3.向心加速度（举一反三讲义）物理人教版必修第二册

第3节 向心加速度 目录 【学习目标】 1 【思维导图】 1 【知识梳理】 1 知识点1：对向心加速度及其方向的理解 1 知识点2：向心加速度的计算 3 【巩固训练】 5 【学习目标】 1．理解向心加速度的概念。 2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。 3．能够运用向心加速度公式求解有关问题。 重点： 理解匀速圆周运动中加速度的产生原因，掌握向心加速度的确定方法和计算公式。 难点： 向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用。 【思维导图】 【知识梳理】 知识点1：对向心加速度及其方向的理解 1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向 ，这个加速度叫作 2.向心加速度的方向：总指向 ，方向时刻改变. 3.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向 ，故向心加速度只改变速度的 ，不改变速度的 . 4.变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是 加速度，二是 加速度。向心加速度改变速度的 ，切向加速度改变速度的 ，所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心. 【典例1】关于向心加速度，下列说法正确的是（    ） A．向心加速度是描述线速度变化的物理量 B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变 D．物体做非匀速圆周运动时，向心加速度的公式不再成立 【变式1】关于向心加速度，下列说法正确的是（　　） A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直 B．向心加速度只改变线速度的大小，不改变线速度的方向 C．做圆周运动的物体加速度的方向始终指向圆心 D．物体做匀速圆周运动时的向心加速度方向始终指向圆心 【变式2】关于对做圆周运动的物体的向心加速度的理解，下列说法正确的是（　　） A．向心加速度用来描述物体速度方向变化的快慢 B．向心加速度的方向可能与速度方向成任意角度 C．向心加速度可能改变速度的大小 D．做圆周运动物体的角速度恒定时，向心加速度恒定 【变式3】如图所示是甲、乙两物体做匀速圆周运动时，向心加速度随半径变化的图像，其中图线甲为双曲线的一支。由图像可以知道（　　） A．甲物体运动时，线速度保持不变 B．甲物体运动时，角速度保持不变 C．乙物体运动时，线速度保持不变 D．乙物体运动时，角速度保持不变 知识点2：向心加速度的计算 (1)基本公式：①an＝ ；②an＝ . (2)拓展公式：①an＝r；②an＝4π2n2r＝4π2f2r；③an＝ωv. 向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，要求某一时刻的向心加速度，必须用该时刻的线速度或角速度代入向心加速度的表达式进行计算。 【典例2】一个地球仪绕与其“赤道面”垂直的“地轴”匀速转动的示意图如图所示。P点和Q点位于同一条“经线”上、Q点和M点位于“赤道”上，O为球心。下列说法正确的是（　　） A．P、Q的线速度大小相等 B．P、M的角速度大小相等 C．P、Q的向心加速度大小相等 D．P、M的向心加速度方向均指向O 【变式1】“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点向心加速度大小约为（　　） A．10m/s2 B．100m/s2 C．1000m/s2 D．10000m/s2 【变式2】如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的（　　） A．线速度突然增大 B．角速度突然增大 C．向心加速度不变 D．以上说法均不对 【变式3】如图所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴，、、分别是三个轮边缘的点，，则下列说法中正确的是（    ） A．、两点的角速度之比 B．、两点的线速度之比 C．、两点的向心加速度之比 D．、两点的周期之比 【巩固训练】 1．