专题8.2矩形题型突破讲义（1）(常考题型精析+分层强化+寒假预习)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题8.2矩形题型突破讲义（1） 一、学习重点 1.牢记矩形的定义:矩形是有一个角是直角的平行四边形。核心要点：矩形是特殊的平行四边形，平行四边形的所有性质矩形都具备。 2.吃透矩形的性质（共性 + 特性） （1）共性（和普通平行四边形一样）：对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分。（2）特性（矩形独有）：① 四个角都是直角；② 对角线相等。 （3）必记推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个推论由矩形性质推导而来，一定要会用它求线段长度。 3.掌握矩形的三种判定方法: (1)定义判定：先证一个四边形是平行四边形，再证它有一个角是直角。 (2)定理判定 1：先证一个四边形是平行四边形，再证它的对角线相等。 (3)定理判定 2：直接证一个四边形的三个角都是直角。关键：能根据题目给的条件，选对最简便的判定方法。 二 学习难点 1. 矩形性质的灵活套用:(1) 做题时，要能快速联想到矩形的 “对角线相等且互相平分”“四个角都是直角” 这些特性，结合三角形全等、线段计算等知识解题. (2)会在复杂图形里识别直角三角形和它斜边上的中线，用 “斜边上的中线等于斜边的一半” 这个推论解题。 2.矩形判定方法的精准区分 :(1)易错点：千万别把 “对角线相等的平行四边形是矩形” 说成 “对角线相等的四边形是矩形”！“平行四边形” 这个前提必须有。 (2)难点：遇到递进式证明题（先证平行四边形，再证矩形）时，理清证明步骤，不遗漏条件。 3.辨析矩形与平行四边形的异同:容易混淆二者的性质和判定条件，需要明确：矩形有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定有矩形的特性；判定矩形时，要么先证平行四边形再加条件，要么直接证三个角是直角。 . 基础 过关题 1.矩形性质理解 2.由矩形的性质求角度 3.由矩形的性质求线段长 4.由矩形的性质求面积 5.由矩形的性质证明结论 6.矩形的判定定理理解 能力 提升题 7.求矩形在坐标系中的坐标 8.证明四边形是矩形 9.添一条件使四边形是矩形 10.由矩形的性质与判定求角度 11.由矩形的性质与判定求线段长 拓展 拔高题 12.矩形与折叠问题 13.由矩形的性质与判定求面积 【题型1.矩形性质理解】 1．下列四个选项中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．邻边相等 D．对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质和菱形的性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键．根据矩形的性质和菱形的性质进行判断即可． 【详解】解：矩形对角线相等，菱形对角线不一定相等， 故矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 故选B． 2．下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质． 根据矩形的性质，逐一分析每个选项是否正确． 【详解】A．矩形的对角线相等，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，故B错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线相等，则此平行四边形为矩形，故C正确； D．矩形的对角线平分一组对角仅当其为正方形时成立，普通矩形不满足，故D错误． 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．直线经过点且平分矩形的周长，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和矩形的性质等知识．先求出矩形的对称中心为，根据过矩形对称中心的直线平分矩形的周长，再利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上． ∴矩形的对称中心为， 设直线的解析式为，把和代入得到， 解得 ∴直线的解析式为， 故答案为： 4．学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为，根据图形得，再根据两图形的面积相等即可求出的值，根据即可求解，注意利用图形之间的关系进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图，设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为， 由图2可得，小正方形的边长为， ，即， 围成的矩形长为：， 围成的矩形面积为：， 矩形的面积与大正方形的面积相等， ， 解得 或（舍去）， ， 故答案为：10． 5．如图，在长方形ABCD中，，一发光电子开始置于AB边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与长方形的边碰撞2025次后，它与AB边的碰撞次数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 根据反射角与入射角的定义，可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图： 根据图形可得，从点P开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞2次， ∵， ∴发光电子与边的碰撞次数是． 故答案为． 【题型2.由矩形的性质求角度】 6．如图，矩形的对角线、相交于点，若，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质，推出为等边三角形，进而得到，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选A． 7．如图所示，在矩形中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质证明，根据作图痕迹可得是的平分线，进而利用角平分线的性质即可解决问题． 本题考查了作图-基本作图、矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由作图痕迹可知：是的平分线， ∴． 故选：A． 8．如图，在中，，，将的顶点摆放在矩形的一边上，使得，其中与交于点，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键． 由四边形是矩形，则，，由平行线的性质可得，然后通过等边对等角得出，，然后由平角定义求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．如图，在矩形中，点E为边上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形与三角形．熟练掌握矩形性质，三角形周长，勾股定理，是解题关键． 矩形性质可知，根据，，，得，解方程即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ∴， ∵的周长为12，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：5． 【题型3.由矩形的性质求线段长】 10．如图，矩形中，在上，且，，，矩形的周长为，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，矩形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出.