元一 sin a -cos a 一tanu a+岁 cos a -sin a 一品 登-a cos a sin a tana 1/25 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 口诀 奇变偶不变，符号看象限 【熟记重要结论（二级结论）】 同角三角函数关系式的常见变形 (1)sin a=tan acos a. (2)sin2a=1-cos2a=(1++cos a)(1-cos a). (3)cos2a=1-sin2a=(1+sin a)(1-sin a). (4(sina±cosa)2=1±2 sin acos a. 1 1 (⑤)l+tana= -=sec2a,1+cota csc2a cos2 sin2a A 考点精研·竞赛考点专项攻坚 考点一己知一个三角函数值求同角的其他三角函数值 1 1 1.若a∈(0，π，5c0sa=4,则- =() sing tand 1 A.3 B. 29 C. D.-3 3 12 【答案】A 【解析】因ae0,列，5cosa=4→cosa=1 5 3 3 sina >0,sina =v1-cos2a 、tamx—3 cosa 4 4 5 从而1+ 15,4 =3 sina tana 33 故选：A 2.已知x∈(0，)，则cosr=3是“sinx= 的() 4 5 A.充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】(1)因为xe（0,π)，所以sinx>0, ,由sin'x+cos2x=l,可得sim2x=16 3 又cosx= 5 2/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以sinr= 4 5 4 (2)因为x∈(0，，又sinx=5' 当xe0,时，c0sr>0,由simx+cos2x=l,可得cos2x= 25'此时c0sx= 3 , 当xe行时，e0sx<0,由sin2x+cosx=l,可得cos3x=5,此时eosx=5 9 3 Ere0,,则cosr=”"是sinr 5 4的充分不必要条件， 故选：C 3.已知角a的终边与单位圆交于第二象限的点4(cosa,了，则ana= 【答案】- 4 【解析】因为角a的终边与单位圆交于第二象限的点A(cosa,), 所以cos'a+l, 9 解得cosa=± √2 2√2 3 因为A在第二象限，所以cosa=一 3 1 所以tana=3 2W2 4 3 故答案为： 、 4 a是第三象限的角，则sina=」 12 4.己知tana= 【路类】吕 【解析】因为a是第三象限的角，所以sina<0, 12 因为tana= 5，所以sina-12 cosa 5 sina 12 联立方程组 cosa 5 ，解得sina=- 2(正根舍去)， 13 cos'a +sin-a =1 故答案为： 、2 13 考点二“弦化切”问题 3/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.己知 sina-cosc=1,则tana= sina+2cosa 【答案】3 2sina -cosa 2sina cosa 【解析】 =1→ cosa =1→ sina +2cosa sina +2cosa 2tana-l-l今tana=3. tana+2 cosa 故答案为：3 6.已知sina+cos0=3,则sin'a-3 sinaco3a=_ sina-cosa 【答案】- 【解析】由sina+cosa =3, sina-cosa tana+1 可得 tang-1 =3,解得tana=2, sina-3sina cosa-sin'a-3sina cosatan'a-3tana4-62 sin-a+cosa tan2a+14+15 7.若tan0=-5,则+3sin9cos0 sin20-cos20 【答案】 24 【解析】1+3sin6cos0 sin20+cos20+3sin0cos0_tan20+1+3tan0_25+1-15_11 sin20-cos20 sin0-cos-0 tan20-1 25-124 故答案为： 11 24 1 8.设tana= sin a+1 2 则 sinacosa-2cos'a 【答案】 31-0.6 1 【解析】因为tana=- sin'a+1 2sin'a+cos'a sinacosa-2cos'a sinacosa-2cos2a 1 2× +1 3 2tan'a+1 2 tand-2 5 2 3 故答案为： 5 4/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9,已知角a为第二象限角，且cosa=-5 (1)求sina和tana的值； (2)求 sinacosa 一的值； 2cos'a-sin' 3化简并求值f) sin a tan(π+a）+2cos(a-π) 2 cosa-sin(-a) 