下列关于圆周运动的向心加速度的说法中，正确的是（    ） A．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直 B．向心加速度的方向可能与速度方向不垂直 C．向心加速度的方向保持不变 D．向心加速度的方向与速度平行 2.陶瓷是中华瑰宝，是中华文明的重要名片。图甲为陶瓷的拉坯过程，其简化模型如图乙。当粗坯随转台绕中心转轴匀速转动时，下列说法正确的是（　　） A．点的周期比点的大 B．同一时刻点的向心加速度的方向与点的相同 C．点的角速度大于点的角速度 D．点的线速度大于点的线速度 3.如图所示，用一细线悬挂一小球，使其悬空做圆锥摆运动。圆锥摆运动为绕某一点的匀速圆周运动。下列描述小球运动的物理量，恒定不变的是（　　） A．线速度 B．向心力 C．向心加速度 D．周期 4.如图所示，门把手上A、B两点到转轴上O点的距离之比为，匀速转动门把手时，下列说法正确的是（    ） A．A、B两点的线速度大小之比为 B．A、B两点的角速度之比为 C．A、B两点的向心加速度大小之比为 D．A、B两点转过的路程之比为 5.图甲为古代战争中使用的一种投石机，图乙为投石机的简化模型。在投石过程中，将石块A放在长臂末端，短臂末端的重物B在其重力作用下向下快速转动，长臂及石块向上转动，当长臂转到高处某一位置时，石块被抛出。石块和重物均可视为质点，在转动过程中，下列说法正确的是（　　） A．线速度大小 B．角速度大小 C．向心加速度大小 D．向心加速度大小 6.如图甲为某同学转动自己手中的笔的过程，该过程可视为圆心为O的圆周运动，如图乙所示。已知笔长为L，当笔尖M的线速度大小为时，笔帽N的线速度大小为，则笔帽N做圆周运动的加速度大小为（   ） A． B． C． D． 7.某研究小组利用摄像机记录人的甩手动作，以探究指尖水滴被甩落的过程。如图所示是由每秒25帧的摄像机拍摄视频后制作的图片，图中、、是甩手动作最后3帧照片指尖的位置。根据照片建构、之间运动模型：开始阶段，指尖以肘关节为圆心做圆周运动，到接近的最后时刻，指尖以腕关节（视为已静止）为圆心做圆周运动。测得、之间的距离为，、之间的距离为。近似认为、之间平均速度为指尖经过点的线速度。重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．由图可明显看出，由至指尖的线速度逐渐增大 B．指尖经过点时的线速度大约为 C．指尖经过点时的向心加速度大约为 D．在相同的指尖速度下，如果该人的上臂、前臂和手掌始终保持在一条直线上，则水滴将更容易被甩出 8.把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动，如图所示。若圆周运动的半径越大，则小球（　　） A．对漏斗壁的压力越大 B．加速度越小 C．角速度越小 D．线速度越小 9.长为L的细绳，一端拴一质量为m的小球，另一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆），摆线与竖直方向的夹角为，重力加速度为g，求： （1）细绳的拉力F； （2）小球运动的线速度的大小。    10.如图所示，在水平转盘上有一小木块，随转盘一起转动（木块与转盘间无相对滑动），木块到转轴的距离r=0.2m，圆盘转动的周期T=（s）。求： （1）木块的线速度大小v； （2）木块的向心加速度大小an。 11.如图，一个质量为18kg的小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周的半径为5.0m。当她的线速度大小为2.0m/s时，求该小孩在运动过程中 (1)角速度大小； (2)向心加速度大小； (3)所受合外力大小。 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3节 向心加速度 目录 【学习目标】 1 【思维导图】 1 【知识梳理】 1 知识点1：对向心加速度及其方向的理解 1 知识点2：向心加速度的计算 4 【巩固训练】 8 【学习目标】 1．理解向心加速度的概念。 2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。 3．能够运用向心加速度公式求解有关问题。 重点： 理解匀速圆周运动中加速度的产生原因，掌握向心加速度的确定方法和计算公式。 难点： 向心加速度方向的确定过程和向心加速度公式的推导与应用。 