设，根据矩形的性质得出，，，求出，证，推出，求出，得出方程，求出即可. 【详解】设， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 矩形的周长为， ， ， 即. 故选：A． 11．如图，将矩形绕点旋转一定角度得到矩形，使得点恰好落在边上，若，则的长为（ ） A．3 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质及勾股定理；由旋转的性质得，由矩形性质得，由勾股定理求得，由即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：D．. 12．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点E在上且，连接，若是等边三角形，下列结论：①，②，③，④．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查矩形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，由等边三角形的性质得，得出是等边三角形，得到，， 由，得到，求出，得到，可判断①正确；由是等边三角形得到，，由，得，得出，而可得与不垂直，即，所以不是的中位线，即故可判断②错误；由得，故可判断③正确；由得，又，可得，故可判断④错误． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴与不垂直，即， ∴不是的中位线， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴，故④错误． 综上，正确的结论是①③， 故答案为：①③． 13．如图，矩形中，，，点E在上，且，点F在直线上运动，以为边向右作等边三角形，点P在上运动，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】当点F在点B上方时，作等边，连接，可证明，得到，则点Q在直线上运动；设直线分别交直线于H、K，可得，，则，，则可求出；作点D关于直线的对称点G，连接，则，则当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，求出，得到，同理可得，即的最小值为；当点F在点B下方时，同理可得的最小值为． 【详解】解：如图所示，当点F在点B上方时，作等边，连接， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∵，是等边三角形， ∴点O是定点， ∴点Q在直线上运动； 如图所示，设直线分别交直线于H、K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴； 如图所示，作点D关于直线的对称点G，连接，则， ∴， ∴当三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴的最小值为； 如图所示，当点F在点B下方时，同理可得的最小值为； 综上所述，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称最短路径问题，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形推出点Q的轨迹是解题的关键． 解答题 14．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，即，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，根据矩形的判定得出即可； （2）根据矩形的性质求出，根据勾股定理求出，求出，推出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴，，即， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）∵四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【题型4.由矩形的性质求面积】 15．矩形的两邻边分别为和，则其对角线为 ，矩形面积为 ． 【答案】 10 48 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．根据勾股定理求出矩形的对角线，根据矩形的面积公式求出矩形的面积即可． 【详解】解：矩形的对角线长为， 面积． 故答案为：10；48． 16．如图，直线过矩形对角线的交点O，分别交于点E、F，且，那么图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质与全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根据题意得出，，然后进一步证明和全等，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ，，， ， ， 等底同高的三角形面积相等， ， 阴影部分的面积是． 故选A． 17．如图，矩形的对角线交于点，点为上一点，交于点，已知和的面积分别是10和3，、、表示对应三角形的面积，下列说法正确的是（   ） A．、、均可求 B．、、均不可求 C．仅可求 D．不可求 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质．由矩形的性质可得，可得，，可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 18．如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质，根据矩形的性质和三角形面积计算公式可得，，则，同理可得，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴ 同理可得， ∴， 故答案为：． 解答题 19．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证． （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分 ∴矩形的面积是： 【题型5.由矩形的性质证明结论】 20．如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，的度数为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 21．如图，在矩形中，对角线，交于点，已知，，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，含30度角直角三角形的性质，熟练矩形的性质是解决本题的关键． 根据矩形的性质以及直角三角形的性质，得到，进而得到，即可解题． 【详解】解：矩形， ， ， ， ， ； 故选：D． 22．如图，在矩形中，E，F是对角线上两点，连接，，添加下列条件之一：①；②；③；④；仍然不能判定的是 ．（填写序号） 【答案】② 【分析】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、三角形全等的判定，熟练掌握矩形的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理（、和）即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 当选择①时， 在和中， ， ∴； 当选择②时，不能判定； 当选择③时， ∵， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴； 当选择④时， 在和中， ， ∴； 综上，添加条件后，仍然不能判定的是②， 故答案为：②． 