【解析】(1)因为角a为第二象限角，且cosa= 5 2W5 25 tana= sina 所以sina=V1-cos2a 5 =-2 cosa 5 5 (2)因为cosu= 5 ≠0， 5 sina cosa sina cosa 所以2cosa5na2cosa9m2a2-ama2--2y-1 cos"a tana -2 cos-a (3)因为cosa-5 ≠0， π sin a+ 所以fa)= +2tan(n+a)+2cos(a-z) cosa.tana-2cosa sina-2cosa cosa-sin(-a) cosa +sina cosa +sina sina-2cosa tana-2-2-2 =4 cosa+sina 1+tana1+(-2） cosa 所以f(a)=4. 考点三关于sina±cosa,sina cosa“知一求二”问题 已知8∈0，，sin6+cos0,则下列结论错误的是 A.sin0.cos0=_12 7 B.sin0-cos0 25 C. tan0 12 tan20+1=25 D.0e0,2 【答案】D 5/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【解析】对于A,因为sin0+cos0=} 所以(sm9+cs0P=3,即1+2sin0cos0 25 解得sin0cos0=- 2 故A正确； 25 对于B,由A可知sin0cos0=-1 250, 又因为0e(0,π， 所以sin0>0,cos0<0,0∈I, 2 所以sin0-cos0>0, 又因为(sin0-cos02=1-2sin9cos0=4 5 解得sin6-cos0=号故B正确： 7 5’sin6-cos0= 1 对于C,因为sin0+cos0= 7 所以sin0= 5.cos0=_ 3 所以tan6=sin6.4 cos0 3 4 所以 tan0 3一= 12 an20+1 ,故C正确； 对于D,由B的分析可知0∈ π 故D错误， 故选：D. 11.设a∈(0，π)，已知sina,coso是方程3x2-x-m=0的两根，则下列等式正确的是() 4 A.m=- 3 B.sina-cosa=- v17 C.tand= 7 7 13 D.cos2a-sin2a=- 9 【答案】D 1 sin a +cosa 3 【解析】已知sina,cosa是方程3x2-x-m=0的两根，则有 sina.cosa=-m 3 6/25 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (sina+cosa)2=sin2a+cosa+2sina.cosa=1+2sina.cosa, 内)1智解将骨故A结讽 9 &e0.,则sna>0,义sinacosa=--d30,所以cosa<0 3 所以sna-cwaj=sna+eosa-2 in=1-2()-号 又5ina>0,c0sa<0,所以sina-c0sa>0,则sin&-cosa=万，故B错误： 3 1 sina +cosa = 3 sina=1+17 又 7’解得 6 sina-cosa 1-17 c0S0= 3 6 1+17 所以tana=sina =6 1+7.9+7 c0sa1-171-√17 8 ，故C错误， 6 所以cos2a-sin2a=(cosa-sina)(cosa+sina） ）x-,故D正确， 33 9 故选：D 12.如果角O满足sin0+cos0=√2，那么tan0+ 的值是() tan A.-1 B.-2 C.1 D.2 【答案】D 【解析】：sin0+cos0=V2,(sin0+cos0)2=1+2sin6cos6=2,即sin9cos0=} 那么tan0+1= sin0 cos0 sin20+cos20 1 =2,即D正确. tan0 cos0 sin0 sin0 cos0 sin0 cos0 故选：D。 13.若a∈(0，π，且sina-cosa=sinacosa,则sina-cosa=() A.-1+√2 B.-√2+1 C.-√2±1 D.-1±√2 【答案】A 【解析】由题设(sina-cosa)2=1-2 sina cosa=sin2acos2a, 所以sin2acos2a+2 sina cosa+1=2,即(sina cosa+l)2=2, 而sina cosa+1>0,则sina cosa+l=√2， 所以sina cosa=√2-1，即sina-cosa=√2-1. 7/25 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：A π 14.