第23章 专题14 一次函数与几何图形的面积问题-【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（人教版·新教材）

该教案聚焦坐标系中图形面积计算，涵盖直接公式法、和差法及由面积求点坐标。从已有面积公式切入，先讲边在坐标轴的直接计算，再过渡到非特殊位置的和差转化，最后逆向应用，构建知识支架。 特色是结合图形示例与方法指导，培养几何直观与空间观念，例题步骤清晰锻炼推理与运算能力，逆向问题强化模型意识。如和差法将四边形面积转化为三角形面积差，提升学生分析转化能力，助力教师高效教学，夯实数形结合基础。

直接利用面积公式求面积　　 方法指导： 当所求三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，直接利用三角形的面积公式计算三角形的面积． 如图①，S△ABC＝|xC－xB|·|yA|. 图① 　　 图② 如图②，S△ABC＝|yC－yB|·|xA|. 如图，一次函数y＝－x－2与y＝x－4的图象相交于点A. (1)求点A的坐标； (2)若一次函数y＝－x－2与y＝x－4的图象与x轴分别相交于点B，C，求△ABC的面积． 1题图 解：(1)联立解得 ∴点A的坐标为(1，－3). (2)在y＝－x－2中，令y＝0，得－x－2＝0，解得x＝－2， ∴点B的坐标为(－2，0). 在y＝x－4中，令y＝0，得x－4＝0，解得x＝4， ∴点C的坐标为(4，0)，∴BC＝4－(－2)＝6， ∴△ABC的面积为×6×3＝9. 如图，一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A(3，4)，且OA＝OB. (1)求这两个函数的解析式； (2)求△AOB的面积S. 2题图 解：(1)设直线OA的函数解析式为y＝kx(k≠0)，将A(3，4)的坐标代入，得4＝3k，解得k＝， ∴直线OA的函数解析式为 y＝x. ∵点A的坐标为(3，4)， ∴OA＝＝5， ∴OB＝OA＝5，∴点B的坐标为(0，－5). 设直线AB的函数解析式为y＝ax＋b(a≠0)， 将点A(3，4)，B(0，－5)的坐标代入，得 解得∴直线AB的函数解析式为y＝3x－5. (2)△AOB的面积S＝×5×3＝. 利用和差法求面积　　 方法指导： 当所求图形的面积不能用面积公式直接求出时，通常用和差法将所求图形的面积转化为两个图形的面积的和或差． 如图①，S△ABC＝S△ADC＋S△ADB＝|yA－yD|·(|xC|＋|xB|)或S△ABC＝S△ACE－S△BCE＝|xE－xC|·(|yA|－|yB|). 图① 　　 图② 如图②，连接OB，S四边形ABDO＝S△AOB＋S△ODB＝|xA|·|yB|＋|yD|·|xB|或S四边形ABDO＝S△ABC－S△OCD＝|xC－xA|·|yB|－|xC|·|yD|. 如图，已知直线l1：y1＝x＋2与直线l2：y2＝kx－1交于点A，点A的纵坐标为1，且直线l1与x轴交于点B，与y轴交于点D，直线l2与y轴交于点C. (1)求直线l2的函数解析式； (2)连接BC，求S△ABC. 3题图 解：(1)∵点A在y1＝x＋2上，点A的纵坐标为1， ∴x＋2＝1，解得x＝－1， ∴点A的坐标为(－1，1). ∵点A在y2＝kx－1上， ∴－k－1＝1，解得k＝－2， ∴直线l2的函数解析式为 y2＝－2x－1. (2)∵直线l1与x轴交于点B， ∴x＋2＝0，解得x＝－2，∴OB＝2. 依题意，得C(0，－1)，D(0，2)，即OC＝1，OD＝2， ∴DC＝2＋1＝3， ∴S△ABC＝S△BCD－S△ACD＝×3×2－×3×1＝. 如图，一次函数y＝kx＋4的图象经过点A(－2，0)，交y轴于点B，直线CD交x轴于点C，交y轴于点D，与直线y＝kx＋4交于点E. (1)若OC＝OD＝2OA，请求出k的值并确定直线CD的函数解析式； (2)请求出四边形AODE的面积． 4题图 解：(1)把A(－2，0)代入y＝kx＋4，得－2k＋4＝0，∴k＝2. ∵A(－2，0)，∴OA＝2. ∵OC＝OD＝2OA，∴OC＝OD＝4， ∴C(－4，0)，D(0，－4). 设直线CD的函数解析式为y＝mx＋b(m≠0)，把C(－4，0)，D(0，－4)代入，得解得 ∴直线CD的函数解析式为y＝－x－4. (2)联立解得 ∴E， ∴S四边形AODE＝S△COD－S△ACE＝×4×4－×(4－2)×＝. 由图形的面积求点的坐标　　 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交于点A，且经过B(0，2)，C(2，－2)两点． (1)求一次函数的解析式； (2)求点A的坐标以及△AOB的面积； (3)若P(x，y)为此函数图象上的一点，则当S△POA＝2S△AOB时，请直接写出点P的坐标． 5题图 解：(1)∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过B(0，2)，C(2，－2)两点， ∴解得 ∴一次函数的解析式为y＝－2x＋2. (2)当y＝0时，－2x＋2＝0，解得x＝1，∴A(1，0). ∵B(0，2)，∴OA＝1，OB＝2. ∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝OA·OB＝1. (3)P(－1，4)或P(3，－4). 学科网（北京）股份有限公司 $