23．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，由矩形的性质及勾股定理得，，，又由折叠的性质得，，再在中，利用勾股定理构造方程即可求解，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，同理可得的长． 【详解】解：如下图，当在的上方时，连接，则过的中点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴即， 解得， 如下图，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点， 同理可得：，，，， ，， ∴即， 解得， 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 【题型6.矩形的判定定理理解】 24．下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 根据矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），该选项说法错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项说法错误，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 25．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使、；然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学原理是： ． 【答案】 矩 有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】本题考查的是平行四边形和矩形的判定，根据两组对边相等的四边形是平行四边形和有一个角是直角的平行四边形是矩形，作答即可． 【详解】因为、， 所以窗框是平行四边形， 当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，即有一个角是直角的平行四边形是矩形． 故答案为：矩，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 26．下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有 ．（只填写序号） 【答案】（2）（4）（5）（8） 【分析】本题考查了矩形的判定方法；熟练掌握矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．根据矩形的判定方法逐一进行判断即可，由矩形的判定方法得出（2）（4）（5）（8）正确，（1）（3）（6）（7）不正确，即可得出结论． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴（1）不正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴（2）正确； （7）不正确 ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴（3）不正确； ∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴（4）正确； ∵四边形的内角和等于360°，∴四个角都相等的四边是矩形，∴（5）正确；（6）不正确； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，∴（8）正确； 故答案为：（2）（4）（5）（8）． 27．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型7.求矩形在坐标系中的坐标】 28．如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点的变化特点，利用数形结合的思想解答，每秒旋转，则8次一个循环，，第2025秒时，点的对应点落在轴正半轴上，由此可得到点的坐标． 【详解】解：四边形是矩形， ， 每秒旋转，8次一个循环，， 第2025秒时，点的对应点落在轴正半轴上， 点的坐标为． 故选：B． 29．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，， 由折叠的性质，可知，， ． 设，则．在中，由勾股定理， 得， 解得． 点的坐标为， 故选B． 30．如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质以及坐标与图形，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，再利用勾股定理列出等式进行求解即可．根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ∵将纸片矩形沿折叠，使点B落在点D的位置， , , ， ∵点B的坐标为， ，， 设，则， 在中，， 解得， ∴点E的坐标为， 故选：C． 31．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与直线交点的计算，掌握交点的计算是关键． 根据题意得到点到点之间的整点有，结合题意得到点的横坐标的范围为，分别代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，顶点，且轴， ∴， ∴点到点之间的整点有， ∵线段上有3个整点（包含线段端点）时，即点的横坐标的范围为， 当，即点在直线上时，， 解得，， 当点，即点在直线上时，， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 【题型8.证明四边形是矩形】 32．如图，在中，对角线，相交于点，点，每秒运动1个单位长度，分别从点，出发，沿，方向运动．若，，则经过 后，四边形是矩形． 【答案】2或10 【分析】设运动的时间为，则，由平行四边形的性质得或，再根据列方程或，求出的值即可． 【详解】解：设运动的时间为． 四边形是平行四边形，，， ，． 由题意可知，， 或， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形， ，即或， 或． 故经过或后，四边形是矩形． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定、动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示、的长是解题的关键． 33．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵点O是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 34．如图，在中，对角线相交于点，，若要使为矩形，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形” ． 根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可求解． 【详解】解：， ∴ 当时，为矩形， ， 故答案为：． 35．平行四边形中经过两条对角线的交点O，分别交于点E、F，在对角线上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是 （   ）          以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A．都是矩形 B．都为菱形 C．图1为矩形，图2、图3为平行四边形 D．