（多选)己知a∈0， sinacosa 4 25,则() > A.cosa +sina = 5 B.sina-cosa = 3 3 C.sina= D.tand= 5 4 【答案】ACD 【解析】对于A,因为a∈0，刀 所以cosa>sina>0, 4 (cosa+sina)2=sin2a+cos2a+2sina cosa=1+2x 12_49 2525 所以cosa+sina= 5故A正确， 7 对于B,由已知可得sina-cosa<0, 121 因为(sina-cosa)2=sin2a+cos2a-2 sina cosa=1-2× 2525 所以sna-cosa三5；敌B错误 对于C,D,由cosa+sina=5sina-cosa= 1 4 可得sina= 5.cosa= 所以tana=sing-3 故C,D都正确. cosa 4 故选：ACD 15.已知f(a)= sina +cosa sina-cosa (1)若α的始边为x轴的非负半轴，终边过点 43 55: 求f(a)的值； (2)若sina+cosa= √2 2 ,且0<a<π，求f(a)的值. 4 3 【解析】(1)由题设cosa=- 加a-子则ana=-名 41 3 +1 所以f(a)= sina cosa tana+1 4 1 17: sina-cosa tana-13 2 (2)由题设 sina +cosa= ,则sin'a+5-sina=1, sin2a+cos2a =1 2 8/25 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以4sin'a-25sina-1=0,0<a<x,则sina=5+6 所以cosa= 2-V6 4 √2+6√2-62 所以f(a)=sina+cosa 4 2 sina-cosa 2+6266=3 4 4 2 考点四利用同角三角函数关系式化简 16.若a∈0， 则2 1 的最小值是() sin'a cos'a A.3+2 B.4 C.3+2√2 D.3 【答案】C 【解析】因为sin2a+cos2a=1,所以 2 1 1 sin a cos a sin2a cos2a sin'a+cos'a)=3+2cosa sin'a sin2a cos2a 因为a∈ 0. 所以0<sin2a<l,0<cos2a<1, 所以根据基本不等式的性质可得2 1 32coama2coa sa sin2a cos2a sin2a cos2a sin2a cos2a 当且仅当2cosa-sina,即ama=2时，等号成立， sin-a cos-a 2 1 此时 取最小值为3+2√2 sin2a cos2a 故选：C 17.已知 1-sina 1+sina V1+sina V1-sina 5,且a)，则osa 2'2 【答案】 【解析】因为a∈ 元元 22 所以1±sina>0,c0sa>0, 所以 1-sina 1+sina 1--sina)尸 (1+sina)2 1-sina 1+sina 25 11+sina V1-sina 1-sin'a 1-sin'a cosa cosa cosa cosa 2 4 所以cosa= 故答案为： 4 9/25 函学科风网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.若6为第二象限角，且tan(π+)=-2，则 1+cos0 1-cos0 N1-cos0 11+cose 【答案】25 【解析】由tanπ+θ)=- 2,知tan0=一 1+cos0 1-cos0 1+cos0)2 1-cos0)2 1+cos0 1-cos0 V1-cos0 V1+cos0 1-c0s20 1-cos20 sin sin 因为O为第二象限角，所以sin0>0,且-1<cos0<0, 所以原式= 2 sin' 1 sin0 又tan0=- 2cos9,且sin0+cos20=1,联立两式可得sin0=5 所以原式=25. 考点五利用同角三角函数关系式证明 19.求证： (1)sinx+sin2xcos2x+cosx=1; (2)-an20 =cos20-sin20; '1+tan20 (3)sin217°-a)cosa-127)+cos2(127°-a)tan2(53°+a）=1. 【解析】(1)sin4x+sin2xcos2x+cos2x sin2x(sin2x+cos2x)+cos2x=sin2x+cos2x=1 故sin4x+sin2xcos2x+cos2x=1成立. (2)因为1-tan91-sin'0 =cos20cos20-sin20 1+tan20 1+sin20 cos20+sin20 =cos20-sin20, cos20 所以1-tan0 1+tan20 -cos0-sin0. (3)sin(217°-a)=sin180°+(37°-a)=-sin(37°-aj cos(a-127）=cos(127°-a)=-sin(37°-a),cos2(127°-a)=sin2(37°-a), tan2153+aj=sinl530+a_sn[90°-(37°-a】-cos2137°-a cos2(53°+a）cos2[90°-(37°-a)sin2(37°-a) 故等式左边=sin(37°-m)+cos2(37°-a)=1,等式成立 20.求证： 10/25