20.1 课时1 勾股定理 -【勤径学升】2025-2026学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（人教版·新教材）

该初中数学教案聚焦勾股定理的核心知识点，通过赵爽弦图情境导入，结合直角三角形性质复习，搭建从图形观察到定理证明的学习支架，衔接前后知识脉络。 这份教案特色鲜明，融合传统文化（如《天工开物》矩尺问题）与动手操作，借助赵爽弦图面积法推理培养学生推理意识，通过实际问题（如正方形面积计算）发展应用意识，助力学生用数学眼光观察、思维推理、语言表达，为教师提供分层例题与探究素材，提升教学实效。

第二十章 勾股定理 20．1　勾股定理及其应用 课时1　勾股定理 勾股定理的认识　　 (湖北恩施州期中)在△ABC中，若∠ABC＝90°，则下列正确的是(D) A．BC＝AB＋AC B．BC2＝AB2＋AC2 C．AB2＝AC2＋BC2 D．AC2＝AB2＋BC2 现用4个全等的直角三角形拼成如图的“赵爽弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题： (1)试说明：a2＋b2＝c2； (2)如果大正方形的面积是6，小正方形的面积是2，求(a＋b)2的值． 2题图 解：(1)∵大正方形的面积为c2，1个直角三角形的面积为ab，小正方形的面积为(b－a)2，∴c2＝4×ab＋(b－a)2＝2ab＋b2－2ab＋a2，即c2＝a2＋b2. (2)由题可知c2＝6，(b－a)2＝2， ∴4×ab＝6－2＝4，∴ab＝2， ∴(a＋b)2＝(b－a)2＋4ab＝10. 利用勾股定理进行计算　　 (广东广州期末)若Rt△ABC中一条直角边和斜边的长分别为8和10，则另一条直角边的长是(C) A．3 B．9 C．6 D．36 (教材母题变式)如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形E的边长为10，则四个正方形A，B，C，D的面积之和为(D) 4题图 A．24 B．56 C．121 D．100 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2，则AC2＋AB2＋BC2的值为8． 5题图 　 [传统文化](山西忻州期末)在《天工开物》这部古代科学技术著作中，描述了多种工具和机械的制作与应用，其中有一种古代工匠们使用的名为“矩尺”的测量工具．如图，这种工具的形状类似于一个直角三角形，若书中所描述的“矩尺”的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1尺，则“矩尺”的较长的直角边的长是12尺． 6题图 在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c. (1)已知b＝2，c＝3，求a的值； (2)已知a∶c＝3∶5，b＝32，求a，c的值． 解：(1)∵在△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝3， ∴a＝＝＝. (2)设a＝3x，则c＝5x. ∵a2＋b2＝c2， ∴(3x)2＋322＝(5x)2，解得x＝8(负值舍去)， ∴3x＝24，5x＝40，即a＝24，c＝40. 如图，直线l上有三个正方形m，n，q，若m，q的面积分别为5和11，则n的面积为(C) 1题图 A．4 B．6 C．16 D．55 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝6，BC＝8，则CD的长为(C) 2题图 A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5 　　　 (广东河源期末)若实数m，n满足|m－6|＋＝0，且m，n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为(C) A．10 B．2 C．10或2 D．以上都不对 (四川成都期末)如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠C＝30°，以点A为圆心，AB的长为半径作弧交BC于点D，连接AD；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点E，则BD的长是6． 4题图 如图，分别以直角三角形三边(三边长分别为a，b，c)为直径作半圆，设图中两个“月形”图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形的面积为S3. (1)请判断S1，S2，S3的关系，并证明； (2)若a＝3，b＝4，求阴影部分的面积． 5题图 解：(1)S1＋S2＝S3.证明如下： ∵S1＋S2＝π＋π＋S3－π＝π(a2＋b2－c2)＋S3，a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3. (2)由(1)可知，阴影部分的面积为S3＝×3×4＝6. [核心素养]【合作探究】如图①，在△ABC中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，过点A作AD⊥BC交BC于点D，求BD的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程． (1)设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝14－x； (2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程，并求出x的值； 【类比应用】如图②，在△ABC中，AB＝15，BC＝4，AC＝13，求△ABC的面积． 6题图① 　 6题图② 解：【合作探究】(2)由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2， 故152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9. 【类比应用】如答图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2， 即152－(4＋CD)2＝132－CD2，解得CD＝5，∴AD＝12， ∴S△ABC＝AD·BC＝24. 6题答图 学科网（北京）股份有限公司 $