图1为平行四边形，图2、图3为矩形 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，涉及到平行线的性质、两个三角形全等的判定与性质、基本尺规作图等知识点，熟练掌握平行四边形和矩形的判定与性质是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定和性质、矩形的判定，全等三角形的判定和性质，作出相应辅助线，进行证明即可． 【详解】解：连接、、、，如图所示： 在中，对角线与交于， , , 在和中， ， ， , 以点为圆心，以为半径作弧，交于点， ，即， 四边形为矩形，即图1为矩形； 连接、，如图所示： 在中，对角线与交于， ,, , 在和中， ， ， , 为的中线， ， 四边形为平行四边形， 即图2为平行四边形； 连接、，如图所示： 同理得：， ， 为的角平分线， ∴ ，， ∴， 四边形为平行四边形，即图3为平行四边形； 故选：C． 解答题 36．如图，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，然后根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可得四边形是矩形． （2）证明和是等边三角形，是等边三角形，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵O为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， 即的长为． 【题型9.添一条件使四边形是矩形】 37．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，若要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，平行四边形的性质、菱形的判定、等腰三角形的判定等知识，熟知矩形的判定是解答的关键． 根据矩形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形，符合题意； C、四边形是平行四边形，， 平行四边形菱形，不能判定是矩形，不符合题意； D、四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意， 故选：B． 38．如图，点在的边上，．请从以下三个选项中：①，②，③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．你添加的条件是 ．（填序号）    【答案】①（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定，有一个角为直角的平行四边形是矩形，证明即可． 【详解】解：当时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是矩形， 故答案为：①． 39．如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定方法，根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意； 故选D． 40．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过 秒时，四边形是矩形． . 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握矩形的判定是解题关键．设经过秒时，四边形是矩形，先根据平行四边形的性质可得，，再分两种情况：①和②，证出四边形是平行四边形，根据矩形的判定可得要使平行四边形是矩形，则需，即，由此即可得． 【详解】解：设经过秒时，四边形是矩形， 由题意得：， ∵， ∴点从点运动到点所需时间为秒；当点相遇时，， 解得，此时，点在点相遇， ∵四边形是平行四边形，， ∴． ①如图1，在点相遇前，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； ②如图2，在点相遇后，即， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则需，即， ∴， 解得，符合题设； 综上，经过或秒时，四边形是矩形， 故答案为：或． 【题型10.由矩形的性质与判定求角度】 41．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 42．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 43．如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，连接，根据轴对称的性质得分别为的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得，，，即可判断①③，根据，可得四边形为矩形，即可判断②． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，与交于点， ∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴分别为的垂直平分线， ∴， ∴，故①正确； ∵分别为的垂直平分线， ∴四边形为矩形， ∴，故②正确； ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 同理得 ∵， ∴，故③错误； ∴正确的结论是①②， 故选：B． 解答题 44．如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质，等边对等角，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到四边形是平行四边形，进而，结合，可得，得证结论； （2）由，，得到，，根据可求出，根据矩形的性质得到，进而得到，最后根据角的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴． 【题型11.由矩形的性质与判定求线段长】 45．如图1，在中，，P是边上的一个动点，过点P分别作于点D，于点E，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（） A．点P与B的距离为x，点D与E的距离为y B．点P与B的距离为x，点P与C的距离为y C．点P与D的距离为x，点P与E的距离为y D．点P与D的距离为x，点D与E的距离为y 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，先由勾股定理得到，如图所示，连接，过点作于，由等面积法得到，则，再证明四边形是矩形，得到，，则当时，最小，即此时最小，即的最小值为，再由点到点的距离可以无限小，得到点与的距离为，点到点的距离可以无限小，得到点与的距离为，据此可得答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵在中， ， ， ， 如图所示，连接，过点作于， ， ， ， ， ，，， ∴四边形是矩形， ， ∴当时，最小，最小值为的长，此时最小， ∴的最小值为，此时， 而点到点的距离可以无限小， ∴由函数图象可知点与的距离为，而点到点的距离可以无限小， ∴由函数图象可知点与的距离为， 故选：A． 46．在矩形中，为线段上一动点，于点于点Q，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短、三角形面积等知识点，掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 如图：连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最小，则最小，此时， ∴，解得： ∴的最小值为． 