【思维导图】 【知识梳理】 知识点1：对向心加速度及其方向的理解 1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度. 2.向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变. 3.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小. 4.变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度。向心加速度改变速度的方向，切向加速度改变速度的大小，所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心. 【典例1】关于向心加速度，下列说法正确的是（    ） A．向心加速度是描述线速度变化的物理量 B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变 D．物体做非匀速圆周运动时，向心加速度的公式不再成立 【答案】B 【解析】AB．加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故A错误，B正确； C．向心加速度指向圆心，方向时刻改变，只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，故C错误； D．向心加速度的公式对匀速圆周运动和变速圆周运动同样成立，故D错误。 故选B。 【变式1】关于向心加速度，下列说法正确的是（　　） A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直 B．向心加速度只改变线速度的大小，不改变线速度的方向 C．做圆周运动的物体加速度的方向始终指向圆心 D．物体做匀速圆周运动时的向心加速度方向始终指向圆心 【答案】AD 【解析】AB．向心加速度的方向始终与速度方向垂直，向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故A正确，B错误； CD．物体做匀速圆周运动时的向心加速度方向始终指向圆心，做变速圆周运动的物体加速度的方向不是始终指向圆心，故C错误，D正确。 故选AD。 【变式2】关于对做圆周运动的物体的向心加速度的理解，下列说法正确的是（　　） A．向心加速度用来描述物体速度方向变化的快慢 B．向心加速度的方向可能与速度方向成任意角度 C．向心加速度可能改变速度的大小 D．做圆周运动物体的角速度恒定时，向心加速度恒定 【答案】A 【解析】AC．向心加速度用来描述物体速度方向变化的快慢，向心加速度只能改变速度的方向，并不改变速度的大小，故A正确，C错误； B．向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直；故B错误； D．根据做圆周运动物体的角速度恒定时，向心加速度的方向时刻发生变化，所以向心加速度不是恒定的，故D错误。 故选A。 【变式3】如图所示是甲、乙两物体做匀速圆周运动时，向心加速度随半径变化的图像，其中图线甲为双曲线的一支。由图像可以知道（　　） A．甲物体运动时，线速度保持不变 B．甲物体运动时，角速度保持不变 C．乙物体运动时，线速度保持不变 D．乙物体运动时，角速度保持不变 【答案】D 【解析】AB．根据 可知当线速度大小不变，加速度与半径成反比，由图像可知甲物体运动时，线速度大小保持不变，但方向时刻发生变化，故AB错误； CD．根据 可知角速度不变，加速度与半径成正比，由图像可知乙物体运动时，角速度保持不变，故C错误，D正确。 故选D。 知识点2：向心加速度的计算 (1)基本公式：①an＝；②an＝ω2r. (2)拓展公式：①an＝r；②an＝4π2n2r＝4π2f2r；③an＝ωv. 向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，要求某一时刻的向心加速度，必须用该时刻的线速度或角速度代入向心加速度的表达式进行计算。 【典例2】一个地球仪绕与其“赤道面”垂直的“地轴”匀速转动的示意图如图所示。P点和Q点位于同一条“经线”上、Q点和M点位于“赤道”上，O为球心。下列说法正确的是（　　） A．P、Q的线速度大小相等 B．P、M的角速度大小相等 C．P、Q的向心加速度大小相等 D．P、M的向心加速度方向均指向O 【答案】B 【解析】B．由于同轴转动的物体的角速度相等，可知P、Q、M的角速度均相等，B正确； A．