20.2勾股定理的逆定理及其应用（第1课时）（分层作业）数学新教材人教版八年级下册

20.2勾股定理的逆定理及其应用（第1课时） 知识点1：直角三角形的判定 1．（广西桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 2．（贵州毕节）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是（ ） A． B．1, C．6,7,8 D．2,3,4 3．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A． B． C． D．，， 4．若的三边长，，满足，则是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 5．如图，在平面直角坐标系中，，．若点A的坐标为，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，垂足为点．若，， ，判断的形状，并说明理由． 7．已知：如图，四边形，，，，，且．求四边形的面积． 知识点2：勾股数 8．把能够围成直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．下列不是勾股数的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 9．《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　） A．16 B．17 C．25 D．64 10．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , . 知识点3：网格背景下的直角三角形 11．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ． 12．数学小组开展了“在正方形网格中画三角形”的探究活动．具体要求如下：已知，，，点、、都在网格的格点上，，，都不在网格线上． (1)在图、图的正方形网格中分别画出符合题意的（所画的两个三角形不全等）； (2)说明图所画为什么是直角三角形？ 13．（内蒙古包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度． 14．（浙江杭州）阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A） ∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B） ∴c2=a2+b2 （C） ∴△ABC是直角三角形 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　 　； （2）错误的原因为：　 　； （3）本题正确的结论为：　 　． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2勾股定理的逆定理及其应用（第1课时） 知识点1：直角三角形的判定 1．（广西桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形． 【详解】解：A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确，符合题意； B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意； C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意； D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意； 故选A． 2．（贵州毕节）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　 ) A． B．1, C．6,7,8 D．2,3,4 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可. 【详解】解：A．（）2+（）2≠（）2，故该选项错误，不符合题意； B．12+（）2=（）2,故该选项正确，符合题意； C．62+72≠82，故该选项错误，不符合题意； D．22+32≠42，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，会判断是否为直角三角形是解答关键. 3．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设，，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．若的三边长，，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据平方和为零的性质，每一项必须为零，从而得出边的关系和角的关系． 本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理的逆定理，正确根据题目已知条件找到、、之间的关系即可判断三角形的形状，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质． 【详解】解：∵ ， ∴ 且 ， ∴ 即 ， 且 即 ， ∴ △ABC 是等腰三角形（）且直角三角形（）， 故为等腰直角三角形． 故选：D． 5．如图，在平面直角坐标系中，，．若点A的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，作轴，轴，根据题意证得，再根据全等三角形的性质可得，，又已知点的坐标，即可得点的坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作轴，轴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． 6．如图，在中，，垂足为点．若，， ，判断的形状，并说明理由． 【详解】解：是直角三角形． 理由： ， ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中， ， ， ， 是直角三角形． 7．已知：如图，四边形，，，，，且．求四边形的面积． 【详解】解：连接． ∵．，， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴ ． 故四边形的面积为． 知识点2：勾股数 8．把能够围成直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．下列不是勾股数的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数．