故答案为：． 47．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（   ） A． B．8 C．10 D．34 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题中所给的思路，根据题干中的思路进行解答．根据题中所给的思路，将可以看作两直角边分别是x和3的的斜边长，可以看作两直角边分别是y和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值，连接，当A，P，B共线时，的最小值为，再利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：构造出如图，将问题转化为求的最小值， 可以看作两直角边分别是x和3的的斜边长， 可以看作两直角边分别是y和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值， 连接，当A，P，B共线时，的最小值为，作交延长线于点E，故四边形是矩形， ∵，即， ∴， ∵， ∴ ∴的最小值为10， 故选：C． 48．已知四条线段的长分别是9、5、x、1（其中x为正实数），用他们拼成两个直角三角形，且与是其中的两条线段（如图）则x的取值个数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理，作交的延长线于，则四边形为矩形，从而可得，，由图可得，是四条线段中最长的，故或，再分情况讨论，结构勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图：作交的延长线于， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 由图可得，是四条线段中最长的，故或， 当，时，则，， 由勾股定理可得：，即， 解得（负值不符合题意，舍去）； 当，时，则，， 由勾股定理可得：，即， 解得（负值不符合题意，舍去）； 当，时，则，，由勾股定理可得：，即，解得（负值不符合题意，舍去）； 当时，时，则，， 由勾股定理可得：，即， 解得（负值不符合题意，舍去）； 当时，时，则，，由勾股定理可得：，即， 解得（负值不符合题意，舍去）； 当时，时，则，， 由勾股定理可得：，即， 解得（负值不符合题意，舍去）； 故x的取值个数为个， 故选：D． 解答题 49．古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端点A相连，．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为． (1)若，，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）； (2)若的长为，比长，求桥面的宽． 【答案】(1) (2)桥面的宽长为． 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质． （1）由勾股定理求出，求出，，，即得； （2）求出，， ，根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴（）， ∵， ∴， 由题意可知：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴（）， ∴， 故从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长为； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵比长， ∴， ∵， ∴， ∴， 故桥面的宽长为． 【题型12.矩形与折叠问题】 50．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方形的性质和得，利用平角的定义可求出，由折叠的性质得，利用平角的定义可求出，由折叠的性质得，则． 本题主要考查了长方形的性质，图形的折叠变换及性质，角的计算，准确识图，理解长方形的性质，熟练掌握图形的折叠变换及性质是解题的关键． 【详解】解：在长方形纸片中，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 故选：B． 51．如图，在矩形中，，，将沿翻折，使得点D落在边上的点F处，则的长是（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 根据矩形的性质及折叠的性质可得，，然后利用勾股定理求出的长，进而即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， 将沿翻折，点D落在边上F处， ∴， ∴在中， ， ． 故选：B 52．如图，把矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，若，且，则边的长 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质等，由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，，，进而可得，即得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 53．如图，已知矩形，点是的中点，将边沿翻折到的位置，点的对应点为，连接并延长交于点，当恰为的中点时，的值是 ． 【答案】 【分析】连接，设，则，，证明，得到，设，得到，根据勾股定理得到，解得，负的舍去，解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴，， 将边沿翻折到的位置，点的对应点为， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 设， ∴，， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，负的舍去， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解方程，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键． 解答题 54．如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若 ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由折叠性质和矩形的性质可得，设，根据即可求解； ②连接，过点E作，由折叠性质和矩形的性质可得，，设，根据勾股定理即可求解； （2）连接，设，，则，，由折叠性质和勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解①：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴； ②如图，连接，过点E作， 由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， 由①同理可求：， 设，则， ∵，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接 ∵，点E为的中点， 设，，则，，， ∴； 由折叠性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在矩形中，， ∴． 【点睛】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是关键． 【题型13.由矩形的性质与判定求面积】 55．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴． 