图中球面上各点圆周运动的半径为各点到地轴的垂直距离，因此有 根据 结合上述可知 A错误； C．根据 结合上述可知 C错误； D．根据上述可知，M的向心加速度方向指向O，P的向心加速度方向指向P到地轴垂线的垂足，D错误。 故选B。 【变式1】“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点向心加速度大小约为（　　） A．10m/s2 B．100m/s2 C．1000m/s2 D．10000m/s2 【答案】C 【解析】纽扣在转动过程中 由向心加速度 故选C。 【变式2】如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的（　　） A．线速度突然增大 B．角速度突然增大 C．向心加速度不变 D．以上说法均不对 【答案】B 【解析】AB．当小球运动到O点正下方时，由于圆心由O点变成C点，小球做圆周运动的半径突然减小，而小球的线速度不能突变，即线速度不变，根据 可知角速度会突然增大，故A错误，B正确； CD．根据 因半径减小，故向心加速度突然增大，故CD错误。 故选B。 【变式3】如图所示的皮带传动装置中，轮A和B同轴，、、分别是三个轮边缘的点，，则下列说法中正确的是（    ） A．、两点的角速度之比 B．、两点的线速度之比 C．、两点的向心加速度之比 D．、两点的周期之比 【答案】B 【解析】A．轮A和B同轴转动，两轮角速度相同，则、两点的角速度之比 故A错误； B．根据，可得、两点的线速度之比 B轮和C轮是皮带传动，则、两点的线速度相等，则、两点的线速度之比 故B正确； C．根据，、两点的向心加速度之比 故C错误； D．根据，、两点的周期之比 故D错误。 故选B。 【巩固训练】 1．下列关于圆周运动的向心加速度的说法中，正确的是（    ） A．向心加速度的方向始终与速度的方向垂直 B．向心加速度的方向可能与速度方向不垂直 C．向心加速度的方向保持不变 D．向心加速度的方向与速度平行 【答案】A 【解析】做圆周运动的物体向心加速度的方向始终与速度的方向垂直，指向圆心，所以加速度的方向不断变化。 故选A。 2.陶瓷是中华瑰宝，是中华文明的重要名片。图甲为陶瓷的拉坯过程，其简化模型如图乙。当粗坯随转台绕中心转轴匀速转动时，下列说法正确的是（　　） A．点的周期比点的大 B．同一时刻点的向心加速度的方向与点的相同 C．点的角速度大于点的角速度 D．点的线速度大于点的线速度 【答案】B 【解析】AC．、两点同轴转动，所以、两点的角速度相等，根据可知二者周期相等，故AC错误； B．向心加速度方向均水平指向转轴，所以同一时刻点的向心加速度的方向与点的相同，故B正确； D．根据，由于，可知点的线速度小于点的线速度，故D错误。 故选B。 3.如图所示，用一细线悬挂一小球，使其悬空做圆锥摆运动。圆锥摆运动为绕某一点的匀速圆周运动。下列描述小球运动的物理量，恒定不变的是（　　） A．线速度 B．向心力 C．向心加速度 D．周期 【答案】D 【解析】A．小球做匀速圆周运动时，线速度大小不变，方向沿圆周切线方向，时刻改变，A错误； BC．向心力、向心加速度大小均不变，方向均指向圆心，时刻改变，BC错误； D．周期是标量，小球做匀速圆周运动时，周期保持不变，D正确。 故选D。 4.如图所示，门把手上A、B两点到转轴上O点的距离之比为，匀速转动门把手时，下列说法正确的是（    ） A．A、B两点的线速度大小之比为 B．A、B两点的角速度之比为 C．A、B两点的向心加速度大小之比为 D．A、B两点转过的路程之比为 【答案】A 【解析】B．门把手上A、B两点都绕O点同轴转动，则角速度相等，故A、B两点的角速度之比为，故B错误； A．由，可知A、B两点的线速度大小之比为 故A正确； C．由，可知A、B两点的向心加速度大小之比为 故C错误； D．门把手上的点转过的路程为 由于A、B两点转过的角度相同，所以A、B两点转过的路程之比为 故D错误。 故选A。 5.图甲为古代战争中使用的一种投石机，图乙为投石机的简化模型。在投石过程中，将石块A放在长臂末端，短臂末端的重物B在其重力作用下向下快速转动，长臂及石块向上转动，当长臂转到高处某一位置时，石块被抛出。石块和重物均可视为质点，在转动过程中，下列说法正确的是（　　） A．线速度大小 B．角速度大小 C．向心加速度大小 D．向心加速度大小 【答案】B 【解析】AB．