对于三个正整数，先找出最大的数，若较小的两个数的平方和等于最大的数的平方，则这组数为“勾股数”，计算即可． 【详解】解：∵，∴，，是“勾股数”，∴选项A不符合题意； ∵，∴，，是“勾股数”，∴选项B不符合题意； ∵，∴，，是“勾股数”，∴选项C不符合题意； ∵，∴，，不是“勾股数”，∴选项D符合题意； 故选：D． 9．《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　） A．16 B．17 C．25 D．64 【答案】B 【分析】直接根据题意分别得出由8生成的勾股数”的“弦数”进而得出答案． 【详解】解：∵由8生成的勾股数”的“弦数”记为A， ∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17， 故A＝17， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股数问题．能理解题中的计算方式，并能依此计算是解决此题的关键．需注意在计算“由 m 生成的勾股数”时，m分奇偶计算方式不同． 10．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , . 【答案】5，12，13；8，15，17；9，40，41（此题答案不唯一） 【详解】本题考查的是勾股数 根据勾股定理的逆定理只要写出的数据符合，且为正整数即可． 符合，且为正整数即可，例如5，12，13；8，15，17；9，40，41．（答案不唯一） 知识点3：网格背景下的直角三角形 11．如图，每个小正方形的边长都是1，，，是小正方形的顶点，则 ． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出各边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，进而求出的度数． 【详解】解：连接，如图． 由题意得，，， ，． 是等腰直角三角形． ． 【点睛】本题考查了勾股定理及等腰直角三角形的判定，解题关键是通过勾股定理求出三角形三边长度，结合勾股定理的逆定理判断三角形形状，进而得出角的度数． 12．数学小组开展了“在正方形网格中画三角形”的探究活动．具体要求如下：已知，，，点、、都在网格的格点上，，，都不在网格线上． (1)在图、图的正方形网格中分别画出符合题意的（所画的两个三角形不全等）； (2)说明图所画为什么是直角三角形？ 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：设小正方形的边长为， 如图中，，，， ∴， ∴是直角三角形； 如图中，，，， ∴， ∴是直角三角形． 13．（内蒙古包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度． 【答案】135 【详解】试题分析：如图，连接EE′， ∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3， ∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1． ∴EE′=2，∠BE′E=45°． ∵E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9．∴E′E2+E′C2=EC2． ∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°．∴∠BE′C=135°． 14．（浙江杭州）阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A） ∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B） ∴c2=a2+b2 （C） ∴△ABC是直角三角形 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　 　； （2）错误的原因为：　 　； （3）本题正确的结论为：　 　． 【详解】解：（1）由题目中的解答步骤可得， 错误步骤的代号为：C， 故答案为C； （2）错误的原因为：等式两边同时除以一个整式时，没有考虑除数不为0，即没有考虑a=b的情况， 故答案为没有考虑a=b的情况； （3）由（2）可知，本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形， 故答案为△ABC是等腰三角形或直角三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 20.2勾股定理的逆定理及其应用 基础达标题 知识点1：直角三角形的判定 1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6. 【详解】解：△ABC是直角三角形. 理由： CD⊥AB, ∴.∠CDA=∠CDB=90°， 在Rt△ACD中，由勾股定理得： AC=AD2+CD2=V12+22=V5, 在Rt△BCD中，由勾股定理得： BD=VBC2-CD2=V(2W52-22=V16=4, ∴.AB=AD+BD=5, 在△ABC中， AC2+BC2=(V52+(2V5)2=25, AB2=52=25, ∴.AC2+BC2=AB2, ∴△ABC是直角三角形. 7. 1/3 上好每一堂课 (第1课时) 函学科网·上好课 www.zxxk.com 【详解】解：连接AC, AB⊥BC.AB=1,BC=2, ..AC=AB2+BC2=12+22=5, 在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2, :△ACD是直角三角形， S驷边形4BcD=ABBC+ACCD=;×1×2+×V5×2=1+V5. 故四边形ABCD的面积为1+V5. D 知识点2：勾股数 8.D 9.B 10.5,12,13;8,15,17;9,40,41(此题答案不唯一) 知识点3：网格背景下的直角三角形 11.45° 12. 【详解】(1) 图 图2 (2)解：设小正方形的边长为a, 如图1中，AC=a2+a2=2a2,Bc2=(3a2+(3a)2=18a2,AB2=(2a)2+(4a)2 ..AC2+BC2=AB2, .△ABC是直角三角形； 2/3 上好每一堂课 =20a2, 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图2中，Ac2=a2+(2a)2=5a2,BC2=(2a)2+(4a)2-20a2,AB2=(3a)2+(4a)2=25a2, ∴AC2+BC2=AB2, △ABC是直角三角形. B 能力提升题 13.135 拓展培优题 14.(1)C; (2)错误的原因为：等式两边同时除以一个整式时，没有考虑除数不为0，即没有考虑α=b的情况， 故答案为没有考虑ab的情况； (3)△ABC是等腰三角形或直角三角形， 3/3