故选：B． 56．如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，线段垂直平分线的性质等．因为是的垂直的平分线，，，所以四边形是矩形，因为，，能求出，，进而可求出的长，从而求出面积． 【详解】解：∵是的垂直的平分线，，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 57．如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 。 【答案】 【分析】此题考查了中心对称，关键是中心对称性质的熟练掌握．过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由中心对称，得到，，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵于点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴， ∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，， ∴，，图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和=长方形的面积． 故答案为：． 58．如图，中，为钝角，以为边向外作，为钝角，连结，．设的面积分别为，则的面积可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，理解平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 如图，过作于，交的延长线于，过作于，过作于，交于，再证明四边形是矩形，结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过作于，交的延长线于，过作于，过作于，交于， ∵平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.2矩形题型突破讲义（1） 一、学习重点 1.牢记矩形的定义:矩形是有一个角是直角的平行四边形。核心要点：矩形是特殊的平行四边形，平行四边形的所有性质矩形都具备。 2.吃透矩形的性质（共性 + 特性） （1）共性（和普通平行四边形一样）：对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分。（2）特性（矩形独有）：① 四个角都是直角；② 对角线相等。 （3）必记推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个推论由矩形性质推导而来，一定要会用它求线段长度。 3.掌握矩形的三种判定方法: (1)定义判定：先证一个四边形是平行四边形，再证它有一个角是直角。 (2)定理判定 1：先证一个四边形是平行四边形，再证它的对角线相等。 (3)定理判定 2：直接证一个四边形的三个角都是直角。关键：能根据题目给的条件，选对最简便的判定方法。 二 学习难点 1. 矩形性质的灵活套用:(1) 做题时，要能快速联想到矩形的 “对角线相等且互相平分”“四个角都是直角” 这些特性，结合三角形全等、线段计算等知识解题. (2)会在复杂图形里识别直角三角形和它斜边上的中线，用 “斜边上的中线等于斜边的一半” 这个推论解题。 2.矩形判定方法的精准区分 :(1)易错点：千万别把 “对角线相等的平行四边形是矩形” 说成 “对角线相等的四边形是矩形”！“平行四边形” 这个前提必须有。 (2)难点：遇到递进式证明题（先证平行四边形，再证矩形）时，理清证明步骤，不遗漏条件。 3.辨析矩形与平行四边形的异同:容易混淆二者的性质和判定条件，需要明确：矩形有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定有矩形的特性；判定矩形时，要么先证平行四边形再加条件，要么直接证三个角是直角。 . 基础 过关题 1.矩形性质理解 2.由矩形的性质求角度 3.由矩形的性质求线段长 4.由矩形的性质求面积 5.由矩形的性质证明结论 6.矩形的判定定理理解 能力 提升题 7.求矩形在坐标系中的坐标 8.证明四边形是矩形 9.添一条件使四边形是矩形 10.由矩形的性质与判定求角度 11.由矩形的性质与判定求线段长 拓展 拔高题 12.矩形与折叠问题 13.由矩形的性质与判定求面积 【题型1.矩形性质理解】 1．下列四个选项中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．邻边相等 D．对角线平分一组对角 2．下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上．直线经过点且平分矩形的周长，则直线的解析式为 ． 4．学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则的长为 ． 5．如图，在长方形ABCD中，，一发光电子开始置于AB边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与长方形的边碰撞2025次后，它与AB边的碰撞次数是 ． 【题型2.由矩形的性质求角度】 6．如图，矩形的对角线、相交于点，若，则度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 7．如图所示，在矩形中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，将的顶点摆放在矩形的一边上，使得，其中与交于点，则的度数是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，点E为边上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，，则 ． 【题型3.由矩形的性质求线段长】 10．如图，矩形中，在上，且，，，矩形的周长为，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 11．如图，将矩形绕点旋转一定角度得到矩形，使得点恰好落在边上，若，则的长为（ ） A．3 B．1 C． D． 12．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点E在上且，连接，若是等边三角形，下列结论：①，②，③，④．其中正确的有 （填序号）． 13．如图，矩形中，，，点E在上，且，点F在直线上运动，以为边向右作等边三角形，点P在上运动，连接，则的最小值为 ． 解答题 14．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 【题型4.由矩形的性质求面积】 15．矩形的两邻边分别为和，则其对角线为 ，矩形面积为 ． 16．如图，直线过矩形对角线的交点O，分别交于点E、F，且，那么图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 17．如图，矩形的对角线交于点，点为上一点，交于点，已知和的面积分别是10和3，、、表示对应三角形的面积，下列说法正确的是（   ） A．、、均可求 B．、、均不可求 C．仅可求 D．不可求 18．如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为 ． 解答题 19．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【题型5.由矩形的性质证明结论】 20．如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，的度数为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 21．