石块A和重物B的转动角速度大小相同，有，石块A和重物B的转动半径不同，根据可得线速度大小不同，故A错误，B正确； CD．石块A的转动半径大于重物B的转动半径，根据可得二者的向心加速度大小不相等，有，故CD错误。 故选B。 6.如图甲为某同学转动自己手中的笔的过程，该过程可视为圆心为O的圆周运动，如图乙所示。已知笔长为L，当笔尖M的线速度大小为时，笔帽N的线速度大小为，则笔帽N做圆周运动的加速度大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】笔尖M与笔帽N转动的角速度大小相等，设角速度为，根据角速度与线速度之间的关系，有 解得 笔帽N做圆周运动的加速度大小为 ACD错误，B正确。 故选B。 7.某研究小组利用摄像机记录人的甩手动作，以探究指尖水滴被甩落的过程。如图所示是由每秒25帧的摄像机拍摄视频后制作的图片，图中、、是甩手动作最后3帧照片指尖的位置。根据照片建构、之间运动模型：开始阶段，指尖以肘关节为圆心做圆周运动，到接近的最后时刻，指尖以腕关节（视为已静止）为圆心做圆周运动。测得、之间的距离为，、之间的距离为。近似认为、之间平均速度为指尖经过点的线速度。重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．由图可明显看出，由至指尖的线速度逐渐增大 B．指尖经过点时的线速度大约为 C．指尖经过点时的向心加速度大约为 D．在相同的指尖速度下，如果该人的上臂、前臂和手掌始终保持在一条直线上，则水滴将更容易被甩出 【答案】C 【解析】A．由题意可知，摄像机拍摄时每秒25帧，则相邻两帧之间的时间间隔是相等的，时间间隔为 由图可知、之间的弧长明显大于、C之间的弧长，根据平均速度的定义式可知， 因此由至指尖的线速度先增大后减小，故A错误； B．指尖经过点时的线速度，故B错误； C．指尖经过点时的向心加速度大约为，故C正确； D．水滴的合外力不能提供所需的向心力时，水滴就容易被出去，所以甩手时应减小半径，则在相同的指尖速度下，如果该人的上臂、前臂和手掌始终保持在一条直线上，则水滴将更不容易被甩出，故D错误。 故选C。 8.把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可使小球在短时间内沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动，如图所示。若圆周运动的半径越大，则小球（　　） A．对漏斗壁的压力越大 B．加速度越小 C．角速度越小 D．线速度越小 【答案】C 【解析】小球在漏斗中做圆周运动受力情况如图 A．根据平衡条件 得 可知无论轨道半径的大小如何，漏斗壁对小球的支持力大小都是相等，结合牛顿第三定律可知，对漏斗壁的压力大小也相同，故A错误； BCD．水平方向上，由牛顿第二定律 可知加速度a大小相等，R越大的，角速度越小，线速度v越大，故C正确，BD错误。 故选C。 9.长为L的细绳，一端拴一质量为m的小球，另一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆），摆线与竖直方向的夹角为，重力加速度为g，求： （1）细绳的拉力F； （2）小球运动的线速度的大小。    【答案】（1）；（2） 【解析】（1）小球受重力和拉力作用，两个力的合力提供向心力，则可得 （2）根据牛顿第二定律得 又 解得 10.如图所示，在水平转盘上有一小木块，随转盘一起转动（木块与转盘间无相对滑动），木块到转轴的距离r=0.2m，圆盘转动的周期T=（s）。求： （1）木块的线速度大小v； （2）木块的向心加速度大小an。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据匀速圆周运动的运动规律，可得角速度 根据线速度与角速度的关系，有 （2）由匀速圆周运动的运动规律，可得向心加速度 11.如图，一个质量为18kg的小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周的半径为5.0m。当她的线速度大小为2.0m/s时，求该小孩在运动过程中 (1)角速度大小； (2)向心加速度大小； (3)所受合外力大小。 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】(1)小孩在运动过程中角速度大小为 (2)小孩在运动过程中向心加速度大小为 (3)小孩在运动过程中所受合外力大小为 / 学科网（北京）股份有限公司 $