如图，在矩形中，对角线，交于点，已知，，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D．8 22．如图，在矩形中，E，F是对角线上两点，连接，，添加下列条件之一：①；②；③；④；仍然不能判定的是 ．（填写序号） 23．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为 ． 【题型6.矩形的判定定理理解】 24．下列说法正确的是（   ） A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形 B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 25．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使、；然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一个角（如图③）调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学原理是： ． 26．下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有 ．（只填写序号） 27．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ． 【题型7.求矩形在坐标系中的坐标】 28．如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（    ） A． B． C． D． 29．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 30．如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 31．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为 ． 【题型8.证明四边形是矩形】 32．如图，在中，对角线，相交于点，点，每秒运动1个单位长度，分别从点，出发，沿，方向运动．若，，则经过 后，四边形是矩形． 33．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 34．如图，在中，对角线相交于点，，若要使为矩形，则的长度为 ． 35．平行四边形中经过两条对角线的交点O，分别交于点E、F，在对角线上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是 （   ）          以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A．都是矩形 B．都为菱形 C．图1为矩形，图2、图3为平行四边形 D．图1为平行四边形，图2、图3为矩形 解答题 36．如图，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【题型9.添一条件使四边形是矩形】 37．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，若要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 38．如图，点在的边上，．请从以下三个选项中：①，②，③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．你添加的条件是 ．（填序号）    39．如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 40．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，点同时以每秒2个单位长度的速度从点出发沿方向运动，若，则经过 秒时，四边形是矩形． . 【题型10.由矩形的性质与判定求角度】 41．如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    42．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 43．如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 解答题 44．如图，四边形中，对角线，相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点B作于点E，若，求的度数． 【题型11.由矩形的性质与判定求线段长】 45．如图1，在中，，P是边上的一个动点，过点P分别作于点D，于点E，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（） A．点P与B的距离为x，点D与E的距离为y B．点P与B的距离为x，点P与C的距离为y C．点P与D的距离为x，点P与E的距离为y D．点P与D的距离为x，点D与E的距离为y 46．在矩形中，为线段上一动点，于点于点Q，则线段的最小值为 ． 47．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（   ） A． B．8 C．10 D．34 48．已知四条线段的长分别是9、5、x、1（其中x为正实数），用他们拼成两个直角三角形，且与是其中的两条线段（如图）则x的取值个数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．6 解答题 49．古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端点A相连，．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为． (1)若，，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）； (2)若的长为，比长，求桥面的宽． 【题型12.矩形与折叠问题】 50．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将沿着折叠，点B刚好落在上的点处；再将沿着折叠，点C刚好落在上的点处，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 51．如图，在矩形中，，，将沿翻折，使得点D落在边上的点F处，则的长是（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 52．如图，把矩形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，若，且，则边的长 ． 53．如图，已知矩形，点是的中点，将边沿翻折到的位置，点的对应点为，连接并延长交于点，当恰为的中点时，的值是 ． 解答题 54．如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若 ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 【题型13.由矩形的性质与判定求面积】 55．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 56．如图，Rt中，的垂直平分线分别交于点交DF的延长线于点，若，则四边形的面积是 ． 57．如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为 。 58．如图，中，为钝角，以为边向外作，为钝角，连结，．设的面积分别为，则的面积可表示为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $